12短除法求最大公因数 (3)

用短除法求最大公因数和最小公倍数课件最大公因数（Greatest Common Divisor，简称GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是数学中常用的概念。

我们可以使用短除法来求解它们。

首先，让我们来解释一下什么是最大公因数。

最大公因数是指两个或多个整数共有的最大的因数。

我们可以通过短除法来找到最大公因数。

以两个整数a和b为例，我们首先将a除以b，并取得余数r。

然后，将b除以r，并再次取得余数r1。

我们重复这个过程，直到余数为0为止。

此时，最大公因数就是最后一次计算的非零余数。

例如，假设我们要求解整数36和48的最大公因数。

我们首先将36除以48，得到余数12。

然后，将48除以12，得到余数0。

因此，36和48的最大公因数是12。

接下来，让我们来解释一下什么是最小公倍数。

最小公倍数是指两个或多个整数的公有倍数中最小的一个。

我们可以通过短除法来找到最小公倍数。

以两个整数a和b为例，我们首先求解它们的最大公因数GCD。

然后，将a乘以b，再除以最大公因数GCD，即可得到最小公倍数LCM。

例如，假设我们要求解整数36和48的最小公倍数。

首先，我们计算它们的最大公因数，发现它们的最大公因数是12。

然后，我们将36乘以48，得到1728，再除以12，得到144。

因此，36和48的最小公倍数是144。

总结起来，最大公因数是两个或多个整数共有的最大因数，可以通过短除法找到；最小公倍数是两个或多个整数的公有倍数中最小的一个，可以通过将两个整数乘积除以最大公因数来求解。

《最大公因数》讲义一、什么是最大公因数在数学的世界里，最大公因数就像是两个或多个数字之间的一个特殊“纽带”。

当我们谈到最大公因数时，它指的是能够同时整除一组数的最大整数。

比如说，对于数字 12 和 18，它们的因数分别有：12 的因数是 1、2、3、4、6、12；18 的因数是 1、2、3、6、9、18。

可以看到，它们共有的因数是1、2、3、6，其中最大的那个就是6，所以 12 和 18 的最大公因数就是 6。

为了更清晰地理解这个概念，我们可以想象有一堆相同大小的积木要分别放进几个盒子里，而最大公因数就是能够整除这几个盒子里积木数量的最大数。

二、如何找最大公因数（一）列举法这是最直接也是最基础的方法。

就像前面提到的 12 和 18，我们分别把它们的因数一一列举出来，然后找出共同的因数，再从中确定最大的那个。

这种方法对于较小的数字比较好用，但当数字较大时，列举因数就会变得繁琐且容易出错。

（二）分解质因数法我们把一个数分解成几个质数相乘的形式，比如 12 ＝ 2×2×3，18 ＝ 2×3×3。

然后找出它们公有的质因数，将这些公有的质因数相乘，得到的积就是最大公因数。

对于 12 和 18，公有的质因数是 2 和 3，所以最大公因数就是 2×3 ＝ 6。

（三）短除法短除法是一种比较高效的方法。

我们用这组数除以它们的一个公因数，然后将除数和商继续除以公因数，直到所得的商互质为止。

最后把所有的除数相乘，得到的就是最大公因数。

例如，求 24 和 36 的最大公因数，先用 24 和 36 同时除以 2，得到12 和 18；再除以 2，得到 6 和 9；接着除以 3，得到 2 和 3，此时 2 和3 互质。

所以 24 和 36 的最大公因数就是 2×2×3 ＝ 12。

三、最大公因数的性质（一）两个数的最大公因数是它们公因数的倍数比如 12 和 18 的公因数有 1、2、3、6，而最大公因数 6 恰好是这些公因数的倍数。

求最大公因数的9种方法观察法运用能被2、3、5整除的数的特征进行观察．例如，求225和105的最大公因数．因为225、105都能被3和5整除，所以225和105至少含有公因数（3×5）15．因为225÷15＝15，105÷15＝7．15与7互质，所以225和105的最大公因数是152查找因数法先分别找出每个数的所有因数，再从两个数的因数中找出公有的因数，其中最大的一个就是最大公因数．例如，求12和30的最大公因数．12的因数有：1、2、3、4、6、12；30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30．12和30的公因数有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公因数．3分解因式法先分别把两个数分解质因数，再找出它们全部公有的质因数，然后把这些公有质因数相乘，得到的积就是这两个数的最大公因数．例如：求125和300的最大公因数．因为125＝5×5×5，300＝2×2×3×5×5，所以125和300的最大公因数是5×5＝25．4关系判断法当两个数关系特殊时，可直接判断两个数的最大公因数．例如，两个数互质时，它们的最大公因数就是这两个数的乘积；两个数成倍数关系时，它们的最大公因数就是其中较小的那个数．5短除法为了简便，将两个数的分解过程用同一个短除法来表示，那么最大公因数就是所有除数的乘积．例如：求180和324的最大公因数．因为：5和9互质，所以180和324的最大公因数是4×9＝36．6除法法当两个数中较小的数是质数时，可采用除法求解．即用较大的数除以较小的数，如果能够整除，则较小的数是这两个数的最大公因数．例如：求19和152，13和273的最大公因数．因为152÷19＝8，273÷13＝21．（19和13都是质数．）所以19和152的最大公因数是19，13和273的最大公因数是13．7缩倍法如果两个数没有之间没有倍数关系，可以把较小的数依次除以2、3、4……直到求得的商是较大数的因数为止，这时的商就是两个数的最大公因数．例如：求30和24的最大公因数．24÷4＝6，6是30的因数，所以30和24的最大公因数是6．8求差判定法如果两个数相差不大，可以用大数减去小数，所得的差与小数的最大公因数就是原来两个数的最大公因数．例如：求78和60的最大公因数．78－60＝18，18和60的最大公因数是6，所以78和60的最大公因数是6．如果两个数相差较大，可以用大数减去小数的若干倍，一直减到差比小数小为止，差和小数的最大公因数就是原来两数的最大公因数．例如：求92和16的最大公因数．92－16＝76，76－16＝60，60－16＝44，44－16＝28，28－16＝12，12和16的最大公因数是4，所以92和16的最大公因数就是4．9辗转相除法我们在求两个数的最大公约数时，通常的方法是短除，或者分别对两个数分解质因数，但是如果遇到两个比较麻烦的较大的数，比如：9193和3567，我们怎么办呢？我们的祖先很久之前就帮我们搞定了，那个时候信息不畅，东西方人都各自用了几乎相同的方法，分别记载于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题yⅠ和Ⅱ）和《九章算术》“更相减损术”中。

公因数短除法公因数短除法是一种求解最大公因数的算法，它是基于欧几里得算法的改进版。

欧几里得算法是通过递归地将较大的数除以余数，直到余数为0，得到最大公因数。

而公因数短除法则是在每一次求余的过程中，将余数除以最大公因数，以减小数值，从而提高算法的效率。

公因数短除法的原理和步骤：1. 用较大的数除以较小的数，得到余数。

2. 如果余数为0，则较小的数就是最大公因数。

3. 如果余数不为0，则将较小的数除以余数，得到商和新的余数。

4. 如果新的余数为0，则余数为最大公因数。

5. 如果新的余数不为0，则继续用余数除以商，得到新的商和余数，重复步骤4和5，直到余数为0。

例如，求解最大公因数gcd(60,24)：60 ÷ 24 = 2 余 1224 ÷ 12 = 2 余 0因此，gcd(60,24) = 12。

可以看出，公因数短除法比欧几里得算法更快，因为在每一次求余的过程中，它都将余数除以最大公因数，从而使数值减小，达到了快速收敛的效果。

而欧几里得算法则是直接递归地将较大的数除以余数，虽然也能得到最大公因数，但是在处理大数时，效率较低。

公因数短除法的应用：公因数短除法广泛应用于数论、代数、几何等领域。

它可以用于求解最大公因数、最小公倍数、约分、化简分式等问题。

例如，可以用公因数短除法求解以下问题：1. 求解最小公倍数lcm(24,60)：lcm(24,60) = 24 × 60 ÷ gcd(24,60) = 720 ÷ 12 = 60 因此，lcm(24,60) = 60。

2. 化简分式9x^2y^3/27xy^2：9x^2y^3/27xy^2 = (9/27) × (x^2/x) × (y^3/y^2) = 1/3 ×x × y = xy/3因此，9x^2y^3/27xy^2 = xy/3。

公因数短除法的优点：1. 算法简单易懂，容易掌握。

最大公因数短除法
最大公因数短除法是一种求解两个数的最大公因数的方法。

这种方法非常简单，只需要用较大的数除以较小的数，然后用余数再去除较小的数，直到余数为0为止。

最后被除数就是这两个数的最大公因数。

例如，求解36和24的最大公因数，可以按照以下步骤进行：
1. 用36除以24，得到余数12。

2. 用24除以12，得到余数0。

3. 因为余数为0，所以最大公因数为12。

这种方法的优点是简单易懂，不需要使用复杂的算法，适用于小数的求解。

但是，对于大数的求解，这种方法效率较低，需要进行多次短除运算，耗费时间较长。

除此之外，最大公因数短除法还有一些应用。

例如，在分数的约分中，可以使用最大公因数短除法来求解分子和分母的最大公因数，从而进行约分。

另外，在求解多项式的最大公因式时，也可以使用最大公因数短除法来进行计算。

最大公因数短除法是一种简单易懂的求解最大公因数的方法，适用于小数的求解和一些简单的应用场景。

但是，在求解大数或者复杂问题时，需要使用更加高效的算法来进行计算。

《用短除法求最大公因数和最小公倍数》教课方案马官镇中心学校教师姚娟设计理念本课是人教版第四单元《分数的意义和性质》中《最大公因数》和《最小公倍数》的内容，我把两个内容交融在一同进行对照教课，是为了让学生更为清楚地理解“求最大公因数和最小公倍数的方法及算理”，指引学生在教师解说、学生自主参加、发现、概括的基础上娴熟地用短除法去求几个数的最大公因数和最小公倍数。

教课内容用短除法求最大公因数和最小公倍数的方法。

教课目的1.知识与能力：理解最大公因数和最小公倍数的意义，学会用短除法求两个或三个数的最大公因数和最小公倍数的方法，掌握算理。

2.过程与方法：在探究求最大公因数和最小公倍数的过程中，经历察看、猜想、概括等数学活动，进一步发展初步的推理能力。

3.感情态度价值观：在探究沟通的学习过程中，使学生获取成功的体验，激发学生的学习兴趣。

教课要点求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法、算理。

教课难点求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法、算理。

教课准备多媒体课件教课过程：课前播放音乐：《快乐的节日》与学生沟通：同学们，喜爱这首歌吗知道歌名吗它叫《快乐的节日》，老师愿你们每日快乐！让我们快乐地进入今日的数学讲堂吧！一、复习导入1.什么是最大公因数（课件出示）指名生答后，课件出示最大公因数的观点：两个或多个整数公有因数中最大的一个。

2.什么是最小公倍数（课件出示）指名生答后，课件出示最小公倍数的观点：几个整数的公倍数中最小的那个数叫做这几个数的最小公倍数。

3.用例举法求12和18的最大公因数。

（课件出示）先让学生谈谈，而后老师概括,的因数有：1、2、3、4、6、12.的因数有：1、2、3、6、18.12和18的公因数有：1、2、3、6。

此中6是12和18的最大公因数。

问：同学们，这样做，你们不感觉麻烦吗还会用其余方法求吗生1:挑选法；生2：短除法师：这三种方法，哪一种方法更简易些师：用这三种方法都能够，可是，老师感觉用短除法来求最大公因数比较简易些，这节课我们就一同来学惯用短除法求最大公因数和最小公倍数。

用短除法求最大公因数的方法嘿，大家好，今天咱们来聊聊一个非常实用的话题——用短除法求最大公因数。

这听起来可能有点枯燥，但别担心，咱们把它说得轻松幽默一点，让你也能乐在其中。

想象一下，数学就像是一场冒险旅行，今天的目的地是“最大公因数”！哇，听起来真神秘，不过其实它就是两个数共同的“朋友”，简单明了，不复杂。

好吧，咱们开始吧！咱们得明白，什么是最大公因数。

哎，说白了，就是能同时整除两个或多个数的最大数。

就像你和朋友们一起聚餐，大家最喜欢的菜，能让所有人都满意的，那就是“最大公因数”啊！这玩意儿来得挺突然，让人摸不着头脑，但相信我，掌握了它，你就能在数学这条路上轻松走。

好了，咱们来看看如何用短除法来求最大公因数。

这可不是魔法，而是一种聪明的算法，简单明了。

比如说，假设你有两个数字，12和18。

把它们放在一个小圈圈里，就像两位朋友在聊天。

找出它们的公因数，先用较小的数去试试，12和18的公因数有几个呢？你可以先从2开始，因为2可真是个好朋友，12和18都能被它整除。

咱们来试试：12除以2，得6；18除以2，得9。

然后，再来看看6和9的关系，哦，6和9也可以被3整除。

继续试试，6除以3得2，9除以3得3。

再来看看2和3，这俩朋友可没有共同的朋友了，所以，咱们的最大公因数就是3！是不是感觉像是打了一场胜仗，心里美滋滋的？短除法的魅力就在于，它简洁、明了，不像那复杂的公式，让人眼花缭乱。

就像泡咖啡，越简单越好，咖啡和水就能冲出香浓的味道。

再举个例子，如果你有24和36，先用2去试试，哎，结果是12和18，再用3去，哦，结果是4和6。

4和6又能被2整除，最终结果是2。

是不是觉得这整个过程就像是解开一个个小谜题，越解越兴奋！用短除法的过程中，最重要的就是耐心。

这个耐心就像是在等着快递，有时候速度慢点，但最终会有惊喜的。

别着急，慢慢来，找到每个公因数，像探险一样，有趣得很！你会发现这过程其实也很像生活，总是需要你去细心观察，去发现那些隐藏的小秘密。