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定 义示例剖析轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.如图，等腰三角形ABC △是轴对称图形.注：在理解轴对称图形时．应注意以下几点：（1）一个图形被对称轴分成两部分，对折后能重合（即全等），这样的图形是轴对称图形．常见的有线段、角、等腰三角形、长方形、圆等．（2）轴对称图形的对称轴是一条直线．．，不是射线也不是线段，在叙述时应注意．（3）轴对称图形的对称轴条数至少有一条．否则不是轴对称图形．有的轴对称图形的对称轴条数是有限的．还有的有无限多条对称轴．知识互联网知识导航模块一 轴对称图形的认识与应用轴对称初步两个图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.如图，ABC△与'''A B C△关于直线l对称，l叫做对称轴.A和'A，B和'B，C和'C是对称点.注：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.轴对称的性质：1．关于一条直线轴对称的图形全等；2．对称点连成的线段被对称轴垂直平分．【例1】⑴在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A B C D⑵在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF．A BCA BCA BCCBA⑶正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．⑷下列图形中对称轴最多的是（）A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段⑸判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．⑹已知两条互不平行的线段AB和A′B′关于直线l对称，AB和A′B′所在的直线交于点P，下面四个结论：①AB=A′B′；②点P在直线l上；③若A、A′是对应点，则直线l垂直平分线段AA′；④若B、B′是对应点，则PB=PB′，其中正确的是（）夯实基础A ．①③④B ．③④C ．①②D ．①②③④【例2】 ⑴ 图1的长方形ABCD 中，E 点在AD 上，且∠ABE =30°．分别以BE 、CE 为折线，将A 、D 向BC 的方向折过去，图2为对折后A 、B 、C 、D 、E 五点均在同一平面上的位置图．若图2中，∠AED =15°，则∠BCE 的度数为（ ）A ．30°B ．32.5°C ．35°D ．37.5°⑵如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④⑶ 已知30AOB ∠=°，点P 在AOB ∠内部，1P 与P 关于OB 对称，2P 与P 关于OA 对称，则1P ，O ，2P 三点确定的三角形是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．腰底不等的等腰三角形D ．等边三角形定 义示例剖析线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为中垂线.EDC BA 如图，若AC BC =，AB CD ⊥，则直线DE 是线段AB 的垂直平分线.模块二 线段的垂直平分线知识导航能力提升图2图1ABCD EED④②线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.EDC BA如图，已知直线DE 是线段AB 的垂直平分线，则DA DB =.线段的垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.EDC BA如图，若DA DB =，则点D 在线段AB 的垂直平分线上.【例3】 ⑴ 如何用圆规与直尺作线段AB 的垂直平分线？⑵ 证明：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）.⑶ 证明：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定）.【例4】 ⑴ 如下图1，在△ABC 中，DE 是AC 的中垂线，AE =3cm ，△ABD 得周长为13cm ，则△ABC 的周长是 ．⑵ 如下图2，BD 垂直平分线段AC ，AE ⊥BC ，垂足为E ，交BD 于P 点，PE =3cm ，则P 点到直线AB 的距离是 ．夯实基础⑶ 如下图3，在ABC △中，90A ∠=︒，:2:3ABD DBE ∠∠=，DE BC ⊥，E 是BC 的中点，求C ∠的度数．图3图2图1ED CBAPE DCBAED CBA【例5】 ABC △的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，⑴若BC =8，求△ADE 的周长；⑵若150BAC DAE ∠+∠=︒，求BAC ∠．定 义示例剖析角平分线的性质定理：在角的内部平分线上的点到这个角的两边的距离相等．DFEO CBA如图，若射线OC 是∠AOB 的角平分线，则DE=DF ．角平分线的判定定理：在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上．DFEOCB A能力提升知识导航模块三 角平分线性质及常见辅助线模型（一）H FEDCB A如图，若DE=DF ，则OC 是∠AOB 的角平分线．角平分线的两种基本模型1． 点垂线，垂两边，对称全等要记全A BCDO12E已知：12∠=∠，CD OA ⊥，作CE OB ⊥于E ，则OCD OCE △≌△．2．角平分线+平行线，等腰三角形必呈现321OD CBA已知：12∠=∠，CD OB ∥交OA 于D ，则ODC △为等腰三角形（即OD CD =）．【教师铺垫】证明：⑴ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（角平分线的性质定理）．⑵ 在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上（角平分线的判定定理）．⑶ 三角形的三条内角平分线交于一点．（此点称之为三角形的内心）．⑷ 三角形的内心到三边的距离相等．（三角形内心性质）．夯实基础CPB ANM O CPBANMO【例6】 ⑴ 如图，已知ABC △的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC △的面积．⑵ 如图所示，2AB AC =，1∠2=∠，DA DB =. 求证：DC AC ⊥.【例7】 如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线，AD 的垂直平分线分别交AB 、BC 延长线于F 、E ，求证：⑴∠EAD =∠EDA ；⑵DF ∥AC ；⑶∠EAC =∠B ．训练1. D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F ，EG AC ⊥于G .求证：BF CG =.思维拓展训练(选讲)能力提升21ADCBA B C DE F O G ODCBAFAGEDCB训练2.已知：如图，ABC∠及两点M、N．求作：在平面内找一点P，使得PM PN=，且P点到ABC∠两边所在的直线的距离相等．NMBCA训练3.如图，在ABC△中，BD、CD分别平分ABC∠和ACB∠．DE AB FD AC∥，∥．如果6BC=，求DEF△的周长．训练4.已知：如图，在POQ∠内部有两点M、N，MOP NOQ∠=∠．⑴画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；⑵直接写出AM AN+与BM BN+的大小关系．知识模块一轴对称图形的认识与应用课后演练【演练1】⑴下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．实战演练FEDCBAMNQO④③②①答：图形__________；理由是__________．⑵ 画出下图所示的轴对称图形的对称轴：⑶ 如图是奥运会会旗上的五环图标，它有（ ）条对称轴．A ．1B ．2C ．3D ．4⑷ 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．A ．角B ．等边三角形C ．线段D ．不等边三角形⑸ 如图，它们都是对称的图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.【演练2】 如图，把ABC △纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 的外部时，则A ∠与1∠和2∠之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）． A ．12A ∠=∠-∠B ．212A ∠=∠-∠C ．3212A ∠=∠-∠D ．()3212A ∠=∠-∠知识模块二 线段的垂直平分线 课后演练【演练3】 如图，已知40AOB ∠=︒，CD 为OA 的垂直平分线，求ACB ∠的度数．21E ADCBO DC BA知识模块三角平分线性质及常见辅助线模型（一）课后演练【演练4】如图，BD CD=，90ABD ACD∠=∠=°，点E、F分别在AB、AC 上，若ED平分BEF∠．①求证：FD平分EFC∠；②求证：EF BE CF=+.【演练5】证明：三角形一个内角的平分线与另外两个外角的平分线交于一点．FEDC BA。
第五章轴对称的性质与作图本章进步目标★★★★★☆Level 5通过对本节课的学习，你能够：1.对轴对称的性质与判定达到【高级理解】级别；2.对垂直平分线与角平分线的相关概念达到【初级运用】级别；3.对路径最短问题达到【高级理解】级别。
VISIBLE PROGRESS SYSTEM进步可视化教学体系据说，古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。
有一天，一位将军向他请教了一个问题：从A地出发到河边饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短？如何确定饮马的地点？提起路线最短的问题，大家知道，连结两点之间的所有线中，最短的是线段。
这个题中马走的是一条折线。
这该怎么办呢？海伦的方法是这样的：取A关于河岸的对称点A'，连结A'B，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方。
将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，所走的路程就是最短的。
如果将军在河边的另外任一点C'饮马，所走的路程就是AC'+C'B，但是，AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB．可见，在C点外任何一点C'饮马，所走的路程都要远一些．这里有几点需要说明：(1)由作法可知，河流l相当于线段AA'的中垂线，所以AD=A'D。
(2)由上一条可知，将军走的路程就是AC+BC，就等于A'C+BC，而两点确定一线，所以C点为最优。
年轻朋友们喜欢打台球，实际上打台球无时无刻都需要应用海伦的妙法。
下面我们看一个有关打台球的实例。
若在矩形的球台上，有两个球在M和N的位置上。
假如从M打出球，先触及AB边E点，弹出后又触到CB边F点，从CB边再反射出来。
问用怎样的打法，才能使这个球反射后正好撞上在N点放置的球？具体做法是：先作M关于AB的对称点M’，再作N关于BC的对称点N’，那么M’N’和BC的交点为E，F；E、F就是球和各边的撞击点。
圆的专题三：无刻度直尺画图中的轴对称1.如图，在△AB C中AB=AC，D点为边BC的中点，（1）如图1，点P为边AB上面任意一点，请在AC上找一点Q，使得AQ=AP，保留作图痕迹，不用证明.图1图2图3图4【变式训练1】如图2，连AD，在AD上面画一点H，使得∠AHP=90°；【变式训练2】如图3，在AC上面画一点R，PR∥BC.（2）如图4，点F为线段BD上任意一点，请在CD上找一点G，使得CG=BF，保留作图痕迹，不用证明.【利用三线交于同一点解题】2.在三角形中，三边的高或高的延长线交于一点，这个交点我们叫做三角形的垂心，请根据上述性质，完成下列各题，不用说明理由，保留作图痕迹即可.(1)如图1，△ABC的各顶点在以AB为直径的半圆上，则△ABC的垂心是；(2)如图2，只用不带刻度的直尺（不能用圆规），从半圆外的C点向直径AB作垂线（不写画法）；(3)如图3，作图工具要求不变，从C点向直径AB的延长线作垂线（不写画法）；图1图2图33．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果），如图4，BC是⊙O的直径，A是⊙O内一点，画△ABC的高AD．【利用轴对称找相等的圆周角，再得弦相等】【2021元调】4．如图是由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙P经过A，B 两个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．（1）在图（1）中，⊙P经过格点C，画圆心P，并画弦BD，使BD平分∠ABC；（2）在图（2）中，⊙P经过格点E，F是⊙P与网格线的交点，画圆心P，并画弦FG，使FG＝FA．5．（1）如图1，已知：A、B为格点，C为圆上一点，求作∠ACB的平分线CD，交圆于点D；（2）如图2，已知：A、B、D均为格点，P为圆与格线的交点，在圆上求作一点B，使∠CAP=∠BAP.（3）A、P、B均为格点，C为圆与格线的交点，在圆上求作一点M，使得AC=MC.图1图2图36．如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上.用无刻度的直尺作图：（1）在图1中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l；（2）在图2中画出△ABC的外接圆的一条切线AD；（3）在图2中画出△ABC关于直线AB对称的△ABE；（4）在图2中若CE交AB于点H，画出平行四边形HACF.图1图2【利用圆周角定理或者圆内接四边形对角互补的性质画图】7．（本题8分）请仅用无刻度的直尺画图，不写作法，保留画图痕迹．（1）如图1，点O是等腰△ABC底边BC的中点，E是AB上一点，请在AC上作出点F，使EF∥BC；（2）如图2，△ABC为⊙O的内接三角形，请在AB，AC上分别作出点M，N，使MN∥BC；8.（本题8分）如图，已知A，B，C均在⊙O上，请用无刻度的直尺作图．（1）如图1，若点D是AC的中点，试画出∠B的平分线；（4分）（2）若∠A=42°，点D在弦BC上，在图2中画出一个含48°角的直角三角形.（4分）9．作图题：⊙O上有三个点A，B，C，∠BAC＝70°，请画出要求的角，并标注．（1）画一个140°的圆心角；（2）画一个110°的圆周角；（3）画一个20°的圆周角．【武昌区七校】10.图1、图2是正八边形，DH 是对角线，图3是圆内接正五边形，请用无刻度的直尺，完成下列要求（辅助线画虚线，要求所作的线画实线）：（1）如图1，在DH 上取点P ，使得PA ＝PB ；（2）如图2，在DH 上取点P ，使得PA+PB 最小；（3）如图3，在圆上取点P ，使得圆周角∠PAB ＝126°．11.【洪山区】(1)如图1，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC 的顶点在格点上，过点A 画一条直线平分△ABC 的面积(2)如图2，点E 在正方形ABCD 的内部，且EB＝EC，过点E 画一条射线平分∠BEC(3)如图3，点A、B、C 均在⊙O 上，且∠BAC＝120°，在优弧BC 上画M、N 两点，使∠MAN＝60°【三寄宿】12.请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画圏痕迹.(用虚线表示画图过程，实线表示画图结果)(1)如图1,在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A,B,请画出这个圆的一条直径;(2)如图2, ABC 内接于⊙O ,∠BAC=50°,在图中画一个含有50°的直角三角形;(3)如图3,BA,BD 是⊙O 中的两条弦，C 是BD 上一点，∠BAC=50°,在图中画一个含有50°角的直角三角形;F G H AB C D E 图1F G H A B C D E图2A C B D O E 图3。
1 一，画图：1.如图，在正方形网格上有一个△ABC. （1）作△ABC 关于直线MN 的对称图形（不写作法）； （2）若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC 的面积.2. (1) 如图所示编号为①、②、③、④的四 个三角形中，关于y 轴对称的两个三角形的编号为 ；关于坐标原点O 对称的两个三角形的编号为 ；(2) 在图4中，画出与△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 13、画出线段AB 的中垂线。
4、画出∠AOB 的角平分线。
5、在AB 上找一点P ，使P 到6、在直线MN 上找一点P 点，使PM 、N 两点的距离相等。
到射线OA 和OB 的距离相等。
(4)(3)(2)(1)yx -1-2-4-3-5-1-2-4-5-31243512435O y x -1-2-4-3-5-1-2-4-5-31243512435C B AOAB C MN 第21题A B BO A A B M N B O A N M2 7、如图，A 、B 、C 三点表示三个工厂，要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等。
8、如图，l 1、l 2交于A 点，P 、Q 的位置如图所示，试确定M 点，使它到l 1、l 2的距离相等，且到P 、Q 两点的距离也相等。
9、画出以下图形的对称轴。
10、画出以下图形的轴对称图形。
11、在铁路a 的同侧有两个工厂A 和B ，要在铁路边建一货场C ，使A 、B 两厂到货场C 的距离和最小，试在图上作出C 。
二，轴对称图形：1. 下列图形中,是轴对称图形的有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.从镜子中看到钟的时间是8点25分，正确的时间应是几点？( )A.3点25分B.3点30分C.3点35分D.3点45分3. 下列图案中，有且只有三条对称轴的是（ ）AB C A Q P l 2 l 1 Aa BA BC D A Bl l A B C D4. 下列图形中，是轴对称图形的有（）个.新-课-①角；②线段；③等腰三角形；④等边三角形；⑤三角形.A.1个B.2个C. 3个D.45．观察下列图案，是轴对称图形的是（）6.下列数中，成轴对称图形的有（）个A．1 B．2 C．3 D．47．如图所示，将一张正方形纸片经过两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（）．8．已知点P（－2，1），那么点P关于x轴对称的点P 的坐标是（）A．（－2，1）B．（－2，－1）C．（－1，2）D．（2，1）9．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（）A．等腰直角三角形B．正方形C．等边三角形D．长方形10.如图2所示是一张画有小白兔的卡片，卡片正对一面镜子，这张卡片在镜子里的影像是下列各图中的（）．图2 A B C D11．（2013•徐州）若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（）A．80°B．50° C．40° D．20°12．（2013•新疆）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．1813.（2013•武汉）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）A．18°B．24° C．30° D．36°14．（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°15．（2013•淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）34 C D A B A ．5B ．7C ．5或7D ．6三，经典练习：1． △ABC 中，AB=AC ，BC=5cm ，作AB 的垂直平分线交另一腰AC 于D ，连结BD ，如果△BCD 的周长17cm ，则腰长为（ ）A ．12cm ；B ．6cm ；C ．7cm ；D ．5cm ．2．如图，已知，△ABC 中AQ=PQ ，PR=PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则三个结论①AS=AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△QSP 中（ ）A ．全部正确B ．仅①和②正确C ．仅①正确D ．仅①和③正确3．已知，如图，∠C=90°，若∠1=∠2，BC=10，BD=6，则D 到AB 边的距离是4．如图，∠C=90°，DE 垂直平分AB ，∠1：∠2 = 2：3，则∠BAC= 度5. 如图，在ABC △中，90C ∠=，AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．6．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线，若BD=10，则CD=7．如图，△ABC 中，AB=AC ，DE 是AB 的垂直平分线， AB=8，BC=4，∠A=36°，则∠DBC= ，△BDC 的周长C △BDC = ．8.如图，△ABC 中,AB=AC,∠BAC=100°,AD ⊥BC 于D,求∠B,∠CAD 的度数.（9分）21D CB A 21 E D C B A第6题 第7题 第5题 B5。
