《简单的轴对称图形》第二课资料：尺规作图数学史

探究1：如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关 于x轴的对称点吗?
5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 1 2 3 4 5
·
A (2,3)
-2 -3 -4
· A ′(2,-3)
你能说出 点A与点 A’坐标的 关系吗？
中小学课件
在平面直角坐标系中画出下列各点关于x轴的对称 点.
2、已知点P(2a+b,-3a)与点P ′(8,b+2).
2 4 若点p与点p ′关于x轴对称，则a=_____ b=_______. -20 6 若点p与点p ′关于y轴对称，则a=_____ b=_______.
中小学课件
例2：四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A（-5、1） B（-2、1）C（-2、5）D（-5、4）分别画出与四 边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形。
解：点A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5)，D(-5，4)关于y轴对称点的坐标 分别为A′ (5,1), B ′(2,1),C ′(2,5) D ′(5,4).依次连接A ′ B ′,B ′ C ′,C ′ D ′, A ′ D ′,就得到四边形ABCD关于y轴对称的四边形A ′ B ′ C ′ D′,. 那么关于轴的各点坐标又是多少？该怎么画图呢？
中小学课件
小结：在平面直角坐标系中，关于x 轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反 数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,
纵坐标相等.
(x, － y). 点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为______ (－ x, y). 点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为______
5
你能说出 点A与点A ′ 坐标的关 系吗？
-4
A′ (-2,3)

A（-5，1），B（-2，1）， C（-2，5），D（-5，4），
Cy D
分别画出与四边形ABCD 关
于x 轴和y 轴对称的图形．
A B1 O1
x
例题解析
解：点（x，y）关于y 轴对称的点的坐标为（-x，y），因此 四边形ABCD 的顶点A，B，C，D 关于y 轴对称
的点分别为： A′（ 5 ， 1 ），
C y C′
D
D′
B′（ 2 ， 1 ）， C′（ 2 ， 5 ）， D′（ 5 ， 4 ），
A
B 1 B′ O1
A′ x
例题解析
解：依次连接 A′B′ , B′C′ , C′D′ , D′A′ ,
就可得到与四边形ABCD D C y C′ D′
关于y轴对称的四边形 A′B′C′D′ ．
A
B 1 B′ O1
2．画一个图形关于x 轴或y 轴对称的图形的方法和步骤． （1）求特殊点的坐标；（2）描点；（3）连线．
再见
已知点 A（2，-3） B（-1，2） C（-6，-5）D（4，0） E（0，-3） 关于x轴的
对称点
关于x轴、y轴对称的点的坐标规律
已知点 A（2，-3） B（-1，2） C（-6，-5） D（4，0） E（0，-3）
关于x轴的 对称点
A′（2，3） B′（-1，-2） C′（-6，5） D′（4，0）
（3）分别写出关于二、四象限角平分线的对称点．
（-2，-3）（-5，-6）（-4，3）（2 ， 3）
课堂练习
1．在平面直角坐标系中，已知点关于x 轴或y 轴的 对称点的坐标有什么变化规律？ 点（x，y）关于x 轴对称的点的坐标为（ x，-y ）；
点（x，y）关于y 轴对称的点的坐标为（ -x，y ）．

第五章生活中的轴对称3简单的轴对称图形（第2课时）一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过生活中的轴对称图形，对轴对称图形的特点及对称轴有所了解，并能通过折纸动手制作轴对称图形。

在本章前面一节课中，又学习轴对称现象，对轴对称和轴对称图形的概念有了进一步的了解，具备了动手操作的基本技能。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些折纸活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了从数学活动中积累数学经验的过程；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析（1）知识与技能1．本节通过实践操作与思考的有机结合，帮助我们认识简单的轴对称图形。

经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．2．探索并了解线段垂直平分线的有关性质．3．应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题．4．尺规作图。

（2）过程与方法本节知识是通过对现实生活情景中的轴对称现象引出课题，在观察生活的基础上，从生活实践中探索轴对称现象的共同特征，进一步发展空间观念，体会轴对称在生活中的广泛运用和丰富的文化价值。

因此，在学习中，首先要养成善于观察的习惯，从不同的情境中，通过思考、分析，总结共性，学会学习。

（3）情感态度与价值观1．培养学生的抽象思维和空间观念，结合教学进行审美教育，让学生充分感知数学美，激发学生热爱数学的情感。

2．结合教材和联系生活实际培养学生的学习兴趣和热爱生活的情感。

3．通过小组折叠协作活动，培养学生协作学习的意识和研究探索的精神。

三、教学设计分析按照学生的认识规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以实验发现法为主，直观演示法为辅。

教学中，精心设计了一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情境，诱导学生思考、操作，教师适时地演示，并用电教媒体化静为动，激发学生探求知识的欲望，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于自主探索、合作交流的积极状态，从而培养学生的思维能力。

“不一定”）是等腰三角形。
3.如图，已知直线MN是△ABC的边BC 的垂直平分线，MN与AB交于点P，已知 AB=9，AC=8，试求△PAC的周长。
MA
P
B
C
N
在一张半透明的纸上画一个∠AOB 1.不借助测量工具，你能画出∠AOB的平分线吗？
2. ∠AOB是轴对称图形吗？如果是，请说出它 的对称轴。
3.在∠AOB的平分线上任取一点，则该点到 ∠AOB两边OA，OB的距离相等吗？
（1）在一张纸上任意画一个角∠AOB ， 沿角的两边剪下
将这个角对折，使角的两边重合。
（2） 在折痕(即角平分线) 上任意取一点C;
B E
(3) 过点C折OA边的垂线，
CC
得到新的折痕CD，
其中点D是折痕与OA 的交点，即垂足。
1.探索并掌握线段垂直平分线的有关性质. 2.探索并掌握角平分线的有关性质.
思考 线段是轴对称图形吗？
你能用折纸的方法折出它的对称轴吗？
A
B
按照下面的步骤做一做：
（1）在纸片上画一条线段AB，
对折AB使点A，B重合， 折痕与AB的交点为O；
CC
（2）在折痕上任取一点C，
沿CA将纸折叠；
（3）把纸展开，得到折痕CA和CB AA O
O
AB
D
Байду номын сангаас
B
AA
(4) 将纸打开，新的折痕 与OB 的交点为 E 。
（1）角是轴对称图形吗？
如果是，请找出它的
对称轴；
（2）在上述的操作过程中，
你发现了哪些线段相等？
说说你的理由。
在折痕上另取一点，
O
再试一试。
E AB

D.50°
解析:因为等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°,所以 ∠ABC=80°,因为DE是线段AB的垂直平分线,所以AE=BE,所 以∠A=∠ABE=20°,所以∠CBE=∠ABC- ∠ABE=80°20°=60°.故选C.
3.如图所示,在△ABC中,BC=10,边BC的垂直平分 线分别交AB,BC于点E,D,BE=6,求△BCE的周长.
(3)由此你能得到什么结论?
线段是轴对称图形,垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴. 线段还有一条对称轴,它就是线段AB所在的直线.
线段垂直平分线的定义与性质
【活动内容一条线段,并且平分这条线段的直线,
叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线. 【活动内容2】
线段的对称性
【活动内容】 线段是轴对称图形吗?如果是,你能找出它的一条对称轴吗? 做一做:为了解决这个问题,请同学们拿出
准备好的纸,在纸上画出一条线段AB,对折AB
使点A,B重合,折痕与AB的交点为O. 想一想:(1)折痕两旁的部分能重合吗?线段是一个轴对称图形吗?这 条折痕是线段的对称轴吗?
(2)点O是线段AB的中点吗?折痕与线段AB垂直吗?为什么?
为AO=BO,∠AOM=∠BOM=90°,OM=OM,所以
△AOM≌△BOM,所以AM=BM.
线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点的距离相等.
尺规作图:作线段垂直平分线
已知:线段AB.
C
求作:线段AB的垂直平分线.
(1)分别以点A和B为圆心,任意长为半 径作弧,两弧相交于点C和D. (2)作直线CD.直线CD就是线段 AB的垂直平分线. 你能说明为什么所作的直线就是已知线段 的垂直平分线吗? 只要连接CA,CB,DA,DB就可以了,因为在△ADC和△BDC 中,AC=BC,AD=BD,CD=CD, 由SSS可知△ADC≌△BDC,得到∠ACD=∠BCD,再由等腰三角形的 “三线合一”就可知道CD是AB的垂直平分线.

初中尺规作图数学史尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中.初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴ 经过两已知点可以画一条直线；⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1r 时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴ 正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵ 四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA==.3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？m【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置.⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例2】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】 设半径为1..我们的任务就是做出这个长度..设法构造斜边1.【解析】 具体做法：⑴ 随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2.可算出顶点距圆心距离）的长度等分圆周就可以啦！⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例3】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.c b aD'DC B Acb a【分析】 假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b⊥于D ，将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法：⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ；⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ；⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧).⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆.ABC ∆即为所求.⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例4】 已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.C B AG'F'E'D'GF E D C B A【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】 作法：⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上.⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E .⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D .则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例5】 如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.【分析】 因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面积，在AMC ∆中先割去AMP ∆，再补上ANP ∆.只要NM AP ∥，则A M P ∆和AMP ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.【解析】 作法：⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ;⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ；⑶ 过P 、N 作直线l .直线l 即为所求. NM P CB Al。

解∴(2)2:若a－A(1、b)∵＝B关点2b于A－、y1轴，B关对于称5＋x，轴a－对求a称＋(，4ba＝＋0b，据)20解关16决的于此x值轴类．、题y可轴根对
解得a＝－8， b＝－5.
称的点的特征列方
(2)∵A、B关于y轴对称，
程(组)求解．
∴2a－b＋2b－1＝0， 5＋a＝－a＋b，
解得a＝－1， b＝3，
随堂即练
7.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3， 5)，B(- 4， 1)，C(-1
， 3)，
y
作出△ABC关于y轴对称的图形.
解: 点A(-3，5)，B(-4，1)， A
随堂即练
5.已知点P(2a+b，-3a)与点P′（8，b+2). 若点P与点P′关于x轴对称， 则a=2_____， b4=_______. 若点P与点P′关于y轴对称， 则a=6_____ ， -b2=0_______. 6.若|a-2|+(b-5)2=0， 则点P (a， b)关于x轴对 称的点的坐标(2为，_-_5_)_____.
新课讲解
问题3: 如图， 在平面直角坐标系中你能画出点A 关于y轴的对称点吗? y
A′(-2，3)
A (2，3)
你能说出点A 与点A'坐标的 关系吗？
O
x
新课讲解
做一做: 在平面直角坐标系中画出下列各点关于y轴的对 称点.
y
(x ，
y)
关于 y轴 对称
( -x，y
)
B(-4，2) O
C '(3，4)
点关于已知直线的对称点吗?
（1）过点A作AO⊥MN，
M
垂足为点O;
（2）延长AO至A′， 使OA′=AO.

D1 B1
（2）连接C、C1的线段与直线m有什么关系？ (3)线段AB与线段A1B1有什么位置关系和大小关系？
(4)∠D与∠ D1有什么关系？说说你的理由。
21
做一做：
右图是一个轴对称图形：
（1）你能找出它的对称
D
D/
轴吗? （2）连接点A与点A/的 A
3
4
C
C/
A/
线段与对称轴有什么关 B
B/
系？连接点B与点B/的
所在的直线。
B E
CC
A B D AAA
CE=CD 角的平分线上的点 到这个角的两边的距离 相等。
9
B
随 练习
随堂p1练93 习
接拓展练习
1、如图，在Rt△ABC 中，BD是∠B 的平分线 ，
DE⊥AB，垂足为E， DE与DC 相等吗？ 为什么？
EA
答： DE=BC。
D
∵ DC⊥BC，垂足为E，
∵ DE⊥BA，垂足为E， B
在职场中，凯勒时常告诫自己的手下：“永远不要丢弃你的同伴，尤其是在火场中。”许多次，他为了保护战友，工作时都是自己率先冒着生命危险冲进去。然而，他却没有将这句真理应用在自己的婚姻生活中，在经历过了无数次激烈的争吵冷战后，离婚似乎成了他们唯一的选择。 凯勒的父亲不忍心看着他们婚姻破裂，他给了儿子一个《爱的挑战40天》的手抄本，恳请儿子按照上面写的做法，花40天的时间修复一下夫妻感情，为挽救自己的婚姻做最后的努力。他告诉儿子，他并不是不爱妻子了，只是忘记了怎样去爱。凯勒答应了，在工作之余，他照本宣科地做起了笔记上的事，在妻子发火的时候不抱怨、为妻子准备一顿早餐，在妻子生病时，贴心倒水喂药，泡咖啡、洗碗、打扫卫生、买鲜花、烛光晚餐…… 凯勒原本对这段挑战很抵制，后来却在日复一日的坚持中悟出了婚姻的真谛，他重新审视了一切，明白了自己婚姻破碎的原因，是因为不懂得如何维护两人之间的感情。面对丈夫的点滴变化，凯瑟琳最初不为所动，认为那些不过是丈夫不想离婚暂时使出的小伎俩。凯勒并不放弃，依旧打起12分精神继续坚持着，他一点一点填补着夫妻之间的鸿沟，慢慢融化着妻子被尘封的心，后来，妻子终于重新戴上了婚戒。两个人回到了往昔的甜蜜时光，经历这次婚姻危机，他们学会了在婚姻中要有爱的表达，才能守住幸福。

(3) ∵ AD是角平分线 ∵_A__D_ ⊥_B__C_;__B_D__=_C__D_
A DC
3、如图，P、Q是△ABC边上的两点，且 BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数。
A
B
P
Q
C
4、P195 随堂练习
谈一谈
同学们，学了这节课你最想说什么？
认识了等腰三角形和等边三角形 1、等腰三角形是轴对称图形，
等腰三角形“三线合一” 等腰三角形的两个底角相等。 2、如果一个三角形有两个角相等， 那么它们所对的边也相等。
某开发区新建了两片住宅区:A区、B区 （如图）.现在要从煤气主管道的一个地方建 立一个接口,同时向这两个小区供气.请问,这个 接口应建在哪,才能使得所用管道最短?
B 小区
A小区
煤气主管
）
道）
通过做一做，你有什么发现？
等腰三角形是轴对称图形， 请找出它的对称轴；
顶
腰角
腰
底角 底角 底边
1、等腰三角形是轴对称图形。
A
2、等腰三角形顶角的平分
线、底边上的中线、底边上
12
的高重合（也称为“三线合
一”），它们所在的直线就
是等腰三角形的对称轴。
B
Cபைடு நூலகம்
3、等腰三角形的两个底角相
D
等。
如果一个三角形中有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等吗？
数学：15.2简单的轴对 称图形课件 （冀教版八
年级上）
找出图中的对称轴：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
顶
腰角
腰
底角 底角 底边
按下面的步骤做一做
1、将长方形纸片对折
2、然后沿对角线折叠， 再沿折痕剪开

C D
A
E
B
图（1）
线段垂直平分线 上的点到这条线 段两个端点的距
离相等．
Байду номын сангаас
拓展应用：
2、某个星期天，凌霄中学初一年级的 同学参加义务劳动，每两个班的同学为 一组，分别在Ａ、Ｂ、Ｃ三处劳动。为 了方便同学，现要在劳动工地确定一个 茶水供应点Ｐ，使得到Ｐ到Ａ、Ｂ、Ｃ 三处的距离相等，请你帮助确定Ｐ点的 位置，并说说你的理由。
找一找
在上述操作中，你发现了哪些相
等的线段？把你的理由告诉大家。
答：在△COD与△COE中，
CD=CE
AM
D
∠ODC = ∠OEC
P
∠COD = ∠COE
OC= OC
△AOB≌△ DOC（SAS）
CD= CE
C
O
E
N
B
OD=OE
知识点一：角平分线的性质
A
D
角平分线上的点
C
O
E
到这个角的两边 的距离相等
B
∵ OC是∠AOB的平分线
且DE⊥AB DC⊥BC
∴ CD＝CE
练一练
A
2cm
P O
？
B
角平分线上 的点到这个 角的两边的
距离相
等．
已知：点P为∠AOB的角平分线上的一 点，它到OA的距离为2cm，那么它到
OB的距离是_____2_c_m___________。
试一试
如图，在Rt△ABC中， BD是∠ABC的平分线， DE⊥AB ,垂足为E。DE 与DC相等吗？为什么？
解：连结ＡＢ、ＢＣ 分别作ＡＢ和ＢＣ中 垂线，交于点Ｐ，Ｐ Ｂ
即为所求的点。

2. 过点C、D作直线C、D。
故直线CD就是线段AB的垂直平分线。
1. 如图，直线l表示一条公路，点A和点B表示
两个村庄。现要在公路上造一个加油站到两个
村庄的距离相等， 问加油站应建在何 处？请在图上标明
B.
这个地点，并说明
理由。
A.
2. 有 A, B ,C 三农户准备一起挖一口
井，使它到三农户家的距离相等. 这口
大
家
再
看
看
左
面
两
组
图 形
•每一组里，左边的图形沿直线对折后与 右边的图形完全重合吗？
由一个图形变为另一个图形，并使这两 个图形沿一条直线折叠后能够互相重合，这 样的图形改变叫做图形的轴对称。
这条直线就是对称轴。
成轴对称的两个图形是全等图形。
在图形中标出点和关于直线的对称点
A D
BC
C B
A
D
轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系
如果把轴对称图形沿对称轴 如果把两个成轴对称的图形 分成两部分,那么这两个图形 拼在一起看成一个整体,那 就关于这条直线成轴对称. 么它就是一个轴对称图形.
请用轴对称的知识把下列图形进行归 类，并帮它们找到家。
一般等腰三角形
一般长方形
一般平行四边形
等腰梯形
一般三角形
等边三角形
圆
一般梯形
正方形
一条对称轴 一般等腰三角形A源自OB尺规作图
在几何作图中，我们把没有刻度 的直尺和圆规作图。简称尺规作图。
据传为了显示谁的逻辑思维能力更强， 古希腊人限制了几何作图的工具，结果一 些普通的画图题让数学家苦苦思索了2000 多年。
尺规作图特有的魅力，使无数人沉湎 其中。