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运筹学 第2章_运筹学线性规划灵敏度分析

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《运筹学》胡运权 第4版 第二章 线性规划的对偶理论及灵敏度分析

《运筹学》胡运权 第4版 第二章 线性规划的对偶理论及灵敏度分析

b2 bm
x1, x2 , , xn 0
对 称 形 式 的
的 定 义
m W ib 1 n y 1 b 2 y 2 b m y m 对
s.t.
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 y1 c1
am2 y2 amn ym
c2 cn
偶 问 题
y1, y2 , , ym 0
a23 x3 a33 x3
b2 b3
x1 0， x2 0， x3无 约 束
（2.4a） （2.4b） （2.4c） （2.4d）
先转换成对称形式，如下：
的 的一个变量，其每个变量对应于对偶问题 的一个约束。
定
义
m Z a c 1 x 1 x c 2 x 2 c n x n 一
对 偶
a11x1 a12x2 a1n xn (,)b1
a2
1x1
a22x2
a2n xn
(, )b2
般 线 性
问 题 的 定 义
am1x1 am2 x2 amnxn (,)bm xj 0( 0,或符号不限) j 1 ~ n
问题。
对
对偶问题是对原问题从另一角度进
偶
行的描述，其最优解与原问题的最 优解有着密切的联系，在求得一个
原
线性规划最优解的同时也就得到对 偶线性规划的最优解，反之亦然。
理
对偶理论就是研究线性规划及其对 偶问题的理论，是线性规划理论的
重要内容之一。
问 题 的 导 出
例2-1
我们引用第一章中美佳公司的例子，如表1
的
x1, x2, , xn 0
对
m W ib 1 n y 1 b 2 y 2 b m y m

管理运筹学_第二章_线性规划的图解法

管理运筹学_第二章_线性规划的图解法

线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的

运筹学第2章对偶理论和灵敏度分析-第4节

运筹学第2章对偶理论和灵敏度分析-第4节

1 y1 2 y2 3 y3
x1 0, x2,x3 0, x4无约束
则由表2-4中原问题和对偶问题的对应关系， 可以直接写出上述问题的对偶问题，
max z ' 5 y 1 4 y 2 6 y 3
y1 2 y2
2



y1 3 y1
2 y2
综合上述，线性规划的原问题与对偶问题 的关系，
其变换形式归纳为表2-4中所示的对应关系。
原问题
目标函数 max z
n个
变 0
量

0
无约束
约 m 个
束


0
条


0
件
约束条件右端项
目标函数变量的系数
对偶问题
目标函数 min
n个 约
束

证：由性质（2）可知，
YbCX ,是不可能成立。
例：
LP:
DP:
maxzx1 x2
mi n4y1 2y2
2xx11xx22
4 2

2yy11yy22
1 1
x1,x2 0
y1,y2 0
从两图对比可明显看到原问题无界， 其对偶问题无可行解
j1

x
j

0,
j

1 ,2 ,
,n
第一步：先将等式约束条件分解 为两个不等式约束条件。
n
maxz cj xj j1


n
aijxj bi j 1,2,,m 213
j1


n
ai j x j
bi ,
i

运筹(第二章对偶与灵敏度分析)(1)

运筹(第二章对偶与灵敏度分析)(1)

5x2 3x3 30
x1 0, x2无约束，x3 0
2023/2/22
17
解：将原问题模型变形, 令x1 x1
min z 7x1 4x2 3x3
4x1 2x2 6x3 24
3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30
y1 y2 y3
x1 0, x2无约束，x3 0
则对偶问题是
max w 24 y1 15y2 30 y3
4 y1 3y2
7
x1
2 y1 6 y2 5 y3 4
x2
6 y1 4 y2 3x3 3
x3
y1, y2 0, x3无约束
2023/2/22
18
小结：对偶问题与原问题的关系：
目标函数：MAX
原 约束条件：m个约束
对
问
y1 y2
ym
2023/2/22
12
类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对 应一个“ 对偶变量”，它就相当于给各资源的单 位定价。于是我们有如下的对偶规划：
min W b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a12y1 a22y2 am2ymc2 a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1, y2 ,, ym 0
分别是原问题和对偶问题的可行解，则恒有
n
m
c j x j bi yi
j 1
i 1
m
n
考虑利用 c j aij yi 及
aij x j bi
i 1
j 1
代入。
2、无界性 如果原问题（对偶问题）有无界解，则
其对偶问题(原问题）无可行解。
2023/2/22

运筹学 第二章 灵敏度分析

运筹学 第二章 灵敏度分析
改进多少，才能得到该决策变量的正数解。0表示不需再改进。
目标式系数： 指目标函数中的系数 允许增量、允许减量：表示目标函数中的系数在允许的增
量与减量范围内变化时，原问题的最优解不变。
450和1E+30的含义是什么？
2.2.2 图解法
x2
8 7 6 5 4 3 2 1
0<=c1<=750
（2,6）是最优解
2.4.2 图解法——改变车间2的约束
x2 改变车间1的约束又会是如何的？
2x2=18
8 7 6 5 4 3 2 1
（2,6）是最优解
2x2=12
可行域
2x2=6
1 23 4 5 6 7 8
x1
2.5 多个约束右端值同时变化的灵敏度分析
分析1小时的工时从车间3移到车间2，对总利润所产生的 影响。 那么，根据影子价格，可知总利润变化量如下： 车间2: 12-->13，利润增加？元 车间3: 18-->17，利润减
课本P50，例2.3，回答五个问题
1. 产品甲的单位利润将会在3.8万元~5.2万元之间波动，公司该 如何应对这种情况，提前对生产格局做好调整预案？
2. 当资源A的限额（储备量）在42~46之间变化时，对线性规划 的影响？ 3. 材料B在最优生产格局中出现了12.5单位的剩余，那么应如何 重新制定限额，做好节约工作？ 4. 若公司停止生产，把各种原材料变卖。该如何决策？

max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
现从另一角度提出问题。假定某A公司想把该工厂的资源收购过 来，它至少应付出多大代价，才能使该工厂愿意放弃生产活动， 出让自己的资源？显然该工厂愿意出让自己资源的条件是：出让 代价应不低于用同等数量资源由自己组织生产活动时获取的赢利。 设分别用y1、y2、y3代表单位时间车间1、车间2、车间3的出让代 价，因该工厂用1小时车间1和3小时车间3可生产1扇门，赢利300 元；分别用2小时车间2和车间3可生产1扇窗，赢利500元，由此， y1、y2、y3的取值应满足： y1 + 3y3 ≥ 300 2y2 + 2y3 ≥ 500

运筹学-线性规划灵敏度分析_图文

运筹学-线性规划灵敏度分析_图文
在目前计算机普及率很高的情况下，通常的方法是程序 中修改A后重新计算成即可。
例2.1 在例1.1中新增一种产品:防盗门
例2.2 在例1.1中新增一个约束：电力限制
作业:P50—52,1,3,5
运筹学 小结： 一般信息的变化： 价值向量—市场变化 右端向量—资源变化 系数矩阵—技术进步
线性规划
C的变化只影响检验数（对偶问题的解），不影响原问题 的基本解；
格，所以它们所需要的主要原料（木材和玻璃）、制作时间、最大销售量与利润均 不相同。该厂每天可提供的木材、玻璃和工人劳动时间分别为600单位、1000单位 与400小时，详细的数据资料见下表。问： （1）应如何安排这四种家具的日产量，使得该厂的日利润最大？ （2）家具厂是否愿意出10元的加班费，让某工人加班1小时？ （3）如果可提供的工人劳动时间变为398小时，该厂的日利润有何变化？ （4）该厂应优先考虑购买何种资源？ （5）若因市场变化，第一种家具的单位利润从60元下降到55元，问该厂的生产计 划及日利润将如何变化？
表1 雅致家具厂基本数据
家具类型 1
劳动时间 （小时/件）
2
木 材（单 位/件）
4
玻 璃（ 单位/件）
6
单位产品利 润（元/件）
60
最大销售量 （件）
100
2
1
2
2
20
200
3
3
1
1ห้องสมุดไป่ตู้
40
50
4
2
2
2
30
100
可提供量
400小时
600单位
1000单位
解：依题意，设置四种家具的日产量分别为决策变量 x1,x2,x3,x4,目标要求是日利润最大化，约束条件为三 种资源的供应量限制和产品销售量限制。

运筹学线性规划灵敏度分析教学案例

2020/8/1
多个资源系数同时变动分析
例如，将 1 个小时的用工时间从3车间移到2车间，对总利润 产生什么影响？
总利润增加 3650 - 3600 = 50 元， 而目标系数未变，所以最优解肯定 发生变化，
2020/8/1
百分之百法则
如果约束右端值同时变动，计算出每一变动占允许变动量的 的百分比，如果所有的百分比之和不超过100%，那么，影子 价格依然有效；否则，就无法确定。
2020/8/1
灵敏度分析的概念
LP 问题的系数有 aij、bi 、 cj，这些系数往往是估计值 或预测值。
市场条件变化， cj 值就会变化；工艺条件和技术水平改 变， aij 就变化； bi 是根据资源投入后的经济效果决定的一种 选择，市场供应条件发生变化时，亦会改变。
提出问题:
• 当 LP 问题的系数有一个或几个发生变化时，已求得的最优 解会有什么变化； • 这些系数在什么范围内变化时，LP 问题的最优解不会变化。
再改变参数
最优解变了
2020/8/1
那么，保持最优解不变的价值系数允许 变化范围？
改变最优解的临界值是什么呢？
敏感性报告
在“规划求解结果”中 选定“敏感性报告”。 得到一个工作表：
2020/8/1
敏感性报告
最优解
目标函数系数
“递减成本” --- 表示目标函数的系数必须改变多少，才能使 决策变量有正数解。 “允许的增量”和“允许的减量” --- 给出最优解不变的范围。 如门的系数范围： 0≤c1≤750；窗的系数范围：c2≥200
2020/8/1
资源数量变化的分析
考虑只有一个右段值 bi 改变：2 车间可用工时由原来的 12小 时增加到 13 小时，最优解如何变化呢？再变化呢？

运筹学习题解答(chap2)(1)(1)

第二章 对偶问题与灵敏度分析一、写出下列线性规划的对偶问题1、P89,(a)321422m in x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≥++.,0,;534;332;243321321321321无约束x x x x x x x x x x x x解：原模型可化为321422m in x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≥≥++.,0,;534;3-3--2-;243321321321321321无约束x x x y y y x x x x x x x x x 于是对偶模型为321532m ax y y y W +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+-≤+-.,0,;4334;243;22321321321321无约束y y y y y y y y y y y y2、P89,(b)321365m ax x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++.0,0,;8374;35;522321321321321x x x x x x x x x x x x 无约束解：令033≥-='x x 原模型可化为321365m ax x x x Z '-+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥'≥≤'+≤'='+.0,0,;83-74;3--5-;52-2321321321321321x x x y y y x x x x x x x x x 无约束于是对偶模型为321835m in y y y W +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥---≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束二、灵敏度分析1、P92, 线性规划问题213m ax x x Z += ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,1025;74212121x x x x x x最优单纯形表如下试用灵敏度分析的方法，分析：（1） 目标函数中的系数21,c c 分别在什么范围内变化，最优解不变（2） 约束条件右端常数项21,b b 分别在什么范围内变化，最优基保持不变解：（1） 1c 的分析：要使得最优解不变，则需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⨯-⨯+=≤⨯+⨯-=034131003513201413c c σσ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥42511c c 所以：4251≤≤c 时可保持最优解不变。

运筹学第二章24灵敏度分析


（3）其他情况讨论： 某个产品工艺参数改变； 新品代替原产品等；
（2） N =？
舍弃中间计算过程
只考察初始表和最终表
B-1 = AB-1
2、价值系数C发生变化的情况： （1）当cj是非基变量的价值系数——它的变 化只影响 j 一个检验数。 ≤0 1 j c j CB B Pj ≥0 要进行基变换码？
j c j c j CB B Pj ≤ 0
' 1
c j ≤ CB B1 Pj c j
非基变量的价格系数变化，在原最优解 不变的条件下，确定的变化范围。
（ 2 ）当cj是基变量的价值系数 —— 它的变化 将影响所有非基变量的检验数. 1 N C N CB B N 当cj变化时，如能保持 0 ，则当前解仍 N 为最优解，否则可用单纯形法继续迭代求出 新的最优解。 1 C C B N 0 将cj看作待定参数，令 N N B 解这n-m个不等式，可算出保持最优解不变 时cj的变化范围 ！ 基变量的系数变化，仍用c2代表x2的价值系 数（看成待定参数），原最优表格即为：
(2) 增加1个约束条件： 相当于系数阵A增加1行 首先将原最优解代入新增约束检查是 否满足？是，则说明新增约束不影响最 优解。否则再作下面的讨论：

将新增约束标准化，添加到原最优表 格中（相当于约束矩阵新增1行）；


进行规格化处理 —— 用矩阵的行变换 将当前基变成单位阵； 用适当方法（通常是对偶单纯形法） 进行迭代求出新的最优解。
（1）增加1个新变量：相当于系数阵A增加1列 如开发出一种新产品，已知其有关工艺参数 （或消耗的资源量）和单位产品利润，设该种 产 品 的 产 量 为 xk ， 则 ck 和 Pk 已 知 ， 需 要 进 行 “是否投产”的决策。

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13
2
y3
2 3
题
y1符号不限, y 2 0, y3 0
非 对 偶 形 式 旳 原对 偶 问 题
例2-4 写出下列问题旳对偶问题
max z c1x1 c2 x2 c3x3
a11x a12 x a13x3 b1
s.t.
a21x1 a31x1
a22 x2 a32 x2
a23 x3 a33 x3
出让自己旳资源？
问 题 旳 导 出
例2-1
条件：出让代价应不低于用同等数量资源由自己组织生 产活动时获取旳获利。
y1,y2,y3分别代表单位时间（h）设备A、设备B和调试工 序旳出让代价。 y1,y2,y3旳取值应满足：
6y 2
y 3
2
5y 1
2y 2
y 3
1
美佳企业用6h设备B和1h调试可 生产一件家电I,获利2元
y1, y2 , y3 0
LP1和LP2两个线性规划问题，一般称LP1为原问题， LP2为前者旳对偶问题。
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
对 偶 问 题
s.t.
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
amn xn bm
规 划 问
minW b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym (, )c1
a12y1
a22 y2
am2
ym
(,
)c2
题 旳 对 偶 问
a1n y1 a2n y2 amn ym (, )cn
题
y j 0(符号不限,或 0)i 1 ~ m
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使用Excel进行灵敏度分析 影子价格的经济意义和应用
RUC, Information School, Ye Xiang
本章节内容
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 线性规划灵敏度分析 单个目标函数系数变动 多个目标函数系数同时变动 单个约束右端值变动 多个约束右端值同时变动 约束条件系数变化 增加一个新变量 增加一个约束条件 影子价格 （Shadow Price）
2.4 单个约束右端值变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
单个约束右端值变动对目标值的影响 如果车间2的可用工时增加1个小时， 总利润是否会发生变化？如何改变 ? 最优解是否会发生变化? 方法 1 ：使用电子表格进行分析（重 新运行“规划求解”工具） 方法 2 ：从“敏感性报告”中获得关 键信息（影子价格，Shadow Price）
第2章 线性规划 灵敏度分析
实用运筹学 －运用Excel建模和求解
第 2章 线性规划灵敏度分析 Sensitivity Analysis for Linear Programming
RUC, Information School, Ye Xiang
第2章 线性规划 度分析的概念和内容
13 12 18 17 1 ( )( ) 33.3% 6 6 3
RUC, Information School, Ye Xiang
2.5 多个约束右端值同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
在影子价格有效范围内，总利润的变化量 可以直接通过影子价格来计算。 比如将车间 3 的 3 个工时转移给车间 2 ，由 于
RUC, Information School, Ye Xiang
第2章 线性规划 灵敏度分析
本章主要内容框架图
第2章 线性规划 灵敏度分析
单个 目标函数系数变动 多个 单个 约束右端值变动 多个 影子价格 内容 约束条件系数变化 灵敏度分析 增加新变量 增加新约束条件 影子价格的经济意义和应用 重新运行规划求解 方法 运用敏感性报告
2.2 单个目标函数系数变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
下面讨论在假定只有一个系数cj改变，其他 系数均保持不变的情况下，目标函数系数 变动对最优解的影响。 如果当初对门的单位利润估计不准确，如 把它改成500元，是否会影响求得的最优解 呢？ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运行 “规划求解”工具） 方法2：运用“敏感性报告”寻找允许变化 范围
图解法（直观）
可以看到， 0 c1 750
最优解（2，6） 保持不变
RUC, Information School, Ye Xiang
2.3 多个目标函数系数同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
假如，以前把门的单位利润（300元）估计 低了，现在把门的单位利润定为450元；同 时，以前把窗的单位利润（500元）估计高 了，现在定为400元。这样的变动，是否会 导致最优解发生变化呢？ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运行 “规划求解”工具） 方法2：运用“敏感性报告”进行分析（百 分之百法则）
2.5 多个约束右端值同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
方法 1 ：使用电子表格进行分析 （重新运行“规划求解”工具）
总利润增 加了36503600=50 （元）， 影子价格 有效。
RUC, Information School, Ye Xiang
2.5 多个约束右端值同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
（车间1） （车间2） （车间3） （非负）
最优解为（2，6）， Max z＝3600 RUC, Information School, Ye Xiang
2.1 线性规划灵敏度分析
第2章 线性规划 灵敏度分析
问题 1 ：如果门的单位利润由原来的 300 元提升到 500 元， 最优解是否会改变？对总利润又会产生怎样的影响? 问题 2 ：如果门和窗的单位利润都发生变化，最优解会不 会发生改变？对总利润又会产生怎样的影响? 问题 3 ：如果车间 2 的可用工时增加 1 个小时，总利润是否 会发生变化？如何改变? 最优解是否会发生变化? 问题 4 ：如果同时改变多个车间的可用工时，总利润是否 会发生变化？如何改变? 最优解是否会发生变化? 问题5：如果车间2更新生产工艺，生产一扇窗户由原来的 2小时下降到1.5小时, 最优解是否会发生改变？总利润是 否会发生变化？ 问题 6 ：工厂考虑增加一种新产品，总利润是否会发生变 化？ 问题 7 ：如果工厂新增加用电限制，是否会改变原来的最 优方案？ RUC, Information School, Ye Xiang
多个约束右端值同时变动对目标值 的影响 将 1 个小时的工时从车间 3 移到车间 2 ，对总利润所产生的影响 方法 1 ：使用电子表格进行分析（重 新运行“规划求解”工具） 方法 2 ：运用“敏感性报告”进行分 析（百分之百法则）
RUC, Information School, Ye Xiang
( 300 150 500 250 )( ) 133% 300 300
变动百分比超过了100%， 但从右图看最优解还是（2， 6），没有发生改变。这是 由于这两个单位利润同比 例变动，等利润直线的斜 率不变，因此最优解就不 变。
RUC, Information School, Ye Xiang
RUC, Information School, Ye Xiang
2.4 单个约束右端值变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
方法2：从“敏感性报告”中获得关键信息 在给定线性规划模型的最优解和相应的目标函 数值的条件下，影子价格（Shadow Price）是 指约束右端值增加（或减少）一个单位，目标 值增加（或减少）的数量
第二个约束条件 （车间2的工时约束） 的影子价格是150， 说明在允许的范围 [6，18]（即[12-6， 12+6]）内，再增加 （或减少）一个单 位的可用工时，总 利润将增加（或减 Ye Xiang 少）150
RUC, Information School,
2.4 单个约束右端值变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
15 12 18 15 ( )( ) 100% 6 6
所以，总利润的变化量为
(15 12) 150 (18 15) 100 150
RUC, Information School, Ye Xiang
2.6 约束条件系数变化
450 300 500 400 2 ( )( ) 66.67% 450 300 3 RUC, Information School, Ye Xiang
2.3 多个目标函数系数同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
但是变动百分比之和超过 100% 并不一 定表示最优解会改变。例如，门和窗 的单位利润都减半
图解法（直观）
可以看到， 6 b2 18 在这个范围内，每 次车间的约束右端 值增加（或减少） 1 ，交点的移动就 使利润增长（或减 少）影子价格的数 量（150元）
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2.5 多个约束右端值同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
方法2：运用“敏感性报告”进行分析 百分之百法则：如果约束右端值同时变动， 计算每一变动占允许变动量（允许的增量或 允许的减量）的百分比，如果所有的百分比 之和不超过100%，那么，影子价格依然有效 ，如果所有的百分比之和超过 100 ％，那就 无法确定影子价格是否依然有效，只能通过 重新运行“规划求解”工具来判断了
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2.3 多个目标函数系数同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
方法2：运用“敏感性报告”进行分析 百分之百法则:如果目标函数系数同时变 动，计算出每一系数变动量占该系数允 许变动量（允许的增量或允许的减量） 的百分比，而后，将各个系数的变动百 分比相加，如果所得的和不超过 100% ， 则最优解不会改变；如果超过 100% ，则 不能确定最优解是否改变，只能通过重 新运行“规划求解”工具来判断了
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2.1 线性规划灵敏度分析
第2章 线性规划 灵敏度分析
在第1章的讨论中，假定以下的线性规划 模型中的各个系数 cj、 bi、 aij是确定的常 数，并根据这些数据，求得最优解。
Max(Min) z cj xj
j 1
n
n L m , aij x j ( , ) bi (i 1, 2, s.t. j 1 x 0 ( j 1, 2, L n , ) j
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2.1 线性规划灵敏度分析 对例1.1进行灵敏度分析 Max z 300 x1 500 x2
第2章 线性规划 灵敏度分析
4 x1 2 x2 12 s.t. 3 x 2 x 18 1 2 x2 0 x1 ,
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2.3 多个目标函数系数同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
方法 1 ：使用电子表格进行分析 （重新运行“规划求解”工具）
可以看到，最优 解并没有发生变 化，总利润由于 门和窗的单位利 润的改变相应地 改变了 (450－300)×2＋ (400－500)×6＝ －300
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2.1 线性规划灵敏度分析
第2章 线性规划 灵敏度分析