运筹学基础灵敏度分析例题讲解

运筹学灵敏度分析

只需由 j 0解得c j的范围。
(2) c j 是基变量x j的价格系数这时要影响所有的检验数
i ci (c1 ci ci cm ) B Pi , 应由所有的 i 0解得公共的c j。
1
p11-2
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3 1
运筹学
2

84 20 24
0 1 0
0
0 0 1
0
1 0 0
0
- 0.32 0.4 - 0.12
- 1.36
1.16 - 0.2 0.16
- 0.52
z 428
（1）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？
解：甲产品的价格c1是基变量的价格系数。 0.32 由 4 0 0 7 c1 12 0.4 2.8 0.4c1 1.44 0 0.12 得 c 3.4， 1.16 由 5 0 0 7 c1 12 - 0.2 1.4 0.2c1 1.92 0 0.16 得 c 2.6，
2
运筹学
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3
1
2

84 20 24
0 1
0
0 0 1
1 0
0
- 3.12 1.16 0.4 - 0.2
- 0.12 0.16
z 428
0
0
0
- 1.36
- 0.52
（3）若有人愿以每度1元的价格向该厂供应25度电，是否值得接受？
§3.4 灵敏度分析
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.

运筹学第11讲灵敏度分析1

12.5 x1 7 / 2 1 0 0 1/ 4 1/ 2
12 x2 3/ 2 0 1 0 1/ 4 3/ 2
cj zj
0 0 0 11//84 19//24
第14页
例2-1
产品Ⅰ利润降至1.5百元/单位，产品Ⅱ的利润增至2百元/单位，生产计划如何变化？
解：(2) 将产品Ⅰ、Ⅱ的利润变化反映在最终单纯形表中，可得
一、含义和研究对象
1、什么是灵敏度分析？
是指研究线性规划模型的某些参数(bi, cj, aij）或限制量（xj, 约束条件）的变化对最优解的影响及其程度的分析过程<也称为优化后分析>。
n
max z c j x j
s.t.
n
j 1
aij xj bi （i 1,
j1
x
j
0
（j 1,
2 1 1c2 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
0 0 1 5/ 4 15/ 2 1 0 0 1/ 4 1/ 2 0 1 0 1/ 4 3/ 2
1 c2 0； 1 3c2 0
44
22
cj zj
0
0
0 14 1/44c2
121/
23c2 2
即故当产品Ⅱ的13利润c在2 [12
,
1→1+△c2
s.t.
n
j 1
aij xj bi （i 1,
j1
x
j
0
（j 1,
, m） , n）
3. 分析增加一个变量 xj 的变化 4. 分析增加一个约束条件的变化
系数矩阵A
5. 分析系数 aij 的变化
第5页
初始
基变量基变量基可

常见的运筹学灵敏度分析

cj
4
3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
3
x2
4
5
x1
6
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
Z
42
0
0
-1/5
8/5
13
用单纯形法迭代得最优解表如下：
cj
4
3
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
0
x3
20/3
0
5/3
1
5
x1
26/3
1
2/3
0
Z
130/3 0
1/3
0
0
x4 -2/3 1/3 16/15
（3）技术系数aij变化的分析第一种情况（当jJN）：即aij为非基变量xj的技术系数
6/5
继续迭代以求出新的最优解。
11
（2）当CB(即基变量的目标函数系数)中某个Cj发生变化时
则会影响到所有变量的检验数σ=CBB-1A－C
解不等式组
CB B1 A C 0
就可得到 Cj的范围
例18 设基变量x1的系数C1变化为 C1 C1 ，在最优性不变的条件下，试确定 C1 的范围
*Big M
0
0
0
0
0
0
23
2、增加新约束的灵敏度分析 Final tableau (Total iteration=3)
Basis C(j) X1
4.000
S1
0
X1 3.000
X2 4.000

运筹学线性规划灵敏度分析

可变单元格单元格名字 $B$4 可变单元格→ Max Z=∑cjxj $C$4 可变单元格→ 约束单元格名字 $D$7 a1j→ ∑aijxj $D$8 a2j→ ∑aijxj $D$9 a3j→ ∑aijxj 终阴影约束允许的允许的值价格限制值增量减量 2 0 4 1E+30 2 12 150 12 6 6 18 100 18 6 6 终递减目标式允许的允许的值成本系数增量减量 2 0 300 450 300 6 0 500 1E+30 300
线性规划
不是最优表，继续迭代，得，最优解 X*=（5/3，13/2， 7/3，0，0）生产品种保持不变。最优值变为
7/3 0 500 300 13 / 2 3750 5/3
300
xB
x3
500
0
0
0
b’ 2 6 2
x1
0 0 1
x2
0 1 0 0
x3
1 0 0 0
x4
1/3 1/2 -1/3 -150
x5
-1/3 0 1/3 -100

x2 x1
-3600 200
总利润增加了 150 元。
运筹学
设 b1 , b2 , b3 的增量为 b1 , b2 , b3
2 1 1 / 3 1 / 3 b1 b * b B 1b 6 0 1 / 2 0 b2 2 0 1 / 3 1 / 3 b 3 2 b1 b2 / 3 b3 / 3 2 b1 b2 / 3 b3 / 3 6 b2 / 2 6 b2 / 2 2 b / 3 b / 3 2 b / 3 b / 3 2 3 2 3 若要解仍可行，则 b * 0 ，即

运筹学11-灵敏度分析-b

Operational Research
8
图解灵敏度分析（约束b）
该线性规划问题可以用图解法作如下表达
x2
2x1＋x2 ≤ 8
2x1＋x2 ≤ 9
x1＋3x2 ≤ 8 B G
机器A保持变化率的范围为：从B到F B（0,2.67）；F（8,0） B点对机器A的限制是 2×0＋2.67＝2.67 F点对机器A的限制是 2×8＋0＝16 因此，当约束范围为〔2.67，16〕，变化率一定，14USD/h
线性规划的参数 A B C 会在一定范围内波动。
A B C 代表什么？技术、资源与价值。
• 不变：参数在什么范围内变化，最优解不变？ • 规律变：在什么范围内变化，最优解可很快得到？怎样得到？
可以重新求解，但更为简单的是进行灵敏度分析。
• 再求解：如果不能很快得到最优解，如何继续求解？
Operational Research
因为范围为〔2.67，16〕，收入增加 14×（13-8）＝70 如果A工作能力增加到20小时？
最优解产生于F点
Operational Research
11
代数灵敏度分析（约束b）
讲代数解之前必须复习的一些知识
B 基的初始状态、 B* 最优基的初始状态 B*-1 最优基的逆矩阵，在哪里能够找到？初始E的最终状态 b 是初始约束条件， B*-1 b是最终约束条件
书上解法（公式法）：（1）找到B-1 （2）如求b1的改变，则看矩阵中的第一列
正元素除-bi最大者为下限负元素除-bi最小者为上限
Cj
58 6 0 0
b
CB XB x1 x2 x3 x4 x5
5 x1 1 0 0 2 －1 4
8 x2 0 1 1 －1 1 8

运筹学课件灵敏度分析举例

x2
1 0
x3
1 -1/2
x4
-2 3/2

20 x1 15
j cj z j
CB
30 50
cj xB
50
30
0
0
35 0 x1 7.5 1 j c j z j 1425 0
x2
b
x1
x2
1 0 0
x3
x4

1/2 -1/2 -1/4 3/4 -2.5 -22.5

木工用量 4 x1 3x2 120 木工可使用量油漆工用量负条件。
2 x1 x2 50 油漆工可使用量决策变量还应当满足 x 0 ， x2 0，叫做非 1
例1的数学模型
max z 50x1 30x2
s.t.
4 x1 3x2 120 2 x1 x2 50 x1 , x2 0
x3
1
0
x4
0
1

30
25
x4
j cj z j
0
50
30
0
0
第一次换基并求解
CB
0 50
x3 x1
cj xB b
20 25 1250
50
30
0
x1
0 1 0
x2
（1） 1/2 5
x3
1 0 0
x4
-2 1/2 -25 20 50
0
j cj z j
第二次换基和求解
cj xB
50 30 0 0
CB
30 50
x2
b
x1
0 1 0
x2
1 0 0

运筹学精品课件之对偶问题和灵敏度分析

82 0 0 -10/3 0 -11/3 -2产品工艺结构改变) (1)、非基变量Xj工艺改变只影响单纯形表Pj 列， σ j .
关键看σ j 0? 还是>0? . 用(三)类似方法解决。
(2)、基变量Xj工艺改变，复杂
例：产品A工艺改变，对甲、乙需求变为2，2。利润为7，问最优方案如何？
0 X4 2 8 X2 10
80
1 0 0 1 -1/2 1 1 1 0 1/2 -5 0 -2 0 -7/2
这时最优方案发生了改变。
基变量Xj工艺改变
•也可能 B-1 b出现负数
•检验数与基变量均不满足最优解要求
例 p1’ = 1
3
C1’ = 7
p一1’ = B-1 p1’ = σ一1’= -4
(2)、 b1改变, b1=30 ，B-1 b= 2 -1
30 40 =
-1 1 20 -10
5 X1 40 1 0 0 2 -1 8 X2 -10 0 1 1 (-1) 1
120 0 0 -2 -2 -3
5 X1 20 1 2 2 0 1 0 X4 10 0 -1 -1 1 -1
100 0 -2 -4 0 -5
问：如何安排产品产量，可获最大利润？
解 maxZ=5X1 +8X2 +6X3
X1+ X2 + X3+X4 = 12 X1+2X2+2X3 +X5 =20
X1 … X5 0
58 60 0
X1 X2 X3 X4 X5 0 X4 12 1 1 1 1 0 0 X5 20 1 2 2 0 1
058 60 0
② C1改变 C1=10， σ 5 =2>0 ,换基

管理运筹学第五章灵敏度分析

18
当 a'k ,n i 0, 则有 b'k bi a 'k , n i 所以：
当 a'k ,n i 0, 则有 b'k bi a 'k , n i
b'i b'i max a'i ,n k 0 bk min a 'i , n k 0 a 'i , n k a'i , n k
28
根据上节的知识可知q1= 0, q2= 0.25, q3= 1, 边际值为 0时表示对应资源未用完，边际值不为0时表示对应资源全部用完
x2, x4为基变量， b1未用完、b2b3全部用完故有：
对应基变量且资源全部用完的情况aij=0
所以：△a22=0 ；△a24=0 ；△a32=0 ；△a34=0
ck zk ck zk max a'r k 0 Δcj min a' k 0 r r r a' k a' k
其中xj为第r个约束条件方程对应的基变量
13
例题：求X4的C值的变动范围
CB 0 4 5 Cj→ XB x5 x4 x2 cj-zj zj 1 b x1 100 0.25 200 2 100 -0.75 -3.25 4.25 5 x2 0 0 1 0 5 3 4 x3 x4 -3.25 0 -2 1 2.75 0 -2.75 0 5.75 4 0 x5 1 0 0 0 0 0 x6 0.25 1 -0.75 -0.25 0.25 0 x7 -1 -1 1 -1 1
Cj→ CB XB b 0 X5 100 4 X4 200 5 X2 100 Cj- Zj Zj

运筹学第二章灵敏度分析

CB
-3 -5 -Z’
xB x1 X2
2.4 对偶解的经济解释
一、对偶线性规划的解： P55
Cj xB x3 x1 x2 z b 7/2 7/2 3/2 x1 1 0 0 y4 Cj yB b y1 15/2 0 原问题变量 x2 0 0 1 0 y5 对偶问题变量 y2 y3 x3 1 0 0 0 y1 原问题变量 x4 5/4 1/4 -1/4 1/4 y2 x5 -15/2 -1/2 3/2 1/2 y3
T.G.Koopman（库普曼）和 L.V.Kamtorovich（康脱罗维奇）
二人因此而共同分享了1975年的第7届诺贝尔经济学奖。
2.5 灵敏度分析
一、灵敏度分析的含义是指系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感性程度的分析。对于线性规划问题的灵敏度分析是指参数A，b，C变化引起的对原问题解的变化的分析。其中：A为技术参数矩阵，b为资源向量，C为价值向量可以用参数变化后的问题重新用单纯形法求解？没必要，意义不大，有些问题看不出来。把相应的变化反映到最终单纯形表中，再根据情况用相应的方法求解。
Z 50 x1 30 x2
2.1 线性规划的对偶问题与对偶理论
假设现有乙公司准备租借用(购买)该木器厂的木工和油漆工两种劳力的劳务，需要考虑这两种劳务以什么样的价格租入最合算？而同时甲公司要以什么条件才会租让？甲公司肯定会以自己利用两种劳力的劳务组织生产所获得的利润最大为条件，设每个木工的租用价格为y1，每个油漆工的租用价格为y2，则乙公司愿意租用的出资为：
0 变量 0 无限制
型约束型型
0 变量 0 无限制
型约束型型

《运筹学》第2章线性规划灵敏度分析

2.9 灵敏度分析的应用举例
该公司在运营了一年后，管理层为第二年的运营进行了以下的预想（假设以下问题均单独出现）：
问题1：由于建材市场受到其他竞争者的影响，公司市场营销部门预测当年的产品甲的价格会产生变化：产品甲的单位利润将会在3.8万元～5.2万元之间波动。公司该如何应对这种情况，提前对生产格局做好调整预案？
▪ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运行规划求解）
总利润为3750元，增加了：37503600=150元。由于总利润增加了，而目标函数系数不变，所以最优解一定会发生改变，从图中可以看出，最优解由原来的（2， 6）变为（1.667， 6.5）
2.4 单个约束右端值变动
▪ 方法2：从敏感性报告中获得关键信息
2.3 多个目标函数系数同时变动
▪ 假如，以前把门的单位利润（300元）估计得太低了，现在把门的单位利润定为 450 元；同时，以前把窗的单位利润（ 500元）估计得过高了，现在定为400元。这样的变动，是否会导致最优解发生变化呢
▪ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运行规划求解）
2.4 单个约束右端值变动
▪ 单个约束右端值变动对目标值的影响 ▪ 如果车间2的可用工时增加1个小时，
总利润是否会发生变化？如何改变? 最优解是否会发生变化? ▪ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运行规划求解） ▪ 方法2：从敏感性报告中获得关键信息（影子价格）；
2.4 单个约束右端值变动
本章主要内容框架图
目标函数系数变动
单个多个
单个
灵敏度分析
内容
约束右端值变动
多个影子价格
约束条件系数变化
增加新变量

运筹学灵敏度分析

′ （2）由于 1 是基变量，所以 ξ B = 0, ）由于x 是基变量，
T ′ ξ N = ξ N + (c1′ − c1 )( B −1 N )(1) ( B −1 N 中第1行元素）
1 5 7 1 1 1 ‘ = （，，）+ ( 1 − 5)(− , , − ) c 6 6 6 6 6 6 ‘ ‘ ‘ c1 c1 c1 ‘ = (1 − , , 2 − ) ≥ 0 ⇒ 0 ≤ c1 ≤ 6 6 6 6
原最优单纯形表
基 XB XB I XN 解
ξ
ξB = 0
B N
T T T ξ N = CB B−1 N − CN ≤ 0
−1
B b T −1 CB B b
−ck )加到检验
数行，得到新问题的单纯形表. 数行，再令 ξ k′ = 0 ，得到新问题的单纯形表
§6 灵敏度分析
概况
• 信息的不确定性
信息的变化：信息的变化：价值向量C—市场变化价值向量市场变化右端向量b—资源变化右端向量资源变化系数矩阵A—技术进步系数矩阵技术进步
• 产生的问题
当这些参数变化时，问题的最优解会有什么变化？当这些参数变化时，问题的最优解会有什么变化？这些参数在多大范围内变化时，最优解不变？这些参数在多大范围内变化时，最优解不变？
x4
-1/4 ½ -1/4 -1/4 ½ -1/4 -5/4 1 0 7/4 5/2 7/4 7/4 5/2 7/4 -13/4 5 3
-5/4 ½ -1/4 1 ½ -1/4 0 1 0
x2 x3
Z
x2 x3
Z
x1 x3
最优解 x*=（5, 0, 3）最优值 z*=-13/4

运筹学第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解共37页

0 -3/5 -3/5 -6/5 -1/5
B 1(P 1,P 2) 1(P 5',P 6') 3 2 5 5 3 25 5
最优基B的逆矩阵：B-1为最终单纯形表中的最右边的一个方阵
运筹学
第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解
Pj ' B1Pj XB*B1XB
解：新增的测试工序约束条件为：2x1+2x2+x3+x4≤14，将原问题的最优解x1*=4，x2*=4代入该约束：
2×4＋2×4＝16>14
约束条件不成立，则原问题的最优解不是新问题的最优解。
将该约束化为标准形式：2x1+2x2+x3+x4+x7＝14，反映到最终单纯
形表中:
cj →
4312000 b
2.2 (2) X* 0,2 7 7,2 7 4,0,9 7 3,0 T,
z*180 7
2.2 (3)：多重最优解 X1* 2,125,0,0,42,0T , X2* 121,94,7,0,0,0T
X * X 1 * 1 X 2 * , 0 ,1 z* 47
2
1
设备B（h） 2
3
2
单件利润(元) 4 →3 3 →5 1
丁每天可用能力
2
20
1
20
2
解：将c1、c2的收益变化情况直接反映到原问题的最终单纯形表上，得到
cj
CB
XB
3
x1
5
x2
j
2
x4
5
x2
j
3
5
1
2
0
0
b
x1

运筹学灵敏度分析题

运筹学灵敏度举例1．已知以下线性规划问题max z= 2x 1 +x 2-x 3 s.t. x 1 +2x 2 +x 3 ≤8 -x 1 +x 2 -2x 3≤4x 1,x 2,x 3≥0 的最优单纯形表如下：z x 1 x 5(1) 求使最优基保持不变的c 2=1的变化范围C 2 1+δ-1 0 0 0C B z 2 x 1 0x 53-δ≥0，δ≤3，即c 2≤4。

当c 2=5，即δ=4z x 1 8/2 x 512/3x2进基，x 1离基z x 2 x 5新的最优解为x 1=0，x 2=0，x 3=0，x 4=0，x 5=0，max z=20 (2) 对c 1=2进行灵敏度分析C 2+δ1 -1 0 0 0C B z 2+δ x 1 0x 53203020+≥+≥+≥⎧⎨⎪⎩⎪δδδ，δδδ≥-≥-≥-⎧⎨⎪⎩⎪3232/，当δ≥-3/2时，即c 1≥1/2时，最优基保持不变。

当c 1=4时，δ=4-2=2，最优基保持不变，最优解的目标函数制为z=16+8δ=32。

（3）增加一个新的变量x 6，c 6=4，a 612=⎡⎣⎢⎤⎦⎥。

[]z c c T666620124242-=-=⎡⎣⎢⎤⎦⎥-=-=-W aY B a 61610111213==⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎡⎣⎢⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎤⎦⎥- 新的单纯形表为z x 1 x 5x 6进基，x 5离基z x 1 x 6新的最优解为x 1=4，x 2=0，x 3=0，x 4=0，x 5=0，x 6=4，max z=24。

（4）增加一个新的约束x 2+x 3≥2，求新的最优基和最优解。

z x 1 x 5 x 63/13/1用对偶单纯形法求解z xx x x x x RHSz x 1 x 5 x 2新的最优解为x 1=4，x 2=2，x 3=0，x 4=0，x 5=6，x 6=0，max z=10。

2．(1)利润最大化的线性规划模型为：max z= 25x1+12x2+14x3+15x4s.t. 3x1+2x2+x3+4x4≤24002x1+2x3+3x4≤3200x1+3x2+2x4≤1800x1, x2, x3, x4≥0单纯形表为：zx5x6x7x1进基，x5离基zx1x6x7x3进基，x6离基zx1x3x7x2进基，x1离基zx2x3x7最优解为：x1=0，x2=400，x3=1600，x4=0，x5=0，x6=0，x7=600，max z=27200即最优生产计划为：产品A不生产；产品B生产400万件；产品C生产1600万件；产品D不生产，最大利润：27200万元。

运筹学单纯形法的灵敏度分析

再如：甲、乙产品单位利润发生变化时，将影响到哪些因素？ c1=2 c1=4 或c2=3 c2=2
结论
在单纯形法中，cj的变化→cj-zj变化→基变量的调出、入。分两种情况：非基变量的cj发生变化只影响其本身对应的检验数cj-zj；如上例中x3为非基变量，则丙产品单位利润发生变化只影响本身的检验数。基变量的cj发生变化，由于影响到cB，从而所有非基变量的检验数均受到影响（基变量的检验数仍保持为0）。如上例中x1、x2为基变量，则甲、乙产品单位利润变化，将影响除甲、乙外其他变量的检验数。
∴原问题最优解不变，仍是x1=1，x2=2，x3=x6=0 即不安排丁产品生产。注意区别和的不同
1
2
分析检验数符号
其他条件不变，
若将以上丁产品利润改为
情况会有什么变化？
C6=7，
∵C6-Z6不满足符号条件
01
∴原问题最优解将变动，将C6代入单纯形表最后一段重新计算。
02
注意：
01
例中第二个资源——材料的最高限制变化时对原问题的影响。
02
即讨论：b2变动的范围。
分析
B2变动的范围
B2的变动范围是[1 4]
“影子价格”是经济领域的概念。
“影子价格”是指当其他原料数量都保持不变时，第k种原料由bk增加一个单位时，由此而产生的目标函数值的增加，它对应于单纯形表最后一段松弛变量所对应的检验数（取正值）。
0
0
2
-5
-1
2
2 6
x1 x3
2 1
1 0
1/2 1/2
0 1
7/2 -1/2
-1/2 1/2
Cj-Zj
→
-10
0
-1

运筹学灵敏度分析

' j
c j C B B 1 A
C r a rj
j C r a rj
j 1,2, , n
最优解不变
' j
0
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arj 0, arj 0,
cr
j
arj
;
cr
j
arj
,
j 1,2,
,n
cr的变化范围
m j { aarx jjarj0}crm j {ian rjjarj0}
3 x2 2 0 1 0.5 –0.125 0
cj-zj
0 △c2 -1.5 -0.125 0
为了保持原最优解不变，则x2的检验数应当为零。这时可用行的
初等变化实现，得到
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cj
2 3+△c2 0
00
CB XB b x1 x2
x3
x4
x5
2 x1 4 1 0
0
0.25 0
0 x5 4 0 0
-2
0.5 1
3 x2 2 0 1
0.5 –0.125 0
cj-zj
0 0 -1.5-△c2/2 △c2/8-1/8 0
可见
–1.5-△c2/2≤0和△c2/8-1/8≤0
即
△c2≥-1.5/0.5; △c2≤1 故△c2的变化范围:
-3≤△c2≤1 即x2的价值系数c2可在[0,4]之间变化，不影响原最优解。
运筹学灵敏度分析
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资源系数br的灵敏度变化分析
当某一个资源系数br 发生变化，亦即br′= br +△br ，其他系数不变，这样最终的单纯形表中原问题的解相应地变化为

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