微积分-经管类-第四版-吴赣昌-习题全解-第六章定积分的应用
第六章定积分的应用
名称 主要内容
定积分的元素法 定积分的元素法是一种简单记忆定积分（?=b
a
dx x f A )(）三步骤的方法：
1、将i i i
x f A ?≈?)(ξ记为dx x f dA )(=
2、将∑
=→n
i 1
lim
λ写为
?
b
a
平面图形的面积
直角坐标系 X-型 Y-型
??
?<<<<)()(:21x f y x f b x a D A ?-=b
a
dx x f x f A ))()((12 ???
<<<<)
()(:21y g x y g d y c D A ?-=d
c
dy y g y g A ))()((12
极坐标系 ??
?<<<<)
(0:θβ
θαr r D A ?
=β
αθ
θd r A )(22
1
体积
旋转体体积
已知平行截面面积的立体体积 ???<<<<)(0:x f y b
x a D A 绕x 轴旋转：
dx x f V b a ?=)(2
π
已知垂直于x 轴的平面截立体所得截面面积为)(x A ,立体又被夹于a x =和b x =两平面间，则：
?=b
a
dx x A V )(
已知垂直于y 轴的平面截立体所得截面面积为)(y A ,立体又被夹于c y =和d y =两平面间，则：
?=d
c
dy y A V )(
绕y 轴旋转：
dx x xf V b
a
?=)(2π
???<<<<)(0:y g x d
y c D A 绕y 轴旋转：
dy y g V d c ?=)(2
π
平面曲线的弧长
直角坐标
参数方程
极坐标
L ：)(x f y =，],[b a x ∈ dx y ds 21'+=；
?
'+=b a
dx y s 21
L ：)()
()(βαψ?≤≤??
?==t t y t x dt t t ds )()(22ψ?'+'=
dt t t s ?'+'=βα
ψ?)()(2
2
L ：)(θr r =，βθα≤≤；
θθθd r r ds )()(22'+=；
θθθβ
αd r r s ?'+=)()(22
物理应用：1、变力沿直线作功 2、水压力 3、引力
x
0 y
1
图6-2-1
y x
=
y x
=
D
x
0 y
/2
π
图6-2-2
sin y x
=
1 D
课后习题全解
习题6-2
★ 1．求由曲线
x
y =与直线
x y =所围图形的面积。
知识点：平面图形的面积
思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1
∵所围区域D 表达为X-型：??
?<<< x y y 21 0） ∴?-=1 0)(dx x x S D 61 )2132(1 223 =-=x x （?= -=1 26 1 )(dy y y S D ） ★ 2．求在区间[0， π/2]上，曲线x y sin =与直线0=x 、1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解：见图6-2-2 x y 4 图6-2-3 2y x = 2 2 -2 4 y x =-+D ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 20y x x π， （或D 表达为Y-型：?? ?<<< )cos ()sin 1(202 -= +=-=?π π π x x dx x S D （ 12 arcsin 1 -= =?π ydy S D ） ★★3．求由曲线 x y =2与42+-=x y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-3 ∵两条曲线的交点：???±==????+-==2 2 42 2y x x y x y ， ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 22 2 = -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 0， ∴3 43 2 2)2(2210 231 1= ? =-==?y dy y y S S D D （若用X-型做，则第一象限内所围区域=1D b a D D Y ，其中a D ：?????<<<<22 4 10x y x x ， b D ：?????<<<<14 212y x x ；∴122122 01422[()(1)]443D D x x S S x dx dx ==-+-=??） ★★5．求由曲线x y 1 =与直线x y =及2=x 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做 x y 1 图6-2-4 22 4y x y x == 1 2 D 1 D 第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 教学目的:理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法 教学重点：元素法的思想 教学难点：元素法的正确运用 教学内容： 一、 再论曲边梯形面积计算 设 f x ()在区间],[b a 上连续,且0)(≥x f ，求以曲线y f x =()为曲边,底为] ,[b a 的曲边梯形的面积A 。 1.化整为零 用任意一组分点 b x x x x x a n i i =<<<<<<=- 110 将区间分成 n 个小区间[,]x x i i -1,其长度为 ),,2,1(1n i x x x i i i =-=?- 并记 },,,m ax {21n x x x ???= λ 相应地，曲边梯形被划分成 n 个窄曲边梯形,第 i 个窄曲边梯形的面积记为 n i A i ,,2,1, =?。 于是 ∑=?= n i i A A 1 2.以不变高代替变高,以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值 ),,2,1(],[)(1n i x x x f A i i i i i i =∈??≈?-ξξ 3．积零为整，给出“整”的近似值 ∑=?≈ n i i i x f A 1 )(ξ 4．取极限，使近似值向精确值转化 ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f A )()(lim 1 ξλ 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题: (１）若将],[b a 分成部分区间),,2,1(],[1n i x x i i =-，则 A 相应地分成部分量 ),,2,1(n i A i =?,而 ∑=?=n i i A A 1 这表明：所求量A 对于区间],[b a 具有可加性。 (2）用i i x f ?)(ξ近似i A ?，误差应是i x ?的高阶无穷小。 只有这样,和式 ∑=?n i i i x f 1 )(ξ的极限方才是精确值A 。故关键是确定 ))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ?=?-??≈?ξξ 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。 二、元素法 1.能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件 (1) U 与变量x 的变化区间],[b a 有关； (２) U 对于区间],[b a 具有可加性; (3) U 部分量i U ?可近似地表示成i i x f ??)(ξ。 2．写出计算U 的定积分表达式步骤 第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求： 使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题； 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等） 二、本章教学内容的重点难点： 找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 §6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤： （1）画出图形； （2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者 扇形； （3）计算出面积元素； （4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一 个实际问题的步骤。 §6.2 定积分在几何中的应用 一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-，面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=，)(2x y ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ?)(2x ?=解出， b x a ≤≤，)()(21x y x ??≤≤，面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-，面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=，)(2y x ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ?) (2y ?=解出， d y c ≤≤，)()(21y x y ??≤≤，面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 22 2x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ，于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =，4+=y x 得，4,2=-=y y ，当42<<-y 时 ) 第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) (是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以 [a,b]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A) (. 一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U) (.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). §6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1]. (3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上. (4)计算积分 31]3132[)(10323102=-=-=?x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线: 4)( ,2 1)(2+==y y y y 右左??. (4)计算积分 ?--+=422)2 14(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆12222=+b y a x 所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ?=a ydx S 04. 椭圆的参数方程为: x =a cos t , y =b sin t , 于是 ?=a ydx S 04?=0 )cos (sin 4πt a td b 第六章 定积分的应用 §6.1 定积分的元素法 §6.2 平面图形的面积 一、填空题 1．定积分 ? b a dx x f )(的几何意义是 。 2． )(x f 、g(x)在[a,b] 上连续，则由y=f(x),y=g(x)和x=a,x=b 所围成图形的 面积A= 。 3．计算y 2=2x 与y=x-4所围成图形的面积时，选用 作积分变量较为简捷。 二、选择题 1．曲线y=x ln 与直线0,,1 === y e x e x 及所围成的区域的面积S= 。 （A ）、2)11(e - （B ）、e e 1- （C ）、e e 1+ （D ）、e 1 1+ 2．曲线r=2acos θ所围图形的面积A= 。 （A ）、 θθπ d a 22 0)c o s 2(2 1 ? （B ）、θθππd a 2)c o s 2(21?- （C ）、 θθπ d a 2 20 )c o s 2(2 1? （D ）、2θθπd a 220)cos 2(21? 3．曲线?????==t a y t x 3 3sin cos 所围图形的面积A= 。 （A ）、 28a π （B ）、24a π （C ）、283a π （D ）、22 a π 三、求下列各曲线所围成的图形的面积。 1． 曲线y=x 3-6x 与y=x 2所围成图形的面积。 2． 曲线y=-x 2+-3及共在点（0，-3）和（3，0）处的切线所围成图形的面积。 3． 曲线y=sinx 与y=sin2x(0)π≤≤x 所围成图形的面积。 4． r =3cos θθcos 1+=r 及所围成图形的面积。 5． 摆线?? ?-=-=) cos 1() sin (t a y t t a x 的一拱（)20π≤≤t 与横轴所围成图形的面积。 四、在曲线族y=a(1-x 2)(a>0)中确定一条曲线，使该曲线和其在（-1，0）和（1，0）两点处 的切线所围图形的面积最小。 第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积 (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. 第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量 注: (1) ∑ =?n i i i x f 1 )(ξ与区间的分割法x i 和取点法 i 有关; 而 ? b a dx x f )(与x i 和 i 无 关. (2) ? b a dx x f )(与a 、b 、f 有关，与x 无关，即： [][]???? ===b a b a b a b a d f du u f dt t f dx x f )()()()( 2．定积分存在定理 定理 若)(x f 在[a , b ]上有界且只有有限个间断点，则)(x f 在[a , b ]上可积. 推论 若)(x f 在[a , b ]上连续，则)(x f 在[a , b ]上可积. 例1. 求 ?1 xdx 习题1-7 1(1)5)21413(lim )243(lim 2 1 2 1 =-+?=-+→→x x x x (2)93 252lim 35lim 2 222-=-+=-+→→x x x x (3)0 1 )3(3)3(lim 1 3lim 2 2 3 2 2 3 =+-=+-→→x x x x (4)01 11 1lim 11lim 1 12lim 112 2 1 =+-=+-=-+-→→→x x x x x x x x (5)2)002(lim )1 12(lim )112(lim 22=+-=∞ +∞-=+-∞→∞→∞→x x x x x (6)4 23 22 4 2 /1)3/(11/1/1lim 1 3lim x x x x x x x x x x +-+=+-+∞→∞ → 000100lim /1)3/(11/1/1lim 423 2 =+-+=∞ +∞-∞ +∞=∞→∞→x x (7)3 2 1424lim 12lim 4 586lim 442 2 4=--=--=+-+-→→→x x x x x x x x x (8)2 123124lim 2324lim 2 02 2 3 =++-=++-→→x x x x x x x x x x (9)x h x h x h x h h 2)2(lim )(lim 02 2 0=+=-+→→ (10)2)1 122(lim )12)(11(lim 322=--+=-+∞→∞→x x x x x x x (11)x x x x e e e e x --+≤ +≤ 1cos 0 cos lim 1lim 0-=+=+∴∞++∞++∞→-+∞→-+∞→-x x x x x x x x x x e e x e e e e e e x 故趋向于故趋向于，趋向于时，当 (12) 5 2334sin 5 233402 2 +--≤ +--≤ x x x x x x x sin 5 233 4lim /5/23/3/4lim 5233 4lim 2 2 22 =+--=+--=+--+∞→+∞→+∞→x x x x x x x x x x x x x x 故 (13))448318(lim 231lim 323 838x x x x x x x x x +++÷+---=+---→-→ 23 )8(1) 8(824lim 3 144lim 32 38 32 3 8 -=+---+--- =+-++-=-→-→x x x x x (14)∞ ==-?+=-+→→→0 16 lim ) 22(222lim ) 2(2lim 22 2 32 2 2 3 2 x x x x x x (15)x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞ →+∞ →2 2 2 2 1) 1)(1(lim )1(lim 第六章 定积分的应用 习题 6-2 (A) 1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： ] 3,0[,86)1(2+-=x x y ] 3,0[, 2)2(2x x y -= 2． 求下列各图中阴影部分的面积： 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： ; 1,)1(===-x e y e y x x 与 ; )0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与 ;0,2)3(2==-=y x y x x y 与 ; )1(,2)4(22--==x y x y ;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与 ; 2,)6(2x y x y x y ===与 ; )0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y ; 8,2 )8(222 （两部分都要计算）=+=y x x y 4．的图形的面积。 所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 1 5．的面积。处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y 6．的面积。处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2 (22p p px y = 7．形的面积。与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+ 8．所围图形的面积。求椭圆 12 2 22 =+b y a x 9．。与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 10．轴之间的图形的面积。的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x = 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ ; )0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ; 2cos 2)3(2（双纽线）θρ= 抛物体的体积。 轴旋转，计算所得旋转 所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>== 一. 单项选择题(共45分,每题3分) 请务必将选择题答案填入下面的答题卡 1. 数列{}n x 有界就是数列{}n x 收敛的( ) A 、 充分条件 B 、 充要条件 C 、 必要条件 D 、 非充分又非必要 条件 2.设极限0(1)(12)(13)a lim 6x x x x x →++++=,则a =( ) A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 -1 3.当1x →时,函数 1 2111 x x e x ---的极限就是( ) A 、 2 B 、 不存在也不就是∞ C 、 ∞ D 、 0 4.如果函数()y f x =在点0x x =处取得极大值,则( ) A 、 0()0f x '= B 、 0()0f x ''< C 、 0()0f x '=且0()0f x ''< D 、 0()0f x '=或0()f x '不存在 5.若两曲线2 y x ax b =++与3 21y xy =-+在点(1,1)-处相切,则,a b 的值为( ) A 、 0,2a b ==- B 、 1,3a b ==- C 、 3,1a b =-= D 、 1,1a b =-=- 6.某商品的价格P 与需求量Q 的关系为100.01P Q =-,则4P =时的边际收益为( ) A 、 300 B 、 200 C 、 100 D 、 0 7.设函数()f x 可导,且0 lim ()1x f x →'=,则(0)f ( ) A 、 就是()f x 的极大值 B 、 就是()f x 的极小值 C 、 不就是()f x 的极值 D 、 不一定就是()f x 的极值 8.设()f x 就是连续函数,则下列计算正确的就是( ) A 、 11 221 ()2()f x dx f x dx -=? ? B 、 131 ()0f x dx -=? 第六章 习题6-1 1. 利用定积分定义计算由直线y =x +1,直线x =a ，x =b （a??. (2)令()1,()1e e x x f x x f x '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1e x x ≥+,又e x 1+x .所以 1 1 (1)e d d x x x x >+??. 4. 估计下列各积分值的范围： 第六章定积分的应用 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：???<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< 《有机化学》考试大纲 （201409修改） 一、考试目的 有机化学是一门研究有机物的组成、结构、性质、合成以及与此相关的理论、规律的科学。通过考试，使同学们系统地掌握有机化学的基本概念、基本理论，熟练掌握有机化合物分子结构与性质之间的关系，有机化合物的合成及相互转化的方法和规律，具有基本科学的思维方法和理论联系实际独立分析问题解决问题的能力。 二、考试内容 第一章绪论 1．1有机化合物和有机化学 有机化合物的定义 1.2 有机化合物的特征 1.3 分子结构和结构式 短线式、缩简式、键线式 1.4 共价键 1.4.1 共价键的形成 Lewis 结构式、价键理论、轨道杂化（sp、sp2、sp3 杂化） 1.4.2 共价键的属性 键长、键能、键角、键的极性、诱导效应 1.4.3 共价键的断裂和有机反应的类型 均裂（产生自由基）、异裂（形成正、负离子）、自由基反应、离子型反应 1.5 分子间的相互作用力 偶极-偶极相互作用、范德华力、氢键 1.6 酸碱的概念 1.6.1 Br? nsted 酸碱理论 Br? nsted 酸、Br? nsted 碱、共轭酸碱 1.6.2 Lewis 酸碱理论 Lewis 酸、Lewis 碱 1.7 有机化合物的分类 1.7.1 按碳架分类 脂肪族化合物、脂环族化合物、杂环化合物 1.7.2 按官能团分类 官能团 第二章饱和烃：烷烃和环烷烃 烃、脂肪烃、脂环烃、饱和烃 2.1烷烃和环烷烃的通式和构造异构 烷烃：CnH2n+2 环烷烃：CnH2n 构造异构体 2.2 烷烃和环烷烃的命名 伯、仲、叔、季碳原子；伯、仲、叔氢原子；烷基、环烷基烷烃的命名、单环环烃的命名 2.3烷烃和环烷烃的结构 2.3.1 σ键的形成及其特征 2.3.2 环烷烃的结构与环的稳定性 角张力 2.5 烷烃和环烷烃的物理性质 2.6 烷烃和环烷烃的化学性质 2.6.1 自由基取代反应 卤化反应、自由基的稳定性次序、卤素的活性次序 2.6.2 氧化反应 2.6.5 小环环烷烃的加成反应 加氢、加溴、加溴化氢 第三章不饱和烃: 烯烃和炔烃 3.1烯烃和炔烃的结构 碳碳双键的组成、碳碳叁键的组成、π键的特性 3.2烯烃和炔烃的同分异构 第六章定积分的应用 内容概要 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< 习题6-1 1． 利用定积分的几何意义求定积分： (1) 1 2xdx ? ； (2) 220 a a x dx -? (0)a >． 解 (1) 根据定然积分的几何意义知, 10 2xdx ?表示由直线2,1y x x ==及x 轴所围的三角 形的面积,而此三角形面积为1,所以 1 21xdx =?． (2) 根据定积分的几何意义知, 220 a a x dx -? 表示由曲线22,0,y a x x x a =-==及 x 轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为214πa ,所以22201 4 a a x dx a -=?π. 2． 根据定积分的性质，比较积分值的大小： (1) 1 2 x dx ? 与1 3 x dx ?； (2) 1 x e dx ?与1 (1)x dx +?． 解 (1) ∵当[0,1]x ∈时,2 3 2 (1)0x x x x -=-≥,即23 x x ≥, 又2 x 3x ,所以1 1 230 x dx x dx >??． (2) 令()1,()1x x f x e x f x e '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1x e x ≥+，所以1 1 0(1)x e dx x dx >+? ?. 3． 估计下列各积分值的范围： (1) 4 2 1 (1)x dx +? ； (2) 33 arctan xdx ? ； (3) 2 a x a e dx --? （0a >)； (4) 2 2 x x e dx -? ． 解 (1) 在区间[]1,4上，函数2 ()1f x x =+是增函数，故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,最小值(1)2m f ==,所以4 21 2(41)(1)17(41)d x x -≤ +≤-? , 即 42 1 6(1)51x dx ≤+≤?． (2) 令()arctan f x x x =,则2 ()arctan 1x f x x x '=+ +,当[3]3 x ∈时,()0f x '>,从而()f x 在[3]3上是增函数,从而f (x )在3]3上的最大值(3)3πM f ==,最小值(363 πm f ==所以 33 23arctan 3)9363333xdx =≤≤=?ππππ 经管类《微积分》（上）习题参考答案 第一章 函数、极限与连续 习题一 一、1．否； 2．是； 3．是； 4.否. 二、1．)[()5,33,2?； 2．()πππ+k k 2,2；3． 2,24>-<<-x x 或； 4．[]a a -1,；。5.[]2,0； 6.222+-x x . 三、1．奇函数；2．奇函数． 3.（略） 四、1(略)；2．2 12+x ； 3．11 -+x x ． 五、1．x v v u u y sin ,,ln 2===；2．x x u e y u ln ,==；3．1525++?x x ． 六、50 500,,)50(8.050)(>≤=<-=x x x x x f 为()x f 的跳跃间断点。 1利用定积分的几何意义计算 1－x 2d x . 2.计算定积分??1 2(x ＋1)d x . 3.定积分??a b f (x )d x 的大小 ( ) A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关 B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关 C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关 D ．与f (x )、区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 4．在求由x ＝a ，x ＝b (a 微积分-经管类-第四版-吴赣昌-习题全解-第六章定积分的应用 第六章定积分的应用 名称 主要内容 定积分的元素法 定积分的元素法是一种简单记忆定积分（?=b a dx x f A )(）三步骤的方法： 1、将i i i x f A ?≈?)(ξ记为dx x f dA )(= 2、将∑ =→n i 1 lim λ写为 ? b a 平面图形的面积 直角坐标系 X-型 Y-型 ?? ?<<<<)()(:21x f y x f b x a D A ?-=b a dx x f x f A ))()((12 ??? <<<<) ()(:21y g x y g d y c D A ?-=d c dy y g y g A ))()((12 极坐标系 ?? ?<<<<) (0:θβ θαr r D A ? =β αθ θd r A )(22 1 体积 旋转体体积 已知平行截面面积的立体体积 ???<<<<)(0:x f y b x a D A 绕x 轴旋转： dx x f V b a ?=)(2 π 已知垂直于x 轴的平面截立体所得截面面积为)(x A ,立体又被夹于a x =和b x =两平面间，则： ?=b a dx x A V )( 已知垂直于y 轴的平面截立体所得截面面积为)(y A ,立体又被夹于c y =和d y =两平面间，则： ?=d c dy y A V )( 绕y 轴旋转： dx x xf V b a ?=)(2π ???<<<<)(0:y g x d y c D A 绕y 轴旋转： dy y g V d c ?=)(2 π 平面曲线的弧长 直角坐标 参数方程 极坐标 L ：)(x f y =，],[b a x ∈ dx y ds 21'+=； ? '+=b a dx y s 21 L ：)() ()(βαψ?≤≤?? ?==t t y t x dt t t ds )()(22ψ?'+'= dt t t s ?'+'=βα ψ?)()(2 2 L ：)(θr r =，βθα≤≤； θθθd r r ds )()(22'+=； θθθβ αd r r s ?'+=)()(22 物理应用：1、变力沿直线作功 2、水压力 3、引力 第六章 定积分及应用 一、填空题 1、 16 ； 2、1； 3、0； 4、0； 5、2； 6、1-x ； 7、－1； 8、21I I >，34I I <； 9、 ,43ππ?? ? ??? ； 10、6； 11、2-； 12、1； 13、0； 14、2()2 y x π π =- ； 15、42 2x x xe e --； 16、2 2x x xe e ---； 17、x cos ； 18、 2 1； 19、π 二、选择题 1、B ； 2、B ； 3、C ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、B ； 8、D ； 9、D ； 10、B ； 11、C ； 12、D 三、基本计算题 （一）定积分计算 1．0； 2. 45 ； 3. 2π-； 4. 12ln 2-；5. 16ln 2 5 ； 6. 42ln 3 ； 7. 112 2 π + ； 8. )1(22 +e ； 9. 2 14 - π ; 10. 6 31π- ; 11. 12ln 2- （二）分段函数积分 1. 22; 2．24; 3. 4 1; 4. 112 ; 5. e 11- ; 6. 6 11; 7. )1ln(11-++e （三）含变限积分的极限 1. 2; 2. 3 1; 3. 2; 4. 110 ; 5. 3 1; 6. 6 1- （四）广义积分 1. 12 π ; 2. 2ln ; 3. π （五）平面图形面积 1. 3 32； 2. 3 64； 3. 2 9； 4. 6 7 （六）旋转体的体积 1.π5 72； 2. 5 2π 四、综合计算 （一）各类计算 1. =S 2; 2. =S 3 14; 3、e 4. ) sin ()cos 1(t t t -- 5. 2 12ln t t 第六章 定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。 教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、 截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积 设y f (x )0 (x [a b ]) 如果说积分 ?=b a dx x f A )( 是以[a b ]为底的曲边梯形的面积 则积分上限函数 ?=x a dt t f x A )()( 就是以[a x ]为底的曲边梯形的面积 而微分dA (x )f (x )dx 表示点x 处以dx 为宽的小曲边梯形面积的近似值A f (x )dx f (x )dx 称为曲边梯形的面积元素 以[a b ]为底的曲边梯形的面积A 就是以面积元素f (x )dx 为被积表达式 以 [a b ]为积分区间的定积分 ?=b a dx x f A )( 一般情况下 为求某一量U 先将此量分布在某一区间[a b ]上 分布在[a x ]上的量用函数U (x )表示 再求这一量的元素dU (x ) 设dU (x )u (x )dx 然后以u (x )dx 为被积表达式 以[a b ]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U )( 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法) §6 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y f 上(x )与y f 下(x )及左右两条直线x a 与x b 所围成 则面积元素为[f 上(x ) f 下(x )]dx 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上 类似地由左右两条曲线x 左 (y )与x 右 (y )及上下两条直线y d 与y c 所围 成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右?? 例1 计算抛物线y 2x 、y x 2 所围成的图形的面积第六章 定积分的应用
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