微积分(经管类)(上册)1.4 无穷小无穷大

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1-4无穷大量与无穷小量

证设 lim f ( x) . x x0 0, 0,使得当0 x x0 时
恒有 f (x) 1 , 即 1 . f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷小. (x)
反之,设 lim f ( x) 0,且 f ( x) 0. x x0
M 0, 0,使得当0 x x0 时
推论1 在同一过程中,有极限的函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如,当x 0时, x sin 1 , x 2 arctan 1 都是无穷小
xx二、无穷大 Nhomakorabea定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么
大),总存在正数(或正数 X ),使得对于适合不等式
练习题答案
一、1、0；
3、；二、0 x 1 .
104 2
2、 lim f ( x) C ； x x
4、 1 . f (x)
证必要性设 lim f ( x) A, 令 ( x) f ( x) A, x x0 则有 lim ( x) 0, f ( x) A ( x). x x0 充分性设 f ( x) A ( x),
其中 ( x)是当x x0时的无穷小,
则 lim f ( x) lim ( A ( x)) A lim ( x) A.
第四节无穷小与无穷大
一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系四、小结
一、无穷小
1.定义: 如果当x x0 (或 x )时，函数a(x)
的极限为0，那么a(x)叫做x x0 (或 x )时的无穷小.
极限为0的数列xn也称为n 时的无穷小
例如,
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小. x0

1-4无穷小与无穷大-15页PPT精品文档

蚌埠学院高等数学
13
四、小结与判断题
注意：无穷小与无穷大是相对于过程而言的。内容: 无穷小量和无穷大量及其倒数关系。判断题：（1）无穷小是变量，零是唯一的无穷小的数；（2）无界变量是无穷大. 作业：P41 2（2）、4（1）
17.09.2019
蚌埠学院高等数学
14
谢谢你的阅读
知识就是财富丰富你的人生
x2
M
17.09.2019
蚌埠学院高等数学
8
取 m i,n }{ 因 , ,当此 x 时 , M
2 M x2
所以，
2x lim

x2 x 2
注5：无穷大量一定是无界量；但是无界量不一定是无穷大量。
例３：证明函数 yxsinx在 (0,)是无界的，但 x 时，不是无穷大量。
第一章
一、无穷小量二、无穷大量三、无穷小量与无穷大量的关系四、小结与思考判断题
17.09.2019
蚌埠学院高等数学
1
一、无穷小量
1、定义：如果函数 f (x) 当 x→x0 (或x→∞) 时的极限为零，那么，称函数 f (x) 为 x→x0 (或x→∞) 时的无穷小。
注1：不要认为无穷小量是一个很小很小的数；
比如 lim , lim
x x
x x
例2 证明
2x
lim

x2 x 2
证： x 2 ,取 1 ,x ( 3 , 1 ) 即 , x 2 1
M0, 2x 2 x 2 x2 x2 x2
要使
2x M x2
只须
2 M,也就 ,x是 22
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )

第一章-4无穷小与无穷大PPT课件

M
M
当0 x 1 1 时, 就有 1 M . lim 1 .
M
x1
x1 x 1
定义 : 如果 lim x x0
f ( x) ,则直线x
x0是函数y
f (x)
的图形的铅直渐近线 .
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
2. 利用无穷小性质, 求极限 p43
(1) lim x2 cos 1
x0
x
无穷小乘有界量
技巧: 分成两个函数, 一个是无穷小, 另一个是有界量
arctan x
(2) lim
x
x
注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如, n 时, 1 是无穷小，
n
但n个 1 之和为1不是无穷小. n
极限与无穷小的关系
但 y( xk ) 2k sin 2k 0 M .
不是无穷大．
注意：无穷大不是很大的数，而是表示函数的绝对值可以无限增大，反映函数值的一种变化趋势。
观察函数 y=1/x 的图像
lim 1
x x0
lim 1
x x0
再考察函数 y = ln x
lim ln x
x0
lim ln x
演讲人：XXXXXX 时间：XX年XX月XX日
例如, 当x 0时, y 1 sin 1 xx
是一个无界变量 , 但不是无穷大.
y 1 sin 1 xx
(1) 取 x0
1
(k 0,1,2,3,)
2k
2
y( x0 ) 2k 2 ,

1-4 无穷小与无穷大

5
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铃
二、无穷大
无穷大的定义如果当x→a 时, |f(x)|无限增大, 那么称函数f(x) 为当 x→a时的无穷大, 记为
lim f ( x) = ∞. [形式记法,实际上极限不存在]
x →a
无穷大的精确定义
x→x0
lim f (x)=∞ ⇔∀M>0, ∃δ >0, 当0<|x−x0|<δ 时,有|f(x)|>M.
1 所以当 x →0 时,函数 y = ln x ⋅ sin 不是无穷大. x
+
17
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作业
习题1−4 (P41): 3. 6. 7.
18
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铃
的铅直渐近线.
1 x −1
x→x0
y=
1
铅直渐近线
8
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铃
铅直渐近线
如果 lim f (x)=∞ , 则称直线x= x0 是函数 y=f(x)的图形
的铅直渐近线. 水平渐近线水平渐近线. 如果 lim f (x) =A, 则直线 y =A 称为函数 y =f(x)的图形的 →∞
x
x→x0
水平渐近线
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铃
x 的渐近线. 例3 求曲线 y = x +1 x 1 解因为 lim y = lim = lim(1 − ) = 1, x →∞ x →∞ x + 1 x →∞ x +1
x 所以曲线 y = 的水平渐近线为 y =1. x +1 1 x +1 因为 lim = lim = 0, lim y = ∞, x →−1 x →−1 y x →−1 x

高等数学1.4无穷大与无穷小的关系

f ( x) A ( x)
x x 0 时的无穷小.
x x 0 时的无穷小. 0, 0, 当 0 x x0 时，
lim f ( x ) A ( x) , 即 f ( x) A , x x
0
因为 ( x ) 是当
二、无穷大定义: 绝对值无限增大的函数称为无穷大. 1 1 称为 x 0 时的无穷大如 x 0时，， x x 如 lim f ( x ) ; lim f ( x )
（2）设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
要证： M > 0， >0，当 0 <|x – x0| < ， 1 1 M. 恒有 f ( x ) , f ( x ) 0, f ( x) M 当x
1 x0 时，f ( x ) 为无穷大
M
x0
f (x)
M邻域， x0 的空心邻域， 0
该邻域内所有点相应的曲线上的点落在绿 –M 色区域内.
x0
x0
x
2 无穷大
x x0
lim f ( x )
y
>0， M > 0，当 0 <|x – x0| < ，恒有 | f (x) | >M.
( X 0) ( x X) 定义2 M 0, 0,当 0 x x0 时，有
x x0
x
f ( x) M
则称f ( x )是 x x 0 时的无穷大, 记为 ( x )
x x0
f ( x ) ). lim f ( x ) . ( lim x

D1_4无穷小无穷大

二、无穷大
( lim f (x) )
x
定义2 . 若任给 M > 0 , 总存在
(正数 X ) , 使对
一切满足不等式
( x X ) 的 x , 总有
①
则称函数
当
( x ) 时为无穷大, 记作
( lim f (x) )
x
若在定义中将 ①式改为
( f (x) M ),
(自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.
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内容小结 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小与无穷大的关系 Th2
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思考与练习 P37 题1 , 4
作业 P37-38 3； 6 ; 7；8
定义1. 若
(或 x ) 时, 函数
则
则称函数为
(或 x ) 时的无穷小 .
说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !
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定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
lim f (x) A
x x0
证: lim f (x) A
x x0
f ( x) A , 其中为 x x0
不存在 .
证: 取两个趋于 0 的数列
xn
1 2n π
及
xn

2n
1 π
π 2
(n 1, 2 ,)
有 lim sin 1 lim sin 2n π 0 n xn n
lim sin
n
1 xn

lim sin(2n π
n

高等数学微积分习题册上册答案

|
x2 − 2x2 +1
1 |= 2
1 2(2 x2
+ 1)
<
1 x2
<ε
→
x>
1 ε
取X =
1 ε
，当| x |>
X
,
|
2
x2 x2 +
1
−
1 2
|<
ε
，所以
lim
x→∞
x2 2x2 +
1
=
1。 2
四、证明 lim x = 1，并求正数 X ，使得当 x > X 时，就有| x −1|< 0.01 .
;
根据
lim
k→∞
x2k
= a ,存在 N2>0,
当 k>N2 时 | x2k
− a |< ε
.
取N
=
2max( N1, N 2) + 1，当
n>N
时|
xn
− a |<
ε
，所以
lim
n→∞
xn
=
a。
四川大学数学学院高等数学教研室编
2
学院
姓名
学号
一、根据函数极限的定义证明下列极限：
日期
1.3 函数的极限
证明：对任意ε，解不等式 | 2n − 3 − 2 |= 17 < 1 < ε → n > 1
5n + 1 5 5(5n + 1) n
ε
取 N = [ 1 ]，当 n>N 时| 2n − 3 − 2 |< ε ，所以 lim 2n − 3 = 2 。
ε

高等数学1-4-无穷小与无穷大

说明: 除 0 以外任何很小的常数函数都不是无穷小 !
因为 C 当
显然 C 只能是 0 换句话说，0 是无穷小量。 C 时,
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x x0
lim f ( x) A
f ( x ) A , 其中为
x x0 时的无穷小量 .
证: lim f ( x) A
1.4 无穷小与无穷大
一、无穷小量定义1 . 若则称函数例如 : 函数函数为当函数
(或x ) 时 , 函数
为当
(或x ) 时的无穷小 .
（以零为极限的变量。）为当时为无穷小;
时为无穷小;
为当时为无穷小.
定义1. 若则称函数为
(或
x ) 时 , 函数
(或
x ) 时的无穷小 .
当
但
所以
3. 若
时,
不是无穷大 !
则直线
x x0
为曲线
的铅直渐近线 .
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中, 若若
1 为无穷大, 则为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) (自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.
无穷小的性质
定理1
定理2
有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。
有界变量与无穷小量的乘积仍是无
穷小量。推论1 常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
推论2 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。
定理3 极限不为零的函数除无穷小量，所得的
商是无穷小量。
x x0

微积分-无穷大无穷小

x x0
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
注意:无穷大与无穷小是相对于过程而言的.如:
1 是 x 的无穷小;是 x 0 x
x x0
的图形的铅直渐近线.
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
x x0 ( x )
注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
（2）切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
1 2 1 例如,当x 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x
二、无穷大（定义见书P17）
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
如:1,0,3,0,5,0,,0,2n 1,0,不是无穷大
1 例证明 lim . x 1 x 1
而
的无穷大;
x 1 它既不是无穷大也不是无穷小.
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；（3）无界变量未必是无穷大.
式 f ( x ) A, 误差为 ( x ).
3、无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
注意

大学数学高数微积分无穷大及无穷小课堂讲解

其中 (x)是x当 x0时的,无穷小
则 lif m (x ) li(A m (x ))Alim (x)A.
x x 0
x x 0
x x0
意义
〔1〕将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); （2）给出了f(函 x)在数x0附近的近似表达
式f(x)A,误差为 (x).
3、无穷小的运算性质:
例如 ,n时,1是无穷小， n
但n个1之和1不为是无.穷小 n
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证设函数 u(x)在 N 0(x0,1)内有界 ,
则 M0,10,使得当 0xx01时
恒有 u(x)M .
又设 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小 ,
0,20,使得当 0xx0 2时恒有 (x).
例,当如 x 0时 ,xsi1n ,x2arc1t都a 是无n穷小
x
x
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
定义 2 设函数 f ( x)在 x0某一去心邻域内有定义（或 x
大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数
M (不论它多么大),总存在正数(或正数 X ),使得对于
x x
x x
x x
由上面的讨论知，若曲线 y f (x) 有斜渐近线 y kx b ，
则常数 k 与 b 可相继由以上两式求出；反之，若由以上两式求得 k 与 b ，则可知| PN | 0 （ x ），
从而 y kx b 为曲线 y f (x) 的斜渐近线。
若 k 0 ，则称为曲线 y f (x) 的水平渐近线。
〔3〕无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.

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第4节
第1章
无穷小与无穷大
一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系四、无穷小运算法则
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一、无穷小
定义1 . (若或xxx0 时) , 函数 f (x) 0 , 则称函数 f (x)
为x (或x
x0 )
时的无穷小
.
例如 :
lim( x 1) 0, 函数 x 1当 x 1 时为无穷小;
x x0 ( x )
x x0 ( x )
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注意:
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.
2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
例如, 函数 f (x) x cos x , x ( , )
f (2n π ) 2 n π (当n )
M
1 M x 1 所以 lim 1 .
y y 1
x 1
x1 x 1
O1 x
说明: 若 lim f (x) , 则直线 x x0
x x0
为曲线 y f (x) 的铅直渐近线 .
铅直渐近线
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三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中,
若 f (x) 为无穷大, 则 1 为无穷小 ;
0,
2
0,当
x U
( x0
,
2
)
时, 有
M
取 min1 , 2 , 则当 x U (x0 , ) 时 , 就有
u
u
M
M
故 lim u 0, 即 u 是 x x0 时的无穷小 . x x0 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
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x x0
x x0
0, 1 0,当0
x x0
1时 , 有
2
2 0,当 0
x x0 2 时 , 有
2
取 min1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
2
2
因此
lim ( ) 0.
x x0
这说明当 x x0 时, 为无穷小量 .
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x1
lim 1 0, 函数 1 当 x 时为无穷小;
x x
x
lim 1 0, 函数 1 当 x 时为无穷小.
x 1 x
1 x
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二、无穷大
定义2 . 若任给 M > 0 , 总存在 0 (正数 X ) , 使对
但
f
(
π 2
n
π
)
0
所以 x 时, f (x) 不是无穷大 !
y y x cos x
O
x
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例1 . 证明 lim 1
x1 x 1
证: 任给正数 M , 要使 1 M , 即 x 1 1 ,
x 1
M
只要取 1 , 则对满足 0 x 1 的一切 x , 有
f (x)
若
f (x) 为无穷小, 且
f (x) 0, 则
1 为无穷大. f (x)
(自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.
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四、无穷小运算法则
定理3. 有限个无穷小的和还是无穷小 .
证: 考虑两个无穷小的和 . 设 lim 0 , lim 0 ,
一切满足不等式 0 x x0 ( x X ) 的 x , 总有
f (x) M
①
则称函数 f (x) 当 x x0 ( x ) 时为无穷大, 记作
lim f (x) (lim f (x) ).
x x0
x
若在定义中将 ①式改为 f (x) M ( f (x) M ),
则记作 lim f (x) ( lim f (x) )
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
例如，
lim
n
n
1 n2
π
n2
1
2π
n2
1
n
π
1
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定理4 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
证: 设 x U (x0 , 1 ), u M
又设
lim
x x0
0,
即
例2. 求 lim sin x . x x
解: sin x 1
lim 1 0 x x 利用定理 4 可知 lim sin x 0 .
x x
y
y sin x x
O
x
说明 : y = 0 是 y sin x 的渐近线 . x
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