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经管类《微积分》（上）习题参考答案第一章 函数习题一一、1．否； 2．是； 3．是； 4.否.二、1．)[()5,33,2⋃； 2．()πππ+k k 2,2； 3． 2,24>-<<-x x 或；4．[]a a -1,； 5.[]2,0； 6.222+-x x . 三、1．奇函数；2．奇函数． 3.（略）四、1(略)；2．212+x ； 3．11-+x x ． 五、1．x v v u u y sin ,,ln 2===；2．x x u e y u ln ,==；3．1525++⋅x x ．六、50500,,)50(8.050)(>≤<⎩⎨⎧-+=x x x a a ax x R ．第二章极限与连续习题一一、 1．0,1,1,0； 2．e e e e ,,,231- 二、1．1； 2．0； 3．21； 4．4.三、1. (略)； 2.证明（略），极限为2 四、()1lim 0=+→x f x ，()1lim 0-=-→x f x ，()x f x 0lim →不存在. 五、都不存在. 六、15832.5,32.4,221.3,1.2,0.1 1.8,3.7,.6e .七、2,1==b a 八、2.4,32.3,21.2,2.1-习题二 一、()().1,1.4,,22,1.3,2.2,.1+∞⋃第一类二、1．为可去间断点1=x ，为第二类间断点2=x ； 2.为跳跃间断点1=x . 三、2ln ,2==b a ．四、0,0,10,00,1)(=⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=x x x x x f 为()x f 的跳跃间断点。
五、()()+∞⋃∞-,00,. 六、左不连续；右连续. 七、,.4,.3,.2,2ln .1623e e e - 八、九、十 (略).第二章 测验题一、B A C A D .5,.4,.3,.2,.1.二、21.4,2.3,2.2,2.1-e .三、.31.4,3.3,1.2,61.1.四、x x x x p ++=232)(.五、为第二类间断点为可去间断点处连续21,1,2,,1===-=x x x x ．六、.3,21==b a 七、（略）. 八、a .第三章 导数与微分习题一一、),0(.2),(,)(2,)(.1000f x f x f x f '''')(),(1.3000000x x x y y x x x y y --=--=- 二、00,,2)(<>⎩⎨⎧='x x x e x f x 三、)0(2)(g a f ='. 四、处连续且可导0=x ．五、()的有理数；互质与且)2(,201n m mna a ≠> ()互质）的有理数与且n m mna a 2(,1212-≠>. 习题二一、,ln 1.3,1.2,622ln 2.123x xx x x -++- )2(42,)2(42.422ππππππ-=---=-x y x y . )(4)(2.5222x f x x f ''+'二、2)1()sin 3(cos sin cos 2.1x x e x x e x x +-+-；x x x x x x x x cos sin ln cos 2sin .2+-+； 211arcsin 2.3xx -⋅； 21)ln (ln .4x x n x n --；a a x x x ax a a a 21211sec ln .5+⋅+-；6.x x exx 1tan 1sec 221sec 22⋅⋅⋅-； )(87略-.三、1．()x f x f '⋅)(2； 2．)()(222x x x x x e f e e e f xe '+.四、00,,11)12()(222=≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-='x x x e x x f x . 五、(略) 习题三一、()dx x x x 1ln .1+； ()dx e e f x x '.2；x e x e x x x ln ln ,arctan ),13sin(31,61,2.36+；4. ppQ -+2;252. 二、1．)sin ln (cos sin xxx x x x +⋅； 2．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+-+------)5(51)4(54)3(53)2(5211)5()4()3()2()1(5432x x x x x x x x x x 三、1．()184-==p dpdQ，54.04-≈=P EP ED经济意义：当价格从4上升%1时，需求量从59下降%54.0；()246.04≈=P EP ER，价格从4上涨%1时总收益将从263增加%46.0.四、1．dx x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-2222211cot )1(2)11ln(sin ． 五、212x +. 第三章 测验题一、,1.3,1.2,)1(21.1arctan =⋅+--y dx e x x x π21)1()1(2.4xx f x f '-, 2ln 21.5-.二、..3,.2,.1C D D 三、1．yyxey e +-2； 2．0； 3．[]()0,,02121cos )(sin )()(),0(2=≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧''++-+'=''=x x g x xx g x x g x x f g a第四章 中值定理与导数的应用 习题一一、1．不满足，没有； 2．1； 3．满足，914； 4．4,1--.；5.不存在二、三、四、五(略)六、1.6,ln .5,21.4,21.3,0.2,21.1a -. 七、连续. 八、1.习题二一、1．单减，凹的； 2．)4,1(；3．0,0==x y ；4．29,23-；5. ac b 32≤.6.e p 1=二、单增区间为[]2,0；单减区间为]()[∞+⋃∞-,20,. 三、拐点为()7,1-；凹区间为)[∞+,1；凸区间为[]1,0．四、0,3,3,1==-==d c b a .五(略)六、为极大值3)3(,2==πf a .七、20000=Q ，最大利润()34000020000=L 元. 八、5.9元，购进140件时，最大利润490元. 九、十（略）.第四章 测验题 一、..3;.2;.1A B B 二、()0.4;2,1.3;3.2;1.1=x三、.1.2;61.1-四、.1;0;3==-=c b a 五、获利最大时的销售量()t x -=425，当2=t 政府税收总额最大，其税收总额为10万元.六、()1证明略； ()254.06≈=P EP ER，经济意义：当价格从6上涨%1时，总收益从156增加%54.0.第五章 不定积分习题一一、1．dx x f )(，C x f +)(，)(x f ，C x f +)(； 2．C ； 3．C x +2； 4．32x. 二、1．C x x +-arctan ； 2．C x e x +-2；3．C x x +-sec tan ； 4．C x +tan 21． 三、1ln +=x y .四、12)(2+-=x x x G .习题二一、1．C e x x ++-tan tan ； 2．C x f +--)1(212； 3．C x F ++)12(； 4．C x f +--）2cos 3(31． 二、1．C x +|ln ln |ln ； 2．C x ++-|1cos |ln 2； 3．C e x +arctan ；4．C x +--21)32(312； 5．C x x x +---------999897)1(991)1(491)1(971；6．C e xx ++1； 7．C x x +-32)cos (sin 23； 8．C e x x ++-)1ln(； 9．C x x ++-)9ln(292122； 10．C x +)arctan(sin 212； 11．C x+-arcsin 1；12．C x x ++-+ln 12)ln 1(3223； 13．()()()C x x x +++++-+11ln 313123313132；14．C e x+-1arctan 2； 15．C xx ++61611ln； 16．C x x x +-+22211arccos 21. 习题三一、1．C x e x ++-)1(；2．C x xf +)(； 3．C x f x f x +'-'')()(； 4．C e xe x x +-2． 二、1．C x x x x +++-)1ln(6161arctan 31223； 2．C e xe x x +------11；3．C x x x x x ++-2ln 2ln 2； 4．C x x x x++++-)6ln 6ln 3(ln 123；5．C x x e x ++-)22(33323； 6．()()[]C x x x++ln sin ln cos 2；7．C x x x x x +--+2arcsin 12)(arcsin 22； 8．C x x x x ++-sin 4cos )24(； 9．C x x x +-+arctan )1(； 10．C x x x x x +++-+221ln 1ln ．三、C x x x +-++21)arcsin 1(． 四、C x x x x ++-+arctan 22)1ln(2． 五、)1(21x x +．习题四1．C x x x x x x +--+-+++|1|ln 3|1|ln 4||ln 82131232．C x x x x +-+-+-arctan 21)1ln(41|1|ln 21||ln 2第六章 定积分及其应用习题一 一、a b a b -+-）（3331二、1．≥， 2．≥ 三、（提示：用定积分性质6证）四、1．412x x +； 2．81221213x x x x +-+； 3．3； 4．21； 5．28-x ； 6．]41,0(； 7．yx e y 2cos 22． 五、)(x f 在0=x 处有极小值0)0(=f ．六、1．6π； 2．4； 3．38．七、1．1； 2．2八、4π．九、)1ln(e +十（略）．习题二一、1．)(sin x f ； 2．)0(arctan )1(arctan f f -； 3．)]()([2122a F b F -； 4．3243π；5．0； 6．)()(a x f b x f +-+； 7．8； 8．0二、1．34-π； 2．32ln 22+； 3．a )13(-； 4．34； 5．22； 6．214-π； 7．)11(2e -； 8．)2(51-πe ．三、四（略）五、（提示：令x t -=2π）； 4π.六、()1,11=-=-a e x f x . 七、x x sin cos -. 八、x 2ln 21.习题三一、1．332； 2．2ln 23-； 3．67； 4．49．二、62221,21-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=S a ． 三、2ln 214+-x ．四、1．π145； 2．24π； 3．ππ564,727． 五、10/100Q Qe -． 六、31666． 七、1．2； 2．2ln 21．。
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin)(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xx x +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
3、函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。
《微积分》各章习题及详细答案(总42页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为 。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数x xx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin)(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xx x +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
第七章空间解析几何与向量代数内容概要名称主要内容（7-1，7-2，7-3）向量及线性运算向量的加减法三角形法则平行四边形法则向量与数的乘法aλ：当0>λ时，aλ表示和a同向，aaλλ=的向量；当0<λ，aλ表示和a反向，aaλλ=的向量；主要性质：（1）a单位化向量为aa，（2）baa//bλ=⇔向量的坐标),,(),,,(22221111zyxMzyxM的距离：212212212)()()(zzyyxx-+-+-向量的代数运算kjiazyxaaa++=kjibzyxbbb++=kjiba)()()(zzyyxxbababa±+±+±=±kjiazyxaaaλλλλ++=向量a的模、方向余弦：222zyxaaa++=a，aaazxxaba===γβαcos,cos,cos向量a在μ轴上的投影：μμaμaaaμ⋅==∧),cos(Pr j数量积向量积混合积数量积定义及运算：zzyyxxbababa++==⋅∧),cos(bababa主要性质：（1）2aaa=⋅；（2）0=⋅⇔⊥baba，（3）bababa⋅=∧),cos(向量积定义运算ba⨯的模为),sin(∧=⨯bababa，方向为a指向b大拇指方向zyxzyxbbbaaakjiba=⨯性质：（1）ba⨯表示以a、b为邻边的平行四边形面积；（2）bbaaba⊥⨯⊥⨯,混合积定义及运算：zyxzyxzyxcccbbbaaa=⋅⨯cba)(性质：（1）bacacbcba⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯)()()(（2）c b a ,,共面的充要条件：0)(=⋅⨯cb a习题7-1★★1．填空：（1） 要使b a b a -=+成立，向量b a , 应满足b a ⊥（2） 要使b a b a +=+成立，向量b a , 应满足 //b a ，且同向★2．设c b a v c b a u-+-=+-=3 , 2，试用c b a , , 表示向量v u 32-知识点：向量的线性运算解：c b a c b a c b a v u 711539342232+-=+-++-=-★3．设Q , P 两点的向径分别为21 , r r ，点R 在线段PQ 上，且nmRQPR =，证明点R 的向径为 n m m n+=+r r r 12知识点：向量的线性运算证明：在OPQ ∆中，根据三角形法则PQ OP OQ =-，又)(21r r -+=+=nm mn m m ，∴nm m n n m mPR OP OR++=-++=+=22r r r r r 111)(★★4．已知菱形ABCD 的对角线b a ==B , ，试用向量b a , 表示 , , , 。
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin)(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xx x +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
1.对于级数，下列说法正确的是( ).A.发散B.收敛于C.收敛于D.敛散性不确定你的答案：发散正确答案：发散解题思路：因为，所以级数发散. 本题题号：470022.对于级数，下列说法正确的是( ).A.收敛于B.发散C.敛散性不确定D.收敛于你的答案：发散正确答案：发散解题思路：因为，所以级数发散. 本题题号：470033.对于级数，下列说法正确的是( ).A.收敛于B.发散C.敛散性不确定D.收敛于你的答案：发散正确答案：发散解题思路：因为，所以级数发散.本题题号：470044.对于级数，下列说法正确的是( ).A.收敛于B.敛散性不确定C.收敛于D.发散你的答案：发散正确答案：发散解题思路：因为，所以级数发散.5.对于级数，下列说法正确的是( ).A.收敛于B.敛散性不确定C.收敛于D.发散你的答案：发散正确答案：发散解题思路：因为，所以级数发散.. 本题题号：470066.对于级数，下列说法正确的是( ).A.发散B.收敛于C.收敛于D.敛散性不确定你的答案：发散正确答案：发散解题思路：因为，所以级数发散..7.对于级数，下列说法正确的是( ).A.发散B.敛散性不确定C.收敛于D.收敛于你的答案：发散正确答案：发散解题思路：因为，所以级数发散. 本题题号：470088.对于级数，下列说法正确的是( ).A.收敛于B.收敛于C.发散D.敛散性不确定你的答案：发散正确答案：发散解题思路：因为，所以级数发散.9.对于级数，下列说法正确的是( ).A.敛散性不确定B.收敛于C.发散D.收敛于你的答案：发散正确答案：发散解题思路：因为，所以级数发散. 本题题号：4701010.对于级数，下列说法正确的是( ).A.发散B.收敛于C.敛散性不确定D.收敛于你的答案：发散正确答案：发散11.对于级数，下列说法正确的是( ).A.敛散性不确定B.收敛于C.发散D.收敛于你的答案：发散正确答案：发散解题思路：因为，所以级数发散. 本题题号：4701212.对于级数，下列说法正确的是( ).A.收敛于B.发散C.收敛于D.敛散性不确定你的答案：发散正确答案：发散13.对于级数，下列说法正确的是( ).A.发散B.收敛于C.敛散性不确定D.收敛于你的答案：发散正确答案：发散解题思路：因为，所以级数发散. 本题题号：4701414.对于级数，下列说法正确的是( ).A.收敛于B.收敛于C.敛散性不确定D.发散你的答案：发散正确答案：发散15.对于级数，下列说法正确的是( ).A.发散B.收敛于C.敛散性不确定D.收敛于你的答案：发散正确答案：发散解题思路：因为，所以级数发散. 本题题号：4701616.对于级数，下列说法正确的是( ).A.敛散性不确定B.发散C.收敛于D.收敛于你的答案：发散正确答案：发散解题思路：因为，所以级数发散.本题题号：4701717.对于级数，下列说法正确的是( ).A.敛散性不确定B.收敛于C.发散D.收敛于你的答案：发散正确答案：发散解题思路：因为级数发散，级数收敛，所以级数发散. 或者因为，所以发散.本题题号：4701818.对于级数，下列说法正确的是( ).A.收敛于B.敛散性不确定C.发散你的答案：发散正确答案：发散解题思路：因为级数发散，级数收敛，所以级数发散.本题题号：4701919.对于级数，下列说法正确的是( ).A.收敛于B.收敛于C.发散D.敛散性不确定你的答案：发散正确答案：发散解题思路：因为，所以级数发散. 本题题号：4702020.若收敛，则( ).A.B.趋于无穷大D.你的答案：正确答案：趋于无穷大解题思路：因为收敛，所以，从而，所以.本题题号：4702121.若收敛，则( ).A.B.C.D.趋于无穷你的答案：正确答案：解题思路：因为收敛，所以，从而，所以.本题题号：4702222.若收敛，且和为，则( ).A.收敛于B.敛散性不确定C.发散D.收敛于你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，所以，从而，因此发散. 本题题号：4702323.若收敛，且和为，则( ).A.发散B.收敛于C.敛散性不确定D.收敛于你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，所以，从而，因此发散.本题题号：4702424.若收敛，且和为，则( ).A.收敛于B.发散C.收敛于D.敛散性不确定你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，所以，从而，因此发散.本题题号：4702525.若收敛，且和为，则( ).A.敛散性不确定B.收敛于C.发散D.收敛于你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，所以，从而，因此发散.本题题号：4702626.若收敛，且和为，则( ).A.收敛于B.发散C.敛散性不确定D.收敛于你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，所以，从而，因此发散.本题题号：4702727.若收敛，且和为，则( ).A.敛散性不确定B.收敛于C.发散D.收敛于你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，所以，从而，因此发散.本题题号：4702828.若收敛，且和为，则( ).A.发散B.收敛于C.收敛于D.敛散性不确定你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，所以，从而，因此发散.本题题号：4702929.若收敛，且和为，则( ).A.发散B.收敛于C.收敛于D.敛散性不确定你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，所以，从而，因此发散.本题题号：4703030.若收敛，且和为，则( ).A.敛散性不确定B.收敛于C.收敛于D.发散你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，所以，从而，因此发散.本题题号：4703231.若收敛，且和为，则( ).A.收敛于B.收敛于C.发散D.敛散性不确定你的答案：收敛于正确答案：收敛于解题思路：因为，从而. 本题题号：4703332.若收敛，且和为，则( ).A.收敛于B.发散C.收敛于D.敛散性不确定你的答案：收敛于正确答案：收敛于解题思路：因为，从而.本题题号：4703433.若收敛，且和为，则( ).A.收敛于B.敛散性不确定C.收敛于D.发散你的答案：收敛于正确答案：收敛于解题思路：因为，从而. 本题题号：4703534.若收敛，且和为，则( ).A.收敛于B.收敛于C.发散D.敛散性不确定你的答案：收敛于正确答案：收敛于解题思路：因为，从而.本题题号：4703635.若收敛，且和为，则( ).A.发散B.敛散性不确定C.收敛于D.收敛于你的答案：收敛于正确答案：收敛于解题思路：因为，从而.本题题号：4703736.若收敛，且和为，则( ).A.收敛于B.敛散性不确定C.收敛于D.发散你的答案：收敛于正确答案：收敛于解题思路：因为，从而. 本题题号：4703837.若收敛，且和为，则( ).A.收敛于B.收敛于C.敛散性不确定D.发散你的答案：收敛于正确答案：收敛于解题思路：因为，从而. 本题题号：4703938.若收敛，且和为，则( ).A.发散B.敛散性不确定C.收敛于D.收敛于你的答案：收敛于正确答案：收敛于解题思路：因为，从而.本题题号：4704039.若收敛，且和为，则( ).A.收敛于B.敛散性不确定C.收敛于D.发散你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，所以，从而，因此发散. 本题题号：4704140.若收敛，且和为，则( ).A.收敛于B.发散C.收敛于D.敛散性不确定你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，则，所以，从而，因此发散.1.若收敛，且和为，则( ).A.收敛于B.收敛于C.敛散性不确定D.发散你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，则，所以，从而，因此发散.本题题号：470432.若收敛，且和为，则( ).A.敛散性不确定B.收敛于C.发散D.收敛于你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，则，所以，从而，因此发散.本题题号：470443.若收敛，且和为，则( ).A.发散B.收敛于C.敛散性不确定D.收敛于你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，则，所以，从而，因此发散.本题题号：470454.若收敛，且和为，则( ).A.收敛于B.敛散性不确定C.发散D.收敛于你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，则，所以，从而，因此发散.本题题号：470465.若收敛，且和为，则( ).A.收敛于B.发散C.收敛于D.敛散性不确定你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，则，所以，从而，因此发散.本题题号：470476.若收敛，且和为，则( ).A.发散B.收敛于C.收敛于D.敛散性不确定你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，则，所以，从而，因此发散.本题题号：470487.若收敛，且和为，则( ).A.收敛于B.敛散性不确定C.收敛于D.发散你的答案：敛散性不确定正确答案：发散解题思路：因为收敛，则，所以，从而，因此发散.本题题号：470498.若收敛，且和为，则( ).A.敛散性不确定B.收敛于C.发散D.收敛于你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，则，所以，从而，因此发散.本题题号：470509.若收敛，且和为，则( ).A.收敛于B.收敛于C.D.发散你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，所以，从而，因此发散.本题题号：4705110.若收敛，且和为，则( ).A.发散B.收敛于C.敛散性不确定D.收敛于你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，所以，从而，因此发散.本题题号：4705211.若收敛，且和为，则( ).A.敛散性不确定B.发散C.收敛于D.收敛于你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，所以，从而，因此发散.本题题号：4705312.若收敛，且和为，则( ).A.收敛于B.发散C.敛散性不确定D.收敛于你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，所以，从而，因此发散.本题题号：4705413.若收敛，且和为，则( ).A.敛散性不确定B.收敛于C.收敛于D.发散你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，所以，从而，因此发散.本题题号：4705514.若收敛，且和为，则( ).A.收敛于B.敛散性不确定C.发散D.收敛于你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，所以，从而，因此发散.本题题号：4705615.若收敛，且和为，则( ).A.敛散性不确定B.收敛于C.发散D.收敛于你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，所以，从而，因此发散.本题题号：4705716.若收敛，且和为，则( ).A.发散B.收敛于C.收敛于D.敛散性不确定你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，所以，从而，因此发散. 本题题号：4705817.若收敛，且和为，则( ).A.收敛于B.发散C.敛散性不确定D.收敛于你的答案：收敛于正确答案：发散解题思路：因为收敛，所以，从而，因此发散.本题题号：4705918.对于级数，下列说法正确的是().A.发散，并且一般项趋于B.不确定C.收敛D.发散，并且一般项不趋于你的答案：发散，并且一般项不趋于正确答案：发散，并且一般项不趋于解题思路：因为，所以级数发散. 本题题号：4706019.对于级数，下列说法正确的是( ).A.收敛B.敛散性不确定C.发散，并且一般项趋于D.发散，并且一般项不趋于你的答案：发散，并且一般项趋于正确答案：发散，并且一般项不趋于解题思路：因为，所以级数发散. 本题题号：4706120.对于级数，下列说法正确的是( ).A.发散，并且一般项趋于B.敛散性不确定C.发散，并且一般项不趋于D.收敛你的答案：发散，并且一般项不趋于正确答案：发散，并且一般项不趋于解题思路：因为，所以级数发散. 本题题号：4706221.对于级数，下列说法正确的是( ).A.敛散性不确定B.发散，并且一般项不趋于C.发散，并且一般项趋于D.收敛你的答案：发散，并且一般项不趋于正确答案：发散，并且一般项不趋于解题思路：因为，所以级数发散. 本题题号：4706322.对于级数，下列说法正确的是( ).A.发散，并且一般项不趋于B.收敛C.发散，并且一般项趋于D.不确定你的答案：发散，并且一般项不趋于正确答案：发散，并且一般项不趋于解题思路：因为，所以级数发散.本题题号：4706423.对于级数，下列说法正确的是( ).A.发散，并且一般项趋于B.收敛C.发散，并且一般项不趋于D.不确定你的答案：发散，并且一般项不趋于正确答案：发散，并且一般项不趋于解题思路：因为，所以级数发散. 本题题号：4706524.级数的一般项为( ).A.B.C.D.你的答案：正确答案：解题思路：由符号规律知，各项的分子与项数相同，分母比项数大. 本题题号：4706625.级数的一般项为( ).A.B.C.D.你的答案：正确答案：解题思路：由符号规律知是交错级数，各项的分子与项数相同，分母比项数大. 本题题号：4706726.级数的一般项为( ).A.B.C.D.你的答案：正确答案：解题思路：由符号规律知是交错级数，各项的分子与项数相同，分母比项数大. 本题题号：4706827.级数的一般项为( ).A.B.C.D.你的答案：正确答案：解题思路：由符号规律知，各项的分母与项数相同，分子比项数大. 本题题号：4706928.级数的一般项为( ).A.B.C.D.你的答案：正确答案：解题思路：由符号规律知是交错级数，各项的分母与项数相同，分子比项数大. 本题题号：4707029.级数的一般项为( ).A.B.C.D.你的答案：正确答案：解题思路：由符号规律知是交错级数，各项的分母与项数相同，分子比项数大. 本题题号：4707130.级数的一般项为( ).A.B.C.D.你的答案：正确答案：解题思路：由符号规律知，各项的分母为偶数，分子为奇数，且分子比分母小.本题题号：4707231.级数的一般项为( ).A.B.C.D.你的答案：正确答案：解题思路：由符号规律知是交错级数，各项的分母为偶数，分子为奇数，且分子比分母小.本题题号：4707332.级数的一般项为( ).A.B.C.D.你的答案：正确答案：解题思路：由符号规律知是交错级数，各项的分母为偶数，分子为奇数，且分子比分母小. 本题题号：4707433.级数的前两项和为( ).A.B.C.D.你的答案：正确答案：解题思路：.本题题号：4707534.级数的前三项和为( ).A.B.C.D.你的答案：正确答案：解题思路：.本题题号：4707635.级数的一般项为( ). A.B.C.D.你的答案：正确答案：解题思路：由符号规律可知，.本题题号：4707736.级数的前三项和为( ).A.B.C.D.你的答案：正确答案：解题思路：. 本题题号：4707837.级数的前两项和为( ).A.B.C.D.你的答案：正确答案：解题思路：.本题题号：4707938.已知，则( ).A.B.C.D.你的答案：正确答案：解题思路：由级数的部分和与一般项的关系可知，. 本题题号：4708039.已知，则( ).A.B.C.D.你的答案：正确答案：解题思路：由级数的部分和与一般项的关系可知，；.本题题号：4708140.已知，则( ).A.B.C.D.你的答案：正确答案：解题思路：由级数的部分和与一般项的关系可知，；当时，，所以().1.已知，则( ).A.B.C.D.你的答案：正确答案：解题思路：由级数的部分和与一般项的关系可知，.本题题号：470832.已知，则( ).A.B.C.D.你的答案：正确答案：解题思路：由级数的部分和与一般项的关系可知，;.本题题号：470843.已知，则( ).A.B.C.D.你的答案：正确答案：解题思路：由级数的部分和与一般项的关系可知，；当时，，所以().本题题号：470884.设，则( ).A.收敛于B.发散C.收敛于D.收敛于你的答案：收敛于正确答案：收敛于解题思路：的首项是，第二项是，依次递推，.本题题号：47089。
§ 1曲面的概念1.求正螺面'=｛ u m ,u •匸.，bv ｝的坐标曲线.解u-曲线为'={u - '二，u '1 1 ,bv J }= {0,0 , bv：} + u {八宀，：n- 1- ,0｝，为曲线的直母线;v-曲线为'=｛心：；八，Y •匚，bv ｝为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物面"=｛a （u+v）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证u-曲线为，=｛ a （u+" ）, b （u-门），2u^｝=｛a , b、,0｝+ u｛a,b,2 J｝表示过点｛a小,b厂,0｝以｛a,b,2「｝为方向向量的直线;v-曲线为'=｛a （"：+v）, b C ' -v ）,2 一〕v｝= ｛a ：l, b‘），0 ｝+v｛a,- b,2 1 ｝表示过点（a^ , b "」,0）以｛a,-b,2 ‘‘ - ｝为方向向量的直线。
3. 求球面・；' 一上任意点的切平面和法线方程。
解心= （一乩乞尬0亡。
2卩厂订呂如朴羽口旦召｝心｛一匸cos sin p,a co; & cos（p F0）任意点的切平面方程为x-a cos^?cy - a cos 5 sin 炉-jcin ^sin 妒Q cos^i ctos (p 即xcos 「cos'" + ycos - si n 山 + zsin - a = 0法线方程为z - ju_ JZ7COS 呑z- a ccs^oas q? y- acos T9SITL込一肚sm®4•求椭圆柱面/ ■在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线,解椭圆柱面1 的参数方程为x = cos= asiz = tr e = (-Ljsin Ebe 恥 $0}。
所以切平面方程为:5•证明曲面 是常数。
的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积E =〔叫羊｝* x y uv斥二｛0 丄- + -^—^3。
微积分第四版习题答案12微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化规律以及与之相关的概念和方法。
而习题则是学习微积分过程中的重要组成部分，通过解答习题可以帮助我们巩固所学的知识，提高解决问题的能力。
在微积分第四版中，有许多习题需要我们去解答，下面我将为大家提供一些习题的答案。
1. 习题：计算函数f(x) = x^2 + 3x - 2在x = 2处的导数。
答案：我们知道，函数在某一点处的导数等于该点的切线斜率。
因此，我们可以通过求函数在x = 2处的切线斜率来计算导数。
首先，我们需要计算函数在x = 2处的斜率。
利用导数的定义，我们有：f'(2) = lim(h->0) [f(2+h) - f(2)] / h代入函数f(x) = x^2 + 3x - 2，我们得到：f'(2) = lim(h->0) [(2+h)^2 + 3(2+h) - 2 - (2^2 + 3(2) - 2)] / h化简后，我们得到：f'(2) = lim(h->0) [4h + h^2 + 6h] / h继续化简，得到：f'(2) = lim(h->0) (h^2 + 10h) / h再次化简，得到：f'(2) = lim(h->0) (h(h + 10)) / h最后，化简为：f'(2) = lim(h->0) (h + 10) = 10所以，函数f(x) = x^2 + 3x - 2在x = 2处的导数为10。
2. 习题：计算函数g(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x + 1的不定积分。
答案：不定积分是求函数的原函数，即反向求导的过程。
对于给定的函数g(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x + 1，我们需要找到它的原函数F(x)，使得F'(x) = g(x)。
根据不定积分的性质，我们可以逐项对函数g(x)进行积分。
习题七（A ）1.求下列函数的定义域,并画出定义域的图形： (1)y x z -=； (2)2arcsinyx z =；(3)221)ln(yx x x y z --+-=；(4)2222221ry x y x R z -++--=)0(R r <<.解 (1) {}y x y y x ≥≥,0),(；(2) {}22,0),(yx y y y x ≤≤-≠；(3){}1,),(22<+>y x x y y x ；(4){}2222),(R y x r y x ≤+<.2.设22),(y x xy y x f -=+,求),(y x f .解 设⎪⎩⎪⎨⎧==+vxy u y x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=v uv y v u x 11,代入得 =),(v u f 22),(y x xy y x f -=+vv u vuv vu +-=+-+=1)1()1()1(222,即=),(y x f yy x +-1)1(2.3.设)(y x f y x z -++=,且当0=y 时,2x z =.求函数f 和z 的表达式. 解 由题意知,2)()(x x f x y x f y x z =+=-++=,整理得x x x f -=2)(. 又)()()(2y x y x y x f ---=-,代入得2)(2)(y x y y x f y x z -+=-++=.4.若函数),(y x f z =恒满足),(),(y x f t ty tx f k=,则称该函数为k 次齐次函数.证明下列函数为齐次函数,并说明是几次齐次函数: (1)2243),(y x x y x f +=； (2)yx y x f -=1),(；(3)xy ex y x f -=3),(； (4)xy x x y x y x f +--+=2222ln),(.解 (1)因),()()(3)(),(4224y x f t ty tx tx ty tx f =+=,所以是4次齐次函数. (2)因),(1),(1y x f ttytx ty tx f -=-=,所以是1-次齐次函数.(3)因),()(),(33y x f t e tx ty tx f txty ==-,所以是3次齐次函数. (4)因),()()()()(ln),(2222y x f txty tx tx ty tx ty tx f =+--+=,所以是0次齐次函数.5.求下列函数在给定点处的偏导数: (1)2222)(yx y x xy z +-=,求)1,1(xz ',)1,1(y z '； (2)22yx e z +=,求)1,0(xz ',)0,1(y z '； (3)322y x z +=,求)1,1(xz ',)2,1(y z '； (4))2ln(xy x z +=,求)0,1(xz ',)0,1(y z '. 解 (1)222222222)()(2)](2)([y x y x xxy y x x xy y x y z x+--++-='2222244)(]4[y x y x y x y ++-=,222222222)()(2)](2)([y x y x yxy y x y xy y x x z y +--+--='2222244)(]4[y x y x y x x +--=,则1)1,1(='xz ,1)1,1(-='y z . (2)222yxxxe z +=' , 222yxy ye z +=',则0)1,0(='xz ,0)0,1(='y z . (3)3222)(32-+='y x x z x, 3222)(32-+='y x y z y ,则32)1,1(3='xz ,1554)2,1(3='y z .(4))21(212xy xy x z x-+=', xxy x z y 2121⋅+=',则1)0,1(='xz ,21)0,1(='y z .6.函数).0,0(),(),0,0(),(,0,1sin )(),(2222=≠⎪⎩⎪⎨⎧++=y x y x yx y x y x f 求)0,0(x f ',)0,0(y f '.解 0)(1sin)(lim)0,0()0,(lim)0,0(22=∆∆∆=∆-∆='→∆→∆xx x xf x f f x x x ,0)(1sin)(lim)0,0(),0(lim)0,0(22=∆∆∆=∆-∆='→∆→∆yy y yf y f f x y y .7.求下列函数的一阶偏导数: (1)5ln 1332+-=xyz ； (2)xyy x z -+=1arctan；(3)xy y z )(arcsin =； (4)xy x x y x z ++-+=2222ln；(5)y zy x e e u +=； (6))sin (cos y x y e z x +=； (7)z y xu )(=； (8)y zx u =.解 (1)3431-='xz x,36--='y z y .(2)22211)1())((1)1(11xxy y y x xy xy y x z x+=--+--⋅-++=',22211)1())((1)1(11yxy x y x xy xyy x z y +=--+--⋅-++='.(3))ln(arcsin )(arcsin y y y z xx=', 12))(arcsin 1(arcsin --+='x y y yxy y z .(4)=+++-+-⋅-+++='2222222222222)()()(x y x yx yy x yxy x x y x z x222yx +-,222222222222)(2yx y x x y x yx xyx y x xy x z y +=+++⋅-+++='.(5)yxxe yu 1=',)(12yzyx y ze xeyu +-=',yz ze yu 1='.(6))sin cos (sin y x y y e z xx++=',)cos sin (y x y e z xy +-='. (7)z xyx x z u )(=',z y y x y z u )(-=',y xy x u z zln )(='. (8)1-='yz xxyz u ,x x yz u yzy ln 2-=',x x yu yzzln 1='.8.证明下列各题： (1)若yx yx y x z ln +-=,则0=∂∂+∂∂yz yxz x；(2)若x y y x z =,则)ln (z y x z yz yxz x++=∂∂+∂∂；(3)若)ln(nn y x z +=且2≥n ,则nyz yxz x1=∂∂+∂∂；(4)若)tan tan ln(tan z y x u ++=,则22sin 2sin 2sin =∂∂+∂∂+∂∂z zu y yu x xu ；(5)若))()((y x x z z y u ---=,则0=∂∂+∂∂+∂∂z u yu xu .证明 (1)x z ')(ln)(21ln)()(22y x x y x yx y x y yxy y x y x y x y x y x y x +-++=⋅⋅+-++--+=y z ')(ln )(2)(ln )()(222y x y y x yx y x x yx xy yx y x yx y x y x y x +--+-=-⋅⋅+-++----=,代入计算得0=∂∂+∂∂yz yxz x .(2)x z 'y y x xy x y y x ln 11+=-+, y z 'x x y yxyx x y ln 11+=-+,代入计算得)ln (z y x z yz yx z x ++=∂∂+∂∂.(3)xz '1111-⋅+=nnnx nyx , y z '1111-⋅+=nnny nyx ,代入计算得nyz yxz x1=∂∂+∂∂.(4)x u 'x z y x 2sec tan tan tan 1++=,y u 'y zy x 2sec tan tan tan 1++=,z u 'z zy x 2sec tan tan tan 1++=,代入计算得22sin 2sin 2sin =∂∂+∂∂+∂∂z zu y yu x xu .(5)x u '))(())((x z z y x y z y --+--=,y u '))(())((z x z y y x x z --+--= z u '))(())((y x z y y x z x --+--=,代入计算得0=∂∂+∂∂+∂∂zu yu xu .9.求下列函数的全微分:(1))cos(xy z =； (2)y x z ln =；(3)2222cotyx y x arc z +-= ； (4)yx y xy x z arctanarctan22-=；(5)2)ln (y e z x +=； (6)22ln y x z +=；(7)xyz u =； (8)3222z y x u ++=.解 (1))(sin xdy ydx xy dz +-=.(2))ln ln ()(ln ln ln dy yx dx xy x e d dz y x y +==.(3)2222222222222222)()22)(())(22(11yx y x y x ydy xdx y x y x ydy xdx yx y x dz +-++--+-⋅+-+-=dy yx y dx yx x y44442-+--=.(4)222211arctan2xydxxdy xy x dx xy x dz -⋅+⋅+=222211arctan2yxdyydx yx y dy yx y -⋅+⋅--dy yx y x dx y xy x )arctan2()arctan2(-+-=.(5))1)(ln (2dy ydx e y e dz x x ++=.(6))(122ydy xdx yx dz ++=.(7))ln ln ()(ln dz zxy zdy x zdx y z ed du xyzxy ++==.(8))()(3232222zdz ydy xdx z y x du ++++=-.10.求下列函数在给定条件下的全微分之值: (1)22yx xy z -=；2=x ,1=y ,01.0=∆x ,08.0=∆y ；(2))ln(22y x z +=；2=x ,1=y ,1.0=∆x ,1.0-=∆y ；(3)xye z =；1=x ,1=y ,15.0=∆x ,1.0=∆y .解 (1))1,2(22222)1,2()()22())((y x ydy xdx xy y x ydx xdy dz----+=121)14()08.001.02(4)14)(01.008.02(2=--⋅--+⋅=.(2)25112)1.0(121.022222)1,2(22)1,2(=+-⋅⋅+⋅⋅=++=yx ydy xdx dz.(3)e e ydx xdy e dzxy25.0)15.01.0()()1,1()1,1(=+=+=.11.计算下列各题的近似值:(1)05.402.1； (2)33)97.1()02.1(+. 解 (1)令y x z =,1=x ,4=y ,02.0=∆x ,05.0=∆y .08.002.04)(ln )4,1()4,1(=⋅=+=dx xy xdy x dzy,则08.108.0102.1405.4=+=.(2)令33y x z +=,1=x ,2=y ,02.0=∆x ,03.0-=∆y .05.032)03.0402.0(32)(3)2,1(3322)2,1(-=⋅⋅-=++=yx dy y dx x dz,则95.205.081)97.1()02.1(33=-+=+.12.求下列复合函数的全导数或偏导数: (1)v u z ln 2=,xy u =,22y x v +=,求xz ∂∂,yz ∂∂.(2)21)(az y e u ax+-=,x a y sin =,x z cos =,求dxdu .(3))ln(yxe e z +=,3x y =,求dxdz .(4)222zy x e u ++=,x y z sin 2=,求xu ∂∂,yu ∂∂.(5)yxz 2=,v u x 2-=,u v y 2+=,求u z ∂∂,vz ∂∂.(6)uve z =,22ln y x u +=,xy v arctan=,求xz ∂∂,yz ∂∂.解 (1))ln()(222y x xyz +=,则=+++-='2222222)()ln()(2yx x x yy x x yxy z x)]ln([22222232y x yx xxy +-+,=+++='222222)()ln()1(2yx y x y y x x x y z y )]ln([2222222y x y x y x y +++. (2)21)cos sin (ax x a e u ax+-=,则=++-+=)]sin cos ()cos sin ([112x x a e x x a aeadxdu axaxx e axsin .(3))ln()ln(3x x y x e e e e z +=+=,则3323xxxx ee e x e dxdz ++=.(4)2222)sin (x y y x eu ++=,则)cos sin 22(4sin2422x x y x e u xy y xx+='++,)sin42(23sin2422x y y e u xy y xy+='++.(5)uv v u z 2)2(2+-=,则22222)2(2122)2(2)2()2)(2(2u v uvv u u v v u u v v u z u++-=+--+-=',22222)2(4916)2()2()2)(2(4u v vu uv u v v u u v v u z v++-=+--+--='.(6)xy yx ez arctanln 22+=,则xy yx xeyx yx y xyx z arctanln 222222ln arctan+⋅++-=',xy y x y eyx yx x x yy z arctanln 222222ln arctan +⋅+++='.13.求下列方程所确定的隐函数的导数:(1)xy y x 5322=+； (2)xy e y x xy +=22)sin(；(3)xy yx arctanln22=+； (4)y x x y =.解 (1)由ydx xdy ydy xdx 5562+=+,得xy x y y 5625--='.(2)由)(22))(cos(22ydx xdy e ydy x dx xy ydx xdy xy xy +++=+,得xy y -='. (3)由222222xydxxdy yx xyx ydy xdx -⋅+=++,得yx y x y -+='.(4)由)(ln )(ln dx xy xdy x dy yx ydx y yx+=+,得xxy x y xy y y ln ln 22--='.14.求下列函数的全微分,其中f 可微:(1)),(xy x f z =； (2)),(22xy e y x f z +=； (3)),(zy y x f u =； (4))sin ,(x y xe f z y=.解 (1)dy f x dx f y f xdy ydx f dx f dz 22121)()('+'+'=+'+'=. (2))()22(21ydx xdy e f ydy xdx f dz xy+'++'=dy f xe f y dx f ye f x xyxy )2()2(2121'+'+'+'=.(3)2221zydzzdy f yxdyydx f du -'+-'=dz f zy dy f yx f zdx f y221221)1(1'-'-'+'=.(4)221cos)(x ydxxdy xy f dy xe dx e f dz y y -⋅'++'=dy f xy xf xe dx f xy xy f e yy)cos1()cos(21221'+'+'-'=.15.求下列方程所确定的隐函数),(y x z z =的全微分: (1))arctan(22xz z y =； (2)xz e xyz =；(3)1sin cos sin 32222=++z y x ； (4))ln(2232z x e z y x y ++=++. 解 (1)由)2(1122422xzdz dx z zx yzdy dz y ++=+,得xzz x y dy z x yz dx z dz 2)1()1(2422422-++-=.(2)由)(zdx xdz e xzdy xydz yzdx xz+=++,得xzxzxexy xzdy dx yz zedz ---=)(.(3)由03cos sin 22sin cos 2cos sin 223322=⋅+⋅-dz z z z ydy y y xdx x ,得]2sin 22sin [2sin 31232dy y y xdx zz dz +-=.(4)由)(2232222z x zdz xdx dy e dz z ydy dx y +++=++,得zz x z dxz x x dy y e z x dz y 2)(3)2()2)((2222222-+--+-+=.16.设)(u f y z +=,22y x u -=,其中f 可微,证明：x yz xxz y=∂∂+∂∂.证 )()(22y x f y u f y z -+=+=,则x y x f z x2)(22-'=', y y x f z y 2)(122-'-=',代入计算得x yz xxz y=∂∂+∂∂.17.设),,(y x x z z y f u ---=,其中f 具有连续的偏导数,证明：0=∂∂+∂∂+∂∂zu yu xu .证 32f f u x '+'-=',31f f u y '-'=',21f f u z'+'-=',代入得0=∂∂+∂∂+∂∂zu yu xu .18.设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+,证明：1=∂∂+∂∂yz xz .证 方程两边作微分运算得,dz dy dx dz dy dx y y x 32)32)(32cos(2-+=-+-+,整理有)32cos(63)]32cos(42[)]32cos(21[z y x dyz y x dx z y x dz -+--+-+-+-=,31=∂∂xz ,32=∂∂yz .故1=∂∂+∂∂yz xz .19.函数),(y x z z =由方程0),(11=++--zx y zy x F 所给出,其中F 具有连 续的偏导数,证明：xy z yz yx z x-=∂∂+∂∂.证)1(221xz F F xF -'+'=∂∂,212F F yz yF '+'-=∂∂,xF F yzF 1121'+'=∂∂,由隐函数求导公式得)()(21212F y F x x F z F x y z x'+''-'-=',)()(21122F y F x y F z F y x z y '+''-'-='.代入计算得xy z yz yxz x-=∂∂+∂∂.20.求下列函数的二阶偏导数:(1)yx z =； (2)xyey x z -=sin ；(3)2222yx y x z +-=； (4)xy z ln=.解 (1)1-='y x yx z ,x x z y y ln =',2)1(--=''y xx x y y z ,)ln 1(1x y x z y xy+=''-,2)(ln x x z yyy=''. (2)xy xye y z -='sin ,xyy xe y x z -='cos ,xyxxe y z 2-='', )1(cos xy e y z xy xy+-='',xyyy e x y x z 2sin --=''. (3)22222222222)(4)(2)()(2y x xyy x xy x y x x z x+=+--+=',22222222222)(4)(2)()(2y x y x y x yy x y x y z y +-=+--+-=',32222442222222222)(124)()(16)(4y x y x y y x y x y x y x y z xx+-=++-+='',32222422223222)()(8)()(16)(8y x y x xy y x y x xy y x xy z xy+-=++-+='',32222442222222222)(124)()(16)(4y x y x x y x y x y x y x x z yy++-=++++-=''.(4)xz x 1-=',yz y 1=',21xz xx='',0=''xyz ,21yz yy -=''.21.求下列复合函数二阶偏导数: (1)),(yx x f z =； (2)),(22xy y x f z -=.解 (1)211f yf z x'+'=',22f yx z y '-=',]1[1122211211f yf yf yf z xx''+''+''+''=''222121112f yf yf ''+''+''=,][1122222122f yx yf yf yx z xy''-+'-''-=''222231221f yf yx f yx '-''-''-=,222223)(2f yx yx f yx z yy''--'=''2322422f xy f yx '+''=-.(2)212f y x f z x'+'=',212f x f y z y '+'-=', ]2[]2[22222112111f y f x y f y f x x f z xx''+''+''+''+'=''122212112244f f y f xy f x '+''+''+''=, ]2[]2[2222121211f x f y y f f x f y x z xy''+''-+'+''+''-=''122222211)22(4f y x f f xy f xy ''-+'+''+''-=, ]2[]2[22222112111f x f y x f x f y y f z yy''+''-+''+''--'-='' 121121222442f xy f y f f x ''-''+'-''=. 22.求下列方程所确定的隐函数的二阶偏导数:(1))arctan(xz y =； (2)1=++zx yz xy . 解 (1)等式两端关于x 和y 求偏导得,)()(1102xz x z xz '++=,y z x xz '+=2)(111,整理有xz z x -=',xzx z y 221+='.上式再关于x 和y 求偏导得,02=''+'xxx z x z , 0=''+'xy y z x z ,yy y z x z z x ''='22,整理化简得22xz z xx='',2221xz x z xy+-='',)1(222z x z z yy+=''. (2)等式两端关于x 和y 求偏导得,0='++'+xx z x z z y y ,0='++'+y y z x z z y x ,整理有yx y z z x++-=',yx z x z y ++-='.上式再关于x 和y 求偏导得,02=''+'+''xxx xx z x z z y ,01=''+'+'+''+xy y x xy z x z z z y ,02=''+''+'yy yy y z x z y z ,整理化简得2)()(2y x z y z xx++='',2)(2y x z z xy+='', 2)()(2y x z x z yy++=''.23.设yx z u arctan=,证明：0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu yu xu .证 2221)(1yx zy yy x z u x+=⋅+=',2222)()(1yx zx yx yx zu y +-=-⋅+=',yx u zarctan =',222)(2y x xzy u xx+-='',222)(2y x xzy u yy+='',0=''zzu ,代入计算得 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu yu xu .24.设)2(cos 22y x z -=,证明：02222=∂∂∂+∂∂yx z yz .证 )2sin()2cos(4y x y x z x---=',)2sin()2cos(2y x y x z y --=',)2cos(2y x z xy-='',)2cos(y x z yy --='',代入计算得02222=∂∂∂+∂∂yx z yz .25.求下列函数的极值,并判定是极大值还是极小值: (1)44y x z +=；(2)by ax y xy x z 3322--++=； (3))2(22y y x e z x++=；(4))0,0(2050>>++=y x yxxy z ；(5))0,0(5ln 2ln 222>>+--+=y x y x y x z ；(6))sin(sin sin y x y x z +++= 20π≤≤x ,20π≤≤y .解 (1)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=='=='040433y z x z yx,得)0,0(,显然0)0,0(=z 为极小值. (2)解方程组⎩⎨⎧=-+='=-+='032032b y x z a y x z y x,得)2,2(a b b a --.又因2=''xxz , 1=''xyz ,2=''yy z ,02<-AC B ,0>A ,故ab b a a b b a z 333)2,2(22+--=--为极小值.(3)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='0)22(0)2(22222y e z e y y x e z xy xx x,得)1,21(-.又因 )12(422+++=''y y x e z xxx ,)44(2y e z xxy+='',xyye z 22='',02<-AC B ,0>A ,故2)1,21(e z -=-为极小值.(4)解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-='=-='02005022y x z x y z y x ,得)2,5(.又因3100x z xx ='',1=''xy z ,340y z yy ='', 02<-AC B ,0>A ,故30)2,5(=z 为极小值.(5)解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-='=-='022022y y z x x z y x ,得)1,1(.又因222x z xx +='',0=''xy z , 222yz yy+='',02<-AC B ,0>A ,故7)1,1(=z 为极小值.(6)解方程组⎩⎨⎧=++='=++='0)cos(cos 0)cos(cos y x y z y x x z y x,得)3,3(ππ.又因)sin(sin y x x z xx+--='',)sin(y x z xy +-='',)sin(sin y x y z yy +--='', 02<-AC B ,0<A ,故233)3,3(=ππz 为极大值.26.求下列函数在给定条件下的条件极值: (1)xy z =,2=+y x ；(2)1-=xy z ,1)1)(1(=--y x ,0>x ,0>y ；(3)y x z +=,111=+yx,0>x ,0>y .解 (1)设)2(),,(-++=y x xy y x F λλ,解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=+='=+='0200y x F x F y F y x λλλ,得1,1==y x .将x y -=2代入得)2(x x z -=,因为x z x 22-=',02<-=''xxz ,所以1=x 是)2(x x z -=的极大值点,故 1)1,1(=z 是极大值.(2)设)(1),,(y x xy xy y x F --+-=λλ,解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--='=-+='=-+='00)1(0)1(y x xy F x x F y y F y x λλλ,得2,2==y x .将1-=x x y 代入得112--=x xz ,因为2)1(11--='x z x,0,)1(223>''-=''=x xxxxz x z ,所以2=x 是112--=x xz 的极小值点,故3)2,2(=z 是极小值.(3)将1-=x x y 代入得1111-++=-+=x x x x x z .令0)1(112=--='x z x解得2,2==y x ,又因0,)1(223>''-=''=x xxxxz x z ,所以2=x 是111-++=x x z 的极小值点,故4)2,2(=z 是极小值.27.某公司通过电台和报纸两种方式做销售其产品的广告,根据统计资料分析 可知,销售收入R (万元)与电台广告费x (万元),报纸广告费y (万元)有如下的经验公式：221028321415y x xy y x R ---++=(1)在广告费用不限的情况下,求总利润最大的广告策略. (2)若提供的广告费用为5.1万元,求相应的最优广告策略.解 (1)y x y x xy y x C R y x L -----++=-=221028321415),(, 解方程组⎩⎨⎧=---='=---='0120832014814y x L x y L y x ,得)45,43(,因驻点唯一,所以)45,43(是所求最大值点,即当电台广告费为43万元,报纸广告费为45万元时总利润达到最大.(2)设)5.1(1028311315),,(22-++---++=y x y x xy y x y x F λλ, 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=+--='=+--='05.102083104813y x F y x F x y F y x λλλ,得)5.1,0(,因驻点唯一,所以)5.1,0(是所求最大值点,即当电台广告费为0万元,报纸广告费为5.1万元时总利润达到最大.28.设某种产品的产量是劳动力x 和原料y 的函数414360),(y x y x f =,假定每 单位劳动力费用100元,每单元原料费用200元,现有3万元资金用于生产,为得到最多的产品,应如何安排劳动力和原料？解 设)30000200100(60),,(4143-++=y x y x y x F λλ,解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+='=+='=+='--03000020010002001501004543434141y x F y x F y x F y x λλλ,得)5.37,225(,因驻点唯一,所以)5.37,225(是所求最大值点,即当劳动力为225人,原料为5.37个单位时产量达到最大.29.某企业在雇用x 名技术工人,y 名非技术工人时,产品的产量为223128y xy x Q -+-=,若企业只能雇用230人,那么该雇用多少技术工人,多少非技术工人才能使产量Q 最大？解 设)230(3128),,(22-++-+-=y x y xy x y x F λλ,解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=+-='=++-='0230061201216y x F y x F y x F y x λλλ,得)140,90(,因驻点唯一,所以)140,90(是所求最大值点,即当雇用90名技术工人,140名非技术工人时产量达到最大.30.抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一个椭圆,求原点到这个椭圆 的最长距离与最短距离.解 设),,(z y x M 是椭圆上任意一点,它与原点的距离为222z y x d ++=.由题意构造拉格朗日函数为)1()(),,,,(22222-+++-++++=z y x z y x z y x z y x F ηληλ. 解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=-+='=+-='=++='=++='010020*******z y x F z y x F z F y y F x x F z y x ηληληληλ,得两个点)32,231,231(-+-+-,)32,231,231(+----.由题意知一定存在一个最近点与一个最远点,故359min -=d ,359max +=d .(B)1.已知函数),(y x f z =满足xyy xz -+-=∂∂11sin 及3sin 2),0(y y y f +=.求函数f 的表达式.解 等式两端对x 积分,得)(1ln 1sin ),(y g xy yy x y x f z +---==,其中)(y g 为待定函数.将),0(y f 代入得3sin 2)(y y y g +=,故31ln 1sin )2(),(y xy yy x y x f +---=.2.设二元函数f 具有连续的偏导数,且1)1,1(=f ,2)1,1(='x f ,3)1,1(='y f .如 果)),(,()(x x f x f x =φ求)1(φ'.解 因)],(),())[,(,()),(,()(2121x x f x x f x x f x f x x f x f x '+''+'='φ,代值得17]32[32)1(=++='φ.3.设)(22y x f y z -=,其中一元函数f 具有连续导数,且0)(≠t f ,求yz y xz x ∂∂+∂∂11.解 22222)]([)(2y x f y x f xy z x--'-=',22222222)]([)(2)(y x f y x f y y x f z y --'+-=',代入计算得)(11122y x yf yz y xz x -=∂∂+∂∂.4.设⎰-=dt ey x f txy2),(,求222222yf x y yx f xf y x ∂∂+∂∂∂-∂∂.解 y e f xy x 2)(-=',2)(32xy xx e xy f --='',]21[22)(2y x e f xy xy -=''-,x e f xy y 2)(-=', 2)(32xy yyye x f --='',代入计算得222222222yx eyf x y yx f xf y x --=∂∂+∂∂∂-∂∂.5.设函数),,(z y x f u =有连续的偏导数,且),(y x z z =由方程zyxze yexe =-所确定,求du .解 方程z y x ze ye xe =-两端微分得dz z e dy y e dx x e z y x )1()1()1(+=+-+,整理有)1()1()1(z e dyy e dx x e dz zyx++-+=.将其代入得='+'+'=dz f dy f dx f du 321dy ez y f f dx ez x f f zy z y zx z x )11()11(--++'-'+++'+'.6.已知)()(z yg z xf xy +=,0)()(≠'+'z g y z f x ,其中),(y x z z =是x 和y 的函数,求证：yz z f y xz z g x ∂∂-=∂∂-)]([)]([.证 等式)()(z yg z xf xy +=两端关于x 求导得,x x z z g y z z f x z f y ''+''+=)()()(,整理有)()()(z g y z f x z f y z x '+'-='.同理可得,)()()(z g y z f x z g x z y '+'-='.代入计算得yz z f y xz z g x ∂∂-=∂∂-)]([)]([.7.求由方程08822222=+-+++z zy z y x 所确定的隐函数),(y x z z =的极 值.解 方程两端关于x 和y 求偏导得,0824='-'+'+xx x z z y z z x ,08824='-'++'+y y y z z y z z z y ,再关于x 和y 求偏导得,082)(242=''-''+''+'+xxxx xx x z z y z z z , 08822=''-''+'+''+''xyxy x xy y x z z y z z z z z , 08162)(242=''-''+'+''+'+yy yy y yyy z z y z z z z . 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+='=--='02818402814z y z y z zy x z y x ,得⎩⎨⎧-==z y x 20,再由方程可解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===787160z y x ,⎪⎩⎪⎨⎧=-==120z y x . 对于点)716,0(：0,017168)78(2417168)78(2402<<-+-⋅-⋅-+-⋅--=-A AC B ,故78)716,0(-=z 为极大值.对于点)2,0(-：0,0)1)2(8124(022><--+⋅--=-A AC B ,故1)2,0(=-z 为极小值.8.当0>x ,0>y ,0>z 时,求函数z y x z y x f ln 3ln 2ln ),,(++=在球面22226R z y x =++上的最大值,并由此证明：当a ,b ,c 为正实数时,632)6(108cb ac ab ++≤成立.解 设)6(ln 3ln 2ln ),,,(2222R z y x z y x z y x F -+++++=λλ.解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=+='=+='=+='06023220212222R z y x F z z F y y F x x F z y x λλλλ,得)3,2,(R R R .因驻点唯一,且由题意知一定存在最大值,故)36ln()3,2,(6R R R R f =为最大值. 令c z b y a x ===222,,,则62cb a R ++=,代入得z y x z y x f ln 3ln 2ln ),,(++=c bc a ln=))6(36ln()3,2,(3cb a R R R f ++=≤,整理得632)6(108cb ac ab ++≤.9.求二元函数)4(),(2y x y x y x f z --==在由直线6=+y x ,x 轴和y 轴 所围成的闭区域D 上的最大值与最小值. 解 (1)点在区域D 内部：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---='=---='0)4(0)4(2222y x y x x z y x y x xy z y x,得)1,2(.2268y x y z xx --='',xy x x z xy4382--='',x z yy 4-=''. 因为0,02<<-A AC B ,所以)1,2(为极大值点,极大值4)1,2(=z . (2)点在区域D 边界上：点在x 轴上,有0=y ,从而0=z . 点在y 轴上,有0=x ,从而0=z .点在直线6=+y x 上,设)6()4(),,(2-++--=y x y x y x y x F λλ,解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=+--='=+--='06024023823222y x F yx x x F xy y x xy F y x λλλ得)2,4(,64)2,4(-=z . 综上知,最大值是4)1,2(=z ,最小值是64)2,4(-=z .。
