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1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素依据肯定的挨次排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，用A m n表示.(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示.3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(2)C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！性质(1)0！＝1；A n n＝n！(2)C m n＝C n－mn；C m n＋1＝C m n＋C m－1n__【思考辨析】推断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)全部元素完全相同的两个排列为相同排列.(×) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后挨次.(×)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(√)(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(√)(5)A m n＝n A m－1n－1.(√)(6)k C k n＝n C k－1n－1.(√)1.(教材改编)用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A.8B.24C.48D.120答案 C解析末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48种.2.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位伴侣，每位伴侣1本，则不同的赠送方法共有()A.4种B.10种C.18种D.20种答案 B解析方法一不同的赠送方法有A45A22A33＝10种.方法二从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本有两种取法：第一种：从2本画册中取出1本，将3本集邮册全部取出；其次种：将2本画册全部取出，从3本集邮册中取出2本.由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从4位伴侣中选出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C14＝4种赠送方法；其次种取法中只需从4位伴侣中选取2人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C24＝6种赠送方法.因此共有4＋6＝10种赠送方法.3.(2022·辽宁)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24答案 D解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.4.(教材改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参与某项活动，其中男女生都有的选法种数为________.答案30解析分两类：男1女2或男2女1，各有C14C23和C24C13种方法，所以选法种数为C14C23＋C24C13＝12＋18＝30.也可用间接法C37－C34－C33＝30.5.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是________.答案60解析从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，全部的选法种数是C24×C26＝90.重点项目A和一般项目B都没有被选中的选法种数是C23×C25＝30，故重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是90－30＝60.题型一排列问题例1(1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有________种不同的排法.(2)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答).答案(1)2520(2)480解析(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A57＝2520种排法.(2)从左往右看，若C排在第1位，共有A55＝120种排法；若C排在第2位，A和B有C右边的4个位置可以选，共有A24·A33＝72种排法；若C排在第3位，则A，B可排C的左侧或右侧，共有A22·A33＋A23·A33＝48种排法；若C排在第4,5,6位时，其排法数与排在第3,2,1位相同，故共有2×(120＋72＋48)＝480种排法.引申探究1.本例(1)中将条件“5人排成一排”改为“排成前后两排，前排3人，后排4人”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A77＝5040种排法.2.本例(1)中将条件“5人排成一排”改为“全体站成一排，男、女各站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解相邻问题(捆绑法)：男生必需站在一起，是男生的全排列，有A33种排法；女生必需站在一起，是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法，依据分步乘法计数原理，共有A33·A44·A22＝288种排法.3.本例(1)中将条件“5人排成一排”改为“全体站成一排，男生不能站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解不相邻问题(插空法)：先支配女生共有A44种排法，男生在4个女生隔成的5个空中支配共有A35种排法，故共有A44·A35＝1440种排法.4.本例(1)中将条件“5人排成一排”改为“全体站成一排，甲不站排头也不站排尾”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解先支配甲，从除去排头和排尾的5个位置中支配甲，有A15＝5种排法；再支配其他人，有A66＝720种排法.所以共有A15·A66＝3600种排法.思维升华排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般接受特殊元素优先原则，即先支配有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以接受间接法. (2)对相邻问题接受捆绑法、不相邻问题接受插空法、定序问题接受倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.用0,1,2,3,4,5这6个数字.(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)?解(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有A35个；其次类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A14种，十位和百位从余下的数字中选，有A24种，于是有A14·A24个；第三类：4在个位时，与其次类同理，也有A14·A24个.由分类加法计数原理得，共有A35＋2A14·A24＝156个.(2)先排0,2,4，再让1,3,5插空，总的排法共A33A34＝144种，其中0在排头，将1,3,5插在后3个空的排法共A22·A33＝12种，此时构不成六位数，故所求六位数为A33A34－A22A33＝144－12＝132个.题型二组合问题例2某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必需在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种，∴某一种假货必需在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5984种.∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2100种.∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.(4)选取2件假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2100＋455＝2555种.∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.(5)选取3件的总数有C335，因此共有选取方式C335－C315＝6545－455＝6090种.∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.思维升华组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必需格外重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类简单时，考虑逆向思维，用间接法处理.从10位同学中选出5人参与数学竞赛.(1)甲必需入选的有多少种不同的选法？(2)甲、乙、丙不能同时都入选的有多少种不同的选法？解(1)同学甲入选，再从剩下的9人选4人，故甲必需入选的有C49＝126种不同选法.(2)没有限制条件的选择方法有C510＝252种，甲、乙、丙同时都入选有C27＝21种，故甲、乙、丙不能同时都入选的有252－21＝231种不同的选法.题型三排列与组合问题的综合应用命题点1相邻问题例3一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A.3×3!B.3×(3！)3C.(3！)4D.9!答案 C解析把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种坐法.命题点2相间问题例4(2022·重庆)某次联欢会要支配3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出挨次，则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168答案 B解析先支配小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.支配小品节目和相声节目的挨次有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种状况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A22C13A23＝36种支配方法；同理，第三种状况也有36种支配方法，对于其次种状况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A22A34＝48种支配方法，故共有36＋36＋48＝120种支配方法.命题点3特殊元素(位置)问题例5(2022·四川)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有() A.192种 B.216种C.240种D.288种答案 B解析 第一类：甲在最左端，有A 55＝5×4×3×2×1＝120种方法； 其次类：乙在最左端，有4A 44＝4×4×3×2×1＝96种方法.所以共有120＋96＝216种方法.思维升华 排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法.在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列.(2)相间问题插空法.先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用.(3)特殊元素(位置)优先支配法.优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置. (4)多元问题分类法.将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后依据分类加法计数原理求出排列总数.(1)某校高二班级共有6个班级，现从外地转入4名同学，要支配到该班级的两个班级且每班支配2名，则不同的支配方案种数为( )A.A 26C 24B.12A 26C 24 C.A 26A 24D.2A 26(2)(2022·浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券安排给4个人，每人2张，不同的获奖状况有________种(用数字作答). 答案 (1)B (2)60解析 (1)方法一 将4人平均分成两组有12C 24种方法，将此两组安排到6个班级中的2个班有A 26种. 所以不同的支配方法有12C 24A 26种.方法二 先从6个班级中选2个班级有26C种不同方法，然后支配同学有C 24C 22种，故有26CC 24C 22＝12A 26C 24种. (2)分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A 34种分法；其次类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有C 23A 24种分法. 总获奖状况共有A 34＋C 23A 24＝60种.16.排列、组合问题计算重、漏致误典例 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种.易错分析 易犯错误如下：先从一等品中取1个，有C 116种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C 219种不同取法，共有C 116×C 219＝2736种不同取法.上述做法使两次取的一等品有了先后挨次，导致取法重复.解析 方法一 将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类加法计数原理有C 116C 24＋C 216C 14＋C 316＝1136种. 方法二 考虑其对立大事“3个都是二等品”，用间接法：C 320－C 34＝1136种.答案 1136温馨提示 (1)排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量浩大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循肯定的解题原则，如特殊元素(位置)优先原则、先取后排原则、先分组后安排原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必需心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题.(2)“至少、至多”型问题不能直接利用分步乘法计数原理求解，多接受分类求解或转化为它的对立大事求解.[方法与技巧]1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法与技巧：(1)特殊元素优先支配；(2)合理分类与精确 分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排解法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件. [失误与防范]求解排列与组合问题的三个留意点：(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最终处理.(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)或间接法(排解法)来解决，分类标准应统一，避开消灭重复或遗漏.(3)对于选择题要谨慎处理，留意等价答案的不同形式，处理这类选择题可接受排解法分析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题.A组专项基础训练(时间：40分钟)1.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A.60种B.63种C.65种D.66种答案 D解析共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C45＋C44＋C25C24＝66种.2.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人.现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对挨次不变，则不同调整方法的种数为()A.C27A55B.C27A22C.C27A25D.C27A35答案 C解析首先从后排的7人中抽2人，有C27种方法；再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有A25种.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是C27A25.3.某台小型晚会由6个节目组成，演出挨次有如下要求：节目甲必需排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必需排在最终一位.该台晚会节目演出挨次的编排方案共有()A.36种B.42种C.48种D.54种答案 B解析分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最终一位，中间4个节目无限制条件，有A44种排法；其次类：甲排在其次位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C13种排法，其他3个节目有A33种排法，故有C13A33种排法.依分类加法计数原理，知共有A44＋C13A33＝42种编排方案.4.在航天员进行的一项太空试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能消灭在第一或最终一步，程序B和C在实施时必需相邻，问试验挨次的编排方法共有()A.34种B.48种C.96种D.144种答案 C解析程序A有A12＝2种结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的3个元素排列有A22A44＝48种，∴由分步乘法计数原理，试验编排共有2×48＝96种方法.5.(2022·安徽)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A.24对B.30对C.48对D.60对答案 C解析正方体中共有12条面对角线，任取两条作为一对共有C212＝66对，12条对角线中的两条所构成的关系有平行、垂直、成60°角.相对两面上的4条对角线组成的C24＝6对组合中，平行有2对，垂直有4对，所以全部的平行和垂直共有3C24＝18对.所以成60°角的有C212－3C24＝66－18＝48对.6.(2021·广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字做答).答案1560解析依题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1560条毕业留言.7.(2022·北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.答案36解析先考虑产品A与B相邻，把A，B作为一个元素有A44种方法，而A，B可交换位置，所以有2A44＝48种摆法，又当A，B相邻且又满足A，C相邻，有2A33＝12种摆法，故满足条件的摆法有48－12＝36种.8.若把英语单词“good”的字母挨次写错了，则可能消灭的错误方法共有________种.答案11解析把g、o、o、d4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；其次步：排两个o.共一种排法，所以总的排法种数为A24＝12.其中正确的有一种，所以错误的共有A24－1＝12－1＝11(种).9.2021年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码中选择.公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金兔卡”，享受肯定优待政策.如后四位数为“2663”，“8685”为“金兔卡”，求这组号码中“金兔卡”的张数.解①当后四位数有2个6时，“金兔卡”共有C24×9×9＝486张；②当后四位数有2个8时，“金兔卡”也共有C24×9×9＝486张.但这两种状况都包含了后四位数是由2个6和2个8组成的这种状况，所以要减掉C24＝6，即“金兔卡”共有486×2－6＝966张.10.有9名同学，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋.现在要从这9名同学中选出2名同学，一名参与象棋竞赛，另一名参与围棋竞赛，共有多少种不同的选派方法？解设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A,3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B,4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：第一类：A中选1人参与象棋竞赛，B中选1人参与围棋竞赛，方法数为C12·C13＝6种；其次类：C中选1人参与象棋竞赛，B中选1人参与围棋竞赛，方法数为C14·C13＝12种；第三类：C中选1人参与围棋竞赛，A中选1人参与象棋竞赛，方法数为C14·C12＝8种；第四类：C中选2人分别参与两项竞赛，方法数为A24＝12种；由分类加法计数原理，选派方法数共有6＋12＋8＋12＝38种.B组专项力量提升(时间：30分钟)11.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机预备着舰.假如甲、乙两机必需相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A.12种B.18种C.24种D.48种答案 C解析丙、丁不能相邻着舰，则将剩余3机先排列，再将丙、丁进行“插空”.由于甲、乙“捆绑”视作一整体，剩余3机实际排列方法共2×2＝4种.有三个“空”供丙、丁选择，即A23＝6种.由分步乘法计数原理，共有4×6＝24种着舰方法.12.(2022·广东)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1，0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为()A.60B.90C.120D.130答案 D解析在x1，x2，x3，x4，x5这五个数中，由于x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5，所以满足条件1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3的可能状况有“①一个1(或－1)，四个0，有C15×2种；②两个1(或－1)，三个0，有C25×2种；③一个－1，一个1，三个0，有A25种；④两个1(或－1)，一个－1(或1)，两个0，有C25C13×2种；⑤三个1(或－1)，两个0，有C35×2种.故共有C15×2＋C25×2＋A25＋C25C13×2＋C35×2＝130种，故选D.13.国家训练部为了进展贫困地区训练，在全国重点师范高校免费培育训练专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培育的训练专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.答案90解析先把6个毕业生平均分成3组，有22264233C C CA种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C26C24C22A33·A33＝90种分派方法.14.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C14C24C13×A22＝144种放法.(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法. (3)确定2个空盒有C24种方法.4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C34C11A22种方法；其次类有序均匀分组有C24种方法.故共有C24(C34C11A22＋C24)＝84种放法.15.7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列状况下，各有不同站法多少种？(1)两个女生必需相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)老师不站中间，女生甲不站左端.解(1)∵两个女生必需相邻而站，∴把两个女生看做一个元素，则共有6个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列共有A66A22＝1440种站法.(2)∵4名男生互不相邻，∴应用插空法，对老师和女生先排列，形成四个空再排男生共有A33A44＝144种站法.(3)当老师站左端时其余六个位置可以进行全排列共有A66＝720种站法，当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法，余下的5个人在五个位置进行排列共有A55×5×5＝3000种站法.依据分类加法计数原理知共有720＋3000＝3720种站法.。
课时跟踪练(十)A 组 基础巩固1．(2024·长郡中学月考)函数f (x )＝1－x2ex 的图象大致为( )解析：因为f (－x )＝1－x2e －x ≠f (x )知f (x )的图象不关于y 轴对称，解除选项B ，C.又f (2)＝1－4e 2＝－3e 2<0.解除A ，故选D.答案：D2.若函数f (x )＝a x－b 的图象如图所示，则( )A ．a >1，b >1B ．a >1，0<b <1C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1，0<b <1解析：由图象从左向右下降，知0<a <1. 又y ＝f (x )与y 轴的交点(0，1－b )， 所以0<1－b <1，则0<b <1. 答案：D3．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝g (x )的图象与y ＝e x的图象关于直线y ＝x 对称．而函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，若f (m )＝－1，则m 的值是( )A ．－eB ．－1eC ．eD.1e解析：由题意知g (x )＝ln x ，则f (x )＝ln(－x )， 若f (m )＝－1，则ln(－m )＝－1，解得m ＝－1e .答案：B4．(2024·新余二模)函数y ＝2xln |x |的图象大致为( )解析：函数y ＝2xln|x |的定义域为{x |x ≠0且x ≠±1}，A 错； 因为f (－x )＝－2xln |x |＝－f (x )，f (x )是奇函数，解除C 项；当x ＝2时，y ＝4ln 2>0，解除D 项，只有B 项适合． 答案：B5．已知函数f (2x ＋1)是奇函数，则函数y ＝f (2x )的图象成中心对称的点为( ) A ．(1，0)B ．(－1，0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 解析：f (2x ＋1)是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而f (2x )的图象是由f (2x ＋1)的图象向右平移12个单位得到的，故关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0成中心对称． 答案：C6.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}解析：令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )的图象如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2（x ＋1），得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 所以结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}． 答案：C7．(2024·长沙第一中学高考模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤e ，ln x ，x >e ，则函数y ＝f (e －x )的大致图象是( )解析：令g (x )＝f (e －x )，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e e －x，e －x ≤e ，ln （e －x ），e －x >e ，化简得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e e －x，x ≥0，ln （e －x ），x <0，因此g (x )在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，A 、C 不成立． 又ee －0>ln(e －0)＝1，所以D 不正确，B 项成立．答案：B8．(2024·武汉模拟)幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组漂亮的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b的值是( )A ．0B ．1C.12D ．2解析：BM ＝MN ＝NA ，点A (1，0)，B (0，1)，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b，得a ＝log 1323，b ＝log 2313.所以a －1b ＝log 1323－1log2313＝0.答案：A9．(2024·石家庄模拟)若函数y ＝f (x )的图象过点(1，1)，则函数y ＝(4－x )的图象肯定经过点________．解析：由于函数y ＝f (4－x )的图象可以看作y ＝f (x )的图象先关于y 轴对称，再向右平移4个单位长度得到．点(1，1)关于y 轴对称的点为(－1，1)，再将此点向右平移4个单位长度．所以函数y ＝f (4－x )的图象过定点(3，1)． 答案：(3，1)10．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当－1≤x ≤0，设解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，所以y ＝x ＋1. 当x ＞0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1(a ≠0)． 因为图象过点(4，0)，所以0＝a (4－2)2－1，解得a ＝14.所以y ＝14(x －2)2－1.综上所述，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14（x －2）2－1，x >0.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14（x －2）2－1，x ＞0 11．(2024·佛山调研)已知函数f (x )＝2|x |＋x 2－3，则函数y ＝f (x )的零点有________个．解析：令f (x )＝0，可得2|x |＝－x 2＋3，作出y ＝2|x |与y ＝－x 2＋3的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象有两个交点，故f (x )有2个零点． 答案：212．设f (x )＝|lg(x －1)|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是________． 解析：画出函数f (x )＝|lg(x －1)|的图象如图所示．由f (a )＝f (b )可得－lg(a －1)＝lg(b －1)，解得ab ＝a ＋b >2ab (由于a <b ，故取不到等号)，所以ab >4.答案：(4，＋∞)B 组 素养提升13．(2024·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：令f (x )＝sin 2x1－cos x，定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z}，又f (－x )＝－f (x )，所以f (x )在定义域内为奇函数，图象关于原点对称，B 不正确． 又f (1)＝sin 21－cos 1>0，f (π)＝0.选项A ，D 不正确，只有选项C 满意．答案：C14．(2024·安徽江淮十校联考)若直角坐标系内A 、B 两点满意：(1)点A 、B 都在f (x )图象上；(2)点A 、B 关于原点对称，则称点对(A ，B )是函数f (x )的一个“和谐点对”，(A ，B )与(B ，A )可看作一个“和谐点对”．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，2ex ，x ≥0，则f (x )的“和谐点对”有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y ＝2e x (x ≥0)的图象的交点个数即可，视察图象可得交点个数为2，即f (x )的“和谐点对”有2个．答案：B 15．函数f (x )＝x ＋1x的图象与直线y ＝kx ＋1交于不同的两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝________．解析：因为f (x )＝x ＋1x ＝1x＋1，所以f (x )的图象关于点(0，1)对称，而直线y ＝kx ＋1过(0，1)点，故两图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)关于点(0，1)对称，所以y 1＋y 22＝1，即y 1＋y 2＝2.答案：216．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为________．解析：画出f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，f （x ）≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，f （x ）≥0.由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1<x≤2}．答案：{x|x≤0或1<x≤2}。
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第10章《计数原理、概率、随机变量及其分布》（第9课时）（新人教A 版）一、选择题1．若随机变量X 服从二点分布，且成功的概率p ＝0.5，则E (X )和D (X )分别为( )A ．0.5和0.25B ．0.5和0.75C ．1和0.25D ．1和0.75解析：选A.∵X∴E (X )＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，D (X )＝0.52×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25.2．(2013·威海质检)设X 为随机变量，X ～B (n ，13)，若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则P (X ＝2)等于( )A.1316B.4243C.13243D.80243解析：选D.∵X ～B (n ，13)，E (X )＝2，∴n ·13＝2， ∴n ＝6，∴P (X ＝2)＝C 26(13)2(1－13)4＝6×51×2×19×1634＝80243. 3．(2013·广州调研)设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选A.由正态分布的性质可知P (X ≤0)＝P (X ≥2)，所以a －2＝2，故a ＝4，选A.4．(2013·营口质检)某一离散型随机变量X 的概率分布如下表，且E (X )＝1.5，则a －b 的值为( )A.－0.1 C ．0.1 D ．0.2解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧ 0.1＋a ＋b ＋0.1＝10×0.1＋a ＋2b ＋3×0.1＝1.5⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0.4b ＝0.4， ∴a －b ＝0.5．(2013·合肥质检)在某市2013年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N (98,100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9450人，某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( )A ．1500B ．1700C ．4500D ．8000解析：选A.因为学生的数学成绩X ～N (98,100)，所以P (X ≥108)＝12[1－P (88<X <108)]＝12[1－P (μ－σ<X <μ＋σ)]＝12(1－0.6826)＝0.1587，故该学生的数学成绩大约排在全市第0.1587×9450≈1500名，故选A.二、填空题6．(2013·辽阳质检)两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________.解析：P (ξ＝1)＝C 12×C 1232＝49，P (ξ＝2)＝132＝19， ∴E (ξ)＝1×49＋2×19＝23. 答案：237．若p 为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则E (ξ)的最大值为________，D (ξ)的最大值为________.解析：E (ξ)＝p ＋1≤32(0≤p ≤2)；D (ξ)＝－p 2－p ＋1≤1. 答案：321 8．(2013·青岛质检)已知随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)，若P (X >4)＝0.2，则P (2<X <3)＝________.解析：由题意可知曲线关于直线x ＝3对称，故P (X >4)＝P (X <2)＝0.2，因此P (2<X <3)＝0.5－P (X <2)＝0.5－0.2＝0.3. 答案：0.3三、解答题9．(2013·洛阳统考)某产品有4件正品和2件次品混在了一起，现要把这2件次品找出来，为此每次随机抽取一件进行测试，测试后不放回，直至次品能全部被找出为止．(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率；(2)所要测试的次数X 为随机变量，求X 的分布列和数学期望．解：(1)设“第1次和第2次都抽到次品”为事件A ，则P (A )＝A 22A 26＝115. (2)X 的所有可能取值为2,3,4,5.P (X ＝2)＝115； P (X ＝3)＝C 12C 14A 22A 36＝215； P (X ＝4)＝A 44A 46＋C 12C 24A 33A 46＝415； P (X ＝5)＝C 12C 34A 44A 56＋C 34C 12A 44A 56＝815. X 的分布列为因此，E (X )＝2×115＋3×15＋4×15＋5×15＝15. 10．(2013·大同调研)甲、乙等五名大运会志愿者被随机分到A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率；(3)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列及数学期望．解：(1)记“甲、乙两人同时参加A 岗位服务”为事件A 1；则P (A 1)＝A 33C 25A 44＝140. 故甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率为140. (2)记“甲、乙两人在同一岗位服务”为事件A 2，则P (A 2)＝C 14A 33C 25A 44＝110. 故甲、乙两人不在同一岗位服务的概率为P (A 2)＝1－P (A 2)＝910. (3)由题知，随机变量ξ的所有可能取值为1,2，则P (ξ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14，P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝2)＝34. 故ξ的分布列为数学期望E (ξ)＝1×34＋2×14＝4.一、选择题1．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400解析：选B.种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B (1000，0.1)，∴E (ξ)＝1000×0.1＝100，故需补种的期望为2·E (ξ)＝200.2．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，且二次方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，则μ等于( ) A ．1 B ．2C ．4D ．不能确定解析：选C.因为方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实根，故Δ＝16－4ξ＜0，∴ξ＞4，即P (ξ＞4)＝12＝1－P (ξ≤4)， 故P (ξ≤4)＝12，∴μ＝4. 二、填空题3．(2012·高考课标全国卷)某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．解析：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N (1000,502)，得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为P ＝12. 超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率P 1＝1－(1－P )2＝34那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P 2＝P 1×P ＝38. 答案：384．(2011·高考浙江卷)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________. 解析：由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12. 随机变量XE (X )＝0×112＋1×13＋2×12＋3×6＝3. 答案：53三、解答题5．(2013·广东六校第二次联考)某菜园要将一批蔬菜用汽车从所在城市甲运至亚运村乙，已知从城市甲到亚运村乙只有两条公路，且运费由菜园承担．若菜园恰能在约定日期(×月×日)将蔬菜送到，则亚运村销售商一次性支付给菜园20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给菜园1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给菜园1万元．为保证蔬菜新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中2 的分布列和数学期望E (ξ)；(2)如果你是菜园的决策者，你选择哪条公路运送蔬菜有可能让菜园获得的毛利润更多？(注：毛利润＝销售商支付给菜园的费用－运费)解：(1)若汽车走公路1.不堵车时菜园获得的毛利润ξ＝20－1.6＝18.4(万元)；堵车时菜园获得的毛利润ξ＝20－1.6－1＝17.4(万元)． ∴汽车走公路1E (ξ)＝18.4×910＋17.4×110＝18.3(万元)．(2)设汽车走公路2时菜园获得的毛利润为η，则不堵车时菜园获得的毛利润η＝20－0.8＋1＝20.2(万元)； 堵车时菜园获得的毛利润η＝20－0.8－2＝17.2(万元)． ∴汽车走公路2时菜园获得的毛利润η的分布列为E (η)＝20.2×12＋17.2×12＝18.7(万元)．∵E (ξ)<E (η)，∴选择公路2运送蔬菜有可能让菜园获得的毛利润更多．。
课时规范练49 算法初步基础巩固组1.(黑龙江齐齐哈尔二模)执行如图所示的程序框图,若输出的y值是2,则输入的x值是( )A.14B.-1 C.4 D.-122.已知[x]表示不超过x的最大整数.执行如图所示的程序框图,若输入x 的值为2.4,则输出z的值为( )(第2题图)A.1.2B.0.6C.0.4D.-0.43.如图是计算1+13+15+…+131的值的程序框图,则图中①②处可以填写的语句分别是( )(第3题图)A.n=n+2,i>16?B.n=n+2,i≥16?C.n=n+1,i>16?D.n=n+1,i≥16?4.秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法,即使在现代,它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法,其算法的程序框图如图所示,若输入的a0,a1,a2,…,a n分别为0,1,2,…,n.若n=5,根据该算法计算当x=2时多项式的值,则输出的结果为( )A.248B.258C.268D.2785.(安徽合肥二模)考拉兹猜想是由德国数学家洛塔尔·考拉兹在20世纪30年代提出,其内容是:任意正整数s,如果s是奇数就乘3加1,如果s是偶数就除以2,如此循环,最终都能够得到1.下边的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程.若输入s的值为5,则输出i的值为( )(第5题图)A.3B.4C.5D.66.(陕西宝鸡二模)庄子说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”这句话描述的是一个数列问题,现用程序框图描述,如图所示,若输入某个正整数n后,输出的S∈3132,127128,则输入的n的值为( )(第6题图)A.7B.6C.5D.4综合提升组7.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完.现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的语句是( ),i=2iA.i<7,s=s-1i,i=2iB.i≤7,s=s-1i,i=i+1C.i<7,s=s2,i=i+1D.i≤7,s=s28.(陕西西安交大附中模拟)运行如图所示程序后,输出的结果为( )A.15B.17C.19D.219.根据某校10位高一同学的身高(单位:cm)画出的茎叶图(图1),其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字,右边的数字表示学生身高的个位数字,设计一个程序框图(图2),用A i(i=1,2, (10)表示第i个同学的身高,计算这些同学身高的方差,则程序框图①中要补充的语句是( )图1图2A.B=B+A iB.B=B+A i2C.B=(B+A i-A)2D.B=B2+A i210.执行如图所示的程序框图,若输入的m,n分别为385,105(图中“m MOD n”表示m除以n的余数),则输出的m= .(第10题图)创新应用组11.(河南开封二模)若[x]表示不超过x的最大整数,例如[0.3]=0,[1.5]=1,则如图中的程序框图运行之后输出的结果为( )(第11题图)A.102B.684C.696D.708参考答案课时规范练49 算法初步1.A 由题意得y={log 12x ,x ≤2,(12) x ,x >2,当x≤2时,lo g 12x=2,解得x=14;当x>2时,12x=2,解得x=-1(舍去).∴x=14.故选A.2.D 执行该程序框图,输入x=2.4,y=2.4,x=[2.4]-1=1,满足x≥0,x=1.2,y=1.2,x=[1.2]-1=0,满足x≥0,x=0.6,y=0.6,x=[0.6]-1=-1,不满足x≥0,终止循环,z=-1+0.6=-0.4,输出z 的值为-0.4. 3.A 式子1+13+15+…+131中所有项的分母构成公差为2的等差数列1,3,5,…,31,则①处填n=n+2.令31=1+(k-1)×2,k=16,共16项,而1到129共15项,需执行最后一次循环,此时i=16,所以②中应填“i>16?”.故选A.4.B 该程序框图是计算多项式f(x)=5x 5+4x 4+3x 3+2x 2+x 当x=2时的值,f(2)=258,故选B.5.C 第一次循环,12s=52∈Z 不成立,则s=3×5+1=16,i=0+1=1,s=1不成立;第二次循环,12s=8∈Z 成立,则s=12×16=8,i=1+1=2,s=1不成立;第三次循环,12s=4∈Z 成立,则s=12×8=4,i=2+1=3,s=1不成立;第四次循环,12s=2∈Z成立,则s=12×4=2,i=3+1=4,s=1不成立;第五次循环,12s=1∈Z 成立,则s=12×2=1,i=4+1=5,s=1成立.跳出循环体,输出i=5.故选C.6.C 第一次循环,S=12,k=0+1=1,1>n 不成立,第二次循环,S=12+12×12=34,k=1+1=2,2>n 不成立;第三次循环,S=12+12×34=78,k=2+1=3,3>n 不成立;第四次循环,S=12+12×78=1516,k=3+1=4,4>n 不成立;第五次循环,S=12+12×1516=3132,k=4+1=5,5>n 不成立;第六次循环,S=12+12×3132=6364∈3132,127128,k=6,6>n 成立,跳出循环体,所以5≤n<6,因此,输入n 的值为5.故选C. 7.D 由题意可知第一天后剩下12,第二天后剩下122……由此得出第7天后剩下127,结合选项分析得,①应为i≤7,②应为s=s2,③应为i=i+1,故选D.8.B 运行如图所示程序,如下:i=1,执行循环体,i=3,S=2×3+3=9,i=5,S=2×5+3=13,i=7,S=2×7+3=17, i=9>8,此时退出循环,输出S 的值为17.故选B. 9.B 由s 2=(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2n=x 12+x 22+…+x n 2-2(x 1+x 2+…+x n )x+nx 2n=x 12+x 22+…+x n 2-2nx 2+nx 2n=x 12+x 22+…+x n 2n−x 2,循环退出时i=11,知x 2=(A i -1)2.所以B=A 12+A 22+…+A 102,故程序框图①中要补充的语句是B=B+A i 2.故选B.10.35 执行程序框图,可得m=385,n=105,r=70,m=105,n=70,不满足条件r=0;r=35,m=70,n=35,不满足条件r=0;r=0,m=35,n=0,满足条件r=0,退出循环,输出的m值为35.11.C [x]表示不超过x的最大整数,所以该程序框图运行后输出的结果是S=010+110+210+…+12210,共123项相加.从010到910共10项,均为0,1010到1910共10项,均为1,2010到2910共10项,均为2,…,11010到11910共10项,均为11,12010到12210共3项,均为12,所以S=10×(1+2+3+…+11)+12×3=10×11×(1+11)2+36=696.故选C.第11页共11页。
§10.5 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）考试要求1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.相互独立事件(1)概念：对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝__________成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立.P (A )·P (B)B2.条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝______为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.(2)两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝_______；P(A)P(B|A)②概率的乘法公式：P(AB)＝___________.3.全概率公式一般地，设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝______________.常用结论1.如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n).2.贝叶斯公式：设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立.( )(2)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B ).( )(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A ，“第2枚正面朝上”为事件B ，则A ，B 相互独立.( )(4)若事件A 1与A 2是对立事件，则对任意的事件B ⊆Ω，都有P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2).( )√×√√1.甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为则谜题没被破解出的概率为√设“甲独立地破解出谜题”为事件A，“乙独立地破解出谜题”为事件B，2.在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是√当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，由题意得，居民甲第二天去A 食堂用餐的概率P ＝0.5×0.6＋0.5×0.5＝0.55.3.智能化的社区食堂悄然出现，某社区有智能食堂A ，人工食堂B，居民甲第一天随机地选择一食堂用餐，如果第一天去A 食堂，那么第二天去A 食堂的概率为0.6；如果第一天去B 食堂，那么第二天去A 食堂的概率为0.5，则居民甲第二天去A 食堂用餐的概率为_____.0.55第二部分例1 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则√A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.(2)(2023·临沂模拟)“11分制”乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后，若甲先发球，两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为______；若乙先发球，两人又打了4个球后该局比赛结束，则甲获胜的概率为 _____.0.50.1记两人又打了X个球后结束比赛，设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件A k(k＝1,2,3…)，＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积.(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.跟踪训练1 小王某天乘火车从重庆到上海，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：(1)这三列火车恰好有两列火车正点到达的概率；由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)这三列火车恰好有一列火车正点到达的概率；恰好有一列火车正点到达的概率为＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.(3)这三列火车至少有一列火车正点到达的概率.三列火车至少有一列火车正点到达的概率为＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.例2 (1)(2022·哈尔滨模拟)七巧板是中国民间流传的智力玩具.据清代陆以湉《冷庐杂识》记载，七巧板是由宋代黄伯思设计的宴几图演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间逐步演变为拼图版玩具.到明代，七巧板已基本定型为由如图所示的七块板组成：五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形，可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等1 600种以上图案.现从七巧板中取出两块，已知取出的是三角形，则两块板恰好是全等三角形的概率为√设事件A为“从七巧板中取出两块，取出的是三角形”，事件B为“两块板恰好是全等三角形”，(2)逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究.据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为√记事件A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，事件B：这人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病，则事件B|A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，继续饮酒2.4两不诱发这种疾病，则B⊆A，AB＝A∩B＝B，P(A)＝1－0.04＝0.96，P(B)＝1－0.16＝0.84，思维升华求条件概率的常用方法(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解.跟踪训练2 (1)(2023·六盘山模拟)已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回.在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为√设事件A＝“第1次抽到代数题”，事件B＝“第2次抽到几何题”，由题意知，第一次击中与否对第二次没有影响，②在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是_____.例3 (1)一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是0.9，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为√设事件A表示“小胡答对”，事件B表示“小胡选到有思路的题”.则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率(2)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为√A.0.48B.0.49C.0.52D.0.51设事件A＝“发送的信号为0”，事件B＝“接收的信号为1”，思维升华利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A i(i＝1,2，…，n).(2)求P(A i)和所求事件B在各个互斥事件A i发生条件下的概率P(A i)P(B|A i).(3)代入全概率公式计算.跟踪训练3 (1)设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9，则甲正点到达目的地的概率为√A.0.78B.0.8C.0.82D.0.84设事件A表示“甲正点到达目的地”，事件B表示“甲乘动车到达目的地”，事件C表示“甲乘汽车到达目的地”，由题意知P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A|B)＝0.9，P(A|C)＝0.7.由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.6×0.9＋0.4×0.7＝0.54＋0.28＝0.82.(2)(2022·郑州模拟)第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”等.小王有3张“冬梦”、2张“冰墩墩”和2张“雪容融”邮票；小李有“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”邮票各1张.小王现随机取出一张邮票送给小李，分别以A1，A2，A3表示小王取出的是“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再随机取出一张邮票，以B表示他取出的邮票是“冰墩墩”的事件，则P(B|A2)＝_____，P(B)＝_____.第三部分A.事件A与B互斥B.事件A与B对立√C.事件A与B相互独立D.事件A与B既互斥又相互独立∴P(AB)＝P(A)P(B)≠0，∴事件A与B相互独立，事件A与B不互斥也不对立.4个都不能正常照明的概率为(1－0.8)4＝0.001 6，只有1个能正常照明的概率为4×0.8×(1－0.8)3＝0.025 6，所以至少有两个能正常照明的概率是1－0.001 6－0.025 6＝0.972 8.2.(2023·开封模拟)某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是A.0.819 2B.0.972 8C.0.974 4D.0.998 4√3.根据历年的气象数据可知，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为√A.0.8B.0.625C.0.5D.0.1设“发生中度雾霾”为事件A，“刮四级以上大风”为事件B，所以P(A)＝0.25，P(B)＝0.4，P(AB)＝0.2，4.(2022·青岛模拟)甲、乙两名选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为√A.0.36B.0.352C.0.288D.0.648由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，概率为0.6×0.6＝0.36，二是前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为×0.6×0.4×0.6＝0.288，这两种情况互斥，∴甲最终获胜的概率P＝0.36＋0.288＝0.648.记事件A 为“该考生答对题目”，事件B 1为“该考生知道正确答案”，事件B 2为“该考生不知道正确答案”，则P (A )＝P (A |B 1)·P (B 1)＋P (A |B 2)·P (B 2)＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625.5.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为25%，那么他答对题目的概率为A.0.625B.0.75C.0.5D.0.25√6.将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”； B表示事件“医生乙派往①村庄”； C表示事件“医生乙派往②村庄”，则A.事件A与B相互独立B.事件A与C相互独立√。
第1页共11页2023年高考数学一轮总复习第10讲：指数与指数函数【教材回扣】1．分数指数幂(1)a m n ＝________(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；a －m n＝________(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝________，(a r )s ＝________，(ab )r ＝________，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象与性质y ＝a x a >10<a <1图象定义域________值域________性质过定点________当x >0时，________；当x <0时，□10________当x >0时，□11________；当x <0时，□12________在(－∞，＋∞)上是□13________在(－∞，＋∞)上是□14________【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1.n a n 与(n a )n 都等于a (n ∈N *)．()2．2a ·2b ＝2ab .()3．函数y ＝3·2x 与y ＝2x ＋1都不是指数函数．()4．若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .()题组二教材改编1．(多选题)设a >0，则下列运算中不正确的是()A ．a 43a 34＝a B ．a ÷a 23＝a 32C ．a 23a-23＝0D ．(a 14)4＝a 2．如图，①②③④中不属于函数y ＝2x ，y ＝6x ，y 的一个是()。
专题10 函数的图象1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题．1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x(a >0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． ⑤y ＝f (x )――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ⑥y ＝f (x )――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． (3)伸缩变换12①y ＝f (x ) ――→a >1，横坐标缩短为原来的f(1, a )倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的f(1, a )倍，纵坐标不变 y ＝f (ax )．②y ＝f (x )――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变 y ＝af (x )．高频考点一 作函数的图象 例1、作出下列函数的图象：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝2x －1x －1； (4)y ＝x 2－2|x |－1.(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④. 【方法规律】画函数图象的一般方法(1)直接法．当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．【变式探究】分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lg x|；(2)y＝sin |x|.高频考点二识图与辨图例2、(1)(2016·全国Ⅰ卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为( )(2)(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，从而排除D ，故选B. 【答案】 (1)D (2)B【方法规律】(1)抓住函数的性质，定性分析①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复．④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(2)抓住函数的特征，定量计算从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． 【训练2】(1)函数y ＝log 2(|x |＋1)的图象大致是( )(2)已知a 是常数，函数f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝|a x－2|的图象可能是( )方得到的，故选D. 【答案】 (1)B (2)D 高频考点三 函数图象的应用例3、(1)若方程x2－|x|＋a ＝1有四个不同的实数解，则a 的取值X 围是．(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx，0≤x≤1，log2015x ，x>1.若a ，b ，c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a ＋b ＋c 的取值X 围是( ) A ．(1,2015) B ．(1,2016) C ．[2,2 016]D ．(2,2016)【答案】 (1)(1，54) (2)D【解析】 (1)方程解的个数可转化为函数y ＝x2－|x|的图象与直线y ＝1－a 交点的个数，如图：易知－14<1－a<0，∴1<a<54.(2)作出函数的图象，直线y ＝m 交函数图象如图，不妨设a<b<c ，由正弦曲线的对称性，可得A(a ，m)与B(b ，m)关于直线x ＝12对称，因此a ＋b ＝1，当直线y ＝m ＝1时，由log2015x ＝1，解得x ＝2015.若满足f(a)＝f(b)＝f(c)，且a ，b ，c 互不相等，由a<b<c 可得1<c<2015，因此可得2<a ＋b ＋c<2016，即a ＋b ＋c∈(2,2016)．故选D.【感悟提升】(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想．【变式探究】 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________． 【解析】【答案】 51.【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D2.【2016年高考理数】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值X 围是________. 【答案】2，(,1)-∞-.【解析】如图，作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2),(0,0),(1,2)A O B --，由2'()33g x x =-，知1x =是函数()g x 的极小值点， ①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，由图象可知()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值(1)2f -=；只有当1a <-时，332a a a -<-，()f x 无最大值，所以所求的取值X 围是(,1)-∞-．3.【2016高考某某理数】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值X 围是________________. 【答案】()3,+∞【解析】画出函数图象如下图所示：【2015高考某某，理9】函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <【答案】C【2015高考新课标2，理10】如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）(D)(C)(B)(A)xy424ππ424yxxy424ππ424y【答案】B【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，tan PA PB x+=；当点P 在CD 边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，PA PB +=，当2x π=时，PA PB +=；当点P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，tan PA PB x +=，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．（2014·某某卷）若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是()D P COAxA BC D【答案】B（2014·某某卷）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x－2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值X 围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 【答案】B【解析】 因为当x ≥0时，f (x )＝12()||x －a 2＋||x －2a 2－3a 2，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12()a 2－x ＋2a 2－x －3a 2＝－x ； 当a 2<x <2a 2时，因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x ∈R，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66.故选B.（2014·某某卷）已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值X 围是( )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C. (1，2) D. (2，＋∞)【答案】B 【解析】 画出函数f (x )的图像，如图所示．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实数，则函数f (x )，g (x )有两个交点，则k ＞12，且k ＜1.故选B.（2014·某某卷）在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D图12【答案】D（2013·某某卷）如图1－3所示，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧FG的长为x(0<x<π)，y＝EB＋BC＋CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝f(x)的图像大致是( )图1－3图1－4【答案】D 【解析】设l，l2距离为t，cos x＝2t2－1，得t＝cos x＋12.△ABC的边长为23，BE23＝1－t1，得BE＝23(1－t)，则y＝2BE＋BC＝2×23(1－t)＋23＝23－433cos x＋12，当x∈(0，π)时，非线性单调递增，排除A，B，求证x＝π2的情况可知选D.（2013·新课标全国卷Ⅱ）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( ) A．x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0【答案】C1．为了得到函数y ＝2x －2的图象，可以把函数y ＝2x 图象上所有的点( ) A ．向右平行移动2个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动2个单位长度 D ．向左平行移动1个单位长度【解析】 因为y ＝2x －2＝2(x －1)，所以只需将函数y ＝2x 的图象上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y ＝2(x －1)＝2x －2的图象． 【答案】 B2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )【解析】 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，排除B.故选C.【答案】 C3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )【答案】 D4．函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是( )【解析】由于函数y＝(x3－x)2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称．当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0.排除选项A，C，D，选B.【答案】 B5．使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值X围是( )A．(－1，0) B．[－1，0) C．(－2，0) D．[－2，0)【解析】在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1，0)，故选A.【答案】 A6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0【答案】 D7.函数f (x )＝ax ＋b（x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0【解析】 函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c >0， ∴c <0.令x ＝0，得f (0)＝b c2，又由图象知f (0)>0，∴b >0. 令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－b a>0，∴a <0. 【答案】 C8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，若对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，则实数k的取值X 围为________．【解析】 对任意x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，即f (x )max ≤|k －1|. 因为f (x )的草图如图所示，观察f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞9.已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________．【解析】 当f (x )>0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )>0的x ∈(2，8]． 【答案】 (2，8]10．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．【答案】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14（x －2）2－1，x >0 11．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值X 围是________．【解析】 如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值X 围是[－1，＋∞)．【答案】 [－1，＋∞)12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值． 解 (1)函数f (x )的图象如图所示．13．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． 解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3，∴f (x )的图象为：(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2，3)，(1，2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2，3)是减区间；(1，2]，[3，＋∞)是增区间．(3)由f (x )的图象知，当0<m <1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0<m <1}． 14．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0，1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，g (x )在区间(0，2]上的值不小于6，某某数a 的取值X 围．令q(x)＝－x2＋6x－1，x∈(0，2]，q(x)＝－x2＋6x－1＝－(x－3)2＋8，∴当x∈(0，2]时，q(x)是增函数，q(x)max＝q(2)＝7. 故实数a的取值X围是[7，＋∞).。
