2014高考数学总复习一轮用书与名师对话3-6

【与名师对话】2014年高考数学总复习 1-2 命题及其关系、充分条件与必要条件配套课时作业 理 新人教A 版一、选择题1．(2012年浙江调研)在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分而不必要条件解析：在△ABC 中，若A ＝60°，则cos A ＝12；反过来，若cos A ＝12，因为0°<A <180°，所以A ＝60°.因此，在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件，选C.答案：C2．(2012年浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：l 1与l 2平行的充要条件为a (a ＋1)＝2×1且a ×4≠1×(－1)，可解得a ＝1或a ＝－2，故a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．答案：A3．(2012年山东潍坊一模)命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5解析：原命题等价于“a ≥x 2对于任意x ∈[1,2]恒成立”，其充要条件是a ≥4，所以C 正确．答案：C4．(2012年福建)下列命题中，真命题是 ( )A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件解析：∵∀x ∈R ，e x>0，∴A 错；∵函数y ＝2x与y ＝x 2有交点．如点(2,2)，此时2x＝x 2，∴B 错；∵当a ＝b ＝0时，a ＋b ＝0，而0作分母无意义，∴C 错；a >1，b >1，由不等式可乘性知ab >1，∴D 正确．答案：D5．(2013届湖北省黄冈中学高三10月月考)以下说法错误的是 ( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 3－3x ＋2≠0” B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．若命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，则x 2＋x ＋1≥0 解析：若p ∧q 为假命题，则只需p 、q 至少有一个为假命题即可． 答案：C6．(2012～2013学年度河北省普通高中高三11月教学质量监测)“a 2＋b 2ab≤－2”是“a >0且b <0”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要解析：a 2＋b 2ab ＋2＝a ＋b 2ab≤0⇔ab <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a <0b >0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0b <0，则选A.答案：A 二、填空题7．(2012年茂名模拟)若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3,0]8．已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④綈p 是綈s 的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件．则正确命题的序号是________． 解析：由题意知，∴s ⇔q ，①正确；p ⇒r ⇒s ⇒q ，∴p ⇒q ，但qp ，②正确；同理判断③⑤不正确，④正确．答案：①②④9．(2012年衡阳六校联考)给出下列命题： ①原命题为真，它的否命题为假； ②原命题为真，它的逆命题不一定为真； ③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； ④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；⑤“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ”的逆命题． 其中真命题是________．(把你认为正确命题的序号都填在横线上)解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确．又因为不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，(1)m ＝0时不合题意，(2)m ≠0时由⎩⎪⎨⎪⎧ m >0Δ＝m ＋2－4m m ＋⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >0m >1⇒m >1.故⑤正确． 答案：②③⑤ 三、解答题10．求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1>0对于一切实数x 都成立的充要条件是0<a <4.证明：(1)必要性：若ax 2－ax ＋1>0对x ∈R 恒成立，由二次函数性质有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，∴0<a <4.(2)充分性：若0<a <4，对函数y ＝ax 2－ax ＋1， 其中Δ＝a 2－4a ＝a (a －4)<0且a >0， ∴ax 2－ax ＋1>0对x ∈R 恒成立． 由(1)(2)知，命题得证．11．(2013届四川省资阳市高三第一次诊断性考试)命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a >0)，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|≤2，x ＋3x －2≥0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0，又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3， 即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3. 由⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|≤2，x ＋3x －2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤3，x ≤－3或x >2，解得2<x ≤3，即q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3，若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)由(1)知p ：a <x <3a ，则綈p ：x ≤a 或x ≥3a ，q ：2<x ≤3，则綈q ：x ≤2或x >3，綈p 是綈q 的充分不必要条件，则綈p ⇒綈q ，且綈q ≠綈p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2，3a >3，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．12．(2013届山东潍坊市四县一校高三期中联考)已知条件p ：|5x －1|>a (a ≥0)和条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选取适当的非负数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A ，B 构造命题：“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．解：已知条件p ：|5x －1|>a ，∴x <1－a 5或x >1＋a5.已知条件q ，即2x 2－3x ＋1>0，∴x <12或x >1，令a ＝4，则p ：x <－35或x >1，此时必有p ⇒q 成立，反之不然． 故可以选取的一个非负实数是a ＝4.A 为p ，B 为q ，对应的命题是若p ，则q .自以上过程可知这一命题的原命题为真命题， 但它的逆命题为假命题．(注：本题为开放性命题，答案不惟一，只需满足1－a 5≤12，且1＋a5≥1(端点等号不同时取得)即可)[热点预测]13．(1)(2012年北京朝阳二模)下列命题：p ：函数f (x )＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；q ：已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(－1，λ2)，c ＝(－1,1)，则(a ＋b )∥c 的充要条件是λ＝－1；r ：若⎠⎛1a 1xd x ＝1(a >1)，则a ＝e.其中所有的真命题是( )A ．rB ．p ，qC ．q ，rD ．p ，r(2)(2012年浙江温州月考)已知向量a ＝(n,4)，b ＝(n ，－1)，则“n ＝2”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：(1)本题主要考查命题真假的判断，涉及的知识点比较多，需逐一判断． 命题p ：∵f (x )＝sin 4x －cos 4x＝(sin 2x －cos 2x )(sin 2x ＋cos 2x )＝－cos 2x ， ∴最小正周期T ＝2π2＝π，故命题p 为真命题；命题q ：∵a ＋b ＝(λ－1,1＋λ2)，c ＝(－1,1)且(a ＋b )∥c ， ∴λ－1－1＝1＋λ21. 解得λ＝0或－1，故命题q 为假命题；命题r ：⎠⎛1a 1xd x ＝ln x |a1＝ln a －ln 1＝ln a ＝1，∴a ＝e ，∴命题r 为真命题．故D 正确．(2)当n ＝2时，a ＝(2,4)，b ＝(2，－1)，a ·b ＝4－4＝0，∴a ⊥b ；当a ⊥b 时，a ·b ＝n 2－4＝0，得n ＝2或－2.∴“n ＝2”是“a ⊥b ”的充分不必要条件．故选A. 答案：(1)D (2)A s。

质量检测(七)测试内容：统计、统计案例与概率(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．一个容量为100的样本，其频数分布表如下组别(0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70] 频数1213241516137 则样本数据落在(10,40]上的频率为( )A．0.13 B．0.39C．0.52 D．0.64解析：由题意可知样本在(10,40]上的频数是：13＋24＋15＝52，由频率＝频数÷总数，可得样本数据落在(10,40]上的频率是0.52.答案：C2．为了了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是( )A．50 B．47C．48 D．52解析：依题意得，前3个小组的频率总和是1－(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.75，则第2小组的频率是0.75×21＋2＋3＝0.25，故报考飞行员的学生人数是12÷0.25＝48.答案：C3．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1，表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：5 727 0 293 7 140 9 857 0 347 4 373 8 636 9 647 1 417 4 698 0 3716 233 2 616 8 045 6 011 3 661 9 597 7 424 6 710 4 281据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.85 B ．0.819 2 C ．0.8D ．0.75解析：由随机数表可以看出，20次射击中至少击中3次的有15次，故所求概率为P ＝1520＝0.75.答案：D 4．(2012年某某)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差解析：由众数、平均数、中位数、标准差的定义知：A 样本中各数据都加2后，只有标准差不改变，故选D.答案：D5．(2012年某某模拟)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A ．13,12B ．13,13C ．12,13D ．13,14解析：设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，a 3＝8，a 1a 7＝(a 3)2＝64，(8－2d )(8＋4d )＝64，(4－d )(2＋d )＝8,2d －d 2＝0，又d ≠0，故d ＝2，故样本数据为4、6、8、10、12、14、16、18、20、22，样本的平均数为4＋22×510＝13，中位数为12＋142＝13，故选B.答案：B6．(2012年某某某某四所重点中学联考)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了8次试验，收集数据如下：零件数x (个) 10 20 30 40 50 60 70 80 加工时间y (min)626875818995102108设回归方程为y ＝b x ＋a ，则点(a ，b )在直线x ＋45y －10＝0的( ) A ．左上方 B ．左下方 C ．右上方D ．右下方解析：依题意得，x ＝18×(10＋20＋30＋40＋50＋60＋70＋80)＝45，y ＝18×(62＋68＋75＋81＋89＋95＋102＋108)＝85.因为样本中心点(x ，y )在回归直线上，所以85＝45b^＋a ^，所以a ＋45b ＝85>10，因此点(a ^，b ^)必位于直线x ＋45y －10＝0的右上方，选C.答案：C7．(2012年某某模拟)为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶5∶6∶3∶1，则该班学生数学成绩在(80,100)之间的人数是( )A ．32B ．27C ．24D ．33解析：位于(80,100)之间人数所占的比例为 5＋62＋3＋5＋6＋3＋1＝1120，∴共有人数1120×60＝33人．答案：D8．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A.14B.13C.23D.12解析：由题意可知，点P 位于BC 边的中线的中点处． 记黄豆落在△PBC 内为事件D ，则P (D )＝S △PBC S △ABC ＝12. 答案：D9．(2012年豫南九校联考)从x 2m －y 2n＝1(其中m ，n ∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( )A.12B.47C.23D.34解析：当m ＝－1，n ＝－1时，表示焦点在y 轴上的双曲线；当m ＝2，n ＝2,3时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当m ＝3，n ＝2,3时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当m ＝2，n ＝－1时，表示椭圆； 当m ＝3，n ＝－1时，表示椭圆．∴方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为P ＝47.答案：B10．(2012年某某模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，A ＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a 、b ，则满足条件的三角形有两个解的概率是( )A.16B.13C.12D.34解析：要使△ABC 有两个解，需满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >b sin A ，b >a因为A ＝30°，所以⎩⎪⎨⎪⎧b <2a b >a，满足此条件的a ，b 的值有b ＝3，a ＝2；b ＝4，a ＝3；b＝5，a ＝3；b ＝5，a ＝4；b ＝6，a ＝4；b ＝6，a ＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是636＝16.答案：A11．(2012年某某名校联考)下列命题：①若函数f (x )＝x 2－2x ＋3，x ∈[－2,0]的最小值为2；②线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^对应的直线至少经过其样本数据点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点；③命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0；④若x 1，x 2，…，x 10的平均数为a ，方差为b ，则x 1＋5，x 2＋5，…，x 10＋5的平均数为a ＋5，方差为b ＋25.其中，错误命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：因为f (x )＝(x －1)2＋2，此函数在[－2,0]上为减函数，所以x ＝0时，f (x )最小为3，①错误；线性回归方程对应的直线不一定经过样本点，所以②错误；特称命题的否定为全称命题，③正确；若x 1，x 2，…，x 10的平均数为a ，方差为b ，则x 1＋5，x 2＋5，…，x 10＋5的平均数为a ＋5，方差为b ，所以④错误，综上所述，错误命题为①、②、④，故选D.答案：D12．关于统计数据的分析，有以下几个结论： ①一组数不可能有两个众数；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；③调查剧院中观众观看感受时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查，属于分层抽样；④一组数据的方差一定是正数；⑤如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在[50,60)的汽车大约是60辆．则这5种说法中错误的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：一组数中可以有两个众数，故①错；根据方差的计算可知②正确；③属于简单随机抽样，错误；④错误，因为方差可以是零；⑤正确．故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2012年某某)一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．解析：男女运动员人数比例为： 5698－56＝43， 分层抽样中男女人数比例不变，则女运动员人数为 28×37＝12.故应抽取女运动员人数为12. 答案：1214．(2013届某某某某月考)已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．解析：(1)圆心坐标为(0,0)，圆心到直线4x ＋3y ＝25的距离d ＝|4×0＋3×0－25|42＋32＝5.(2)如图l ′∥l ，且O 到l ′的距离为3，sin ∠ODE ＝323＝32，所以∠ODE ＝60°，从而∠BOD ＝60°，点A 应在劣弧上，所以满足条件的概率为16.答案：5 1615．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是____．解析：∵中位数为10.5， ∴a ＋b2＝10.5，a ＋b ＝21，∵x ＝2＋3＋3＋7＋a ＋b ＋12＋13.7＋18.3＋2010＝10，∴s 2＝110[(2－10)2＋(3－10)2＋(3－10)2＋(7－10)2＋(a －10)2＋(b －10)2＋(12－10)2＋(13.7－10)2＋(18.3－10)2＋(20－10)2]． 令y ＝(a －10)2＋(b －10)2＝2a 2－42a ＋221 ＝2(a －21a )2＋12.当a ＝10.5时，y 取最小值，方差s 2也取最小值． ∴a ＝10.5，b ＝10.5. 答案：10.5、10.516．(2012年某某质检)某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机取出n 名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁，根据调查结果得出司机的年龄情况的部分频率分布直方图如图所示，则由该图可以估计年龄在[25,30)岁的司机约占该市司机总数的________．解析：由频率分布直方图可知年龄在[25,30)岁的频率是1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2，故可以估计年龄在[25,30)岁的司机约占该市司机总数的20%.答案：20%三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(2012年某某)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x 3025y 10结算时间(分钟/人)1 1.52 2.5 3(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A1)＝15100＝320，P(A2)＝30100＝310，P (A 3)＝25100＝14. 因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件，所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝320＋310＋14＝710. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.18．关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有如下的统计资料：使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y2.23.85.56.57.0(1)请画出表中数据的散点图； (2)求线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^.解：(1)由图中所给数据，画散点图如图所示． (2)x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5，∑i ＝15x 2i ＝22＋32＋42＋52＋62＝90， ∑i ＝15x i y i ＝2×2.2＋3×3.8＋4×5.5＋5×6.5＋6×7.0＝112.3，∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23， a ^＝y －b ^x ＝5－1.23×4＝0.08，∴线性回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08.19．(2012年某某)如图，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0,1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0,1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2)求这3点与原点O 共面的概率．解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取2个点的有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，共4种； y 轴上取2个点的有B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，共4种； z 轴上取2个点的有C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共4种．所选取的3个点在不同坐标轴上有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．(1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A 1B 1C 1，A 2B 2C 2，共2种．因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P 1＝220＝110.(2)选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有：A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共12种，因此，这3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1220＝35.20．(2012年某某)袋中有五X 卡片，其中红色卡片三X ，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两X ，标号分别为1,2.(1)从以上五X 卡片中任取两X ，求这两X 卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (2)向袋中再放入一X 标号为0的绿色卡片，从这六X 卡片中任取两X ，求这两X 卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．解：(1)标号为1,2,3的三X 红色卡片分别记为A ，B ，C ，标号为1,2的两X 蓝色卡片分别记为D ，E ，从五X 卡片中任取两X 的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10种．由于每一X 卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五X 卡片中任取两X ，这两X 卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，共3种．所以这两X 卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.(2)记F 为标号为0的绿色卡片，从六X 卡片中任取两X 的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．由于每一X 卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六X 卡片中任取两X ，这两X 卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(A ，F )，(B ，F )，(C ，F )，(D ，F )，(E ，F )，共8种．所以这两X 卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.21．(2012年某某质检)某工科院校对A ，B 两个专业的男女生人数进行调查，得到如下的列联表：专业A 专业B 总计 女生 12 4 16 男生 38 46 84 总计5050100(1)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为工科院校中“性别”与“专业”有关系呢？(2)从专业B 的女生中随机抽取2名，代表该专业参加文艺汇演，求女生甲和女生乙至少一人参加的概率．注：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋dP (K 2≥k 0)0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 k 01.3232.0722.7063.8415.024解：(1)根据列联表中的数据 K 2＝100×12×46－4×38216×84×50×50≈4.762，由于4.762>3.841，因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为工科院校中“性别”与“专业”有关系．(2)设4名女生分别为甲、乙、丙、丁，从4名女生中选取2名的基本事件：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，共6个，女生甲和女生乙至少一人参加的基本事件：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，共5个，所以女生甲和女生乙至少一人参加的概率P ＝56.22．(2012年)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、word11 / 11可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a >0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．(注：s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数)解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值． 因为x ＝13(a ＋b ＋c )＝200，所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000.。