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s立体几何■考点调查360。
・第四节直线、平面平行的判定及其性质课前学案基础诊断夯基固本基础自测矚莎梳理1・直线与平面平行(1)判定定理:(2)性质定理:2 •平面与平面平行(1)判定定理:(2)两平面平行的性质定理:答案:U]外[2\l(^a；a(Za；a//1③交线BJa// a；tzU0；aPl0 = b⑤相交[6]a C CI；6C Q!；« A6 = P； a// B;b///3⑦相交⑧交线⑨&〃二a；0Gy二b1个转化——三种平行关系间的转化性质定理i 判定定理判定定理I线线平行「线面平行面面平行I性质定理性质定理I判定定理2个注意点——证明平行问题应注意的两个问题(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线a在已知平面外；二是直线b在已知平面内；三是两直线平行.(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行.1.下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是（）A.—个平面内的一条直线平行于另一个平面B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：由面面平行的定义可知，-平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故£）正确.答案：D2.已知直线山b,平面％则以下三个命题：①若a〃b, bUa,贝ija〃a ②若a〃b, a/7a,贝!jb〃a ③若a//a, b〃a,贝lja//b.其中真命题的个数是（）A・0个B・1个C・2个D・3个解析：对于命题①，若a〃b, bUa,则应有a//a或aUa,所以①不正确；对于命题②，若a〃b, a〃a,则应有b//a或bUot,因此②也不正确；对于命题③，若a〃a, b//a,则应有a〃b或a与b相交或a与b 异面，因此③也不正确.答案：力3.若一直线上有相异三个点A, B, C到平面a的距离相等, 那么直线1与平面（X的位置关系是（）A・l〃a B・1丄aC. 1与a相交且不垂直D・l〃a或lUa解析：由于1上有三个相异点到平面a的距离相等，则1与a 可以平行，lUa时也成立.答案：D4.平面a〃平面卩，aCa, bcp,则直线a, b的位置关系是解析：由a〃卩可知，a, b的位置关系是平行或异面. 答案：平行或异面5・在正方体ABCD-AiBiCQi中,E是DD】的中点，则BD］与平面ACE的位置关系为_________解析：如图.连接AC, BD交于O点，连接OE,因为OE〃BDi，而OEU平面ACE, BD&平面ACE,所以BD】〃平面ACE.答案：平行L ___ _【例1］如图，直三棱柱ABC —AiBiCi中，D, E分别是AB,BBi的中点.(1)证明：BCi〃平面AiCD；(2)设AAi = AC=CB = 2, AB = 2^2,求三棱锥C—AQE 的体积.B解析：（1）证明：连接AC】交AiC于点F,则F为AC】中点. 又D是AB的中点，连接DF,则BG〃DF.因为DFU平面AiCD, BC&平面A]CD,所以BCi 〃平面AiCD.B(2)因为ABC—AibCi是直三棱柱，所以AAi丄CD.由已知AC=CB, D为AB的中点，所以CD丄AB•又AAi AAB = A,于是CD 丄平面ABBiAi・由AAi = AC=CB = 2, AB = 2辺得ZACB=90°, CD = \[i,= DE=^/3, AiE = 3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE丄A1D・所以Vc_A[ DE = ? X ㊁ X & X 书 X 迈=1 •»名师点拨判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；⑵利用线面平行的判定定理(Ma, bUa, a〃b=>a〃a)；⑶利用面面平行的性质(a//p, aCa=>a/7p)；(4)利用面面平行的性质(a〃卩,a<ia, a<ip, a〃a=>a〃卩).通关特训1如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB〃CD, ZDAB = 90°, PA丄底面ABCD,且PA = AD=DC= | AB=1, M 是PB的中点.(1)求证：AM = CM；(2)若N是PC的中点，求证：DN〃平面AMC・证明：（1）T在直角梯形ABCD中，AD=DC = |AB=1, •••AC = Q BC=dABC 丄AC,又PA丄平面ABCD, BCU平面ABCD,ABC丄PA,又PAAAC = A, ABC丄平面PAC,ABC 丄PC.在7?rAPAB中，M为PB的中点，则AM = |PB,在7?rAPBC中，M为PB的中点，则CM=|P B,.•- AM = CM ・(2)如图，连接DB交AC于点F,VDC^|AB, ADF=|FB・取PM的中点G,连接DG, FM,则DG〃FM, 又DGQ平面AMC, FMU平面AMC, ADG 〃平面AMC.连接GN,则GN//MC, GNG平面AMC, MCU 平面AMC.「•GN〃平面AMC,又GNQDG = G, •••平面DNG〃平面AMC,又DNU平面DNG, •••DN〃平面AMC.【例2】如图，在三棱柱ABGAiDCi中，E, F, G, H分别是AB, AC, Alb，A1C1的中点，求证：(1)B, C, H, G四点共面；(2)平面EFA［〃平面BCHG.BB证明：(1)VG日是厶ABC］的中位线, 又AGH^BC, AB, C, H, G四点共面.(2)TE、F分别为AB、AC的中点,•••EF〃BC,•••EFQ平面BCHG, BCU平面BCHG,AEF〃平面BCHG.TAiG 緬EB,•••四边形A|EBG是平行四边形，•••A]E〃GB ・••• AiEG平面BCHG, GB U平面BCHG. •••AiE 〃平面BCHG.VAiEnEF=E, •••平面EFAi 〃平面BCHG.A名师点拨判定面面平行的四种方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用).(2)利用面面平行的判定定理(主要方法).(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用).(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用).通关特训2如图，四棱柱ABCD —A1B1CQ ］的底面ABCD 是 正方形，O 是底面中心，AQ 丄底面ABCD, AB=AA!= A /2・ (1) 证明：平面AjBD 〃平面CDiBi ；(2) 求三棱柱ABD —AiBQi 的体积.AB解析：(l)iiE明：由题设知，BB]統DDi，•••四边形BB]D]D是平行四边形，又BDQ平面CDiBi，EQiU平面CDiBp •••BD〃平面CDiBi・TAiDi 統Bi© 統BC,•••四边形AiBCDi是平行四边形，•••AiB〃DiC ・又AiB评面CDiB], DiCU平面CDiB], 平面CDiBi・XVBDnA1B = B,•••平面AiBD〃平面CD J B J.(2) V AiO丄平面ABCD,・•・A|O是三棱柱ABD —AiBQ]的高. XVAO = ^AC=1, AA I=3，.•・AiO=#AAf—OA2=1.又s△曲述,=1 ‘•：V ABD-A I B]D]=S^ABD X A]O= 1.E【例3】如图所示，四边形ABCD为矩形，DA丄平面ABE, AE = EB = BC = 2, BF丄平面ACE于点F,且点F在线段CE上.(1)求证：AE丄BE；(2)设点M在线段AB上，且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN〃平面ADE.E解析：（1）证明：由DA 丄平面ABE 及AD/7BC,得BC 丄平面 ABE,又AEU 平面ABE,所以AE 丄BC,因为BF 丄平面ACE, AEU 平面ACE, 所以BF 丄AE,XBCnBF=B, BC, BFU 平面 BCE,所以AE 丄平面BCE.因为BEU 平面BCE,故AE 丄BE.CBA(2)在ZkABE 中，过点M 作MG 〃AE 交BE 于点G,在厶BEC 中,过点G 作GN 〃BC 交CE 于点N,连接MN,则由爭=BE =W =3, 得 CN=|cE.因为MG 〃AE, AEU 平面ADE, MGQ 平面ADE,所以MG 〃平面ADE,CB又GN〃BC, BC//AD, ADU平面ADE, GNG平面ADE,所以GN〃平面ADE,又MGAGN=G,所以平面MGN〃平面ADE,因为MNC平面MGN,所以MN〃平面ADE.故当点N为线段CE上靠近C的一个三等分点时，MN〃平面ADE.•名师点拨空间平行的探索性问题求解方法(1)对命题条件的探索常釆用以下三种方法：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件.(2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.通关特训3如图所示，在正方体ABCD —AiB]C]Di中，0为底面ABCD的中心，P是DDi的中点，设Q是CCi上的点，则当点Q 在什么位置时，平面DiBQ〃平面PAO?A B解析：当Q为CCi的中点时，平面DiBQ〃平面PAO.证明如下：TQ为CC|的中点，P为DDi的中点，QB // PA ・VP, O分别为DD1，DB的中点，•••DiB〃P O.又VDiBC平面PAO, POU平面PAO, QBG平面PAO, PAU平面PAO,平面PAO, QB〃平面PAO,XD1BnQB=B, DjB, QBC平面DiBQ, •••平面DiBQ〃平面PAO.word部分:请做：旬主园地备考泰餐word部分:请做：开卷速查（8十三）点此进入该wo rd板块。
■考点调查360% KAODIANDIAOCHA 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布课前学案基础诊断夯基固本基础自测1・离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分佈列为:(1)均值:称E(X)= E _________________________ 为随机变量X的均值或②—,它反映了离散型随机变量取值的m⑵方差：称r>(x)= S ____________________ 为随机变量x的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的⑤ ________________ ，其总 ___________ 为随机变量X的标准差.2 •均值与方差的性质(1 )E@X+ b) = [3 __________ ■(2)____________________ D(dX+b)=⑧ .(a, b为常数)3.两点分布与二项分布的均值、方差⑴若X服从两点分布，则E(X)=回_________ , D(X)= 0⑵若X〜p),则E(X)= 回___________________ , D(X)= 04.正态曲线及性质（1）正态曲线的定义：函数/（%）= 0 ___________________ ，兀丘（一8, +°°）, 其中实数〃和<7（d>0）为参数，我们称/（X）的图像（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线.(2)正态曲线的性质：①曲线位于X轴回____ ,与X轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线回________ 对称;③曲线在［3 ____ 处达到峰值一A ；④曲线与无轴之间的面积为0 ________ :⑤当/一定时，曲线的位置由〃确定，曲线随着IS ______ 的变化而沿X轴平移，如图甲所示；⑥当“一定时，曲线的形状由＜7确定，O西_______ ,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；G因 _________ ,曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示.甲乙甲乙5・正态分布(1)正态分布的定义及表示：若对于任何实数d, b(u<b),随机变量X满足P(a<X^b)= 0 ,则称X的分布为正态分布，记作回⑵正态总体在三个特殊区间内取值的概率值:①_crVXW〃 + cr）=羽____________ ；②弘―2/VXW〃 + 26= E3 ____________ ；③弘一3<7VXW“ + 3（7）= E3 _________ ・0N(|i, o2) 00.682 6 H 0.954 4 0 0.997 4答案：IK 兀p i + x2p2 H -- XiPi ------ F x n p nn②数学期望③平均水平［3厶(X-E(X))2P/⑤平均偏离程度⑥算术平方根価环\31aE(X)+b\^\aD(X)⑨卩面#(1一p)回np( 1 ~p)回誌孑―"") Ex=^回回砂0 pf(x)dx2桁e—上厂辺上方1 迪〃13越小园越大微膊3条性质——期望与方差的性质(.1)E•(愁土b).=.aE(x).+.b(a,......b 为常数).：. (2)E 凶±&)三E(&)土E(X2),一….0N(|i, o2) 00.682 6 H 0.954 4 0 0.997 4(3)Q•(瞌±切.•三.『.DX)(Q.?......b 为常数)......I测1.设随机变量X〜B(n, p)且玖X)=1.6, D(X) = 1.28则)A・ n = 8 p = 0.2 B・ n=4 p = 0.4C・ n = 5 p —0.32 D ・ n = 7 p = 0・45解析：TX〜B(n, p),・••玖X) = np=1.6,D(X) = np(l —p)= 1.28,解得n=8, p = 0.2.答案:A2.已知X的分布列为:23 1则在下列式子中：①玖X)= —〒②D(X) =刃；③P(X^0) = 2- 正确的个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个解析：E(X)=-lx|+Ox|+lx|=-|,故①正确；D(X)= I，故②不正确；由分布列知③正确.答案:C3・已知随机变量g服从正态分布N(0, o2).若Pg>2) = 0.023,则P(-2<^<2) = ( )4. 0477 B.0628C・ 0・954 D. 0・977解析:V|1=O, A Pg>2)=Pg< -2)=0.023,A P(-2<^<2)= 1-2X0.023=0.954.答案：C4.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，贝i)D(X)= ________ .(1)139解析：TX〜B〔3,事•••D(X) = 3XjX]=Y^.9嗾案.—口木.165・两封信随机投入A, B, C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X 的数学期望玖X)= _________ .解析：两封信投入A, B, C三个空邮箱，投法种数是32 = 9,4A中没有信的投法种数是2X2=4,概率为印4 A中仅有一封信的投法种数是C]X2=4,概率为g,A中有两封信的投法种数是1,概率为| ,故A邮箱的信件数X4 4 12的数学期望是9X0+9X14-9X2 = 3-答案：IL ___ _【例1】［2014-安徽］甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多2 1者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为亍乙获胜的概率为予各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望).解析：用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛” ,Ak表示2“第k局甲获胜”,珈表示“第k局乙获胜”,则P(Ak) = 〒P(B k) = k= 1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P( A 1 B 2A3A4)=P(AJP(A2)+P(B I )P(A2)P(A3)+P(A I )P(B2)・P(A3)P(A4)⑵ 56同2帀国2,2 1 + 3X 3X10(2)X 的可能取值为2,3,4,5.P(X = 2) = P( A! A 2)+P(B ] B 2) = P( A! )P( A 2)+P(B 1 )P(B2)=I, P (X=3)=P(B! A 2A 3)+P( A, B 2B 3) = P(B 1)P(A 2)P(A 3)+P(A 1)P(B 2)P(B 3) 2 9-P(X=4)=P(A !B 2A 3A 4)+P(B i A2B3B4)=P(AJP(B2)P(A3)P(A4)+P(B I )P(A2)P(B3)P(B4) 8T P(X = 5)= 1 -P(X=2)-P(X = 3)-P(X=4)=^-.故X的分布列为E(X)=2X|+3X|+4X|YA名师点拨求离散型随机变量均值' 方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量g的均值、方差，求g的线性函数r|=ag+b的均值、方差和标准差，可直接用g的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.通关特训1 [2014-湖南]某企业有甲、乙两个研发小组，他们2 3研发新产品成功的概率分别为§和g•现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.功｝・解析：记E=｛甲组研发新产品成功｝, F=｛乙组研发新产品成2 ——1 3=2由题设知P(E)=3，P(E)=3，P(F) = 5, P(F)=§・且事件E与F、E与F、E与F、E与F都相互独立.(1)记H= ｛至少有一种新产甜研发成功｝, 则H =E F,于是————122P(H)=P(E)P(F) = 3X5=T5?—— 2 13故所求的概率为P(H) = 1 -P(H)=1 一厉=怎⑵设企业可获利润为X（万元），则X的可能取值为0,100,120,220.—— 1 2 2因P(X=0)=P(E F)=3X5=T5,P(X=100) = P(EF)=|x|=^,—224P(X=120)=P(E F)=^X^=—,2 3 6P(X=220)=P(EF)=^X-=—.故所求的分布列为数学期望为2 3 4E(X) = OX — +100X 訝+120X — +220X300+480+1 320 2 100140.15 = 15 =【例2】设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3 分.(1)当a=3, b = 2, c=l时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量g为取出此2球所得分数之和，求g的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量T| 为取出此球所得分数.若E(m=|, D(r|)=|，求a ： b ： c.解析：⑴由题意得g=2,3,4,5,6・—3X31故卩忆=2)=五=才，2X3X2 1P忆=可=在矿=矛2X3X1+2X2 5P忆—药—=逼,2X2X1 1P忆=5)=在矿=§，1X1 1所以g的分布列为(2)由题意知T|的分布列为所以E(m = a+b + c + “+b + c + a+b + c —3,D(r|) =2 a3 丿a+b+c( £ + 2-i2. . J- Q一— 2.3 丿a+b+c I c5汇c3 丿a+b + c5 992a—b—4c = 0, 化简得a+4b—llc = O. 解得a=3c, b = 2c,故a : bA名师点拨均值与方差的意义与作用(1 )D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X 的取值越集中在E(X)附近，统计中常用^D(X)来描述X的分散程度.(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.通关特训2有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下:其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好•试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料.。
