高一数学必修四三角恒等变换精选题。

－三角恒等变换测试题第I 卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1、cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-的值为（ ）A 0 B12 C 2 D 12-2.3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ）A 、3365-B 、6365C 、5665D 、1665-3. tan 20tan 4020tan 40︒︒︒︒++的值为（ ）A 1 B3C D 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ）A 47-B 47C 18D 18- 5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是（ ）A 、3365B 、1665C 、5665D 、63656.,)4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则cos2x 的值是（ ）A 、725-B 、2425-C 、2425D 、7257. 函数44sin cos y x x =+的值域是（ ）A []0,1B []1,1-C 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（ ）A1010 B 1010- C 10103 D 10103-9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像（ ）A 、向右平移6π个单位B 、向右平移12π个单位C 、向左平移6π个单位D 、向左平移12π个单位10. 函数sin 22x xy =+的图像的一条对称轴方程是 （ ）A 、x =113π B 、x =53π C 、53x π=- D 、3x π=- 11. 已知1cos sin 21cos sin x xx x -+=-++，则x tan 的值为 （ ）A 、34B 、34-C 、43D 、43-12.若0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,βπ∈且()1tan 2αβ-=,1tan 7β=-,则=-βα2 （ ） A 、56π-B 、23π-C 、 712π- D 、34π- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上） 13. .在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = 14. 已知tan 2x =，则3sin 22cos 2cos 23sin 2x xx x+-的值为15. 已知直线12//l l ，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ，B 是直线2l 上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为 。

第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 B ．－14C.34D ．－34解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( )A.32B ．－32C.34D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34.又π4<α<π2， ∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32. 答案 B3．sin15°sin30°sin75°的值等于( ) A.14 B.34 C.18D.38解析 sin15°sin30°sin75° ＝sin15°cos15°sin30° ＝12sin30°sin30°＝12×12×12＝18. 答案 C4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22C.32D. 2解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A ) ＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( )A ．－65B ．－45C.45D.65解析 原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65.答案 D6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2.答案 D 7．设a ＝22(sin17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c 解析 a ＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b ＝2cos 213°－1＝cos26°，c ＝32＝cos30°， ∵y ＝cos x 在(0,90°)内是减函数， ∴cos26°>cos28°>cos30°，即b >a >c . 答案 A8．三角形ABC 中，若∠C >90°，则tan A ·tan B 与1的大小关系为( ) A ．tan A ·tan B >1 B. tan A ·tan B <1 C ．tan A ·tan B ＝1D ．不能确定解析 在三角形ABC 中，∵∠C >90°，∴∠A ，∠B 分别都为锐角． 则有tan A >0，tan B >0，tan C <0. 又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A ·tan B <0，易知1－tan A ·tan B >0， 即tan A ·tan B <1. 答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( ) A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22D.⎣⎡⎦⎤－12，32 解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x＝12＋22⎝⎛⎭⎫22sin2x ＋22cos2x ＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22； 当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22. ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22.答案 C11．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.335 B.45 C ．±35D ．±45解析 由sin(π－θ)＝2425，得sin θ＝2425.∵θ为第二象限的角，∴cos θ＝－725.∴cos θ2＝±1＋cos θ2＝± 1－7252＝±35. 答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( )A.5665 B.1665C.5665或1665D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513.∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0，∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45.∴cos α＝cos [(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．若1＋tan α1－tan α＝2012，则1cos2α＋tan2α＝______.解析1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋1＋2tan α1－tan 2α＝(tan α＋1)21－tan 2α＝1＋tan α1－tan α＝2012.答案 201214．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________.解 ∵cos2α＝13，∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59.答案 5915.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α＝________.解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12.答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图像向右平移π24个单位后，将与已知函数的图像重合．其中正确命题的序号是________． 解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2·⎣⎡⎦⎤22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎡⎦⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数，故③正确． 由④得y ＝2cos2⎝⎛⎭⎫x －π24＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12，故④正确． 答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0.(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．解 (1)∵m 与n 为共线向量， ∴⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169. 又∵α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0. ∴sin α－cos α＝－43.∴sin2αsin α－cos α＝712. 18．(12分)求证：2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明 左边＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝2－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α－sin 2α ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α. ∴原等式成立．19．(12分)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3 ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫322－4×12 ＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－73， ∵x ∈R ，cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝－1时，f (x )有最大值6； 当cos x ＝23时，f (x )有最小值－73.20．(12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 解 (1)解法1：∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， ∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， 于是sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22＝45. 解法2：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210， 即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1， 从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，故 cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425.cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.21．(12分)已知函数 f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6所以f (x )的最小正周期为π.(2)－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3，当2x ＋π6＝π2时，即x ＝π6，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6时，即x ＝－π6，f (x )取得最小值－1.22．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.解 (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加，得2cos βcos α＝0， ∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.。

一、选择题1．已知θ为锐角，且满足如tan 311tan θθ=，则tan 2θ的值为（ ） A ．34B ．43 C ．23D ．322．已知函数()sin os 0(c f x x a x a ωω=+>且0>ω），周期2T π<，()3f π()f x 在6x π=处取得最大值，则ω的最小值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．143．已知,(0,2)αβπ∈，且满足1sin cos 2αα-=，1cos sin 2ββ-=，则sin()αβ+=（ ）A ．1B ．或1C ．34-或1 D ．1或-14．若sin 3cos 0θθ+=，则2cos sin 2θθ+的值（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-5．已知ππ2α<<，且π3sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ）A ．10B ．10-C ．10D ．10-6．若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C ．1516-D ．15167．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（ ）. A ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()5π2f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数D ．π4f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数8．函数2()sin 2f x x x =+-()cos(2)2 3 (0)6g x m x m m π=--+>，若对任意1[0,]4x π∈，存在2[0,]4x π∈，使得12()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4(1,)3B ．2(,1]3C ．2[,1]3D ．4[1,]39．已知α，β均为锐角，5cos()13αβ+=-，3sin()35πβ+=，则sin()3πα-=（ ）A ．3365B ．3365-C ．6365D ．566510．已知α∈3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ) A ．7B ．17C ．-17D ．-711．若0||4πα<<，则下列说法①sin2α＞sinα，②cos2α＜cosα，③tan2α＞tanα，正确的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．①③12．已知()0,απ∈，sin cos αα+=cos2=α（ ） A．BC．9-D．9二、填空题13．给出下列命题：①存在实数α使得sin cos 1αα=； ②存在实数α使得3sin cos 2αα+=； ③5sin 22y x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-是偶函数； ④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程； ⑤若α、β是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>， 其中正确命题的序号是______.14．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝_______．15．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且PB QD PQ +=，则PAQ ∠的大小为__________．16．()sin 5013tan10︒+︒的值__________. 17．已知cosα17=，cos(α﹣β)1314=，且0<β<α2π<，则sinβ=_____. 18．已知锐角α，β满足()sin 23sin αββ+=，则()tan cot αβα+=______. 19．已知3tan 4α=-，()1tan 4αβ+=，则tan β=______. 20．已知,,0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且222cos cos cos 2αβγ++=，则cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++的最小值为______.三、解答题21．函数()3sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中7,03B π⎛⎫⎪⎝⎭，且最高点A 与B 的距离29AB π=+（1）求函数()f x 的解析式；（2）若(),,4363f ππαα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，求cos2α的值. 22．已知函数21()3cos cos 22f x x x x π⎛⎫=++-⎪⎝⎭. （1）若对任意,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围；（2）若先将()y f x =的图像上每个点横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，求函数1()3y g x=-在区间[],3ππ-内的所有零点之和.23．已知3sin 5α=-，且α为第四象限角 （1）求sin sin(2)2tan()cos()παπααππα⎛⎫++ ⎪⎝⎭---+的值； （2）求1sin 2cos 21sin 2cos 2αααα+-++的值．24．先将函数2sin 23sin 26y x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数()f x 的图像. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若α，β满足42()()3f f αβ⋅=，且4παβ+=，设232sin()sin()()cos x x g x xαβ+⋅+=，求函数()g x 在,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值. 25．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，ππ22ϕ-<<）的部分图像如图所示，π12，7π12是函数的两个相邻的零点，且图像过()0,1-点．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()()π4g x f x f x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭的单调增区间以及对称轴方程． 26．（1）化简：(cos 20tan 20sin 40-⋅°°°；（2）证明：()()21tan 31sin 21tan 312sin πx xπx x+--=---.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先利用两角和的正切计算tan tan 2tan 31tan tan 2θθθθθ+=-，再利用二倍角的正切化简前者，结合tan 311tan θθ=可得1tan 2θ=，从而可求tan 2θ.【详解】32222tan tan tan tan 23tan tan 1tan tan 32tan 1tan tan 213tan 1tan 1tan θθθθθθθθθθθθθθ++--===---⨯-， 故32223tan tan tan 33tan 13tan 11tan tan 13tan θθθθθθθθ---===-，故21tan 4θ=， 因为θ为锐角，故1tan 2θ=，故1242tan 21314θ⨯==-， 故选：B. 【点睛】思路点睛：已知θ的三角函数值，求()*n n N θ∈的三角函数值，应利用两角和的三角函数值逐级计算即可.2．C解析：C 【分析】利用辅助角公式，求得()f x 的解析式，根据题意，可求得ϕ的表达式，根据tan a ϕ=，可求得1tan 6a πω⎛⎫=⎪⎝⎭，又根据()3f π=，可求得cos 6πω⎛⎫= ⎪⎝⎭sin 6πω⎛⎫⎪⎝⎭的值，根据同角三角函数的关系，可求得a 的值，即可求得ω的表达式，根据ω的范围，即可求得答案.【详解】()sin cos ),tan f x x a x x a ωωωϕϕ=+=+=，因为22T ππω=<，所以1ω>，因为()f x 在6x π=处取得最大值，所以2,62k k Z πωπϕπ+=+∈，即2,26k k Z ππωϕπ=+-∈，所以1tan tan 2tan 2626tan 6k a ππωππωϕππω⎛⎫⎛⎫=+-=-== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭， 所以1tan 6aπω⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()3f π3πωϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭sin 3πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin sin 2sin cos 3326266k πωπωππωππωπωϕπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以sin tan cos 666πωπωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又2222sin cos 166πωπω⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得23a =，又0a >，所以a =1sin 62πω⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以2,66k k Z πωππ=+∈或52,66k k Z πωππ=+∈，解得121,k k Z ω=+∈或125,k k Z ω=+∈，又1ω>，所以ω的最小值为13. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据题意，求得ϕ的表达式，代入求得tan 6πω⎛⎫⎪⎝⎭，cos 6πω⎛⎫⎪⎝⎭的表达式，再结合同角三角函数关系进行求解，计算量大，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.3．C解析：C 【分析】由两角与差的正弦、余弦公式变形由已知求得sin()4πα-和cos()4πβ+，用平方关系求得cos()4πα-和sin()4πα+，而sin()sin ()()44ππαβαβ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦，展开后计算，注意分类讨论． 【详解】∵1sin cos 2αα-=，∴αα=sin()4πα-=1cos sin 2ββ-=ββ-=，cos()44πβ+=，∴cos()44πα-=±，sin()44πα+=±， sin()sin ()()sin()cos()cos()sin()444444ππππππαβαβαβαβ⎡⎤+=-++=-++-+⎢⎥⎣⎦，当7cos()sin()448ππαβ-+=时，17sin()188αβ+=+=， 当7cos()sin()448ππαβ-+=-时，173sin()884αβ+=-=-， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查两角和与差正弦、余弦公式．解题关键是确定已知角和未知角之间的关系，本题中已知等式变形得出4πα-和4πβ+，未知角有()()44ππαβαβ+=-++，这样易确定使用的公式与顺序．4．D解析：D 【分析】先根据题意得tan 3θ=-，再根据正弦的二倍角公式化简得2212tan 1cos sin 21tan 2θθθθ++==-+.解：由sin 3cos 0θθ+=得tan 3θ=-.所以2222222cos sin 2cos 2sin cos cos sin 2cos sin cos sin θθθθθθθθθθθ+++==++ 22222222cos 2sin cos 12tan 51cos cos cos sin 1tan 102cos cos θθθθθθθθθθθ++-====-++， 故选：D. 【点睛】本题解题的关键是将等式2cos sin 2θθ+变形化简得2212tan cos sin 21tan θθθθ++=+，进而求解，考查运算求解能力，是中档题.5．D解析：D 【分析】根据同角三角函数基本关系得出cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再用两角差的余弦公式即可解题.【详解】 因为ππ2α<<，所以35,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以4cos 45πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43525210=-⨯+⨯=-. 故选：D 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关三角函数求值问题，解题方法如下： （1）利用同角三角函数关系式，结合角的范围，求得cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）凑角，利用差角余弦公式求得结果.6．B解析：B 【分析】 化简sin 2cos 2()63a ππα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式化简求值.22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭=21712sin ()123168πα--=-⨯=. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法化简求值.7．B解析：B 【分析】利用辅助角公式可得()()f x x ϕ=+，又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立知π4f a ⎛⎫==⎪⎝⎭a b =，整理得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 【详解】由0ab ≠知0a ≠且0b ≠，利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan baϕ=， 又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最值，所以πππsin cos 44422f b a a b ⎛⎫=+=+= ⎝⎪⎭， 即22221122a b ab a b +++=，所以2211022a b ab +-=，即()2102a b -=， 所以a b =，tan 1b a ϕ==，可得4πϕ=，所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于选项A ：9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 5sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为5912202πππ<<，则59sin sin 1220ππ<，当0a >时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0a <时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 不正确； 对于选项B：sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭()ππ4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+，故选项B 正确；对于选项C：sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭是奇函数，故选项C 不正确； 对于选项D：si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝是偶函数，故选项D 不正确， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x的最值，π422f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，从而得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，属于中档题.8．D解析：D 【解析】222221f x sin x x sin x cos x =+-=+-（））12222222223sin x x sin x cos x sin x π==+=+（）（）， 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，552[]21[12]3366min x f x sin f x ππππ+∈∴==∴∈，，（），（），， 对于22306g x mcos x m m π=--+（）（）（＞），2[]2[]36662m x mcos x m ππππ-∈--∈，，（），，3[33]2g x m m ∴∈-+-（），， ∵对任意10,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12g x f x =成立，331232m m ⎧-+≥⎪∴⎨⎪-≤⎩ ，解得实数m 的取值范围是41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ．【点睛】本题考查三角函数恒等变换，其中解题时问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问题的关键，9．B解析：B 【分析】由所给三角函数值利用同角三角函数的关系求出()sin αβ+、cos 3πβ⎛⎫+⎪⎝⎭，3πα-记为()3παββ⎛⎫+-+⎪⎝⎭，利用两角差的正弦公式展开代入相应值计算即可.【详解】α，β均为锐角，5cos()013αβ+=-<，,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，∴()12sin 13αβ+==，β均为锐角，5,336πππβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则1cos 322πβ⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4cos 35πβ⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭或45（4152>，舍去），()sin()sin 33ππααββ⎡⎤⎛⎫∴-=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()sin cos cos sin 33ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭124533313513565⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角差的正弦公式、三角函数在各象限的符号，属于中档题.10．B解析：B 【分析】先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】由已知得tan α=34,则tan π1tan 141tan 7ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 选B 【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力.11．B解析：B 【分析】 取6πα=-判断①③，根据余弦函数的性质结合二倍角公式判断②.【详解】当6πα=-时，1sin 2sin ,sin sin ,sin 2sin 3262ππαααα⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 2tan tan tan ,tan 2tan 363ππαααα⎛⎫⎛⎫=-==-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则①③错误；0||4πα<<，cos cos ||2αα⎛⎫∴=∈ ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos cos 1(cos 1)(2cos 1)0αααααα∴-=--=-+<即cos2cos αα<，②正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了求余弦函数的值域以及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.12．A解析：A 【分析】在等式sin cos αα+=cos sin αα-的值，然后利用二倍角的余弦公式可求得cos2α的值. 【详解】()0,απ∈，sin cos 3αα+=，两边平方后得：112sin cos 3αα+=，即1sin cos 3αα=-，sin 0α∴>，cos 0α<，()215cos sin 12sin cos 1233αααα⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭，cos sin αα∴-=，则()()22cos 2cos sin cos sin cos sin ααααααα=-=-+==故选：A. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数平方关系的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．③④【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；解析：③④ 【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；利用特殊值法可判断⑤的正误. 【详解】对于命题①，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦， 所以，不存在实数α使得sin cos 1αα=，①错误；对于命题②，sin cos 4πααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 所以，不存在实数α使得3sin cos 2αα+=，②错误； 对于命题③，si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝-⎭-⎭=⎝， ()cos 2cos2x x -=，所以，函数5sin 22y x π⎛⎫⎪⎝=⎭-是偶函数，③正确；对于命题④，当8x π=时，min 53sin 2sin 1842y y πππ⎛⎫=⨯+==-= ⎪⎝⎭， 所以，8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程，命题④正确； 对于命题⑤，取9244παππ=+=，4πβ=，αβ>，但tan 1tan αβ==，⑤错误.因此，正确命题的序号为③④. 故答案为：③④. 【点睛】本题考查有关三角函数命题真假的判断，考查了三角函数的有界性、正弦型函数的奇偶性、对称性以及正切值大小的比较，考查计算能力与推理能力，属于中等题.14．【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan （kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式属于中档题【分析】先把已知条件转化为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-．利用正切函数的周期性求出3k πθπ=+，即可求得结论．【详解】因为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-，（tanθb a =） ∴10721k ππθπ+=+ ∴3k πθπ=+．tanθ＝tan （k π3π+）=∴ba=． 【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．15．【分析】先分别设则在中由勾股定理得再分别表示出之后利用正切的和角公式求即可解决【详解】解：设则因为是直角三角形所以由勾股定理得：化简得在中在中所以又因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查正切的和角公解析：4π【分析】先分别设PB x =，DQ y =，则在PCQ △中，由勾股定理得1xy x y -=+，再分别表示出tan BAP ∠，tan DAQ ∠，之后利用正切的和角公式求()tan BAP DAQ ∠+∠即可解决.【详解】解：设PB x =，DQ y =，则1CP x =-，1CQ y =-， 因为PCQ △是直角三角形，PB QD PQ +=，所以由勾股定理得：()()()22211x y x y -+-=+，化简得1xy x y -=+, 在ABP △中，tan BPBAP x AB∠==， 在ADQ △中，tan DQDAQ y AD∠==， 所以()tan tan tan 11tan tan 1BAP DAQ x yBAP DAQ DAQ BAP xy∠+∠+∠+∠===-∠∠-，又因为02BAP DAQ π<∠+∠<，所以，=4PAQ π∠故答案为：4π 【点睛】本题主要考查正切的和角公式，数据处理能力与运算能力，是中档题.16．1【分析】由结合辅助角公式可知原式为结合诱导公式以及二倍角公式可求值【详解】解：故答案为:1【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系考查了二倍角公式考查了辅助角公式考查了诱导公式本题的难点是熟练运用解析：1 【分析】由sin10tan10cos10︒︒=︒，结合辅助角公式可知原式为2sin50sin 40cos10︒︒︒，结合诱导公式以及二倍角公式可求值. 【详解】解： ()cos10sin501sin50cos10︒+︒︒+︒=︒⨯︒()2sin50cos30sin10sin 30cos102sin50sin 402sin50cos50cos10cos10cos10︒︒︒+︒︒︒︒︒︒===︒︒︒ ()sin 10902sin50cos50sin100cos101cos10cos10cos10cos10︒+︒︒︒︒︒====︒︒︒︒.故答案为:1. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.17．【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值由的值【详解】依题意则所以所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基础题解析：2【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得()sin ,sin ααβ-的值，由()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】 依题意02πβα<<<，则02πβ>->-，所以02παβ<-<，所以sin α==，()sin αβ-==()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin ααβααβ=---1317147147142=⨯-⨯==⨯.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.18．2【分析】将三角函数式配成与由正弦函数和角与差角公式展开即可求解【详解】锐角满足变形可得由正弦和角与差角公式展开可得合并化简可得等式两边同时除以可得即故答案为:2【点睛】本题考查了三角函数式化简求值解析：2 【分析】将三角函数式配成()αβα++与()αβα+-,由正弦函数和角与差角公式展开,即可求解. 【详解】锐角α,β满足()sin 23sin αββ+=变形可得()()sin 3sin αβααβα++=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 由正弦和角与差角公式展开可得()()()()sin cos sin cos 3sin cos 3sin cos αβαααβαβαααβ+++=+-+合并化简可得()()4sin cos 2sin cos ααβαβα+=+ 等式两边同时除以()2cos cos αβα+ 可得()2tan tan ααβ=+ 即()tan cot 2αβα+= 故答案为:2 【点睛】本题考查了三角函数式化简求值,角的变化形式,属于中档题.19．【分析】根据以及两角差正切公式求解【详解】故答案为：【点睛】本题考查两角差正切公式考查基本分析求解能力属基础题 解析：1613【分析】根据()βαβα=+-以及两角差正切公式求解. 【详解】13tan()tan 1644tan tan[()]31tan()tan 13116αβαβαβααβα++-=+-===++-故答案为：1613【点睛】本题考查两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.20．【分析】根据同角三角函数关系式及基本不等式可得同理证明另外两组式子成立不等式两边同时相加化简即可得解【详解】由题意知则因为则不等式两边同时加可得开平方可得同理相加可得化简得故答案为:【点睛】本题考查【分析】根据同角三角函数关系式及基本不等式,可得sin sin αβγ+≤,同理证明另外两组式子成立,不等式两边同时相加,化简即可得解. 【详解】由题意知222sin sin sin 1αβγ++=, 则2222sinsin 1sin cos αβγγ+=-=2222sin sin 1sin cos αγββ+=-= 2222sin sin 1sin cos βγαα+=-=因为,,0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则222sin sin sin sin αβαβ⋅≤+,不等式两边同时加22sin sin αβ+ 可得()()222sin sin 2sin sin αβαβ+≤+开平方可得sin sin αβγ+≤=,同理sin sin βγα+≤=,sin sin γαβ+≤=,相加可得2sin 2sin 2sin αβγαβγ++≤++化简得cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++≥++故答案为 【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,同角三角函数关系式的应用,根据基本不等式求最值,属于中档题.三、解答题21．（1）()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2 【分析】（1）根据最高点A 与点B 的距离AB ==，求得,T ω，点7,03B π⎛⎫ ⎪⎝⎭在图象上求解.（2）由(),,463f ππαα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，求得sin 2,cos 266ππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后由cos2cos 266ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭求解.【详解】（1）最高点A 与点B 的距离AB ==，14,2T πω==， ()13sin ,2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为点7,03B π⎛⎫⎪⎝⎭在图象上， 所以773sin 0,36f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为2πϕ<，所以6πϕ=-，所以()13sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）()43sin 2266f ππααα⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为,63ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 所以2,622πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以cos 26πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 所以cos2cos 266ππαα⎛⎫=-+⎪⎝⎭， cos 2cos sin 2sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6=. 【点睛】 方法点睛：已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求． 22．（1）1a ≤-，（2）6π 【分析】（1）先对函数()f x 化简变形，然后求出函数()f x 在,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最小值，则可得到实数a 的取值范围；（2）根据题意，利用函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，先得到()g x 的解析式，函数1()3y g x =-在区间[],3ππ-内的所有零点，即1sin 3x =的实数根，它的实数根共4个，再根据正弦函数图像的对称性得到结论 【详解】解：（1）21()cos cos 22f x x x x π⎛⎫=++-⎪⎝⎭21cos (2sin 1)2x x x =+-12cos 2sin(2)226x x x π=-=-， 若对任意,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x a ≥成立，则只需min ()f x a ≥即可， 因为,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以552[,]666x πππ-∈-，所以当262x ππ-=-即π6x =-时，()f x 取得最小值为1-，所以1a ≤-， （2）先将()f x 的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得sin()6y x π=-的图像，然后再向左平移6π个单位得到函数()sin g x x =的图像，函数1()3y g x =-在区间[],3ππ-内的所有零点，即1sin 3x =的实数根，它的实数根共4个，设为1234,,,x x x x ，则根据对称性可知这4个根关于直线32x π=对称，所以1234342x x x x π+++=，所以12346x x x x π+++= 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换、正弦函数的定义域和值域，函数恒成立问题，函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，第2问解题的关键是运用正弦函数的对称性进行求解，属于中档题 23．（1）45；（2）34-. 【分析】（1）先求出4cos 5α=，再利用诱导公式和同角的三角函数的基本关系化简后可得所求的值.（2）先求出3tan 4α=-，再利用倍角公式和同角的三角函数的基本关系化简后可得所求的值.【详解】（1）因为3sin 5α=-，且α为第四象限角，故4cos 5α=. 原式()cos sin cos t 45an cos ααααα===-⋅-. （2）由（1）得4cos 5α=，故3tan 4α=- 原式222sin cos 2sin sin tan =2sin cos 2cos cos 34ααααααααα==+-+=. 【点睛】思路点睛：三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.24．（1）()2cos f x x =；（2）4.【分析】（1）先对函数化简变形可得cos 2y x =，再由三角函数图像变换规律可求出()f x 的解析式；（2）由已知条件可得cos cos 3αβ=，sin sin 6αβ=-2()2tan 3tan 1g x x x =+-，然后令tan [1,1]t x =∈-，则2()231h t t t =+-，从而可求出其最值【详解】（1）原函数化简得到2sin 2cos cos 2sin 2cos 266y x x x x ππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦， 将cos 2y x =图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，可得2cos2y x =，再将2cos2y x =的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到2cos y x =所以()2cos f x x =.（2）由题意知cos cos 3αβ=， 因为4παβ+=所以cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-=，解得sin sin 6αβ=-()g x =.222sin cos cos sin cos sin()cos sin sin cos x x x x xαβαβαβ⎤+++⎣⎦=222sin sin cos cos cos x x x x x⎤⎛++⋅⎥ ⎥⎝⎭⎣⎦= 22tan 3tan 1x x =+-令tan [1,1]t x =∈-，2()231h t t t =+-， 则对称轴为34t =-.所以max ()(1)4h t h ==. 【点睛】 关键点点睛：此题考查三角恒等变换公式的应用，考查三角函数图像变换规律，考查数学转化思想，解题的关键是由()()3f f αβ⋅=求出cos cos 3αβ=，再对4παβ+=两边取余弦化简可求出sin sin 6αβ=-()g x 化简可得2()2tan 3tan 1g x x x =+-，再利用换元法可求得结果，属于中档题25．（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称轴方程为5π244k x π=+，k Z ∈． 【分析】 （1）先利用图象解得周期和ω，再结合π3f A ⎛⎫=⎪⎝⎭, ()01f =-，解得ϕ和A ，即得解析式；（2）先根据解析式化简()g x ，再利用整体代入法求解单调区间和对称轴方程即可.【详解】解：（1）由图可知7212122T πππ=-=，周期T π=，故22T πω==， 由π12，7π12是函数的两个相邻的零点，则17π2123π12π⎛⎫= ⎪⎭+⎝处取得最大值， 故π2πsin 33f A A ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2π2,32k k Z πϕπ+=+∈，又ππ22ϕ-<<，故π6ϕ=-， 由()0sin sin 16f A A πϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，得2A =， 所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）()πππππ2sin 22sin 24sin 2cos 262666g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ π4sin 43x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当ππ32π4π2π232k x k +≤-≤+，k Z ∈时，5ππ11ππ242242k k x +≤≤+，()g x 单调递增， 所以()g x 的单调增区间为5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 令ππ4π32x k -=+，对称轴方程为5π244k x π=+，k Z ∈． 【点睛】思路点睛：解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.26．（1）2-；（2）详见解析.【分析】（1）首先变形sin 20tan 20cos 20=，再通分变形，利用辅助角公式化简求值；（2）利用诱导公式化简正切，即sin tan cos x x x =，代入后化简证明. 【详解】 （1）原式sin 20cos 203cos 20sin 40⎛⎫=-⋅ ⎪⎝ sin 203cos 20cos 20cos 20sin 40⎛⎫-=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ()2sin 2060cos 20cos 20sin 40-=⋅ 2sin 40cos 20cos 20sin 40-=⋅ 2=- ；（2）原式sin 11tan cos sin 1tan 1cos xx x xx x --==++ ()()()2cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x --==++- ()222222cos sin sin 21sin 2cos sin 1sin sin x x x x x x x x +--==---21sin 212sin x x-=- 【点睛】 思路点睛：三角函数化简求值或证明，如果有正切，正弦和余弦时，第一步先正切化为正弦和余弦公式，第一题通分后利用辅助角公式化简；第二题，也可以左右都化简，证明等于同一个式子.。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．cos 75°cos 30°＋sin 75°sin 30°等于( ) A .22B ．－22C .2D ．－2解析： 原式＝cos (75°－30°) ＝cos 45°＝22. 答案： A2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos (α－β)的值为( )A ．－6365B ．－3365C .6365D .3365解析： ∵α为锐角，且cos α＝1213，∴sin α＝1－cos 2α＝513.∵β为第三象限角，且sin β＝－35，∴cos β＝－1－sin 2β＝－45，∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋513×⎝⎛⎭⎫－35＝－6365.故选A .答案： A3．设向量a ＝(cos 23°，cos 67°)，b ＝(cos 53°，cos 37°)，则a ·b 等于( ) A .32 B .12 C ．－32D ．－12解析： a ·b ＝(cos 23°，cos 67°)·(cos 53°，cos 37°) ＝cos 23°cos 53°＋cos 67°cos 37° ＝cos 23°cos 53°＋sin 23°sin 53° ＝cos (23°－53°) ＝cos (－30°) ＝32. 故选A . 答案： A4．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若a ＝(cos A ，sin A )，b ＝(cos B ，sin B )且a ·b ＝1，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析： 因为a ·b ＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos (A －B )＝1，且A ，B ，C 是三角形的内角， 所以A ＝B ，即△ABC 一定是等腰三角形． 答案： B二、填空题(每小题5分，共15分)5．cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°＝________． 解析： cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15° ＝cos 75°cos 15°－sin (180°＋75°)sin 15° ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos (75°－15°)＝cos 60°＝12.答案： 126．化简cos (α－55°)·cos (α＋5°)＋sin (α－55°)·sin (α＋5°)＝________. 解析： 原式＝cos [(α－55°)－(α＋5°)]＝cos (－60°)＝12.答案： 127．已知sin α＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为________．解析： ∵sin α＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫15172＝－817， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－817＋22×1517＝7234.答案：7234三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知α，β为锐角，且cos α＝45，cos (α＋β)＝－1665，求cos β的值．解析： 因为0＜α，β＜π2，所以0＜α＋β＜π.由cos (α＋β)＝－1665，得sin (α＋β)＝6365.又因为cos α＝45，所以sin α＝35.所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1665×45＋6365×35＝513. 9．若x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，且sin x ＝45，求2cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3＋2cos x 的值．解析： ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，sin x ＝45，∴cos x ＝－35.∴2cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3＋2cos x＝2⎝⎛⎭⎫cos x cos 2π3＋sin x sin 2π3＋2cos x＝2⎝⎛⎭⎫－12cos x ＋32sin x ＋2cos x＝3sin x ＋cos x ＝435－35＝43－35.。

一、选择题1．若sin 3cos 0θθ+=，则2cos sin 2θθ+的值（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-2．已知ππ2α<<，且π3sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ）A ．10B ．10-C ．10D ．10-3．已知3cos 25α=，()0,2απ∈，则sin 4απ+⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A B ． C D ． 4．已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A B C ．D 5．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 2b A B b =-，则A =（ ）A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π6．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．23C ．43D ．837．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（ ）A ．3(0,]5B ．13[,]25C ．13[,]24D ．15[,)228．已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（ ） A ．12B ．35C ．310-D ．359．已知3sin 85πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2α＝（ ）A．50B．50C．25D．2510．在斜三角形ABC 中，sin Acos B·cos C ，且tan B·tan C ＝1，则角A 的值为( )A ．4πB ．3π C ．2πD ．34π 11．已知A 是函数()3sin(2020)sin(2020)2623f x x x ππ=++-的最大值，若存在实数1x ，2x 使得对任意实数x ，总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x 的最小值为（ ） A ．2020πB ．1010π C ．32020πD12．若3sin 2sin 03παα⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）A ．3-BC． D二、填空题13．已知函数()2x f x a -=-0a >且1a ≠）过定点P ，且点P 在角6πα⎛⎫+⎪⎝⎭的终边上cos α=_______. 14．关于x的方程)2210x x m ++=的两个根为sin θ和cos θ，则sin cos 11tan 1tan θθθθ+=--______． 15．已知A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且角A 为锐角，若tan 2tan B A =，则11tan tan B C+的最小值为______. 16．2cos10sin 20sin 70︒︒︒-=______. 17．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠对应边分别为a ，b ，c ，且5a =，4b =，()31cos 32A B -=，则ABC 的边c =________. 18．若函数()2cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，则m 的取值范围是________.19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222A Bsin +=1﹣cos 2C ，cos （B +C ）＞0，则ab的取值范围为_____.20．已知函数()sin f x x x =+，则下列命题正确的是_____.（填上你认为正确的所有命题序号） ①函数()0,2f x x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ②函数()f x 的图像关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是6π； ④若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解123,,x x x ，则12373x x x π++=. 三、解答题21．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2sin f x x =. （1）求0x <时，函数()f x 的解析式； （2）已知f (4π－α)＝65，f (54π＋β)＝－2413，α∈(4π，34π)，β∈(0，4π)，求()f αβ+的值.22．已知函数()1cos 2sin cos 2f x x x x =+⋅，其中x ∈R . （1）求使()12f x ≥的x 的取值范围；（2）若函数()3sin 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且对任意的120x x t ≤<≤，恒有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数t 的最大值.23．已知2()sin cos 222x x x f x =-. （1）求()f x 图象的对称轴方程；（2）若存在0[0,]x π∈，使()02f x t ≤+，求实数t 的取值范围. 24．已知函数()22sin cos 2cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位后，得到函数()y g x =的图象，求方程()1g x =在[]0,x π∈上的解集.25．已知函数2())2cos1(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+=++-><<为偶函数，且()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π．（1）当5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的单调递增区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．求函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．26．已知函数()cos23f x x =-，()2cos 4g x a x a =-. （1）求函数()()2h x x f x =+的最大值； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先根据题意得tan 3θ=-，再根据正弦的二倍角公式化简得2212tan 1cos sin 21tan 2θθθθ++==-+. 【详解】解：由sin 3cos 0θθ+=得tan 3θ=-.所以2222222cos sin 2cos 2sin cos cos sin 2cos sin cos sin θθθθθθθθθθθ+++==++ 22222222cos 2sin cos 12tan 51cos cos cos sin 1tan 102cos cos θθθθθθθθθθθ++-====-++，故选：D. 【点睛】本题解题的关键是将等式2cos sin 2θθ+变形化简得2212tan cos sin 21tan θθθθ++=+，进而求解，考查运算求解能力，是中档题.2．D解析：D 【分析】根据同角三角函数基本关系得出cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再用两角差的余弦公式即可解题. 【详解】 因为ππ2α<<，所以35,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以4cos 45πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4355=-+= 故选：D 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关三角函数求值问题，解题方法如下： （1）利用同角三角函数关系式，结合角的范围，求得cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）凑角，利用差角余弦公式求得结果.3．C解析：C 【分析】根据2α是4α的二倍角求出sin α的值，再求cos 4α和sin 4απ+⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】因为2α是4α的二倍角，所以2311cos 152sin 4225αα--===， 又()0,2απ∈，所以0,42a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 44αα===cos 所以sin sin sin cos cos sin 444444224απαπαπαπ+⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】 本题考查了二倍角的余弦公式，考查了同角公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.4．D解析：D 【分析】结合同角三角函数基本关系计算sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角差的正弦公式进行求解即可.【详解】 由,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭可得2,633πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 又11cos cos 6323ππα⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，所以2,633πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1132=-⨯=故选:D 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式与同角三角函数基本关系，解题的关键是熟练运用公式.5．C解析：C 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin 0B ≠，可得2sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据题意可求范围(0,)A π∈，根据正弦函数的图象和性质即可求解A 的值. 【详解】解：∵ bsin cos 2A B b -=，∴由正弦定理可得：sin sin cos 2sin B A A B B C =， ∴sin sin cos 2sin B A A B B C =2sin cos cos sin )B A B A B =-+，∴sin sin 2sin sin B A B A B =，又∵sin 0B ≠，∴sin 2A A +=， ∴2sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得232A k πππ+=+，Z k ∈， 又(0,)A π∈，∴6A π=.故选：C . 【点睛】本题考查正弦定理和三角恒等变换的运用，考查运算求解能力，求解时注意角的范围.6．C解析：C 【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据题意得出()832k k Z πππωπ+=+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈， 0ω>，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.7．B解析：B 【分析】先化简函数，根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则为函数含有零的增区间的子集，再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则取得最大值时对应的最小正数解属于[]0,π，最后取交集.【详解】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=--⎪⎝⎭， ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，令22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈，则22,22k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈， 因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 25,23,2262,k k k Z ππππωωωωππ⎡⎤∴-++∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦所以223562ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值， 所以02ππω≤≤，所以12ω≥， 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】根据两角和与差的余弦函数的公式，联立方程组，求得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=，联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-， 又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-.故选：B. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.9．A解析：A 【分析】由平方关系得cos 8πα⎛⎫+⎪⎝⎭，然后由二倍角得出sin 24απ⎛⎫+⎪⎝⎭，cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由两角差的余弦公式求得cos2α． 【详解】∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴5,888πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，若,828πππα5⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则23sin sin 8325ππα⎛⎫+>=> ⎪⎝⎭，∴,882πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴4cos 85πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，24sin 22sin cos 48825πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，237cos 2124525πα⎛⎫⎛⎫+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦72425225250=⨯+⨯=． 故选：A ． 【点睛】本题考查两角差的余弦公式，考查平方关系同、二倍角公式，解题时需要确定角的范围，才能在由平方关系求函数值时确定是否是唯一解．10．A解析：A 【详解】由tan tan 1B C =可得sin sin (1cos cos B C B C =，进而得cos cos A C B =，由于sin cos A B C =，所以sin cos A A =，可得4A π=,故选A.11．C解析：C 【分析】利用三角恒等变换化()f x 为正弦型函数，由此求出A 、T 以及12x x -的最小值，可得解. 【详解】()3sin(2020))263f x x x ππ=+-，392020cos 2020cos 202020204444x x x x =+-+，320220cos 20202x x =-3sin(2020)6x π=-，∴max ()3A f x ==，又存在实数1x ，2x ，对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立， ∴2max ()()2f x f x ==，1min ()()2f x f x ==-， 则12x x -的最小值为函数()f x 的半个最小正周期长度，12min 1122220202020x x T ππ∴-==⨯=∴()12min32020A x x π⋅-=， 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．12．A解析：A 【分析】由两角和的正弦公式化简，并引入锐角β，cosβ=，sin β=，已知条件化为sin()1αβ-=，这样可得22k παβπ=++，k Z ∈，代入tan α，应用切化弦公式及诱导公式可得结论． 【详解】由已知3sin 2sin 3sin 2sin cos cos sin 0333πππααααα⎛⎫⎛⎫-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin αα=1αα=，设cos β=，sin β=，且β为锐角，cos sin sin cos sin()1ααβαβααβ=-=-=， ∴22k παβπ-=+，k Z ∈，即22k παβπ=++，k Z ∈，tan tan 2tan 22k ππαβπβ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos 2sin cos 2πββπββ⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 故选：A ． 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，考查诱导公式及同角间的三角函数关系，化简变形求值是解题的基本方法．二、填空题13．【分析】由指数为0时可得定点进而可得和利用展开即可得解【详解】由所以函数（且）过定点所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用展开求解【分析】由指数为0时可得定点P ，进而可得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭和cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用cos cos[()]66ππα=α+-展开即可得解.【详解】由(012f a =-=，所以函数()2x f x a -=-0a >且1a ≠）过定点P ，所以1sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，cos 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 所以cos cos[()]cos()cossin()sin 666666ππππππα=α+-=α++α+11132326=+⨯=.. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用cos cos[()]66ππα=α+-展开求解.14．【分析】利用方程的根得到的关系化简所求式代入求值即可【详解】因为方程的两个根为和所以因此故答案为：【点睛】本题考查了韦达定理和三角函数正余弦和正切化简求值属于基础题解析：【分析】利用方程的根得到sin ,cos θθ的关系，化简所求式，代入求值即可. 【详解】因为方程)2210x x m ++=的两个根为sin θ和cos θ，所以sin cos θθ+=，sin cos 2m θθ=，因此，2222sin cos sin cos sin cos sin cos 11tan sin cos cos sin sin cos 1tan 12θθθθθθθθθθθθθθθθ-+=+==+=------故答案为： 【点睛】本题考查了韦达定理和三角函数正余弦和正切化简求值，属于基础题.15．【分析】由三角形内角的性质结合可得由目标函数式并利用基本不等式即可求得其最小值注意基本不等式的使用条件一正二定三相等其中为锐角【详解】为△的三内角为锐角∴故有即可得∴当且仅当时等号成立∴的最小值为故解析：23【分析】由三角形内角的性质结合tan 2tan B A =，可得23tan tan tan 2BC B =-，由目标函数式11tan tan B C+并利用基本不等式即可求得其最小值，注意基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，其中A 为锐角，tan 2tan 0B A =>【详解】A 、B 、C 为△ABC 的三内角，A 为锐角，tan 2tan 0B A => ∴tan 2tan[()]2tan()B B C B C π=-+=-+故有2(tan tan )tan tan tan 1B C B B C +=-，即可得23tan tan tan 2BC B =-∴2111tan 2tan 12tan tan tan 3tan 33tan 3B B BC B B B -+=+=+≥=，当且仅当tan 1B =时等号成立 ∴11tan tan B C +的最小值为23故答案为：23【点睛】本题考查了由三角形内角间的函数关系，利用三角恒等变换以及基本不等式求目标三角函数的最值，注意两角和正切公式、基本不等式(使用条件要成立)的应用16．【分析】观察角之间的特殊关系：运用两角差的余弦公式和诱导公式可得解【详解】原式故填：【点睛】本题考查两角差的余弦公式和诱导公式关键在于观察出题目的角之间的特殊关系属于中档题【分析】观察角之间的特殊关系：103020=-，709020=-，运用两角差的余弦公式和诱导公式可得解. 【详解】原式()2cos(3020)sin 20sin 9020︒︒︒︒--=-()2cos30cos 20sin30sin 20sin 20cos 20︒︒︒︒+-=1220sin 20sin 202cos 20︒︒︒︒⎫+-⎪⎝⎭====.【点睛】本题考查两角差的余弦公式和诱导公式，关键在于观察出题目的角之间的特殊关系，属于中档题.17．6【分析】由可知然后由可求再由正弦定理三角函数恒等变换的应用可求由可求结合同角平方关系可求代入进而可求进而根据余弦定理可求的值【详解】解：可知由正弦定理于是可得又可得可得由余弦定理可得故答案为：6【解析：6 【分析】由a b >可知A B >，然后由cos()A B -可求sin()A B -，再由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求cos B ，由cos cos[()]cos()cos sin()sin A A B B A B B A B B =-+=---可求cos A ，结合同角平方关系可求sin A ，代入cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，进而可求cos C ，进而根据余弦定理可求c 的值．【详解】解：a b >， A B ∴>，31cos()32A B -=， ∴可知(0,)2A B π-∈，sin()A B ∴-==， 由正弦定理，sin 5sin 4A aB b ==， 于是可得5sin 31sin sin[()]sin()cos sin cos()sin 432B A A B B A B B B A B B B ==-+=-+-=+，3sin B B ∴，sin cos 22B B 1+=，又B A <，可得3cos 4B =，3139cos cos[()]cos()cos sin()sin 32416A AB B A B B A B B ∴=-+=---⨯=，可得sin A ，931cos cos()cos cos sin sin 1648C A B A B A B ∴=-+=-+=⨯=，∴由余弦定理可得6c ．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系及和差角的三角公式的综合应用，同时考查了运算的能力，属于中档题．18．【分析】化简函数解析式为做出函数的图象数形结合可得的取值范围【详解】解：因为所以由可得则函数的图象与直线恰有两个不同交点即方程在上有两个不同的解画出的图象如下所示：依题意可得时函数的图象与直线恰有两 解析：[4,6)【分析】化简函数解析式为()4sin()26f x x π=-+，做出函数的图象，数形结合可得m 的取值范围． 【详解】解：因为()23sin 2cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈ 所以()23sin 2cos 24sin()26f x x x x π=-+=-+，[0,]x π∈，由[]0,x π∈，可得5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则函数()f x ，[]0,x π∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，即方程4sin()26x m π-+=在[]0,x π∈上有两个不同的解，画出()f x 的图象如下所示：依题意可得46m ≤<时，函数()232cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，故答案为：[)4,6 【点睛】本题主要考查正弦函数的最大值和单调性，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象特征，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．19．（2+∞）【分析】由已知结合二倍角公式及诱导公式可求然后结合正弦定理及同角基本关系可求【详解】∵21﹣cos2C ∴1﹣2cos2C ∴cos （A+B ）＝2cos2C ﹣1即﹣cosC ＝2cos2C ﹣1整解析：（2，+∞） 【分析】由已知结合二倍角公式及诱导公式可求C ，然后结合正弦定理及同角基本关系可求． 【详解】 ∵222A Bsin+=1﹣cos 2C ， ∴1﹣222A Bsin+=cos 2C ， ∴cos （A +B ）＝2cos 2C ﹣1， 即﹣cosC ＝2cos 2C ﹣1，整理可得，（2cosC ﹣1）（cosC +1）＝0， ∵cosC ≠﹣1， ∴cosC 12=， 0C π<<∴C 13π=，∵cos （B +C ）＞0， ∴11032B ππ+＜＜， ∴06B π＜＜，由正弦定理可得13sin B a sinA b sinB sinBπ+==（），2sinB sinB +=，12=+， ∵06B π＜＜，∴03tanB ＜∴1tanB 122tanB+＞2， 故ab的范围（2，+∞）. 故答案为：(2,)+∞【点睛】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于中档题．20．①③④【分析】首先利用辅助角公式将函数化简为再根据正弦函数的性质一一验证即可【详解】解：的单调增区间为当增区间为∴①正确；∴②不正确；函数的图像向左平移个单位长度后得由题意得则的最小值是∴③正确；若解析：①③④ 【分析】首先利用辅助角公式将函数化简为()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质一一验证即可. 【详解】解：1()sin 2sin 2sin 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴的单调增区间为52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴①正确； 2sin 2sin 106636f ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴②不正确；函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位长度后得()2sin 3f x x m π⎛⎫=++⎪⎝⎭，由题意得32m k πππ+=+，6m k ππ=+，则m 的最小值是6π，∴③正确；若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解123,,x x x ，结合这两个函数图像可知，必有10x =，32x π=，此时()2sin 3f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，另一个解为23x π=，12373x x x π∴++=，∴④正确. 故答案为：①③④【点睛】本题考查辅助角公式的应用，正弦函数的性质的综合应用，属于中档题.三、解答题21．（1）()2sin f x x =-；（2）12665. 【分析】（1）根据偶函数定义求解析式；（2）代入已知条件，确定角的范围，由平方关系求得cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，5sin 4πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后结合诱导公式、两角差的正弦公式计算． 【详解】解：（1）设0x <，则0x ->， 故()2sin()2sin f x x x -=-=-， 又()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()2sin f x x =-. （2）344ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，04πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，,042ππα⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，553442πππβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，,4παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 6()2sin()445f ππαα∴-=--=，化简得3sin 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.5524()2sin()4413f ππββ+=+=-，化简得512sin 413πβ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则55cos 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.512435126()2sin()2sin ()2()4413551365f ππαβαββα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+--=--⨯--⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦．【点睛】关键点点睛：本题考查由奇偶性求解析式，考查两角差的正弦公式，同角间的三角函数关系，诱导公式等．解题关键是确定已知角和未知角的关键，以确定选用的公式．在用平方关系求值时需确定角的范围，从而确定函数值的正负．22．（1）,,4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦；（2）4π. 【分析】（1）化简())24f x x π=+，根据正弦函数的图象解不等式sin 242x π⎛⎫+≥⎪⎝⎭可得结果；（2）构造函数()()()sin 2F x f x g x x =-=，将题意转化为当[0,]x t ∈时，()sin 2F x x =为增函数，根据[0,][,]22t ππ⊆-可解得结果.【详解】（1）()111cos 2sin cos cos 2sin 222224f x x x x x x x π=+⋅=+=+（），()12f x ≥，即sin 242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 所以3222444k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，， 解得4k x k k Z πππ≤≤+∈，，即使()12f x ≥的x 的取值范围是4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，.（2）令()()()32sin 22424F x f x g x x x ππ=-=+-+（）（）22sin 22424x x x ππ=+-+=（）（）， 因为对任意的120x x t ≤≤＜，恒有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立， 所以当[0,]x t ∈时，()sin 2F x x =为增函数，所以[0,][,]22t ππ⊆-，所以22t π≤，解得4t π≤， 所以实数t 的最大值为4π.【点睛】关键点点睛：构造函数()()()sin 2F x f x g x x =-=，根据函数()sin 2F x x =在[0,]t 上为增函数求解是解题关键. 23．（1）对称轴方程6x k ππ=-+，k ∈Z ；（2）3t ≥-.【分析】（1）先运用降幂公式、辅助角公式，将原函数的解析式化为()()sin f x A x b ωϕ=++或()()cos f x A x b ωϕ=++的形式，然后运用整体法求解对称轴；（2）根据题目条件，只需使min ()2f x t ≤+成立即可，然后三角函数的图象及性质求解()f x 的最小值，然后解得t 的取值范围.【详解】解：（1）2()sin cos 222x x x f x =-1sin 2x x =-cos 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令6x k ππ+=，得6x k ππ=-+，k ∈Z ，所以()f x 图象的对称轴方程为6x k ππ=-+，k ∈Z ．（2）若存在0[0,]x π∈，使()02f x t ≤+，则min ()2f x t ≤+， 由[0,]x π∈得7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，根据余弦函数的性质可得，当6x ππ+=， 即56x π=时，函数取得最小值1-， 所以12t -≤+，故3t ≥-. 【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数图象及性质的综合运用，解答的一般思路如下： （1）利用三角恒等变换研究三角函数的图象性质问题时，先利用正弦、余弦的二倍角公式将原函数解析式进行化简，将原函数解析式化简为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式，然后可利用整体法求解原函数的单调区间、对称轴、对称中心等；（2）解答与三角函数图象性质有关的不等式恒成立、有解等问题时，要注意参数分离、整体思想的运用，将问题转化为处理函数最值问题来解决. 24．（1）()3,88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）5,88ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简，根据正弦函数的单调性即可得函数()f x 的单调递增区间；（2）根据平移规律得到函数()g x 的解析式，令()1g x =，根据正弦函数的图象与性质即可求出x 的值． 【详解】 （1）()1cos 2sin 222x x f x +⨯=+221214x x x ⎫π⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由()222242k x k k πππππ-≤+≤+∈Z 得：3)88k x k k Z ππππ-≤≤+∈（， ∴()f x 的单调递增区间是()3,88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）由已知得()214g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 由()1g x =，得sin 204x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴()()2428k x k k x k ππππ∈-==+∈Z Z ，， ∵[]0,x π∈，∴8x π=或58π， ∴方程的解集为5,88ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【点睛】 本题考查了二倍角的正弦、两角和的正弦公式，正弦函数的单调性，函数平移的规律，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键，属于中档题. 25．（1）单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为2，最小值1-. 【分析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式对()f x 化简，再利用偶函数求出ϕ的值，再利用T π=求出ω的值，即可得()f x 的解析式，再利用余弦函数的单调递增区间即可求解； （2）利用三角函数图象变换的规律求出()g x 的解析式，再利用余弦函数的性质即可求值域.【详解】（1）由题意函数2())2cos 12x f x x ωϕωϕ+=++-)cos()2sin 6x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭， 因为函数()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π，所以T π=，可得2ω=．又由函数()f x 为偶函数可得(0)2sin 26f πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭， 所以62k ππϕπ+=+，k ∈Z ，则3k πϕπ=+，k ∈Z ．因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以函数()2cos2f x x =，令222k x k πππ-≤≤，k ∈Z ，解得2k x k πππ-≤≤，k ∈Z ， 当0k =时，02x ；当1k =时，2x ππ≤≤，又5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 可得函数()f x 的单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度可得2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数()2cos 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， 当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦． 当2433x ππ-=-，即12x π=-时， 函数()g x 取得最小值，最小值为1-；当403x π-=，即12x π=时，函数()g x 取得最大值，最大值为2．所以函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，最小值是1-. 【点睛】方法点睛：已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为()()sin 0y A x A ωϕω=+>>0,或()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的形式，然后将x ωϕ+看成一个整体，根据sin y x =与cos y x =的单调区间列不等式求解.26．（1）-1；（2）()4-+∞【分析】（1）易得()2sin 233h x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解. （2）将0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立，转化为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22cos 2cos 440x a x a -+->恒成立，令[]cos 0,1t x =∈，利用二次函数的性质求 ()22244r t t at a =-+-的最小值即可.【详解】（1）因为函数()cos23f x x =-，所以()2cos 232sin 233h x x x x π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 当22,32x k k Z πππ+=+∈，即 ,12x k k Z ππ=+∈时， sin 213x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以()h x 的最大值是-1；（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立， 所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos232cos 4x a x a >--恒成立， 所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22cos 2cos 440x a x a -+->恒成立， 令[]cos 0,1t x =∈ ()22244r t t at a =-+- 当02a ≤，即 0a ≤时， ()()min 0440r t r a ==->，解得 1a >，此时无解； 当012a <<，即 02a <<时， ()2min 44022a a r t r a ⎛⎫==-+-> ⎪⎝⎭，解得44-<+，此时42a -<； 当12a ≥，即 2a ≥时， ()()min 1220r t r a ==->，解得 1a >，此时2a ≥；综上：a 的取值范围是()4-+∞【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.。

5山东省莱州一中高一数学试题-三角恒等变换测试题第I 卷、选择题（本大题共 12个小题，每小题5分，共60分）4.已知 tan 3,tan44A-B — C775.,都是锐角，且sin513 3316 A 、 B— 65651 3A 0,1B 1,1C 丄,32 21、cos 24 cos36 cos66 cos54 的值为(3 2. cos 5 ,，sin 212 13是第三象限角，则 cos （33 6563 6556 6516 653. tan 20 tan 40 • 3tan20 tan 40 的值为(5，则 tan 2的值为（)11— D — 8 4 8则sin 的值是（55663 C 、 D 、 — 6565C - 3D .3)6., x (34 ,)且 cos x 3 —则cos2x 的值是 54 472424A 、 —B 、 —C 、25 2525251,144 7.函数y sin x cos x 的值域是（8.已知等腰三角形顶角的余弦值等于4,则这个三角形底角的正弦值为（）J10 V10 3J10 3J10AB C D10 10 10 109.要得到函数y 2sin 2x的图像，只需将y , 3sin 2x cos2x的图像（）A、向右平移一个单位B、向右平移一个单位C向左平移—个单位D向左平移—个单位6 12 6 12 10. 函数y .x sin 、3 cos的图像的一条对称轴方程是( )2 2A、1 5 5x B 、x C 、x D 、x —3 3 3 311. 已知1cosx sin x2，则tanx的值为( )1 cosx sin xA、4B4 3 3、-- C 、 D 、3 34 412若0,—0, 且ta n 「tan -,则2 ( )4 2 7A、5 2 7 3B 、C 、D 、6 3 12 4二、填空题（本大题共 4 小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上）13. .在ABC中，已知tanA ,tanB是方程3x2 7x 2 0的两个实根，则tanC _______________3sin 2x 2cos 2x 砧14. 已知tanx 2，贝U 的值为_____________________cos2x 3sin 2x15. 已知直线IJ/12, A是"J之间的一定点，并且A点到「J的距离分别为0山2 , B是直线I?上一动点，作AC AB，且使AC与直线|1交于点C,则ABC面积的最小值为___________________ 。

一、 填空题1. 若cos 2α2sin （α＋135°）＝－12，则sin α＋cos α的值为__________．2. 已知sin 2α＝35⎝⎛⎭⎫π2＜2α＜π，tan (α－β)＝12，则tan (α＋β)＝________．3. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4的值为__________．4. 已知tan (3π－α)＝2，则2cos 2α2－sin α－1sin α＋cos α＝________．5. 若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝__________．6. 如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，那么sin θ2的值是__________．7. 若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝__________．8. 函数f(x)＝cos 2x －3sin x ＋1(0<x<2π)的零点是__________．9. 已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(cos θ，－2)，θ为第二象限角．若a ∥b ，则5－cos 2θ1－cos 2θ＋3tan 2θ＝________．10. 已知α，β均为锐角，且cos (α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________．二、 解答题 11. 求值：(1) (tan 10°－3)cos 10°sin 50°；(2) ⎝⎛⎭⎫1cos 280°—3cos 210°·1cos 20°.12已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－3，求2sin αcos αsin 2α－sin αcos α＋1的值．13已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22·sin 2x.(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求函数f(x)图象的对称轴方程、对称中心的坐标；(3) 当0≤x ≤π2时，求函数f(x)的最大、最小值．1. －12解析：由已知得cos 2α－sin 2α－sin α＋cos α＝（cos α＋sin α）（cos α－sin α）－sin α＋cos α＝cos α＋sin α＝－12.2. －2 解析：由题意，可得cos 2α＝－45，则tan 2α＝－34，tan (α＋β)＝tan [2α－(α－β)]＝tan 2α－tan （α－β）1＋tan 2αtan （α－β）＝－2.3. 210 解析：由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±55，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝45，所以sin (2θ＋π4)＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22×(45－35)＝210.4. －3 解析：由诱导公式得tan (3π－α)＝－tan α＝2，故2cos 2α2－sin α－1sin α＋cos α＝cos α－sin αsin α＋cos α＝1－tan αtan α＋1＝－3.5. 3 解析：sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3.6. －155 解析：∵ 5π2<θ<3π，|cos θ|＝15，∴ cos θ<0，cos θ＝－15.∵ 5π4<θ2<32π，∴ sin θ2<0.又sin 2θ2＝1－cos θ2＝35，∴ sin θ2＝－155.7. －12 解析：∵ α是第三象限角，cos α＝－45，∴ sin α＝－35.∴ 1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sinα2cos α2－sinα2＝⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2 ＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.8. π6或5π6解析：令f(x)＝0，得1－2sin 2x －3sin x ＋1＝0，2sin 2x ＋3sin x －2＝0，(sin x ＋2)(2sin x －1)＝0，∵ －1≤sin x ≤1，sin x ＋2≠0，∴ 2sin x －1＝0，即sin x ＝12.又0<x<2π，∴ x ＝π6或5π6.9. 7 解析：∵ a ∥b ，∴ －2sin θ－cos θ＝0，∴ tan θ＝－12.又5－cos 2θ1－cos 2θ＋3tan 2θ＝2＋sin 2θsin 2θ＋6tan θ1－tan 2θ＝3sin 2θ＋2cos 2θsin 2θ－4＝3＋2tan 2θ－4＝7. 10. 24解析：由已知得sin α＝cos (α＋β)sin β＝cos αcos βsin β－sin αsin βsin β，两边同除以cos α，并整理得tan α＝sin βcos β1＋sin 2β＝sin 2β3－cos 2β＝0－（－sin 2β）3－cos 2β，∵ α，β均为锐角，∴ 0－（－sin 2β）3－cos 2β可以看成是单位圆的下半圆上的动点(cos 2β，－sin 2β)与定点(3，0)连线的斜率，其最大斜率为132－1＝24.11. 解：(1) 原式＝⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－3cos 10°sin 50°＝sin 10°－3cos 10°cos 10°·cos 10°sin 50°＝－2cos 40°sin 50°＝－2.(2) ∵ 1cos 280°－3cos 210°＝cos 210°－3cos 280°cos 280°cos 210°＝（cos 10°＋3sin 10°）（cos 10°－3sin 10°）cos 210°sin 210°＝4（sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10°）（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）cos 210°sin 210°＝4sin 40°sin 20°14sin 220°＝16sin 40°sin 20°＝32cos 20°，∴ 原式＝32.12. 解：∵ tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4－11＋tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2，∴ 2sin αcos αsin 2α－sin αcos α＋1＝2sin αcos αsin 2α－sin αcos α＋sin 2α＋cos 2α＝2tan α2tan 2α－tan α＋1＝47. 13. 解：f(x)＝22sin 2x －22cos 2x －22·1－cos 2x 2＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－ 2.(1) 函数f(x)的最小正周期为π.(2) 令2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝12k π＋π8，所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝12k π＋π8(k ∈Z )． 令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝12k π－π8，所以函数f(x)图象的对称中心的坐标是(12k π－π8，－2)(k ∈Z )． (3) 当0≤x ≤π2时，π4≤2x ＋π4≤5π4，－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1，所以当x ＝π2时，f(x)取最小值－322，当x ＝π8时，f(x)取最大值为1－ 2.。

一、选择题1．若10,0,cos ,sin 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B ．C ． D2．已知函数()sin f x x x ωω=()0ω>的图像与直线2y =交于,A B 两点，若AB 的最小值为π，则函数()f x 的一条对称轴是（ ）A ．3x π=B ．4x π=C ．6x π=D ．12x π=3．已知函数2()2sin cos (0)f x x x x ωωωω=->图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．1--C ．0D ．-4．设函数22()cos sin 2cos sin f x x x x x =-+，下列说法中，错误的是（ ）A ．()f x 的最小值为B ．()f x 在区间,48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增.C ．函数()y f x =的图象可由函数y x =的图象先向左平移4π个单位，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)而得到. D ．将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位，所得函数的图象关于y 轴对称.5．在ABC 中，cos A =，1tan 3B =，则()tan A B -=（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．26．若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C ．1516-D ．15167．已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A B ．6C ．D ．168．已知α∈3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ) A ．7B ．17C ．-17D ．-79．已知αβ、均为锐角，满足sin ,cos 510αβ==，则αβ+=（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 10．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．17 B ．7C ．17-D ．-711．已知直线524x π=是函数21()sin (08)222x f x x ωωω=+-<≤图象的一条对称轴，则ω=（ ） A ．2B ．4C ．6D ．812．已知cos()6πα+=sin(2)6πα-的值为（ ） A．3B ．13C ．13-D．3-二、填空题13．已知1cos 3α=，且02πα-<<，则()()()cos sin 2tan 23sin cos 22αππαπαππαα--+-=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 14．函数2cos sin y x x =+的最大值为____________．15．在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内,函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有_______个.16．已知sin α=，()1cos 3αβ+=-，且,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin β=_____.17．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若3sin 4α=，则()cos αβ-=______. 18．已知4sin 3cos 0+=αα，则2sin 23cos +αα的值为____________. 19________.20．已知x 是第二象限的角.化简：1sin 1sin 1sin 1sin x xx x+---+的值为____________. 三、解答题21．已知函数()()23sin cos 3cos 02f x x x x ωωωω=⋅-+>图象的两条相邻对称轴之间的距离为2π． （1）求函数()y f x =的解析式及其图象的对称轴方程； （2）若函数()13y f x =-在()0,π上的零点为1x 、2x ，求()12cos x x -的值． 22．已知函数()3sin 2cos 2f x x x =-，[,]34x ππ∈-．（1）求函数()f x 的周期和值域； （2）设()3a g x x x =+，若对任意的1(0)x ∈+∞，及任意的2[,]34x ππ∈-，都有不等式12() ()g x f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．23．已知5sin2α=，()5cos 13αβ+=，()0,απ∈，0,2πβ⎛⎫∈⎪⎝⎭. （1）求sin 2α的值； （2）求sin β的值.24．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式. （2）若3()5f x =-，且36x ππ-<<，求cos2x 的值.25．已知02πα<<，02πβ-<<，310cos α=3cos()42πβ-=．（1）求cos()4πα+的值；（2）求sin()2+βα的值．26．已知关于x 的方程21204x bx -+=的两根为sin θ和cos θ，3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）求实数b 的值； （2）求2sin cos 1cos sin θθθθ+-的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦展开计算正余弦值代入可得答案. 【详解】 因为10,cos 243ππαα⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭，所以3444πππα<+<，sin +4πα⎛⎫= ⎪⎝⎭因为02πβ-<<，所以4422ππβπ<-<，又因为sin 423πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭而cos cos +2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， cos +cos sin +sin 442442ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭133339=⨯+=. 故选：A. 【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.2．D解析：D 【分析】化简得()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题可得周期为π，即可求出2ω=，令2,32πππ+=+∈x k k Z 求出对称轴即可得出答案.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()f x 直线2y =交于,A B 两点，且AB 的最小值为π，T π=，则22T πω==，即()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2,32πππ+=+∈x k k Z ，则,122k x k Z ππ=+∈， ()f x ∴的对称轴为,122k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，12x π=.故选：D. 【点睛】本题考查正弦型函数的对称轴问题，解题的关键是利用辅助角公式化简函数得出周期，求出解析式，即可解决.3．D解析：D 【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定1ω=，再求2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22x f x x x x x ωωωωω-=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为π22π⨯=，所以2π2πω=，即1ω=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π2sin 23f ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，关键点是根据已知条件先化简正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.4．D解析：D 【分析】由二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦型函数性质判断AB ，利用图象平移伸缩判断CD. 【详解】由22()cos sin 2cos sin cos 2sin 2)4f x x x x x x x x π=-+=+=+，可知函数的最小值为，故A 正确；当,48x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,442x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，由正弦函数单调性知())4f x x π=+单调递增，故B 正确；y x =的图象先向左平移4π个单位得)4y x π=+，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)得)4y x π=+，故C 正确；将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位得)]))44424y x x x πππππ=++=++=+，图象不关于y 轴对称，故D 错误. 故选：D 【点睛】关键点点睛：首先要把函数解析式化简，利用正弦型函数的图象与性质判断值域与单调性，利用图象变换的时候，注意平移与伸缩都变在自变量上，属于中档题.5．A解析：A 【分析】根据已知条件计算出tan A 的值，然后根据两角差的正切公式结合tan ,tan A B 的值计算出()tan A B -的值.【详解】因为cos 2A =-且()0,A π∈，所以34A π=，所以tan 1A =-，所以()()11tan tan 3tan 211tan tan 113A BA B A B ----===-++-⨯，故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据特殊角的余弦值求出其正切值以及两角差的正切公式的熟练运用.6．B解析：B 【分析】 化简sin 2cos 2()63a ππα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式化简求值. 【详解】22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭=21712sin ()123168πα--=-⨯=. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法化简求值.7．D解析：D 【分析】结合同角三角函数基本关系计算sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角差的正弦公式进行求解即可.【详解】 由,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭可得2,633πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 又11cos cos 6323ππα⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，所以2,633πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11332=-⨯=故选:D 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式与同角三角函数基本关系，解题的关键是熟练运用公式.8．B解析：B 【分析】先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】 由已知得tan α=34,则tan π1tan 141tan 7ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 选B 【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力.9．B解析：B 【分析】依题意，求cos （α+β），结合角的范围可求得α+β的值． 【详解】由已知α、β均为锐角，sin αβ==，cos αβ∴==又cos （α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2， ∵0＜α+β＜π，∴α+β＝4π． 故选B ． 【点睛】解答给值求角问题的一般思路：①求角的某一个三角函数值，此时要根据角的范围合理地选择一种三角函数；②确定角的范围，此时注意范围越精确越好；③根据角的范围写出所求的角．10．A解析：A 【分析】根据角的范围以及平方关系求出4cos ,5α=-再利用商的关系求出3tan 4α=-，最后由两角和的正切公式可得答案. 【详解】 因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以4cos ,5α==-sin 3tan cos 4ααα==-， tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα+⎛⎫+== ⎪⎝⎭-⋅17 故选：A. 【点睛】本题主要考查平方关系、商的关系以及两角和的正切公式，属于基础题.11．B解析：B 【分析】首先通过三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：函数211()sin cos )sin sin()2223xf x x x x x ωπωωωω=+=-+=-， 令：5()2432k k Z πππωπ-=+∈，解得244()5kk Z ω=+∈， 由于08ω<， 所以4ω=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，12．B解析：B 【解析】∵cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.二、填空题13．【分析】用同角间的三角函数关系计算用诱导公式化简后再计算然后计算可得【详解】∵且∴∴故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式同角间的三角函数关系三角函数求值问题首先要进行化简应用诱导公式化简应用解析：-【分析】用同角间的三角函数关系计算sin α，用诱导公式化简后再计算．然后计算tan α，可得． 【详解】∵1cos 3α=，且02πα-<<，∴sin 3α==-， ∴()()()cos sin 2tan 2cos sin (tan )sin tan 3cos (sin )cos sin cos 22αππαπααααααππααααα--+---=====---⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：-． 【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式，同角间的三角函数关系．三角函数求值问题，首先要进行化简，应用诱导公式化简，应用同角间的三角函数关系化简，最后才代入求值．应用诱导公式应牢记：奇变偶不变，符号看象限，应用同角间的三角函数关系应注意在应用平方关系求函数值需确定角的范围，以确定正弦余弦值的正负．14．【分析】将函数解析式变形为且有利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值【详解】且因此当时函数取得最大值故答案为：【点睛】本题考查二次型三角函数的最值利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题解析：98【分析】将函数解析式变形为22sin sin 1y x x =-++，且有1sin 1x -≤≤，利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值. 【详解】2219cos 2sin 12sin sin 2sin 48y x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，且1sin 1x -≤≤，因此，当1sin 4x =时，函数2cos sin y x x =+取得最大值98. 故答案为：98. 【点睛】本题考查二次型三角函数的最值，利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.15．1【分析】将函数图象交点个数等价于方程在根的个数即可得答案【详解】∵函数图象交点个数等价于方程在根的个数∴解得：∴方程只有一解∴函数与函数的图象交点有1个故答案为：1【点睛】本题考查函数图象交点个数解析：1 【分析】将函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数，即可得答案. 【详解】∵函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数， ∴sin 1tan sin sin 0sin (1)0cos cos x x x x x x x=⇔-=⇔-=，解得：0x =， ∴方程只有一解，∴函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有1个. 故答案为：1. 【点睛】本题考查函数图象交点个数与方程根个数的等价性，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.16．【分析】由已知分别求得再由展开两角差的正弦得答案【详解】解：∵∴∴∴又∴则故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数间的关系正弦的差角公式给值求值型的问题属于中档题解析：9【分析】由已知分别求得cos α，()sin αβ+，再由()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦，展开两角差的正弦得答案.【详解】解：∵sin α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1cos 3α==， ∴,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()0,αβπ+∈，又()1cos 3αβ+=-，∴()sin αβ+==. 则()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦1133339⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭.故答案为：9. 【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，正弦的差角公式，给值求值型的问题，属于中档题.17．；【分析】根据角的终边关于轴对称得到以及两角差的余弦公式即可求出【详解】因为角与角均以为始边它们的终边关于轴对称所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用两角差的余弦公式同角三角函数解析：18； 【分析】根据角的终边关于y 轴对称得到cos cos ,sin sin αβαβ=-=，以及两角差的余弦公式即可求出. 【详解】因为角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， 所以3cos cos ,sin sin 4αβαβ=-==， 所以()22cos cos cos sin sin sincos αβαβαβαα-=+=-22sin 1α=-92116=⨯- 18= 故答案为：18【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用，两角差的余弦公式，同角三角函数的关系，属于中档题.18．【分析】由已知式求出利用同角三角函数间的平方关系和商数关系将化为代入即可求值【详解】则故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系正余弦其次式的计算二倍角的正弦公式属于中档题 解析：2425【分析】由已知式求出3tan 4α=-，利用同角三角函数间的平方关系和商数关系，将2sin 23cos +αα化为22tan 3tan 1αα++，代入即可求值. 【详解】4sin 3cos 0αα+=，3tan 4α∴=-，则22222sin cos 3cos sin 23cos sin cos ααααααα++=+22tan 3tan 1αα+=+232()343()14⨯-+=-+ 2425=. 故答案为：2425. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系，正、余弦其次式的计算，二倍角的正弦公式，属于中档题.19．【分析】利用同角三角函数的基本关系式二倍角公式结合根式运算化简求得表达式的值【详解】依题意由于所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式二倍角公式考查根式运算属于基础题解析：4【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，结合根式运算，化简求得表达式的值. 【详解】=4==，由于342ππ<<=故答案为：4 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，考查根式运算，属于基础题.20．【分析】本题可以先通过是第二象限的角得出然后对进行化简即可得到结果【详解】因为是第二象限的角所以所以故答案为：【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数式的化简利用三角函数的同角三角函数关系式进行化简是 解析：2tan x -【分析】本题可以先通过x 是第二象限的角得出cos 0x <进行化简即可得到结果． 【详解】因为x 是第二象限的角，所以cos 0x <，==1sin 1sin cos cos x xx x+-=---11tan tan cos cos x x x x=--+- 2tan x =-.故答案为：2tan x -. 【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数式的化简，利用三角函数的同角三角函数关系式进行化简是本题的关键．三、解答题21．（1）()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对称轴方程为()5122k x k Z ππ=+∈；（2）13. 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出函数()f x 的最小正周期，可得出函数()f x 的解析式，解方程()232x k k Z πππ-=+∈可解得函数()y f x =图象的对称轴方程；（2）求得121sin 2sin 2333x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分析得出点()()11,x f x 、()()22,x f x 关于直线512x π=对称，可得出1256x x π+=，再利用诱导公式可求得()12cos x x -的值.【详解】 （1）())221sin cos sin 22cos 12f x x x x x x ωωωωω=⋅+=--1sin 2cos2sin 2223x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由于函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离为2π，则该函数的最小正周期为22T ππ=⨯=，0ω>，所以，222Tπω==，解得1ω=. 所以，()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由()232x k k Z πππ-=+∈，解得()5122k x k Z ππ=+∈， 所以，函数()y f x =图象的对称轴方程为()5122k x k Z ππ=+∈； （2）由题意可得()1111sin 20333f x x π⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，则11sin 233x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，同理可得21sin 233x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.当0πx <<时，则52333x πππ-<-<， 若()20,3x ππ-∈，设232x ππ-=，解得512x π=. 因为()()1213f x f x ==，所以，点()()11,x f x 、()()22,x f x 关于直线512x π=对称. 所以，1256x x π+=. 所以，()12111155cos cos cos 2cos 26632x x x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦11sin 233x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.【点睛】思路点睛：利用三角恒等变换思想化简正弦型函数解析式的步骤如下： （1）利用两角和与差的正弦、余弦公式展开；（2）利用二倍角的正弦、余弦的降幂公式将二次式降幂，并合并同类项； （3）利用辅助角公式化简.22．（1）T π=，[-；（2）14a ≥. 【分析】（1）利用辅助角公式化简可得()2sin(2)6f x x π=-，代入周期公式，可求得周期T ，根据x 的范围，求得26x π-的范围，根据正弦型函数的性质，即可求得答案.（2）根据题意可得min max ()()g x f x ≥，由（1）可得max ()f x =0a <，0a =，0a >三种，()3ag x x x=+的最小值，结合对勾函数的性质，即可求得答案.【详解】（1）1()2cos 2)2sin(2)26f x x x x π=-=-， 周期22T ππ== 由[,]34x ππ∈-，则52[,]663x πππ-∈-， 所以当262x ππ-=-，即6x π=-时，()2sin(2)6f x x π=-有最小值-1当263x ππ-=，即4x π=时，()2sin(2)6f x x π=-有最大值2，所以1sin(2)62x π-≤-≤，所以22sin(2)6x π-≤-≤即()f x 的值域为[-（2）对任意的1(0)x ∈+∞，及任意的2[,]34x ππ∈-，都有不等式12() ()g x f x ≥恒成立，只需当min max ()()g x f x ≥由（1）知，max ()f x =当0a <，()3ag x x x=+为(0,)+∞上增函数，值域为R ，不满足题意； 当0a =，()3g x x =为(0,)+∞上增函数，值域为(0,)+∞,不满足题意；当0a >，()3ag x x x=+为对勾函数，所以()3a g x x x =+≥=min ()g x =，当且仅当3ax x=，即x =.由题意，即可，所以14a ≥. 【点睛】解题的关键是将题干条件等价为min max ()()g x f x ≥，分别根据12,x x 的范围，求得两函数的最值，再进行求解，考查分析计算的能力，属中档题. 23．（1）2425；（2）1665．【分析】（1）由二倍角公式求得cos α，再由平方关系得sin α，然后由正弦的二倍角公式得sin 2α；（2）确定α的范围，得αβ+范围，从而可求得sin()αβ+，再由两角差的正弦公式计算． 【详解】（1）由已知223cos 12sin 12255αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，又(0,)απ∈，∴(0,)2πα∈，∴sin 45α==， ∴4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=； （2）∵(0,)2πβ∈，∴(0,)αβπ+∈，∴12sin()13αβ+=，∴1235416sin sin[()]sin()cos cos()sin 13513565βαβααβααβα=+-=+-+=⨯-⨯=． 【点睛】关键点点睛：本题考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式，同角间的三角函数关系，解题关键是确定“已知角”和“未知角”之间的关系，确定选用的公式和应用公式的顺序．在应用三角函数恒等变换公式时注意“单角”和“复角”的相对性．如在sin ,cos αβ，求cos()a β+时，,αβ是单角，αβ+是两个单角的和，但象本题中求sin β时，αβ+作为一个单角，α作为一个单角，()βαβα=+-．由此直接应用公式求解．24．（1）()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）310. 【分析】（1）根据最大值求出A ，根据周期求出ω，根据极大值点求出ϕ （2）根据角的范围求出4cos 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将cos2x 写成cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和与差的余弦公式展开，求解即可.【详解】（1）由图知121,,2362A T πππ==-= ,2πω∴==T又22,,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈26k πϕπ∴=+又||2πϕ<，,()sin 266f x x ππϕ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭ （2）3()5f x =-所以3sin 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ,236262x x πππππ-<<-<+<，又因为34sin 2,cos 26565x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭431552=-⨯=【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.25．（1；（2）15. 【分析】（1）根据02πα<<，cos 10α=10sin α=，再利用两角和的余弦公式求解..（2）由（1）求得sin()4+=πα，再由02πβ-<<，求得sin()42πβ-=，然后由sin()sin[()()]2442+=+--βππβαα，利用两角差的正弦公式求解.【详解】（1）因为02πα<<，cos α=所以sin α= 所以cos()cos cossin sin444πππααα+=-，1021025=⋅-=. （2）因为02πα<<，所以3444πππα<+<，所以sin()45+=πα， 因为02πβ-<<，所以4422ππβπ<-<，所以sin()42πβ-=，所以sin()sin[()()]2442+=+--βππβαα， sin()cos()cos()sin()442442=+--+-ππβππβαα，535315=-=. 【点睛】 方法点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等． 26．（1）b =2）． 【分析】()1根据题意,利用韦达定理列出关系式，利用完全平方式和同角三角函数的基本关系化简求出b 的值，利用3,44θππ⎛⎫∈⎪⎝⎭对b 的值进行取舍即可. ()2由()1可知sin cos θθ+的值,利用()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-，求出sin cos θθ-的值，代入原式即可.【详解】（1）∵sin ,cos θθ为关于x 的方程21204x bx -+=的两根，∴220sin cos 21sin cos 8b b θθθθ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩，所以()221sin cos 1+2sin cos 1+44b θθθθ+===，即21144b =+，解得b =520∆=->，又3,44θππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴sin cos 0θθ+>，∴b = （2）由（1），得sin cos θθ+=,又3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos θθ>，∴sin cos 2θθ-===，∴12+12sin cos1cos sin6θθθθ⨯+==--.【点睛】关键点点睛：本题考查同角三角函数的基本关系与一元二次方程中的韦达定理相结合，通过利用韦达定理得到sin cosθθ+和cos sinθθ的表达式，再结合()2sin cos12sin cosθθθθ+=+是求解本题的关键；其中由3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对取值进行取舍是本题的易错点.。

三角恒等变换单元测试题〔含答案〕一、选择题〔本大题共 12个小题，每题 5分，共60分〕1、cos24cos36cos66cos54 的值为〔〕A 0B1C3D12222. cos3 , ，sin12是第三象限角，那么cos()〔〕，，5213A 、336356D 、1665B 、C 、6565653. tan20 tan403tan20tan40的值为〔〕A 1B3C － 3D334.tan3,ta n5，那么tan 2 的值为〔〕A4B4C1D17788545. , 都是锐角，且sincos的值是〔〕，，那么sin135A 、3316566365B 、C 、D 、6565656.,x (3,)且cosx3那么cos2x 的值是〔〕4 445A 、7B 、242472525C 、D 、25257. 函数y sin 4x cos 4x 的值域是〔〕A0,1B1,1C1,3D1,12 228. 等腰三角形顶角的余弦值等于 4〕,那么这个三角形底角的正弦值为〔511010310310A B C10D1010109.要得到函数y2sin2x的图像，只需将y3sin2x cos2x的图像〔〕A、向右平移个单位B、向右平移个单位C、向左平移个单位D、向左平移个单位函数11.A、x12.13.612612 y sin x3cos x的图像的一条对称轴方程是〔〕2211B55D、x3、x C、x3331cosx sinx，那么tanx的值为〔〕1cosx2sinxA、4B、4C、3D、3334412.假设0,0,且tan 1tan1〔〕,,那么2427A、5B、2C、7D3 6312、4二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上〕13..在ABC中，tanA,tanB是方程3x27x20的两个实根，那么tanC14.tanx2，那么3sin2x2cos2x的值为cos2x3sin2x15 .直线l1//l2，A是l1,l2之间的一定点，并且A点到l1,l2的距离分别为h1,h2，B是直线l2上一动点，作AC AB，且使AC与直线l1交于点C，那么ABC面积的最小值为。