利用三角形全等测距离 课件

他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离。
（1）按上述的方法，画出几何图形． （2）结合上述方法根据几何图形，找出图中相等的量，需要测量的量 （3）请用所学的知识并结合图形，说明得出测量结果的理由
A
B
？ 碉堡距离
C
步测距离
D
证明：∵在△ACB与△ACD中，
转建
∠BAD=∠CAD
在一次战役中，我军阵 地与敌军碉堡隔河相望.为 了炸掉这个碉堡，需要知道 碉堡与我军阵地的距离.在 不能过河测量又没有任何测 量工具的情况下，如何估测 这个距离呢？来自 情境引入：AB
？C
D
这位聪明的战士的方法如下：
战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部 他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上
B
O A
. .
O
课堂互助 应用探究
如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明 想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你有办 法测量A，B两点的距离吗？
提供工具：绳子、皮尺
A●
●B
任务：
1、独立思考，并将你的设计方案
画在纸上，并给出相应的说明；
2、以小组为单位，合作交流组内 方案，并上传分享
方 案 一
线DG，并在DG上找一点E，使
A、C、E在一条直线上。这时
测得的DE的长就是A 、 B间距 离.
B
C
DF
方法总结：垂直法
E
G
实践应用
好高的纪
念碑呀！
相当于几
纪
层楼高呢？
念
碑
A
你能用所学的知识说
A’
说这样做的理由吗？

所以△ADC≌△CEB(AAS).
6.如图,D 是△ABC 的边 AB 上一点,E 是 AC 的中点,过
点 C 作 CF∥AB,交 DE 的延长线于点 F.试说明:AD=CF.
解:因为 E 是 AC 的中点,所以 AE=CE.
因为 CF∥AB.所以∠A=∠ECF,∠ADE=∠F.
∠ = ∠,
② 根据实际问题抽象出几何图形。
③ 结合图形和题意分析已知条件，由“已知”想“可知”。
④ 找到已知和未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表述清楚。
测量不能测或无法测的距离时，可以 转化为 构建两个
全等三角形，利用“全等三角形对应边相等”来解决。
再 见
的距离,如果△PQO≌△NMO,那么只需测出其长度的线段是
( B )
A.PO
B.PQ
C.MO
D.MQ
【例 2】如图,有一湖的湖岸在 A,B 之间呈一段圆弧状,A,B 间
的距离不能直接测得.你能用已学过的知识或方法设计测量
方案,求出 A,B 间的距离吗?
解:要测量 A,B 间的距离,可用如下方法:
BC并延长到E，使CE=CB,连接DE并测量出它的长度，DE的
长度就是A，B间的距离.
E
A
·
· ·
C
·
·
BB
D
❖
已知的是什么?
❖
求证的什么?
小颖将条件标注在图中，并得出了结论．你理解她的
意思吗?
因为有两边
及其夹角对应相
·
等，所以两三角
形全等，所以对
应边相等。
E
A
·
B
·
C
·
·
D
小明是这样想的：

答此题的关键就是构建全等三角形，并确定所要测量 的边的对应边．
例2 如图，在一条河的两岸各耸立着一座宝塔A，B，隔
河相对，在无任何过河工具的情况下，你能测量出 两座宝塔间的距离吗？说说你的方法和理由．
导引：因为没有过河的工具， 所以无法直接测量两塔 间的距离，所以，可通 过构建全等三角形，转 化到岸上来测量．
想一想
如图所示，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用 绳子测量A，B 间的距离但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样 一个主意：先在地上取一个可以直接到达A 点和B 点的点C，连 接AC 并延长到D，使CD＝CA； 连接BC 并延长到E，使CE＝CB， 连接DE 并测量出它的长度，DE 的长 度就是AB 间的距离.
距离．你能说明其中的道理吗？
解：因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD＝180°－∠ACB＝90°.
BC＝DC，
在△ABC 和△ADC 中， ACB＝ ACD，
AC＝AC，
所以△ABC ≌△ADC (SAS)．
所以AB＝AD.
3 如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，动手制作 一个简单的工具，利用三角形全等的知识，求出x.
个三角形全等的依据是( D ) A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
5 教室里有几盆花，如图①，要想测量这几盆花两旁的
A，B 两点间的距离不方便，因此，选点A，B 都能到 达的一点O，如图②，连接BO 并延长BO 到点C，使 CO＝BO，连接AO 并延长AO 到点D，使DO＝AO. 那么C，D 两点间的距离就是A，B 两点间的距离．
一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽 檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态， 这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量 出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.

图4-5-6
解析 理由(lǐyóu)如下:在△ABC和△EDC中, ∵∠ABC=∠EDC,BC=CD,∠ACB=∠ECD, ∴△ABC≌△EDC,∴DE=AB.即DE的长就是AB的长.
知识点 利用三角形全等测距离
测量距离
例 小强为了(wèi le)测量一幢高楼的高度AB,在旗杆CD与楼之间选定一点P. 测得在P点观察旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC=36°,测得在P 点观察楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB=54°,量得P到楼底的距离 PB与旗杆的高度相等,均为10米,量得旗杆与楼之间的距离为DB=36米, 如图4-5-1,小强计算出了楼高,楼高AB是多少米?
∴按BO的距离(jùlí)炮轰德军兵营时,炮弹恰好落入德军兵营Q处,这样法军
能命中目标.
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一、填空题
1.(2017山东青岛胶州期末,17,★☆☆)如图4-5-5,
小明要测量水池的宽AB,但没有足够长的绳子,
聪明的他想了如下办法:先在地上取一个可以
直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长(yáncháng)到D,
述、分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索
解决问题的思路. 直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形
成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.
直观想象主要表现为:建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助
几何直观理解问题,运用空间想象认识事物.
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第二十页，共三十六页。
2.如图4-5-4,七年级数学兴趣小组要测量河中 浅滩B(可看成一点)与对岸A之间的距离.先在 另一岸边确定点C,使C,A,B三点在同一条直线上, 再在AC的垂直方向上作线段CD,取CD的中点O, 然后过点D作DF⊥CD,使F,O,A三点在同一条直 线上,在DF上取一点E,使E,O,B三点也在同一条 直线上.那么EF的长就是浅滩B与对岸A之间的 距离,你能说出同学们这样做的根据吗?

D
练习
3.如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，
AO、BO、CO、DO 应满足下列的哪个条件？（ D ）
A.AO=CO
B.BO=DO C.AC=BD D.AO=CO且BO=DO
A D
O
C B
练习
4.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离
故三角形△AOE≌△BOF, BF＝AE,从而DE＝CF, 因此只要测出BF, CF即可知AE, DE的长度了.
【归纳】利用全等三角形来测量不能直 接测量的距离,关键是构造全等三角形.
练习
1. 如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两 点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC ，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的 理B 由是( )
解：因为AB∥CD,所以∠B=∠C. 在△BME和△CMF中， ∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF， 所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=CF. 故只要测量CF即可得B，E之间的距离.
练习
6、如图，要测量河两岸两点A、B间的距离，可用什么方法？并说明这样做的合理性 ．
解：方法：在AB的垂线BE上取两点C、D，使CD＝BC。
我们学过哪些全等三角形的判定方法？
活动1 自主探究1
∴△ABC≌△FDC（ASA）
连接BC并延长到E,使CE＝CB.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO 应满足下列的哪个条件？（ ）
在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接AO并延长到C，使AO=CO；

高楼测距
在高楼林立的城市中，通过观测不同 高度的楼顶与地面构成的三角形，运 用三角形全等原理求解楼顶间的距离 。
三角形全等在解决实际问题中作用
提高测量精度
通过构造相似三角形，运用全等 原理进行精确测量，降低误差，
提高测量精度。
简化计算过程
利用三角形全等关系，将复杂问题 转化为简单的几何问题，便于计算 和解决。
判定定理
如果两个三角形的三边分 别对应相等，那么这两个 三角形全等。
推论
如果两个三角形有两边及 其夹角分别对应相等，那 么这两个三角形全等。
边角边全等判定
定义
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简称SAS(Side-Angle-Side)或 “边角边”判定。
判定定理
如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
判定定理
如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形 全等。
03
利用三角形全等测距离原理
已知条件与求解目标
已知条件
课件中给出两个三角形，已知其中一 边和相邻角分别相等。
求解目标
利用已知条件，通过构建相似或全等 三角形，求解未知距离。
构建相似或全等三角形
01
利用已知条件，通过作平行线、 垂线或角平分线等方式，构建与 已知三角形相似或全等的三角形 。
角边角全等判定
角形全等，简称ASA(Angle-SideAngle)或“角边角”判定。
判定定理
如果两个三角形有两个角及其夹边分 别对应相等，那么这两个三角形全等 。
角角边全等判定
定义
两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简称AAS(Angle-AngleSide)或“角角边”判定。

第十二章 全等三角形 12.2 三角形全等的判定
如图，家门口有一池塘，为了确定 每年的池塘承包租金，要测池塘两端A、 B的距离，由于池塘太宽不能直接测出 AB，因此需要另想办法测量这两点的距 离。你能运用三角形全等的知识想出办 法来吗？
A
B
在平地上取一个可直接到达A和B的 点C，连结AC并延长至D,使CD=CA.延
已知：AE=DB，AC=DF，AC∥DF 求证：BC ∥ EF
【解析】BC∥EF. ∵AC∥DF， ∴∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）. 又∵ AE=DB， ∴ AE+BE=DB+BE,即AB=DE. 在△EFD和△BCA中， AC=DF(已知）， ∠A=∠D （已证）， AB=DE （已证）， ∴△EFD≌△BCA（SAS）， ∴ ∠ABC=∠DEF（全等三角形的对应角相等）， ∴EF‖BC(内错角相等，两直线平行).
已知：如图所示，AD平分∠BAC， AE=AC，AB=7，BC=6，AC=4
求:△BDE的周长。 分析：C △BDE BD DE BE
BD DC BE
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.根据边角边定理判定两个三角形全等，要找出两边 及夹角对应相等的三个条件． 2.找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件 (包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)， 并要善于运用学过的定义、公理、定理.
想利用“SAS”证明，缺少的条件是上面 六个条件中的哪一个？
A
B
B
1
D D
已知：AD=CD，是：边=边
∠1=∠2，是：角=角
2
C
因为“SAS”定理中的角是两边的夹角， 所以选择：BD=BD，这是个隐藏条件 （公共边）到现在为止，三个条件全部找齐。 把刚才的分析过程倒过来写，就是解题过程。

1.5 利用三角形全等测 距离
复习回顾
1、要证明两个三角形全等应有哪些必 要条件？
（1）“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等. （2）“ASA”：两角和它们的夹边对应相等的两个三 角 形全等. （3）“AAS”：两角和其中一角的对边对应相等的两个 三角形全等. （4）“SAS”：两边和它们的夹角对应相等的两个三 角 形全等.
方案2： 方案3：
方 案 一
先在地上取一个可以直接 到达A点和B点的点C，连 接AC并延长到D，使 CD=AC；连接BC并延长到 E，使CE=CB，连接DE并 测量出它的长度，DE的长 度就是A，B间的距离. DEC中，
A
E
C
B
D
证明:在 ABC与 AC = DC ∠ACB=∠DCE BC = EC
在战士所讲述的方法可 （1）战士所 知:战士的身高AH不变, 讲述的方法中， 战士与地面是垂直的 已知条件是什 (AH⊥BC);视角 么？ A ∠HAC=∠HAB战士要测 的是敌碉堡(B)与我军阵 地(H)的距离,战士的结论 是只要按要求(如图(1)) 测得HC的长度即可.(即 BH=HC)
B(敌) H(我) C
AB ＝ CD
B
如图，找一点D， 使AD⊥BD，延长 AD至C，使 A C D CD=AD，连结BC，解: 量BC的长即得AB 在Rt ADB与Rt CDB中 的长. BD=BD
∠ADB=∠CDB CD=AD ADB≌ CDB(SAS) 所以 BA对等角” 的理由吗?如在 ABC中,AB=AC, 那么∠B=∠C吗?请说明理由
议一议
议一议
（2）请用所学的数学知识说明BH = CH A 的理由！
证明：在△AHB与△AHC中， ∠BAH=∠CAH AH=AH

星际网址
以下关于ARDS的临床特点及实验室检查，哪一项是正确的A.呼吸窘迫的特点为呼吸浅快，频率>28次／分B.早期体征为双侧肺底湿啰音C.因本病主要病理变化为肺水肿，故不会出现管状呼吸音D.X线胸片演变过程符合肺水肿，不会出现肺间质纤维化E.肺动脉平均压力12cmHO 开展出版活动的首要条件是。A.资金充足B.有市场需求C.复制技术成熟D.有作者创作的作品 临床上常用下列细胞分离腮腺炎病毒A.BSC－1B.VeroC.MDCKD.KBE.Hela 典型肺炎球菌肺炎的临床特征是A.寒战、高热、胸痛、咳嗽、咳铁锈色痰B.寒战、高热、咳嗽、脓痰、呼吸困难C.寒战、高热、咳嗽、脓痰、胸膜摩擦音D.胸痛、咳嗽、脓痰、呼吸困难E.发热、咳嗽、咳痰、双肺干、湿性啰音 某县暴发传染病，县政府主要领导以稳定、发展经济为由，要求并指示有关机构隐瞒传染疫情，造成传染病传播、流行，该主要领导应依法承担的行政责任是。A.行政处分B.行政处罚C.行政赔偿D.行政拘留E.行政裁决 胃癌最主要的转移途径是()A．直接浸润B．腹膜种植转移C．淋巴转移D．血行转移E．远处转移 柴油降凝过程主要是降低柴油的。A.凝点B.闪点C.十六烷值D.初馏点 ()是指人民法院作出的宣告票据无效的判决。其含义包括：宣告票据无效进而排除申请人以外的其他人对该票据享有权利;通过在指定期间内无人申报权利的事实;推定票据权利归申请人所有。A.除权判决B.审查与受理C.公告与权力申报D.公告催告 关于仲裁独立原则的说法，错误的是()。A.仲裁机构独立于行政机构和其他机构B.仲裁机构之间不存在隶属关系C.仲裁庭的组成不受双方当事人意志的影响D.仲裁依法独立进行，不受行政机关、社会团体和个人干涉 加强能源、交通、水利和信息等基础设施建设，增强对的保障能力是我国产业结构调整的方向和重点之一。A.产业技术水平B.资源优化配置C.经济社会发展D.投资政策 学习和掌握人际关系的原则有何意义？ 下列措施中不能有效避免铸件出现毛刺的是A.按照要求加温铸圈B.用真空包埋机进行包埋C.使包埋材料与铸模材料的膨胀率一致D.包埋前仔细去除铸模上多余的蜡E.避免铸圈反复多次焙烧 下列选项中，不需要办理国有资产产权登记的有()A、国有企业B、国有独资公司投资设立的企业C、国家出资企业D、国家出资企业为了近期内(一年内)出售而持有的股权 通过独立和客观的第三方来达成协议，同样可以保持承包商同业主之间的良好商业关系的解决工程造价争议纠纷的途径是。A．友好协商解决B．调解解决C．仲裁D．诉讼解决 小儿遗尿辨证属实的为A.小便清长而多B.智力较差C.食欲不振，大便溏薄D.尿黄量少而臊臭E.乏力汗出 在蜂窝移动通信系统中，移动台的发射机仅在发话时才工作，而移动台接收机总是工作的，这种系统为准双工系统。A.正确B.错误 某施工单位项目经理未对施工现场内的安全危险因素进行说明，便要求安装拆卸工甲进入现场作业，则该项目经理侵犯了甲的()。A.劳动权B.知情权C.紧急避险权D.拒绝权 信息化军队 绞窄性肠梗阻临床表现，下列哪项是错误的。A.腹部出现腹膜刺激征B.腹痛持续加重，无缓解C.呕吐血性或棕褐色液体D.肠鸣音消失或减弱E.X线检查见膨胀肠袢位置形状随体位和时间而变 施工文件立卷时，卷内目录式样宜符合《建设工程文件归档整理规范》GB／T50328--2001附录B的要求。责任者应填写文件的单位和个人。A.编制审查B.档案管理C.归档整理D.直接形成 腹痛急暴，得温痛减，遇冷更甚，口不渴，小便清利，大便自可，舌苔白腻，脉沉紧。治宜A.小建中汤B.大建中汤C.理中汤D.香砂六君子汤E.良附丸合正气天香散 据建设部《关于印发(注册建造师执业管理办法)(试行)的通知》(建市[2008348号)第五条“大中型工程施工项目负责人必须由本专业注册建造师担任，二级注册建造师可以承担”。A.大型项目B.中型项目C.小型项目D.中、小型项目 砂中的含泥量不应超过A、1%B、3%C、5%D、8% 本装置所用的两种水源是及。 储存于系统内部的能量称为内能，不属于内能的范围。A.物理内能B.系统所具有的动能C.化学内能D.核能 对于大规模的溢油污染事故中至少应确定多少个取样点？每个取样点采集的样品个数应不少于多少个？ 结合自己的经验，并用概念的形式反映事物的特征为A.知觉的多维性B.知觉的整体性C.知觉的恒常性D.知觉的理解性E.知觉的选择性 男，40岁，发热3d，伴腹痛、腹泻、大便4次／日，1天来头晕、乏力就诊。体检：T36℃，BP50／30mmHg，神清，眼睑水肿，面部潮红，腋下有出血点。化验：血WBC3．8×109／L，尿蛋白（+++），WBC1～4／HP，管型2～3／HP。为明确诊断最重要的检测是A.血培养B.肥达反应C.肾综合征特 目前病毒性肝炎的病原学分型有A.黄疸型肝炎、无黄疸型肝炎B.流行性肝炎、血清型肝炎C.甲、乙和非甲非乙型肝炎D.甲、乙、丙、丁、戊、庚和TTV型肝炎E.急性肝炎、慢性迁延型肝炎、慢性活动性肝炎、重型肝炎和淤胆型肝炎 在狭小的室内空间使用二氧化碳灭火器时，灭火后应迅速撤离，以防止被二氧化碳窒息而发生意外情况.A.正确B.错误 能量密度 新酒在较长的贮存过程中，一些随蒸馏而来的低沸点物质，如、等，便会逐渐挥发，除去了新酒中的不愉快气味，这就是通常所说的老熟过程中的挥发效应。 铸铁是以铁、和硅为主要组成元素。A、碳B、锰C、硫D、钨 进行伪导频硬切换时，使用触发门限和目标导频两个参数就可以触发硬切换了。A.正确B.错误 下列各项，不属温热性能所对应作用的是。A.温里B.开窍C.补火D.温经E.回阳 油罐检尺应检次，并且相差不得超过毫米。 汽车车身外围板约占车身质量的。A．40％B．30％C．20％ 简述办公室接待工作及礼仪。 下列哪项是乌梅丸的主治病证A.痰厥B.蛔厥C.气厥D.血厥E.晕厥 下列反应中，哪个是表示ΔH=ΔHfA、gB、r（s）的反应？A、A、g（A、q）+B、r（A、q）=A、gB、r（s）B、2A、g（s）+B、r2=2A、gB、r（s）C、A、g（s）+1/2B、r2（l）=A、gB、r（s）D、A、g（s）+1/2B、r2（S）=A、gB、r（s）