辽宁北票高中数学第三章-3.1导数3.1.2瞬时速度与导导学案无解答新人教选修

3.3.1利用导数判断函数的单调性（2）一、 学习目标及学法指导1. 利用导数求函数的单调区间2. 利用导数证明函数的单调性3. 已知函数的单调性，利用导数求相关系数的范围4. 利用导数求解含有字母系数的函数单调性二、预习案函数x x x f ln 2)(2-=的单调减区间是 ；2.函数)22(cos 2)(ππ<<-+=x x x x f 的单调减区间是 ；3.函数x x y ln -=的单调增区间为4.求()3129223-+-=x x x x f 的单调区间三、课中案例1已知函数()x x ax x f -+=233恰有3个单调区间，则实数a 的取值范围是_____________练习1若函数2)(23-+-=m mx x x f 的单调减区间是()3,0，则=m ；小结：例2 已知函数1)(3--=ax x x f ，点),(y x P 在该函数图像上移动，过点P 的切线设为l 。

（1）求切线l 的斜率的取值范围；（2）若函数)(x f 在()4,1内递减，在()+∞,6递增，求实数a 的取值范围；练习2.已知函数()()11213123+-+-=x a ax x x f 在区间），41(内为减函数，在区间()+∞,6上为增函数，试求实数a 的范围。

小结：例3已知函数()ax x x f +=33求函数的单调区间练习3.求3+-=ax e y x 的单调区间小结：四、课后案1.若函数x x x f cos )(+=λ是区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,6ππ上的减函数，则实数λ的取值范围是 。

2.若函数423+-=ax x y 在()2,0上单调递减，则实数a 的取值范围是3.设函数)()(23R x cx bx x x f ∈++=，已知)()()(/x f x f x g -=是奇函数（1）求c b ,的值；（2）求)(x g 的单调区间。

4.已知()13--+-=x ax x x f 在()+∞∞-,上是单调递减函数，求a 的范围。

3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何
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1．瞬时变化率
思考1平均变化率与瞬时变化率相同吗？
提示：不相同．平均变化率是描述函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率是描述函数值在x0点处变化的快慢．
思考2瞬时变化率定义中Δx→0的含义是什么？
提示：Δx趋近于0的距离要多近就有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.
2．导数与导函数
思考3函数在某点处的导数与函数在该点的瞬时变化率相同吗？
提示：相同．
思考4函数f (x )在定义域内的任一点都存在导数吗？
提示：不一定．存在导数的点x 0首先在区间内部，不能是区间的端点，其次是当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
趋近于一个常数，否则就不存在导数． 特别提醒(1)函数在一点处的导数f ′(x 0)是一个常数，不是变量．
(2)函数的导数是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)．根据函数的定义，在开区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．
(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x )|x ＝x 0.
3．导数的几何意义
思考5曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？
提示：不一定．切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限情况，在其他位置可能还有一个或多个公共点．。

3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义课堂探究探究一 求导数求函数在点x 0处的导数就是求该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，求解过程中要注意对式子Δy Δx的变形和约分，变形不彻底可能会导致lim Δx →0Δy Δx 不存在，得出错误结论．【典型例题1】 已知函数y ＝x ，求y ′，y ′|x ＝1.思路分析：按求导数的步骤求解即可，但要注意变形的技巧．解：因为Δy ＝Δx ＋x －x ，所以Δy Δx ＝Δx ＋x －x Δx ＝Δx (Δx ＋x ＋x )Δx ＝1Δx ＋x ＋x. 所以y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1Δx ＋x ＋x ＝12x. 所以y ′|x ＝1＝12. 点评 函数的导数与在点x 0处的导数不是同一概念，在点x 0处的导数是函数的导数在x ＝x 0处的函数值．分子有理化是解决本题的一种重要的变形技巧，要认真体会．探究二 利用导数求曲线的切线方程求曲线上某点(x 0，y 0)处的切线方程，需要先求出f ′(x 0)，即切线的斜率，再用点斜式写出切线方程后化简，但要注意分清“求曲线y ＝f (x )上过点M 的切线”与“求曲线y ＝f (x )上在点M 处的切线”两者的不同．【典型例题2】 如图，已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，求：(1)点P 处的切线方程．(2)满足斜率为1的曲线的切线方程．思路分析：(1)先利用导数的几何意义求斜率，然后写出切线方程．(2)设出切点坐标，利用斜率求出切点坐标，从而得切线方程．解：因为y ＝f (x )＝13x 3， 所以y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →013(x ＋Δx )3－13x 3Δx＝lim Δx →0x 2Δx ＋x (Δx )2＋13(Δx )3Δx ＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋x ·Δx ＋13(Δx )2 ＝x 2.(1)因为y ′|x ＝2＝4，所以在点P 处的切线方程为y －83＝4(x －2)， 即12x －3y －16＝0.(2)设切点坐标为M 3001,3x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由于切线斜率k ＝20x ，则20x ＝1，x 0＝±1，那么切点坐标M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13或M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13，所以所求切线方程为y ＋13＝x ＋1或y －13＝x －1，即x －y ＋23＝0或x －y －23＝0. 探究三 导数几何意义的应用(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．【典型例题3】 已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝－2处的切线平行．(1)求直线l 的方程；(2)求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程．思路分析：要求直线l 的方程，只需求y ′|x ＝－2，要求抛物线C 的方程，可以利用抛物线的定义求解．解：(1)设曲线y ＝f (x )，因为y ′|x ＝－2＝lim Δx →0 f (－2＋Δx )－f (－2)Δx＝0，所以直线l 的斜率为0，其方程为y ＝－1.(2)因为抛物线以点F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线，所以可设抛物线方程为x 2＝2py ，则有p 2＝1，p ＝2. 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .探究四 易错辨析易错点 混淆切点与切线经过的点【典型例题4】 试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线的方程．错解：因为函数y ＝x 2的导数为y ′＝2x ，所以y ′|x ＝3＝2×3＝6.所以切线方程为y －5＝6(x －3)，即y ＝6x －13.错因分析：没有注意到点P 不在曲线上，点P 不是切点，错解中把点P 当成了切点，从而导致错误．正解：直线的斜率不存在时显然不成立．函数y ＝x 2的导数为y ′＝2x .设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则y 0＝x 20，切线斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0.因为切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，所以其斜率为y 0－5x 0－3＝20053x x --，所以2x 0＝20053x x --， 解得x 0＝1或x 0＝5，从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线的斜率为2x 0＝2；当切点为(5,25)时，切线的斜率为2x 0＝10.所以所求切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)或y －5＝10(x －3)，即y ＝2x －1或y ＝10x －25.点评 求曲线上在点P 处的切线与过点P 的切线有区别，在点P 处的切线，点P 必为切点；求过点P 的切线，点P 未必是切点，点P 也不一定在已知曲线上．应注意概念区别，其求解方法上也有所不同，要认真体会．若点P 在曲线上，要分点P 是切点和不是切点两种情况解决．。

3．1.1 函数的平均变化率3．1.2 瞬时速度与导数学习目标 1.了解导数概念的实际背景，理解平均变化率和瞬时速度.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．知识点一 函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．思考1 若旅游者从点A 爬到点B ，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？思考3 观察函数y ＝f (x )的图象，平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1表示什么？梳理 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：____________的增量与____________的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx ＝fx 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的________．知识点二 瞬时变化率思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2，试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度．思考2 当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？梳理 (1)物体运动的瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f (t )，当________________时，当Δt 趋近于0时，函数f (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率为________________趋近于常数，这个常数称为t 0时刻的瞬时速度．(2)函数的瞬时变化率设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变Δx 时，函数值相应地改变Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，如果当Δx 趋近于0时，平均变化率____________趋近于一个常数l ，则数l 称为函数f (x )在点x 0的瞬时变化率．知识点三 函数在某一点处的导数与导函数 思考 f ′(x 0)与f ′(x )表示的意义一样吗？梳理 (1)函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的________________称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作____________，即f ′(x 0)＝________________. (2)导函数定义如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 导数都存在，则称f (x )在区间(a ，b )可导，这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个________________，于是在区间(a ，b )内f ′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数．记为f ′(x )(或y ′x 、y ′)． (3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x )|x ＝x 0.类型一 函数的平均变化率例1 (1)已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.①求：当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ；②求：当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx.(2)求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图象上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx＝________.(2)如图所示是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．类型二 求瞬时速度例2 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度． 引申探究1．若本例的条件不变，试求物体的初速度．2．若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题．(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． ②求平均速度v ＝Δs Δt. ③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于的常数v 即为瞬时速度，即v ＝s ′(t 0)．跟踪训练2 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．类型三 求函数在某一点处的导数 例3 求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数．反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝fx 0＋Δx －f x 0Δx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx. 跟踪训练3 已知f (x )＝3x 2，f ′(x 0)＝6，求x 0.1．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A ．0.4 B ．2 C ．0.3 D ．0.2 2．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f x 0＋h －f x 0h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关3．当球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨胀率为________． 4．函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数为________．5．已知函数f (x )＝a x在x ＝1处的导数为－2，则实数a 的值是________．利用导数定义求导数三步曲(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)求平均变化率Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx.(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx. 简记为一差，二比，三极限．特别提醒：①取极限前，要注意化简ΔyΔx ，保证使当Δx →0时，分母不为0.②函数在x 0处的导数f ′(x 0)只与x 0有关，与Δx 无关．答案精析问题导学 知识点一思考1 自变量x 的改变量为x 2－x 1，记作Δx ，函数值y 的改变量为y 2－y 1，记作Δy . 思考2 对山路AB 来说，用Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可近似地刻画其陡峭程度． 思考3 观察图象可看出，ΔyΔx 表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率．梳理 (2)函数值 自变量 (4)斜率 知识点二思考1 Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝10＋5Δt . 思考2 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于10，这时的平均速度即为t ＝1时的瞬时速度．梳理 (1)t 0到t 0＋Δt f t 0＋Δt －f t 0Δt (2)f x 0＋Δx －f x 0Δx知识点三思考 f ′(x 0)表示f (x )在x ＝x 0处的导数，是一个确定的值．f ′(x )是f (x )的导函数，它是一个函数．f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值． 梳理 (1)瞬时变化率 f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx(2)确定的导数f ′(x ) 题型探究例1 解 (1)因为f (x )＝2x 2＋3x －5， 所以Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 21＋3x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx . Δy Δx＝2Δx 2＋4x 1＋3ΔxΔx＝2Δx ＋4x 1＋3.①当x 1＝4，x 2＝5时，Δx ＝1， Δy ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝2＋19＝21，ΔyΔx＝21.②当x 1＝4，x 2＝4.1时，Δx ＝0.1， Δy ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ΔyΔx＝2Δx ＋4x 1＋3＝19.2. (2)在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝2＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f 3＋Δx －f 3Δx ＝3＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大． 跟踪训练1 (1)Δx (2)12 34解析 (1)Δy Δx ＝f－1＋Δx －f －1Δx＝－1＋Δx2＋2－1＋Δx －5－－6Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f 1－f －11－－1＝2－12＝12. 由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为 f 2－f 02－0＝3－322＝34.例2 解 ∵Δs Δt ＝s 1＋Δt －s 1Δt＝1＋Δt2＋1＋Δt ＋1－12＋1＋1Δt＝3＋Δt ，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3＋Δt )＝3. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3， 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s. 引申探究 1．解 ∵Δs Δt ＝s 0＋Δt －s 0Δt＝0＋Δt2＋0＋Δt ＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴lim Δx →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(1＋Δt )＝1. ∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.2．解 设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s ， ∵Δs Δt＝st 0＋Δt －s t 0Δt＝2t 0＋1＋Δt .∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (2t 0＋1＋Δt )＝2t 0＋1. 则2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.跟踪训练2 解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率Δs Δt ＝s 2＋Δt －s 2Δt ＝a 2＋Δt2－4aΔt＝4a ＋a Δt ，∴lim Δx →0 Δs Δt＝4a ＝8，即a ＝2. 例3 解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， ∴f ′(1)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →011＋Δx ＋1＝12. 跟踪训练3 解 ∵f ′(x 0)＝ lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0 3x 0＋Δx 2－3x 2Δx＝lim Δx →0(6x 0＋3Δx )＝6x 0， 又f ′(x 0)＝6，∴6x 0＝6，即x 0＝1. 当堂训练1．B 2.B 3.28π34.165.2。

2021年高中数学第三单元导数及其应用3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数教学案新人教B 版选修1学习目标 1.了解导数概念的实际背景，理解平均变化率和瞬时速度.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．知识点一 函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．思考1 若旅游者从点A 爬到点B ，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？思考3 观察函数y ＝f (x )的图象，平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1表示什么？梳理 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：____________的增量与____________的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx ＝fx 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的________．知识点二 瞬时变化率思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2，试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度．思考2 当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？梳理 (1)物体运动的瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f (t )，当________________时，当Δt 趋近于0时，函数f (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率为________________趋近于常数，这个常数称为t 0时刻的瞬时速度．(2)函数的瞬时变化率设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变Δx 时，函数值相应地改变Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，如果当Δx 趋近于0时，平均变化率____________趋近于一个常数l ，则数l 称为函数f (x )在点x 0的瞬时变化率．知识点三 函数在某一点处的导数与导函数 思考 f ′(x 0)与f ′(x )表示的意义一样吗？梳理 (1)函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的________________称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作____________，即f ′(x 0)＝________________. (2)导函数定义如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 导数都存在，则称f (x )在区间(a ，b )可导，这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个________________，于是在区间(a ，b )内f ′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数．记为f ′(x )(或y ′x 、y ′)． (3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x )|x ＝x 0.类型一 函数的平均变化率例1 (1)已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.①求：当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ；②求：当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx.(2)求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图象上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx＝________.(2)如图所示是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．类型二 求瞬时速度例2 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度． 引申探究1．若本例的条件不变，试求物体的初速度．2．若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题．(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． ②求平均速度v ＝ΔsΔt. ③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于的常数v 即为瞬时速度，即v ＝s ′(t 0)．跟踪训练2 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．类型三 求函数在某一点处的导数 例3 求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数．反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx＝fx 0＋Δx －f x 0Δx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx. 跟踪训练3 已知f (x )＝3x 2，f ′(x 0)＝6，求x 0.1．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A ．0.4 B ．2 C ．0.3 D ．0.2 2．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f x 0＋h －f x 0h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关3．当球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨胀率为________． 4．函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数为________．5．已知函数f (x )＝a x在x ＝1处的导数为－2，则实数a 的值是________．利用导数定义求导数三步曲(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)求平均变化率Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx.(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx. 简记为一差，二比，三极限．特别提醒：①取极限前，要注意化简ΔyΔx ，保证使当Δx →0时，分母不为0.②函数在x 0处的导数f ′(x 0)只与x 0有关，与Δx 无关．答案精析问题导学 知识点一思考1 自变量x 的改变量为x 2－x 1，记作Δx ，函数值y 的改变量为y 2－y 1，记作Δy . 思考2 对山路AB 来说，用Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可近似地刻画其陡峭程度． 思考3 观察图象可看出，ΔyΔx 表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率．梳理 (2)函数值 自变量 (4)斜率 知识点二思考1 Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝10＋5Δt . 思考2 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于10，这时的平均速度即为t ＝1时的瞬时速度．梳理 (1)t 0到t 0＋Δt f t 0＋Δt －f t 0Δt (2)f x 0＋Δx －f x 0Δx知识点三思考 f ′(x 0)表示f (x )在x ＝x 0处的导数，是一个确定的值．f ′(x )是f (x )的导函数，它是一个函数．f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值． 梳理 (1)瞬时变化率 f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx(2)确定的导数f ′(x ) 题型探究例1 解 (1)因为f (x )＝2x 2＋3x －5， 所以Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 21＋3x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx . Δy Δx＝2Δx 2＋4x 1＋3ΔxΔx＝2Δx ＋4x 1＋3.①当x 1＝4，x 2＝5时，Δx ＝1， Δy ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝2＋19＝21，ΔyΔx＝21.②当x 1＝4，x 2＝4.1时，Δx ＝0.1， Δy ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ΔyΔx＝2Δx ＋4x 1＋3＝19.2. (2)在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝2＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f 3＋Δx －f 3Δx ＝3＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大． 跟踪训练1 (1)Δx (2)12 34解析 (1)Δy Δx ＝f－1＋Δx －f －1Δx＝－1＋Δx2＋2－1＋Δx －5－－6Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f 1－f －11－－1＝2－12＝12. 由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为 f 2－f 02－0＝3－322＝34.例2 解 ∵Δs Δt ＝s 1＋Δt －s 1Δt＝1＋Δt2＋1＋Δt ＋1－12＋1＋1Δt＝3＋Δt ，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3＋Δt )＝3. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3， 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s. 引申探究 1．解 ∵Δs Δt ＝s 0＋Δt －s 0Δt＝0＋Δt2＋0＋Δt ＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴lim Δx →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(1＋Δt )＝1. ∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.2．解 设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s ， ∵Δs Δt＝st 0＋Δt －s t 0Δt＝2t 0＋1＋Δt .∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (2t 0＋1＋Δt )＝2t 0＋1. 则2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.跟踪训练2 解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率Δs Δt ＝s 2＋Δt －s 2Δt ＝a 2＋Δt2－4aΔt＝4a ＋a Δt ，∴lim Δx →0 Δs Δt＝4a ＝8，即a ＝2. 例3 解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， ∴f ′(1)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →011＋Δx ＋1＝12. 跟踪训练3 解 ∵f ′(x 0)＝ lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0 3x 0＋Δx 2－3x 2Δx＝lim Δx →0(6x 0＋3Δx )＝6x 0， 又f ′(x 0)＝6，∴6x 0＝6，即x 0＝1. 当堂训练1．B 2.B 3.28π34.165.2。

3.3.2利用导数研究函数的极值（3）学习目标及学法指导【学习要求】1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会用导数求某定义域上函数的最值.【学法指导】弄清极值与最值的区别是学好本节的关键.函数的最值是一个整体性的概念.函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较.二、预习案1.函数f(x)在闭区间上的最值函数f(x)在闭区间上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在处或处取得.2.求函数y＝f(x)在上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的；(2)将函数y＝f(x)的各极值与的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是，最小的一个是.三、课中案探究点一求函数的最值问题1如图，观察区间上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？问题2观察问题1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？问题3函数的极值和最值有什么区别和联系？问题4怎样求一个函数在闭区间上的最值？- 1 -例1求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈；1(2)f(x)＝x＋sin x，x∈.2跟踪训练1求下列函数的最值：(1)f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，x∈；(2)f(x)＝e x(3－x2)，x∈.- 2 -探究点二含参数的函数的最值问题例2已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a).(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程.(2)求f(x)在区间上的最大值.跟踪训练2已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.探究点三函数最值的应用问题函数最值和“恒成立”问题有什么联系？例3已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围.- 3 -跟踪训练3设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围.四、课后案1.函数y＝f(x)在上()A.极大值一定比极小值大B.极大值一定是最大值C.最大值一定是极大值D.最大值一定大于极小值2.函数f(x)＝x3－3x(|x|<1) ()A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值π3.函数y＝x－sin x，x∈[ ，π]的最大值是()2πA.π－1B. －1C.πD.π＋12- 4 -4.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间上的最大值为10，则其最小值为________.【课堂小结】1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值.2.含参数的函数最值，可分类讨论求解.3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.- 5 -。

3.1.3 导数的几何意义一、【学习目标】1理解导数的几何意义2学会通过求函数的导数来求函数在某点处的切线斜率与切线方程。

二、【预习案】预习教材83-84页并完成下列问题1.导数的几何意义是__________________________________________________________2.曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))的切线的斜率等于_________________________________________总结：1. 导数的定义：2. 求函数y=f(x)在点x 0处的导数的基本方法是：三、【课中案】例1:求曲线y=f(x)=x 2+1在点P(1,2)处的切线方程.）的切线方程，在点（、求双曲线例21212x y小结：求曲线的切线方程时，应注意两种“说法”：(1)曲线在点P 处的切线方程（一定是以点P 为切点）； （2）曲线过点P 的切线方程（无论点P 是否在曲线上，点P 都不一定是切点，此时需设切点坐标）例4 求过点P(1,0)且与曲线f(x)=x3-x 相切的直线方程四、【课后案】1. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ）A. 4B. 16C. 8D. 22. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ）A ．41y x =--B ．47y x =-- ）的切线方程过点（求抛物线例6,2532x y =C ．41y x =-D ．47y x =+）的切线方程，过点（求抛物线47441.42x y =5.已知曲线C:y=x3(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程。

3.1.2 瞬时速度与导数教学目标：1、会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念.2、会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．教学重难点：重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用难点：导数概念的理解.教学过程：情境导入：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为： 2() 4.9 6.510h t t t =-++.通过上一节的学习，我们可以求在某时间段的平均速度.这节课我们将学到如何求在某一时刻的瞬时速度，例当t =1时的瞬时速度.合作探究：探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的.新知：瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts ∆∆当t ∆趋近于0时的速度. 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y =' 即000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0 (3)xy ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率(4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.精讲精练：例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第x h 时，原油的温度（单位：0c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.解: 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim (3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '= 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率分别为3-和5,说明在第2h 附近,原油温度大约以3/C h 的速率下降在第6h 附近,原油温度大约以5/C h 的速率上升.例2：已知质点M 按规律s =3t 2+2做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ）．（1）当t =2，△t =0.01时，求．（2）求质点M 在t =2时的瞬时速度．【解析】根据导数的物理意义，求函数的导数即可得到结论．解：（1）当t =2，△t =0.01时，==12.03； （2）∵s =3t 2+2，∴s ′（t ）=6t ，则质点在t =2秒时的瞬时速度为s ′（2）=6×2=12．有效训练：一物体做初速度为0的自由落体运动，运动方程为s =gt 2（g =10m/s 2，位移单位：m ．时间单位：s ），求物体在t =2s 时的瞬时速度．解：函数的导数为S ′=gt ，则t =2秒时的瞬时速度为S ′|t =2=2g =10×2=20 m/s ．。