瞬时速度与导数 教案

1.1.2 《瞬时速度》教案教学目的：理解函瞬时速度及导数的概念. 重点难点：导数的极限数学符号语言的理解.学科素养：用所学探索未知，通过数学定义的教学，体会数学研究的手段方法. 一、引入与新课： 提出问题】在物理学中，我们知道物体作匀速直线运动，速度是路程与时间之比：sv t=。

而自由落体、竖直向上发射火箭、一段平直轨道上行驶的高铁列车、一段平直高速路上行驶的汽车都是变速直线运动，这类运动路程随时间变化，速度也随时间变化。

问题1：物体作变速直线运动时，速度与路程、时间有什么样的关系呢？ 【抽象概括】设物体运动路程与时间的关系是()s f t =（图一），问题2：在区间00[,]t t t +∆，物体运动的速度与路程、时间有什么样的关系呢？ 由上节课知识可知，从0t 到0t t +∆这段时间内，物体运动的平均速度是000()()f t t f t sv t t+∆-∆==∆∆ 所以，平均速度0v 就是函数()s f t =在区间00[,]t t t +∆的平均变化率 问题3：在某一时刻0t ，物体运动的速度与路程、时间有什么样的关系呢？图一联想二分法，计算值的逼近法，上节课的分割法，时刻0t 我们也采用分割逼近的方法。

看一个实例，我们来研究怎样实现逼近。

跳台跳水运动员在时刻t 距离水面的高度函数2()10 6.5 4.9h t t t =+-求运动员在2t s =时竖直向上的速度？我们先求运动员在[2,2.1]这段时间内的平均速度为：22(2.1)(2)(10 6.5 2.1 4.9 2.1)(10 6.52 4.92)13.59(/)2.120.1h h m s -+⨯-⨯-+⨯-⨯==--用同样的方法，我们运用计算器得到下列平均速度表：由此表可以看出，当时间间隔越来越小时，平均速度趋于常数13.1-，这个常数就是该运动员在2t s =时的速度，我们称为在2t s =时的瞬时速度。

【解决问题】一般地，对任一时刻0t ，也可以计算出瞬时速度：002200000()()(10 6.5() 4.9())(10 6.5 4.9)9.8 6.5 4.9h t t h t tt t t t t t tt t+∆-∆+⨯+∆-⨯+∆-+⨯-⨯=∆=-+-∆ 当t ∆趋近于0时，上式趋近于09.8 6.5t -+。

《3.1.2瞬时速度与导数》教学案教学目标1.会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念.2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．3.大胆质疑，积极讨论，高效学习，勇于展示自己的观点与解法，以极度的热情投入到合作与学习中，体验学习的快乐.教学重、难点瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.教学过程一、课前准备1、求函数平均变化率的步骤：2、过曲线3()f x x =上两点(1,1),(1,1)p Q x y +∆+∆做曲线的割线，求当x ∆=0.1时割线的斜率.二、新知探究探究(一)瞬时速度：1. 已知物体作变速直线运动，其运动方程为s ＝s(t)(ｓ表示位移，t 表示时间)，求物体在t 0时刻的速度．问题1：如图设该物体在时刻t 0的位移是ｓ(t 0)＝OA 0，在时刻t 0 +Δt 的位移是s(t 0+Δt)=OA 1，则从t 0 到 t 0 +Δt 这段时间内，物体的位移是:_________________________.问题2：在时间段(t 0+△t)－t 0内，物体的平均速度为: _____________________________________.问题3：平均速度与瞬时速度分别反映了什么？1000()()s OA OA s t t s t ∆=-=+∆-t s t t t t s t t s v ∆∆=-∆+-∆+=0000__)()()(平均速度：反映了物体运动时的快慢程度，但要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度，就需要通过瞬时速度来反映.如果物体的运动规律是 s =s (t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在t 到 t +Δt 这段时间内，当 Δt →0 时平均速度.v tt s t t s →∆-∆+)()(，也就是位移对于时间的瞬时变化率. 2.瞬时速度的定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.另一个角度，瞬时速度是平均速度ts ∆∆当t ∆趋近于0时的 . 探究(二)导数的概念：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =附近有改变x ∆时，则函数)(x f y =相应地有改变)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy ∆∆(也叫函数的平均变化率)无限趋近于某个常数l ，我们把这个常数l 叫做函数)(x f y =在0x x →处的瞬时变化率.记作 ____________________________________ .还可以说，当0x ∆→时，函数平均变化率的极限值等于函数在x 0处瞬时变化率， 可记作 ，函数在x 0的瞬时变化率，通常就定义为f(x)在x=x 0处的导数，并记作：注意：○1“0x ∆→”的意义：x ∆与0的距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数，但始终0x ∆≠ .○2当0x ∆→时，存在一个常数与 00()()f x x f x x+∆-∆ 无限的接近. 2.导函数：称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，记作 .注：(1)如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导. (2)导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值.它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值.(3)求导函数时，只需将求导数式中的0x 换成x 就可，即)(/x f ＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0 ⑷今后，如不特别说明求某一点的导数，求导数指得就是求导函数.3.由导数的定义可知，利用导数的定义求函数)(x f y =的导数的一般步骤是： 第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-； 第二步：求平均变化率0()f x x y x x+∆∆=∆∆； 第三步：取极限得导数00()limx y f x x ∆→∆'=∆. 三、典型例题例 竖直向上弹射一个小球，小球的初速度为100m/s ，试求小球何时速度为0？ 解：小球的运动方程为h (t )=100t －12gt 2， 在t 附近的平均变化率为 22211[100()()][100]221100()2t t g t t t gt t t gt t t g t t +∆-+∆--∆∆-⋅⋅∆-∆=∆ =100－gt －12g △t . 当△t →0时，上式趋近于100－gt .可见t 时刻的瞬时速度h ’(t)=100－gt.令h ’(t )=100－gt =0，解得10010010.2()9.8=≈≈t s g 所以小球弹射后约10.2s 向上的速度变为0.变式1.物体作自由落体运动，运动方程为221gt S =，其中位移单位是m ，时间单位是s ，g =10m/s 2.求：(1) 物体在时间区间[2，2.1]上的平均速度；(2) 物体在时间区间[2，2.01]上的平均速度；(3) 物体在t =2(s)时的瞬时速度.2.求y=x2+2在点x=1处的导数.四、课堂小结反思。

布鲁纳认知发现学习理论教案瞬时速度与导数什么是瞬时速度在物理学中，速度指的是物体在单位时间内，沿着某一方向所移动的距离。

有时候，我们需要了解物体在某一特定时刻的速度，这就需要用到瞬时速度的概念。

瞬时速度是指物体在某一瞬间的具体速度，也可以称为瞬时变化率。

在数学上，瞬时速度可以用导数来表示。

什么是导数在数学中，导数是描述函数的变化率的概念。

它描述了函数在某一点的瞬时变化率，也就是斜率。

导数可以用来求函数的最大值和最小值，以及函数的变化率。

如果一个函数f(x)在某一点x0的导数存在，那么这个函数在这个点就是可导的。

具体地说，如果一个函数f(x)在x0处的导数存在，那么它的导数可以通过以下式子表示：$f'(x_{0})=\\lim _{h\\to 0}{\\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$换句话说，导数是函数在某一点的瞬时变化率。

如何计算瞬时速度的导数接下来我们来看一个实例，了解如何计算瞬时速度的导数。

假设有一个物体，它离地面上方25米的地方开始下落。

在任意时刻，这个物体到地面的距离y可以由以下公式表示：y=25−4.9t2其中t表示时间。

现在我们要求这个物体在t=2秒时的瞬时速度。

根据定义，我们可以得出物体在t=2秒时的瞬时速度公式：$v(t=2)=\\lim _{\\Delta t\\to 0}{\\frac {y(2+\\Delta t)-y(2)}{\\Delta t}}$将公式代入我们得到：$v(t=2)=\\lim _{\\Delta t\\to 0}{\\frac {(25-4.9\\cdot(2+\\Delta t)^{2})-(25-4.9\\cdot2^{2})}{\\Delta t}}$简化后可得：$v(t=2)=\\lim _{\\Delta t\\to 0}{\\frac {(-19.6\\cdot \\Delta t-4.9\\cdot\\Delta t^{2})}{\\Delta t}}$$v(t=2)=\\lim _{\\Delta t\\to 0}{-19.6-4.9\\cdot \\Delta t}$因为$\\Delta t$非常小，我们可以把$\\Delta t$忽略不计，最终得到：v(t=2)=−19.6可以看到，在t=2秒时，这个物体的瞬时速度为-19.6米/秒（向下）。

1.1.2 瞬时速度与导数学案（含答案）1.1.2瞬时速度与导数瞬时速度与导数学习目标1.理解瞬时速度及瞬时变化率的定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数知识点一瞬时速度与瞬时变化率一质点的运动方程为s83t2，其中s表示位移，t 表示时间思考1试求质点在1,1t这段时间内的平均速度答案st831t28312t63t.思考2当t趋近于0时思考1中的平均速度趋近于几怎样理解这一速度答案当t趋近于0时，st趋近于6，这时的平均速度即为t1时的瞬时速度梳理瞬时速度与瞬时变化率1物体运动的瞬时速度设物体运动路程与时间的关系是sft，当t趋近于0时，函数ft在t0到t0t之间的平均变化率ft0tft0t趋近于某个常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度2函数的瞬时变化率设函数yfx在x0及其附近有定义，当自变量在xx0附近改变量为x时，函数值相应地改变yfx0xfx0，如果当x趋近于0时，平均变化率yxfx0xfx0x趋近于一个常数l，则常数l称为函数fx在点x0处的瞬时变化率记作当x0时，fx0xfx0xl.上述过程，通常也记作limx0fx0xfx0xl.知识点二yfx在点x0处的导数1函数yfx在点x0处的导数定义式fx0limx0fx0xfx0x.2实质函数yfx在点x0处的导数即函数yfx在点x0处的瞬时变化率知识点三导函数对于函数fxx22.思考1如何求f1，f0，f12，faaR答案fx0limx0x0x22x202xlimx02x0x2x0，f12，f00，f121，fa2a.思考2若a是一变量，则fa是常量吗答案fa2a，说明fa不是常量，而是关于a的函数梳理导函数的概念1函数可导的定义如果fx在开区间a，b内每一点x都是可导的，则称fx在区间a，b可导2导函数的定义条件fx在区间a，b可导定义对开区间a，b内每个值x，都对应一个确定的导数fx，于是，在区间a，b内fx构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yfx的导函数导函数记法fx或y或yx1瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量2函数yfx在xx0处的导数值与x的正.负无关3函数在一点处的导数fx0是一个常数类型一求瞬时速度例1某物体的运动路程s单位m与时间t单位s的关系可用函数stt2t1表示，求物体在t1s时的瞬时速度解sts1ts1t1t21t11211t3t，limt0stlimt03t3，物体在t1s处的瞬时变化率为3，即物体在t1s时的瞬时速度为3m/s.引申探究1若本例中的条件不变，试求物体的初速度解求物体的初速度，即求物体在t0s时的瞬时速度sts0ts0t0t20t11t1t，limt01t1，物体在t0s时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.2若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.解设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.又stst0tst0t2t01t，limt0stlimt02t01t2t01，2t019，t04.即物体在4s时的瞬时速度为9m/s.反思与感悟1不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解题的常见错误2求运动物体瞬时速度的三个步骤求时间改变量t和位移改变量sst0tst0求平均速度vst.求瞬时速度vlimt0st.跟踪训练1一质点M按运动方程stat21做直线运动位移单位m，时间单位s，若质点M在t2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值解质点M在t2s时的瞬时速度即为函数在t2s处的瞬时变化率质点M在t2s附近的平均变化率为sts2ts2ta2t24at4aat，又limt0st4a8，a2.类型二求函数在某一点处的导数例21设函数yfx在xx0处可导，且limx0fx03xfx0xa，则fx0________.答案13a解析limx0fx03xfx0xlimx0fx03xfx03x33fx0a，fx013a.2利用导数的定义求函数yfxx在x1处的导数解yf1xf11x1，yx1x1x11x1，f1limx0yxlimx011x112.反思与感悟1求函数yfx在点x0处的导数的三个步骤简称一差，二比，三极限2瞬时变化率的变形形式limx0fx0xfx0xlimx0fx0xfx0xlimx0fx0nxfx0nxlimx0fx0xfx0x2xf x0跟踪训练2已知fx3x2，fx06，求x0.解fx0limx0fx0xfx0xlimx03x0x23x20xlimx06x03x6x0，又fx06，6x06，即x01.1设函数fx在点x0附近有定义，且有fx0xfx0axbx2a，b为常数，则AfxaBfxbCfx0aDfx0b答案C解析fx0limx0fx0xfx0xlimx0abxa.2物体运动方程为st3t2位移单位m，时间单位s，若vlimt0s3ts3t18m/s，则下列说法中正确的是A18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度B18m/s是物体从3s到3ts这段时间内的速度C18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度D18m/s是物体从3s到3ts这段时间内的平均速度考点导数的概念题点导数概念的理解答案C3函数yfx2x24x在x3处的导数为________答案16解析f3limx0yxlimx023x243x23243x16.4一物体的运动方程为stt23t2，则其在t______时的瞬时速度为1.答案2解析设物体在tt0时的瞬时速度为1，因为stst0tst0tt0t23t0t2t203t02t2t03t，所以limx02t03t2t031，解得t02.5已知物体运动的速度与时间之间的关系是vtt22t2，则在时间间隔1,1t内的平均加速度是________，在t1时的瞬时加速度是________答案4t4解析在1,1t内的平均加速度为vtv1tv1tt4，当t无限趋近于0时，vt无限趋近于4.利用导数定义求导数三步曲1作差求函数的增量yfx0xfx02作比求平均变化率yxfx0xfx0x.3取极限得导数fx0limx0yx.简记为一差，二比，三极限。

人教版高中选修(B版)1-13.1.2瞬时速度与导数课程设计课程目标本课程旨在使学生：1.掌握瞬时速度的概念，并能够将其应用于实际问题中；2.了解导数的概念及其与瞬时速度的关联，进而能够求解一些简单的导数；3.提高数学思维及解决实际问题的能力。

教学内容1.瞬时速度的概念与意义；2.限速牌与瞬时速度的关系；3.导数的概念与求导法则；4.利用导数求解瞬时速度等实际问题。

教学步骤本课程分为三个部分：瞬时速度，导数课程设计，实际应用。

部分一：瞬时速度步骤一：引入在学生已经掌握速度的概念基础上，以限速牌为例，引出瞬时速度的概念。

步骤二：定义通过图像和数学语言对瞬时速度的概念进行定义，并引入切线概念。

步骤三：练习在学生理解后，发放一些练习题，帮助学生巩固瞬时速度的概念。

部分二：导数课程设计步骤一：引入在学生已经掌握切线概念基础上，引出导数的概念。

步骤二：定义通过数学语言和图形展示，对导数概念进行定义，并引入一阶导数和高阶导数的概念。

步骤三：练习发放一些练习题，帮助学生巩固求导法则和导数的基本概念。

部分三：实际应用步骤一：引入在学生已经掌握求导法则和导数的基础上，引出实际应用问题。

步骤二：解题方法引导学生逐步解决实际问题，如求解瞬时速度、求解极值等问题。

步骤三：练习提供多种类型的实际应用题目，帮助学生巩固和拓展相应的知识点。

教学评估本课程主要以平时表现、作业、测试形式进行综合评估。

其中，平时表现包括课堂表现、参与讨论和课后作业；作业包括课后作业和课堂练习；测试主要为考察学生对知识点的掌握程度。

实施建议为了提高本课程的效果，建议教师在课程实施中，注意以下几点：1.认真备课，拓宽课程知识面；2.注重课堂互动，提高学生学习积极性；3.合理布置作业，加强巩固；4.适当拓展应用场景，提高学生实际解决问题的能力。

总结瞬时速度与导数课程设计旨在让学生掌握瞬时速度的概念，并且能够知道如何求解一些常用的导数操作。

在实际应用中，学生将能够应用导数和瞬时速度的知识解决实际问题。

教案在这一点的切线的斜率．⑤对比平均变化率与瞬时变化率：试求下列函数在区间[0,1]上的平均变化率：y x =，2y x =，y x =，πsin 2y x =．据此，你有何感想？函数的平均变化率只能反映一个区间上的平均变化情况，瞬时变化率才能反映区间上每一点的变化情况．（3）概念生成：函数在x 0的瞬时变化率，通常就定义为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f 'x 或0|x x y'=． 于是有：00000()()()limlim x x f x x f x yf 'x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆．（4）回顾与巩固：变速运动的物体在0t 时刻的瞬时速度，就是函数()s t 在0t 点的导数，即()()v t s't =；变速运动的物体在0t 时刻的加速度，就是函数()v t 在0t 点的导数，即()()a t v't =．（四）特殊到一般，形成导函数的概念当0x x =时，0()f 'x 是一个确定的数；当0x 变化时，0()f 'x 一般也会随着变化．例如：跳台跳水运动员在0t 时刻的瞬时速度为000()()9.84v t h't t ==-+，当0t 变化时，0()v t 也随之变化．对每个0t ，都有唯一确定的0()v t 的值与之对应．因此，0()v t 可以看成0t 的函数，其解析式为00()9.84v t t =-+． 同样地，0()f 'x 也可以看成0x 的一个新函数． 一般地，如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 导数都存在，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都t 2，t 3 中，瞬时融化速度等于雪堆从 0 h 到 70 h 的平均融化速度的时刻是________．【解答】 t 2平均变化率的几何意义是割线的斜率；瞬时变化率的几何意义是这一点的切线的斜率．【例】一正方形铁板在0℃时，边长为10cm ．加热后铁板会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋3t )cm ．试求铁板面积对温度的膨胀率．分析：这是一道应用问题，建立数学模型是关键． 首先，要数学化：把铁板面积看成温度的函数．其次，要搞清楚“膨胀率”的含义：理解为函数的变化率． 再次，要确定是平均变化率，还是瞬时变化率？怎么求？ 解：由题知，铁板面积2()100(13)S t t =+，则220100[13()]100(13)()limt t t t S't t∆→++∆-+=∆0100(263)3limt t t tt∆→++∆⋅∆=∆lim 300(263)t t t ∆→=++∆600(13).t =+所以铁板对温度的膨胀率为600(13)t +．【例】研究圆面积与圆周长的关系．我们知道，圆的面积2()πS r r =，圆的周长()2πl r r =．利用导数的定义求S 对r 的导数，它与周长有什么关系？你能理解这个导数的几何意义吗？ 解：220π()π()lim r r r r S'r r ∆→+∆-=∆20π()2πlim r r r r r∆→∆+∆=∆ 0lim (π2π)2π.r r r r ∆→=∆+= 我们发现，圆的面积对半径的导数等于圆的周长，这就是圆的面积的导数的几何意义．我们可以这样理解： 面积增量为图中阴影部分圆环的面积，当0r ∆→时，近似地把圆环的内环和外环看成两个相等的圆环．因此，圆环面积对半径的平均变化率趋于圆的周长． 思考：试求球的体积34()π3V r r =的导数，你能说出它的几何意义吗？本节课我们学习的主要内容是函数的瞬时变化率、导数的概念，以及它们的表示方法．函数的平均变化率的物理意义是平均速度，几何意义是割线的斜率；函数的瞬时变化率的物理意义是瞬时速度，那么，其几何意义是什么呢？我们下节课将继续研究．。

t tt t ∆--=∆∆-∆-=9.41.139.41.132（2）求出当0001.0,001.0,01.0,1.0=∆t ，… 时质点的平均速度； 求出当0001.0,001.0,01.0,1.0----=∆t ，… 时质点的平均速度；时间区间 ([]t ∆+2,2) 时间间隔（0>∆t ）平均速度（v ） []1.2,2[]01.2,2[]001.2,29[]0001.2,2 1 49 []00001.2,201 049 ………………时间区间 ([]2,2t ∆+) 时间间隔（0<∆t ）平均速度（v ）[]2,9.1 []2,99.1[]2,999.1 1 []2,9999.1 51 []2,99999.1951 ………………观察平均速度v 随t ∆的变化趋势问题2 当t ∆的绝对值无限趋近于零时，平均速度会无限趋近于一个确定的值，我们能用解析式表示这种变化趋势吗 引入极限符号 观察数列1，21，31，……，n1，……当n 无限变大时，n1会无限趋近于0。

我们用极限符号01lim =∞→n n 表示。

练习1.=+∞→)31(lim nn 设函数12)(+=x x f 当x 无限趋近于1时，)(x f 的变化趋势是什么 用极限符号表示3)12(lim 1=+→x x练习2.=∆--→∆)9.41.13(lim 0t t问题3 由平均速度的变化趋势，我们能求出运动员在t=2时的瞬时速度吗 平均速度可以作为时刻t=2时的瞬时速度的近似值 近似值的精确度与什么有关 当t ∆无限接近于0时平均速度v 的变化趋势是什么④现在可以求出运动员在t=2时的瞬时速度构建导数概念问题1 从函数的变化率的角度看问题，平均速都是函数的平均变化率，那瞬时速度应该是什么呢问题2 你能给出函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率的定义吗 一般地，函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000问题3 除瞬时速度外，很多科学问题和其他问题也可以用函数的瞬时变化率来表示。

瞬时速度与导数导学案【学习要求】1．掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义．2．会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率．3．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法．4．理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．【学法指导】导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率和瞬时变化率的关系，体会无限逼近的思想；可以从物理意义，几何意义多角度理解导数.【知识要点】1．瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为 ．设物体运动路程与时间的关系是s ＝s (t )，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率t t s t t s ∆-∆+)()(00，当Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝__________________2．瞬时变化率：一般地，函数y ＝f (x )在x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx＝_________________. 3．导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x 0处的瞬时变化率是_________________，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的 ，记为 ，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝________________ 4．导函数：如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b ) ．这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数)(x f '，于是在区间(a ，b )内，)(x f '构成一个新的函数，把这个函数称为函数y ＝f (x )的 ．记为 或y ′(或y ′x )．导函数通常简称为【问题探究】探究点一 瞬时速度问题1 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态？问题2 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？问题3 如何描述物体在某一时刻的运动状态？例1 火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100 s m /.试问熄火后多长时间火箭向上速度为0?问题4 火箭向上速度变为0，意味着什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？ 跟踪训练1 质点M 按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s )．若质点M 在t ＝2时的瞬时速度为8s m /，求常数a 的值．探究点二 导 数问题1 从平均速度当Δt →0时极限是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？问题2 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？问题3 导函数和函数在一点处的导数有什么关系？例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．跟踪训练2 已知y ＝f (x )＝x ＋2，求f ′(2)．探究点三 导数的实际应用例3 一正方形铁板在0℃时，边长为10cm ，加热后铁板会膨胀．当温度为C t 0时，边长变为10(1＋at )cm ，a 为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率．跟踪训练3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h 时，原油的温度(单位：C 0)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 【当堂检测】1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．不等于02．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是 ( ) A ．at 0 B ．－at 0 C ．12at 0 D ．2at 0 3．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是 ( ) A ．3 B ．－3 C ．2D ．－24．已知函数f (x )＝1x ，则)1(f ＝________ 【课堂小结】1．瞬时速度是平均速度当Δt →0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当Δx →0时的极限值．2．利用导数定义求导数的步骤：（1）求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；（2）求平均变化率Δy Δx；（2）取极限得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx. 【拓展提高】1．()()()为则设hf h f f h 233lim ,430--='→（ ）A ．－１B ．－2C ．－3D ．12．一质点做直线运动,由始点起经过t s 后的距离为23416441t t t s +-=,则速度为零的时刻是 （ ）A ．4s 末B ．8s 末C ．0s 与8s 末D ．0s ,4s ,8s 末 【教学反思】。