导数的概念2—瞬时速度

导数的定义和求导规则一、导数的定义1.1 极限的概念：当自变量x趋近于某一数值a时，函数f(x)趋近于某一数值L，即称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L1.2 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记作f’(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在某一点的瞬时变化率。

定义如下：二、求导规则2.1 常数倍法则：如果u(x)是可导函数，c是一个常数，则cu(x)也是可导函数，且(cu(x))’ = c*u’(x)。

2.2 幂函数求导法则：如果u(x) = x^n，其中n为常数，则u’(x) = n*x^(n-1)。

2.3 乘积法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)。

2.4 商法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，且v(x)≠0，则(u(x)/v(x))’ =(u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))^2。

2.5 和差法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x)，(u(x) - v(x))’ = u’(x) - v’(x)。

2.6 链式法则：如果y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。

2.7 复合函数求导法则：如果y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)。

2.8 高阶导数：如果f’(x)是f(x)的一阶导数，则f’‘(x)是f’(x)的一阶导数，以此类推。

2.9 隐函数求导法则：如果方程F(x,y) = 0表示隐函数，则y关于x的导数可以表示为(dy/dx) = -F_x / F_y，其中F_x和F_y分别是F(x,y)对x和y的偏导数。

三、导数的应用3.1 函数的单调性：如果f’(x) > 0，则f(x)在区间内单调递增；如果f’(x) < 0，则f(x)在区间内单调递减。

第1节 导数的概念及其意义要点一：变化率问题和导数的概念知识点一 瞬时速度 瞬时速度的定义(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为 Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，Δs Δt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 的极限是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度即：v ＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt. 知识点二 函数的平均变化率对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，相应地，函数值y 就从f (x 0)变化到f (x 0＋Δx )．这时，x 的变化量为Δx ，y 的变化量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．我们把比值ΔyΔx ，即Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率． 知识点三 函数在某点处的导数如果当Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称为瞬时变化率)， 记作f ′(x 0)或0=|x x y'，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.1．在平均变化率中，函数值的增量为正值．( × )2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( × ) 3．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 的正、负无关．( √ )4．设x ＝x 0＋Δx ，则Δx ＝x －x 0，当Δx 趋近于0时，x 趋近于x 0，因此，f ′(x 0)＝ lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x x → f (x )－f (x 0)x －x 0.( √ )一、函数的平均变化率例1 (1)函数y ＝1x 从x ＝1到x ＝2的平均变化率为( )A ．－1B ．－12 C ．－2 D ．2解析 平均变化率为Δy Δx ＝12－12－1＝－12.(2)已知函数y ＝3x －x 2在x 0＝2处的增量为Δx ＝0.1，则ΔyΔx的值为( ) A ．－0.11 B ．－1.1 C ．3.89 D ．0.29解析 ∵Δy ＝f (2＋0.1)－f (2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11，∴Δy Δx ＝－0.110.1＝－1.1.(3)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为__________________．解析 由平均变化率的几何意义知：v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图象知：k OA <k AB <k BC ，即v 1<v 2<v 3. 反思感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 已知函数f (x )＝3x 2＋5，求f (x )：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．解 (1)因为f (x )＝3x 2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝3(x 0＋Δx )2＋5－(3x 20＋5)＝3x 20＋6x 0Δx ＋3(Δx )2＋5－3x 20－5＝6x 0Δx ＋3(Δx )2.函数f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为6x 0Δx ＋3(Δx )2Δx＝6x 0＋3Δx .二、求瞬时速度例2 一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度．解 (1)当t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， ∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02)＝3Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt ，lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3.∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt ]，∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22)＝－Δt －(Δt )2， Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt ＝－1－Δt ，lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (－1－Δt )＝－1， ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1. 反思感悟 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝Δs Δt.(3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt 无限趋近于的常数v 即为瞬时速度，即v ＝lim Δt →0 ΔsΔt . 跟踪训练2 (1)一物体的运动方程为s ＝7t 2－13t ＋8，且在t ＝t 0时的瞬时速度为1，则t 0＝________.解析 因为Δs ＝7(t 0＋Δt )2－13(t 0＋Δt )＋8－7t 20＋13t 0－8＝14t 0·Δt －13Δt ＋7(Δt )2，所以lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(14t 0－13＋7Δt )＝14t 0－13＝1，所以t 0＝1. (2)一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率．∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率为Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4aΔt ＝4a ＋a Δt ，∴lim Δt →0ΔsΔt＝4a ＝8，即a ＝2. 三、求函数在某点处的导数例3 求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数．解 ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝⎛⎭⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ，∴lim Δx →0 Δy Δx ＝limΔx →0⎝⎛⎭⎫1＋11＋Δx ＝2.从而y ′|x ＝1＝2.反思感悟 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)求极限lim Δx →0Δy Δx. 跟踪训练3 (1)f (x )＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2 C ．2＋Δx D ．1解析 lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 1＋2Δx ＋(Δx )2－1Δx ＝lim Δx →0 (2＋Δx )＝2. (2)已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )A ．－4B ．2C ．－2D ．±2解析 因为Δy Δx ＝f (m ＋Δx )－f (m )Δx ＝2m ＋Δx －2mΔx ＝－2m (m ＋Δx )，所以f ′(m )＝lim Δx →0 －2m (m ＋Δx )＝－2m 2，所以－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2.要点二：导数的几何意义知识点一 导数的几何意义 1．割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，直线AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应地，切线方程为 y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 知识点二 导函数的定义从求函数f (x )在x ＝x 0处导数的过程可以看出，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个唯一确定的数．这样，当x 变化时，y ＝f ′(x )就是x 的函数，我们称它为y ＝f (x )的导函数(简称导数)． y ＝f (x )的导函数记作f ′(x )或y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx.特别提醒：区别联系f ′(x 0)f ′(x 0)是具体的值，是数值 在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f ′(x )f ′(x )是函数f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数1．函数在某点处的导数f ′(x 0)是一个常数．( √ )2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．( √ ) 3．函数f (x )＝0没有导数．( × )4．直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点．( × )一、求切线方程例1 已知曲线C ：y ＝f (x )＝x 3＋x . (1)求曲线C 在点(1,2)处切线的方程；(2)设曲线C 上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围． 解 因为Δy Δx ＝(x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－x 3－xΔx ＝3x 2＋3x ·Δx ＋1＋(Δx )2，所以f ′(x )＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋1＋(Δx )2]＝3x 2＋1. (1)曲线C 在点(1,2)处切线的斜率为k ＝f ′(1)＝3×12＋1＝4.所以曲线C 在点(1,2)处的切线方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.(2)曲线C 在任意一点处切线的斜率为k ＝f ′(x )＝tan α， 所以tan α＝3x 2＋1≥1.又α∈[0，π)，所以α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2. 反思感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 解析 ∵y ′|x ＝2＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx ＝lim Δx →0 (4＋Δx )＝4，∴k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线方程为y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3. ∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3. 二、求切点坐标例2 过曲线y ＝x 2上某点P 的切线满足下列条件，分别求出P 点．(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)与x 轴成135°的倾斜角． 解 f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点． (1)∵切线与直线y ＝4x －5平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点． (2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，∴2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝⎛⎭⎫－32，94是满足条件的点． (3)∵切线与x 轴成135°的倾斜角，∴其斜率为－1.即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14是满足条件的点． 反思感悟 求切点坐标的一般步骤 (1)设出切点坐标．(2)利用导数或斜率公式求出斜率．(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标．(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．跟踪训练2 已知曲线f (x )＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线g (x )＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，求x 0的值．解 对于曲线f (x )＝x 2－1，k 1＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝2x 0.对于曲线g (x )＝1－x 3，k 2＝lim Δx →0g (x 0＋Δx )－g (x 0)Δx ＝lim Δx →0 1－(x 0＋Δx )3－(1－x 30)Δx＝－3x 20. 由题意得2x 0＝－3x 20，解得x 0＝0或x 0＝－23.经检验，均符合题意． 三、利用图象理解导数的几何意义例3 已知函数f (x )的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 解析 k AB ＝f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)， f ′(2)为函数f (x )的图象在点B (2，f (2))处的切线的斜率， f ′(3)为函数f (x )的图象在点A (3，f (3))处的切线的斜率， 根据图象可知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．反思感悟 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．(1)曲线f (x )在x 0附近的变化情况可通过x 0处的切线刻画．f ′(x 0)>0说明曲线在x 0处的切线的斜率为正值，从而得出在x 0附近曲线是上升的；f ′(x 0)<0说明在x 0附近曲线是下降的． (2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．跟踪训练3 若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )解析 依题意，y ＝f ′(x )在[a ，b ]上是增函数，则在函数f (x )的图象上，各点的切线的斜率随着x 的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A 满足．过某点的曲线的切线典例 求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程．解 设切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)，则切线的斜率为k ＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝2x 0＋1. 又k ＝(x 20＋x 0＋1)－0x 0－(－1)＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，∴2x 0＋1＝x 20＋x 0＋1x 0＋1.解得x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线斜率k ＝1，过(－1,0)的切线方程为y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线斜率k ＝－3，过(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0. 故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0.[素养提升] (1)首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点． (2)过点(x 1，y 1)与曲线y ＝f (x )相切的直线方程的求法步骤 ①设切点(x 0，f (x 0))． ②建立方程f ′(x 0)＝y 1－f (x 0)x 1－x 0.③解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．(3)本例考查了切线的含义及切线方程的求法．体现了直观想象和数学运算的数学核心素养．变化率问题和导数的概念1．已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy 等于( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－1 答案 B解析 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 2．函数f (x )＝5x －3在区间[a ，b ]上的平均变化率为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C解析 平均变化率为f (b )－f (a )b －a ＝5(b －a )b －a＝5.3．一质点的运动方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( ) A ．－3 B ．3 C ．6 D ．－6 答案 D解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t ＝1时的瞬时速度为lim Δt →0(－3Δt －6)＝－6. 4．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)等于( ) A ．Δx －3 B ．(Δx )2－3Δx C ．－3 D ．0答案 C解析 f ′(0)＝lim Δx →0 (0＋Δx )2－3(0＋Δx )－02＋3×0Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2－3Δx Δx＝lim Δx →0 (Δx －3)＝－3. 5．(多选)设f (x )＝t 2x ，若f ′(1)＝4，则t 的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 AD解析 因为f ′(1)＝lim Δx →0 t 2(1＋Δx )－t 2Δx ＝t 2＝4， 所以t ＝±2.6．函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2，则t ＝________. 答案 5解析 因为函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2， 所以f (t )－f (－2)t －(－2)＝(t 2－t )－[(－2)2－(－2)]t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4， 从而t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去)．7．一物体位移s 和时间t 的关系是s ＝2t －3t 2，则物体的初速度是________． 答案 2解析 由题意知， lim Δt →0s (t ＋Δt )－s (t )Δt＝lim Δt →0 2(t ＋Δt )－3(t ＋Δt )2－2t ＋3t 2Δt ＝lim Δt →0 2Δt －6t Δt －3(Δt )2Δt ＝2－6t . 当t ＝0时，v ＝2－6×0＝2， 即物体的初速度是2.8．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0 f (Δx )Δx＝－1，则f ′(0)＝__________. 答案 －1解析 ∵f (x )的图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝lim Δx →0f (0＋Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 f (Δx )Δx ＝－1. 9．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx ， ∴f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a (Δx )Δx＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2， ∴a ＝1.10．某物体按照s (t )＝3t 2＋2t ＋4(s 的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s 时物体的运动的平均速度和4 s 时的瞬时速度． 解 自运动开始到t s 时，物体运动的平均速度 v (t )＝s (t )t ＝3t ＋2＋4t，故前4 s 物体的平均速度为v (4)＝3×4＋2＋44＝15(m/s)．由于Δs ＝3(t ＋Δt )2＋2(t ＋Δt )＋4－(3t 2＋2t ＋4) ＝(2＋6t )Δt ＋3(Δt )2. ΔsΔt ＝2＋6t ＋3·Δt ， lim Δt →0ΔsΔt＝2＋6t ， 当t ＝4时，lim Δt →0ΔsΔt＝2＋6×4＝26，所以4 s 时物体的瞬时速度为26m/s.11．(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t 1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是( )A ．在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B ．在0到t 0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度C ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度答案 BC解析 在0到t 0范围内，甲、乙的平均速度都为v ＝s 0t 0，故A 错误，B 正确；在t 0到t 1范围内，甲的平均速度为s 2－s 0t 1－t 0，乙的平均速度为s 1－s 0t 1－t 0.因为s 2－s 0>s 1－s 0，t 1－t 0>0，所以s 2－s 0t 1－t 0>s 1－s 0t 1－t 0，故C 正确，D 错误． 12．A ，B 两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W 1(t )，W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示，则一定有( )A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大答案 B解析 由题图可知，A ，B 两机关用电量在[0，t 0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A 机关用电量在[0，t 0]上的平均变化率小于B 机关的平均变化率，从而A 机关比B 机关节能效果好．13．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于( ) A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3) 答案 C解析 lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝13f ′(1)． 14．如图所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．答案 [x 3，x 4]解析 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3， 结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．15．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________．答案 2解析 体积的增加量ΔV ＝4π3m 3－4π3＝4π3(m 3－1)， 所以ΔV ΔR ＝4π3(m 3－1)m －1＝28π3， 所以m 2＋m ＋1＝7，所以m ＝2或m ＝－3(舍)．16．若一物体的运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3. 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体在t ＝1时的瞬时速度．解 (1)因为物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24 m/s. 即物体在t ∈[3,5]内的平均速度为24 m/s.(2)物体在t ＝1时的瞬时速度即为物体在t ＝1处位移的瞬时变化率，因为物体在t ＝1附近位移的平均变化率为 Δs Δt ＝f (1＋Δt )－f (1)Δt＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3(1－3)2Δt ＝3Δt －12，所以物体在t ＝1处位移的瞬时变化率为lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0 (3Δt －12)＝－12，即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.导数的几何意义1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交答案 B解析 因为f ′(x 0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0.2．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则在点A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2答案 C解析 k ＝y ′|x ＝2＝lim Δx →0 2(2＋Δx )2－2×22Δx ＝8.3．若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为() A ．4x －y －4＝0 B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 设切点为(x 0，y 0)， 因为f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，所以x 0＝2.所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.4．已知函数f (x )满足f ′(x 1)>0，f ′(x 2)<0，则在x 1和x 2附近符合条件的f (x )的图象大致是( )答案 D解析 由f ′(x 1)>0，f ′(x 2)<0可知，f (x )的图象在x 1处切线的斜率为正，在x 2处切线的斜率为负．5．(多选)下列各点中，在曲线y ＝x 3－2x 上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( ) A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)答案 BC解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，则0=|x x y'＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )－(x 30－2x 0)Δx＝3x 20－2＝tan π4＝1， 所以x 0＝±1，当x 0＝1时，y 0＝－1.当x 0＝－1时，y 0＝1.6．已知函数y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝2＝________. 答案 3解析 因为直线3x －y －2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y ′|x ＝2＝3.7．已知f (x )＝x 2＋ax ，f ′(1)＝4，曲线f (x )在x ＝1处的切线在y 轴上的截距为－1，则实数a 的值为________．答案 2解析 由导数的几何意义，得切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4.又切线在y 轴上的截距为－1，所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝4x －1，从而可得切点坐标为(1,3)，所以f (1)＝1＋a ＝3，即a ＝2.8．设f (x )存在导函数，且满足lim Δx →0f (1)－f (1－2Δx )2Δx＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为______．答案 －1解析 lim Δx →0 f (1)－f (1－2Δx )2Δx ＝lim Δx →0 f (1－2Δx )－f (1)－2Δx ＝f ′(1)＝－1.9．在抛物线y ＝x 2上哪一点处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？解 y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . 设抛物线上点P (x 0，y 0)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0，则0=|x x y'＝2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝x 20＝4，即P (2,4)，经检验，符合题意．设抛物线上点Q (x 1，y 1)处的切线垂直于直线4x －y ＋1＝0，则1=|x x y'＝2x 1＝－14，解得x 1＝－18， 所以y 1＝x 21＝164，即Q ⎝⎛⎭⎫－18，164，经检验，符合题意． 故抛物线y ＝x 2在点(2,4)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0，在点⎝⎛⎭⎫－18，164处的切线垂直于直线4x －y ＋1＝0.10．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2，求直线l 2的方程．解 因为y ′＝lim Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－(x 2＋x －2)Δx＝2x ＋1， 所以y ′|x ＝1＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 20＋x 0－2)，则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0)．因为l 1⊥l 2，所以2x 0＋1＝－13，x 0＝－23， 所以直线l 2的方程为3x ＋9y ＋22＝0.11．若曲线y ＝x ＋1x上任意一点P 处的切线斜率为k ，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)答案 C解析 y ＝x ＋1x上任意一点P (x 0，y 0)处的切线斜率为 k ＝0=|x x y'＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )＋1x 0＋Δx －⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0Δx ＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫1－1x 20＋x 0Δx ＝1－1x 20<1. 即k <1.12．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 2解析 由题意知a ＋b ＝3，又y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2＋b －(a ＋b )Δx＝2a ＝2， ∴a ＝1，b ＝2.13．若点P 是抛物线y ＝x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________． 答案 728解析 由题意可得，当点P 到直线y ＝x －2的距离最小时，点P 为抛物线y ＝x 2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y ＝x －2，设y ＝f (x )＝x 2，由导数的几何意义知y ′＝f ′(x )＝ lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝2x ＝1，解得x ＝12，所以P ⎝⎛⎭⎫12，14，故点P 到直线y ＝x －2的最小距离为d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.14．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，在点P 处的切线恰好过坐标原点，则实数c 的值为________．答案 4解析 y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝2x －1，在点P 处的切线斜率为2×(－2)－1＝－5.因为点P 的横坐标是－2，所以点P 的纵坐标是6＋c ，故直线OP 的斜率为－6＋c 2， 根据题意有－6＋c 2＝－5，解得c ＝4.15．已知函数f (x )＝x 3，过点P ⎝⎛⎭⎫23，0作曲线f (x )的切线，则其切线方程为________________．答案 y ＝0或3x －y －2＝0解析 设切点为Q (x 0，x 30)，得切线的斜率为k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3－x 30Δx＝3x 20， 切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.因为切线过点P ⎝⎛⎭⎫23，0，所以2x 20－2x 30＝0， 解得x 0＝0或x 0＝1，从而切线方程为y ＝0或3x －y －2＝0.16．点P 在曲线f (x )＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标．解 设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1，f ′(x 0)＝lim Δx →0＝(x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx＝2x 0， 所以过点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x 20，而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1， 得2x 2＋2x 0x ＋2－x 20＝0，则Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0，解得x 0＝±233，则y 0＝73，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫233，73或⎝⎛⎭⎫－233，73.。

3．1导数的概念（二）—瞬时速度一、.瞬时速度：1.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.2. 确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法：要确定物体在某一点A 处的瞬时速度，从A 点起取一小段位移AA 1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度.当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度了.我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s =s (t )，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t 0，t 0+Δt ，现在问从t 0到t 0+Δt 这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为Δs =s (t 0+Δt )－s (t 0)(Δt 称时间增量) 平均速度tt s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00 根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t 来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度.现在是从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0. 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度 瞬时速度tt s t t s v v t t ∆-∆+==→∆→∆)()(lim lim 0000 所以当Δt →0时，平均速度的极限就是瞬时速度二、讲解范例：例1物体自由落体的运动方程s =s (t )=21gt 2，其中位移单位m ，时间单位s ，g =9.8 m/s 2. 求t =3这一时段的速度.解：取一小段时间［3，3+Δt ］，位置改变量Δs =21g (3+Δt )2－21g ·32=2g (6+Δt )Δt ，平均速度21=∆∆=t s v g (6+Δt ) 瞬时速度m/s 4.293)(21lim lim 00==∆+==→∆→∆g t t g v v t t 由匀变速直线运动的速度公式得v =v 0+at =gt =g ·3=3g =29.4 m/s例2已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，(1)当t =2，Δt =0.01时，求ts ∆∆.(2)当t =2，Δt =0.001时，求ts ∆∆. (3)求质点M 在t =2时的瞬时速度. 分析：Δs 即位移的改变量，Δt 即时间的改变量，t s ∆∆即平均速度，当Δt 越小，求出的ts ∆∆越接近某时刻的速度. 解：∵tt t t t t s t t s t s ∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)32(3)(2)()(22=4t +2Δt ∴(1)当t =2，Δt =0.01时，ts ∆∆=4×2+2×0.01=8.02 cm/s (2)当t =2，Δt =0.001时，ts ∆∆=4×2+2×0.001=8.002 cm/s (3)v =00lim lim →∆→∆=∆∆t t t s (4t +2Δt )=4t =4×2=8 cm/s 三、课堂练习：1.一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t∆→∆∆为（ ）Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度2．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s =s (t )=t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在t =5时的瞬时速度解：瞬时速度v =2200(5)(5)(5)5lim lim t t s t s t t t∆→∆→+∆-+∆-=∆∆ 0lim t ∆→=(10+Δt )=10 m/s. ∴瞬时速度v =2t =2×5=10 m/s.3.质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，求质点M 在t =2时的瞬时速度.解：瞬时速度v =tt t s t s t t ∆+⋅-+∆+=∆-∆+→∆→∆)322(3)2(2lim )2()2(lim 2200 =0lim →∆t (8+2Δt )=8 cm/s. 点评：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景四、小结：这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念，它是用平均速度的极限来定义的，主要记住公式瞬时速度v=t t stt st∆-∆+→∆)( )( lim。

瞬时速度概念瞬时速度的概念瞬时速度是物体在某一时刻的瞬间速度，它可以描述物体在该时刻的即时速度和方向。

瞬时速度是对物体运动状态的无穷小时间间隔的极限，可以用来精确描述物体在某一时刻的运动情况。

瞬时速度的定义瞬时速度可以通过物体在微小时间间隔内所经过的位移和时间来定义。

在微小时间间隔内，物体的运动可以近似看作匀速直线运动，那么瞬时速度就可以表示为：瞬时速度 = (位移的微小增量) / (时间的微小增量)瞬时速度的性质•瞬时速度是一个矢量量，包含大小和方向两个方面。

•瞬时速度的大小是它与时间增量的比值，也可以看作是物体在极短时间内运动的平均速度。

•瞬时速度的方向是物体在该时刻运动的方向，可以用正负号来表示正、负方向。

瞬时速度与平均速度的关系瞬时速度和平均速度的区别在于时间间隔的大小。

当时间间隔非常短，接近于零时，平均速度即趋近于瞬时速度。

当时间间隔逐渐增大时，平均速度会越来越接近物体在该时间段内的平均速度。

瞬时速度的测量方法为了准确测量物体的瞬时速度，可以采用一些常见的方法，例如：•利用计时器记录物体通过两个固定点的时间，然后根据距离计算位移，进而得到瞬时速度。

•利用摄像设备记录物体在一段时间内的运动轨迹，通过对轨迹进行分析，可以得到物体在不同时刻的瞬时速度。

瞬时速度的应用瞬时速度广泛应用于物理学、工程学、运动学等领域。

它可以用来描述物体的运动轨迹、变速运动、加速度等，为研究物体的运动提供了重要的指标和数据。

•在物理学中，瞬时速度用作描述物体受力及其运动状态的重要量。

•在工程学中，瞬时速度可以帮助工程师设计机械设备、交通系统等，并对运动过程进行精确控制。

•在运动学中，瞬时速度是研究物体运动规律的基础，可以帮助我们了解物体的运动轨迹、速度变化等。

总结瞬时速度是物体在某一时刻的瞬间速度，可以描述物体在该时刻的即时速度和方向。

它是通过无穷小时间间隔内物体的位移和时间的比值得到的。

瞬时速度具有矢量的性质，包括大小和方向。

瞬时速度与导数的关系瞬时速度与导数之间存在密切的关系。

首先，我们来解释一下瞬时速度和导数的概念。

1. 瞬时速度：瞬时速度是指物体在某一时刻的即时速度，也可以理解为物体通过一小段时间内所移动的距离与该时间段的长度的比值。

瞬时速度可以用以下公式表示：v = lim Δt→0 (Δx/Δt)，其中v表示瞬时速度，Δx表示物体在时间段Δt内移动的距离。

2. 导数：导数是函数在某一点处的变化率，表示函数在该点的切线的斜率。

在物理学中，瞬时速度与时间的关系可以用函数表示，这个函数就是速度函数。

速度函数的导数就是瞬时速度的导数，也叫作加速度。

加速度表示单位时间内速度的变化量。

接下来，我们来说明瞬时速度与导数之间的关系。

3. 瞬时速度与导数的关系：根据导数的定义，导数表示函数在某一点的变化率。

在物理学中，瞬时速度就是速度函数在某一时刻的值，而速度函数的导数就是加速度，表示单位时间内速度的变化率。

通过速度函数的导数，我们可以得到在某一时刻物体的加速度。

如果物体在某一时刻的加速度为正值，那么物体的速度在这一时刻是增加的；如果加速度为负值，那么速度在这一时刻是减小的。

当加速度为零时，速度保持不变。

反过来，如果我们已知物体在某一时刻的速度函数，我们可以通过求导数得到该时刻的加速度。

这个加速度可以告诉我们物体在这一时刻的速度是增加还是减小，以及速度的变化有多快。

综上所述，瞬时速度与导数之间存在紧密的关系。

瞬时速度就是速度函数在某一时刻的值，而速度函数的导数就是加速度，表示单位时间内速度的变化率。

通过导数，我们可以确定物体在某一时刻的加速度，从而了解物体速度的变化情况。

测瞬时速度的原理瞬时速度是物体在某一瞬间的速度，也被称为瞬时速率或瞬时速。

它是一个向量，包含速度的大小和方向。

测量瞬时速度是物理学、工程学、运动学等领域中非常重要的一个问题。

本文将介绍测瞬时速度的原理及其应用。

一、测瞬时速度的原理瞬时速度的测量需要用到微积分的概念。

在物理学中，速度是位移对时间的导数。

也就是说，瞬时速度是物体在某一瞬间的位移对时间的导数。

用公式表示为：v = lim Δt→0 Δx/Δt其中，v表示瞬时速度，Δx表示位移，Δt表示时间间隔。

当时间间隔Δt趋近于0时，瞬时速度就可以被准确地计算出来。

二、测瞬时速度的方法1. 位移传感器位移传感器是一种常用的测量瞬时速度的工具。

它可以测量物体的位移，并通过微积分计算出瞬时速度。

位移传感器的工作原理是通过感应物体的位移，产生电信号，然后将信号转换为数字信号，最终计算出瞬时速度。

2. 激光测距仪激光测距仪是一种高精度的测量工具，可以用来测量物体的位置和速度。

它的工作原理是发射一束激光，然后测量激光反射回来的时间，从而计算出物体的位置和速度。

3. 高速摄像机高速摄像机可以拍摄高速运动物体的运动轨迹，从而计算出物体的速度。

它的工作原理是通过高速拍摄物体的运动轨迹，然后使用计算机图像处理技术，计算出物体的速度。

三、测瞬时速度的应用瞬时速度的测量在很多领域都有广泛的应用，如汽车工程、机械工程、航空航天工程等。

以下是一些实际应用的举例：1. 汽车工程在汽车工程中，瞬时速度的测量可以用来监测车辆的速度和加速度，从而提高车辆的性能和安全性。

例如，在汽车比赛中，测量车辆的瞬时速度可以帮助车手更好地控制车辆的速度和方向。

2. 机械工程在机械工程中，瞬时速度的测量可以用来监测机器的运动状态和速度，从而提高机器的性能和效率。

例如，在机床加工过程中，测量工件的瞬时速度可以帮助工人更好地掌握加工过程，从而提高加工精度和效率。

3. 航空航天工程在航空航天工程中，瞬时速度的测量可以用来监测飞机、火箭等飞行器的速度和加速度，从而提高飞行器的性能和安全性。

平均速度和瞬时速度的区别导数在物理学和数学领域，速度是一个描述物体运动状态的关键概念。

平均速度和瞬时速度作为描述物体运动速度的两种不同方式，常常引起人们的混淆。

本文将详细阐述平均速度和瞬时速度的区别及其导数的相关概念。

一、平均速度和瞬时速度的定义1.平均速度：平均速度是指在一段时间内物体运动的总路程与该段时间的比值。

用数学公式表示为：v = Δx / Δt，其中v表示平均速度，Δx表示物体运动的总路程，Δt表示物体运动的总时间。

2.瞬时速度：瞬时速度是指物体在某一瞬间的速度，即物体在某一瞬间经过的极短路程与该瞬间时间的比值。

用数学公式表示为：v = lim(Δx / Δt) ，当Δt趋近于0时，这个极限值就是瞬时速度。

二、平均速度和瞬时速度的区别1.含义不同：平均速度描述的是物体在一段时间内的平均运动状态，而瞬时速度描述的是物体在某一瞬间的运动状态。

2.计算方式不同：平均速度的计算需要知道物体在一段时间内的总路程和总时间，而瞬时速度的计算需要考虑物体在某一瞬间的极短路程和时间。

3.性质不同：平均速度是一个时间段内的平均概念，具有连续性和稳定性；而瞬时速度是一个瞬间的概念，具有瞬时性和变化性。

三、瞬时速度的导数瞬时速度的导数表示物体速度随时间的变化率，即加速度。

在物理学中，加速度是描述物体速度变化快慢的物理量。

用数学公式表示为：a = dv / dt，其中a表示加速度，dv表示速度的变化量，dt表示时间的变化量。

总结：平均速度和瞬时速度是描述物体运动速度的两种不同方式，它们之间的区别主要在于含义、计算方式和性质。

瞬时速度的导数表示物体速度随时间的变化率，即加速度。

《瞬时速度与导数》知识清单一、速度的概念在我们的日常生活中，经常会提到速度这个词。

比如，汽车行驶的速度、跑步的速度等等。

那到底什么是速度呢？简单来说，速度是描述物体运动快慢的物理量。

如果一个物体在一段时间内移动了一段距离，那么这段距离与所用时间的比值就是平均速度。

例如，一辆汽车在 1 小时内行驶了 60 千米，那么它的平均速度就是 60 千米/小时。

但平均速度并不能完全准确地描述物体在某一时刻的运动情况。

比如，汽车在行驶过程中可能会加速、减速，某一时刻的真实速度可能与平均速度有很大的差别。

这就引出了瞬时速度的概念。

二、瞬时速度瞬时速度指的是物体在某一时刻的速度。

想象一下，你正在观看一场跑步比赛。

在比赛过程中，你想知道运动员在某一瞬间的速度，这就是瞬时速度。

为了更直观地理解瞬时速度，我们来做一个小实验。

假设一个小球从高处自由下落，我们每隔 01 秒记录一次它下落的位置。

通过这些位置数据，我们可以计算出小球在不同时间段内的平均速度。

随着时间间隔越来越小，这些平均速度会逐渐接近一个固定的值，这个值就是小球在该时刻的瞬时速度。

但在实际情况中，要通过这样不断缩小时间间隔来精确地测量瞬时速度是非常困难的。

那么，有没有一种数学方法可以帮助我们更方便地求出瞬时速度呢？这就要引入导数的概念了。

三、导数的定义导数是微积分中的一个重要概念。

对于一个函数＼（y ＝ f(x)＼），在点＼（x ＝ a\）处的导数，记作＼（f'（a)＼），它的定义是：＼f'（a) ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(a ＋＼Delta x) f(a)｝｛＼Delta x}＼这个式子看起来可能有点复杂，但其实它表达的就是函数在某一点处的变化率。

比如，对于一个位移函数＼（s(t)＼），它表示物体在时刻＼（t\）的位置。

那么＼（s'（t)＼）就表示物体在时刻＼（t\）的瞬时速度。

四、导数的几何意义导数不仅有代数上的定义，还有着明确的几何意义。