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2020年高三理科数学一轮讲义案第九章9.2《两直线的位置关系》最新考纲1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知 识 梳 理1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行. (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解. 3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d (3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d [微点提醒]1.两直线平行的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0). 2.两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( ) 解析 (1)两直线l 1，l 2有可能重合.(2)如果l 1⊥l 2，若l 1的斜率k 1＝0，则l 2的斜率不存在. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(必修2P114A10改编)两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( ) A.235B.2310C.7D.72解析 由题意知a ＝6，直线3x ＋4y －12＝0可化为6x ＋8y －24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72. 答案 D3.(必修2P89练习2改编)已知P (－2，m )，Q (m ，4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________. 解析 由题意知 m －4－2－m ＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.答案 14.(2019·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( ) A.2B.－3C.2或－3D.－2或－3解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.答案 C5.(2018·昆明诊断)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A.1 B.2 C. 2D.2 2解析 圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y ＝x ＋3得x －y ＋3＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.答案 C6.(2019·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A.6x －4y －3＝0 B.3x －2y －3＝0 C.2x ＋3y －2＝0D.2x ＋3y －1＝0解析 因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0.答案 A考点一 两直线的平行与垂直【例1】 (1)(2019·河北五校联考)直线l 1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23 解析 (1)由l 1∥l 2得－m (m －1)＝1×(－2)，得m ＝2或m ＝－1，经验证，当m ＝－1时，直线l 1与l 2重合，舍去，所以“m ＝2”是“l 1∥l 2”的充要条件.(2)由题意得直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点.当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0分别平行时，m ＝23或－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23.答案 (1)C (2)D规律方法 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件. 2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 【训练1】 (一题多解)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)当l 1∥l 2时，求a 的值； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值.解 (1)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－（a ＋1），解得a ＝－1.综上可知，a ＝－1.法二 由l 1∥l 2知⎩⎨⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0，即⎩⎨⎧a （a －1）－1×2＝0，a （a 2－1）－1×6≠0⇒⎩⎨⎧a 2－a －2＝0，a （a 2－1）≠6⇒a ＝－1. (2)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合； 当a ≠1时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23.法二 ∵l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23. 考点二 两直线的交点与距离问题【例2】 (1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________________.(2)(2019·广州模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________. (3)(2019·厦门模拟)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________.解析 (1)先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1，2)， 再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.(2)由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10， 所以a 的取值范围是[0，10].(3)依题意知，63＝a －2≠c －1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋（－2）2＝21313，解得c ＝2或－6.答案 (1)5x ＋3y －1＝0 (2)[0，10] (3)2或－6 规律方法 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. 2.利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为相等.【训练2】 (1)(2019·贵阳监测)已知曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过点A (m ，n )，则点A 到直线x ＋y －3＝0的距离为________.(2)(一题多解)直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为________. 解析 (1)由题意，可知曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过点(0，1)，所以A (0，1)，点A (0，1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|0＋1－3|2＝ 2.(2)法一 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13. ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意.法二 当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0. 当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1，4). ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 答案 (1)2 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 考点三 对称问题多维探究角度1 对称问题的求解【例3－1】 若点(a ，b )关于直线y ＝2x 的对称点在x 轴上，则a ，b 满足的条件为( ) A.4a ＋3b ＝0 B.3a ＋4b ＝0 C.2a ＋3b ＝0D.3a ＋2b ＝0解析 设点(a ，b )关于直线y ＝2x 的对称点为(t ，0)，则有⎩⎨⎧b －0a －t×2＝－1，b ＋02＝2×a ＋t 2，解得4a ＋3b ＝0.答案 A角度2 对称问题的应用【例3－2】 (一题多解)光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程.解 法一 由⎩⎨⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2.∴反射点M 的坐标为(－1，2).又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5，0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)， 由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，又Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0.由⎩⎨⎧y 0x 0＋5＝－23，32（x 0－5）－y 0＋7＝0，得⎩⎨⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.法二 设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x ＝－23，又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x 02－（y ＋y 0）＋7＝0.可得P 点的横、纵坐标分别为 x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813， 代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.规律方法 1.解决点关于直线对称问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，且直线l 与直线MN 垂直.2.如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.3.若直线l 1，l 2关于直线l 对称，则有如下性质：(1)若直线l 1与l 2相交，则交点在直线l 上；(2)若点B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上.【训练3】 已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________.解析 A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线所在直线.点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上.设A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎨⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0，3).同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1). 所以BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0. 答案 2x －y ＋3＝0[思维升华]1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1，l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题. [易错防范]1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.2.在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2时，一定要注意将两方程中x ，y 的系数分别化为相同的形式.数学抽象——活用直线系方程1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.直线系方程的常见类型(1)过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )； (3)垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R ，但不包括l 2). 类型1 相交直线系方程【例1】 (一题多解)已知两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点为P ，求过点P 且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.解 法一 解l 1与l 2组成的方程组得到交点P (0，2)，因为k 3＝34，所以直线l 的斜率k ＝－43，方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二 设所求l 的直线为：4x ＋3y ＋c ＝0，由法一可知：P (0，2)，将其代入方程，得c ＝－6，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.法三 设所求直线l 的方程为：x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0，因为直线l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0. 类型2 平行直线系方程【例2】 求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程.解 设所求直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠5)，由题意知，2×1＋3×(－4)＋c ＝0，所以c ＝10，故所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.【例3】 已知直线l 1与直线l 2：x －3y ＋6＝0平行，l 1能和x 轴、y 轴围成面积为8的三角形，请求出直线l 1的方程.解 设直线l 1的方程为：x －3y ＋c ＝0(c ≠6)，则令y ＝0，得x ＝－c ；令x ＝0，得y ＝c3，依照题意有：12×|－c |×⎪⎪⎪⎪c 3＝8，c ＝±4 3.所以l 1的方程是：x －3y ±43＝0. 【例4】 (一题多解)已知直线方程3x －4y ＋7＝0，求与之平行而且在x 轴、y 轴上的截距和是1的直线l 的方程.解 法一 设存在直线l ：x a ＋y b ＝1，则a ＋b ＝1和－b a ＝34组成的方程组的解为a ＝4，b ＝－3. 故l 的方程为：x 4－y3＝1，即3x －4y －12＝0.法二 根据平行直线系方程的内容可设直线l 为：3x －4y ＋c ＝0(c ≠7)，则直线l 在两坐标轴上截距分别对应的是－c 3，c 4，由－c 3＋c4＝1，知c ＝－12.故直线l 的方程为：3x －4y －12＝0. 类型3 垂直直线系方程【例5】 求经过A (2，1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程.解 因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋c ＝0，又直线过点A (2，1)， 所以有2－2×1＋c ＝0，解得c ＝0， 即所求直线方程为x －2y ＝0. 类型4 直线系方程的应用【例6】 已知三角形三边所在的直线方程分别为：2x －y ＋4＝0，x ＋y －7＝0，2x －7y －14＝0，求边2x －7y －14＝0上的高所在的直线方程.解 设所求高所在的直线方程为2x －y ＋4＋λ(x ＋y －7)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－1)y ＋(4－7λ)＝0，可得(2＋λ)×2＋(λ－1)×(－7)＝0，解得λ＝115， 所以所求高所在的直线方程为7x ＋2y －19＝0.【例7】 求过直线2x ＋7y －4＝0与7x －21y －1＝0的交点，且和A (－3，1)，B (5，7)等距离的直线方程.解 设所求直线方程为2x ＋7y －4＋λ(7x －21y －1)＝0，即(2＋7λ)x ＋(7－21λ)y ＋(－4－λ)＝0，由点A (－3，1)，B (5，7)到所求直线等距离，可得 |（2＋7λ）×（－3）＋（7－21λ）×1－4－λ|（2＋7λ）2＋（7－21λ）2＝|（2＋7λ）×5＋（7－21λ）×7－4－λ|（2＋7λ）2＋（7－21λ）2，整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝2935或λ＝13， 所以所求的直线方程为21x －28y －13＝0或x ＝1.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直D.不能确定解析 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1. 答案 C2.已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A.2B.－2C.12D.－12解析 因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a2＝－1，解得a ＝－2.答案 B3.(一题多解)过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( ) A.19x －9y ＝0 B.9x ＋19y ＝0 C.19x －3y ＝0D.3x ＋19y ＝0 解析 法一由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎨⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为：y ＝37－197x ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.法二 设直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0，即(1＋2λ)x －(3－λ)y ＋4＋5λ＝0，又直线过点(0，0)，所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，解得λ＝－45，故所求直线方程为3x ＋19y ＝0.答案 D4.从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A.x ＋2y －4＝0B.2x ＋y －1＝0C.x ＋6y －16＝0D.6x ＋y －8＝0解析 由直线与向量a ＝(8，4)平行知，过点(2，3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x－2)，其与y 轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y 轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式知A 正确.答案 A5.(2019·运城二模)在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( ) A.102 B.10 C.5 D.10解析 由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴MP ⊥MQ ，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10.答案 D6.(2019·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A.7B.172C.14D.17解析 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172.答案 B7.已知坐标原点关于直线l 1：x －y ＋1＝0的对称点为A ，设直线l 2经过点A ，则当点B (2，－1)到直线l 2的距离最大时，直线l 2的方程为( )A.2x ＋3y ＋5＝0B.3x －2y ＋5＝0C.3x ＋2y ＋5＝0D.2x －3y ＋5＝0 解析 设A (x 0，y 0)，依题意可得⎩⎨⎧x 02－y 02＋1＝0，y 0x 0＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝1，即A (－1，1).设点B (2，－1)到直线l 2的距离为d ，当d ＝|AB |时取得最大值，此时直线l 2垂直于直线AB ，又－1k AB＝32，∴直线l 2的方程为y －1＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0 .答案 B8.一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是( ) A. 2 B.2 C.3 D.4解析 点(0，0)关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点为(－1，1)，则最短路程为（－1－1）2＋（1－1）2＝2.答案 B二、填空题9.(2018·郑州模拟)如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则a ＝________.解析 ∵直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，即直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y －(a －7)＝0平行，∴a 3＝2a －1≠3a －（a －7），解得a ＝3. 答案 310.(2019·安徽四校联考)已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.解析 设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －（－3）＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案 6x －y －6＝011.(一题多解)(2018·南昌模拟)已知点A (1，0)，B (3，0)，若直线y ＝kx ＋1上存在一点P ，满足P A ⊥PB ，则k 的取值范围是________.解析 法一 设P (x 0，kx 0＋1)，依题意可得k P A ·k PB ＝－1，即kx 0＋1x 0－1×kx 0＋1x 0－3＝－1，即(k 2＋1)x 20＋(2k －4)x 0＋4＝0，则Δ＝(2k －4)2－16(k 2＋1)≥0，化简得3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，故k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－43，0. 法二 若直线y ＝kx ＋1上存在点P ，满足P A ⊥PB ，则直线y ＝kx ＋1与以AB 为直径的圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，故|2k ＋1|1＋k 2≤1，即3k 2＋4k ≤0，故－43≤k ≤0，k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－43，0. 答案 ⎣⎡⎦⎤－43，0 三、解答题 12.已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2，2).(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎨⎧2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2).(2)证明 过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0， ∴M 与Q 不可能重合，即|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立.能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2018·丹东二模)已知直线l 1：2x －y ＋3＝0，直线l 2：4x －2y －1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，若点M 同时满足下列条件：(1)点M 是第一象限的点；(2)点M 到l 1的距离是到l 2的距离的12； (3)点M 到l 1的距离与到l 3的距离之比是2∶ 5.则点M 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫13，2B.⎝⎛⎭⎫13，3718C.⎝⎛⎭⎫19，2D.⎝⎛⎭⎫19，3718 解析 设点M (x 0，y 0)，若点M 满足(2)，则|2x 0－y 0＋3|5＝12×|4x 0－2y 0－1|16＋4，故2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0，若点M (x 0，y 0)满足(3)，由点到直线的距离公式，得|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，故x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0，由于点M (x 0，y 0)在第一象限，故3x 0＋2＝0不符合题意，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12不符合题意；联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718，即点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫19，3718. 答案 D14.(2019·岳阳模拟)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为( )A.92B.94C.1D.9解析 因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，设点Q (4，0)到直线l 的距离为d ，当d ＝|PQ |时取最大值，所以（4－1）2＋（－m ）2＝3，解得m ＝0.所以a ＋c＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝⎛⎭⎫12a ＋2c ＝12·⎝⎛⎭⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12(52＋2c 2a ·2a c )＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号. 答案 B15.若△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，则直线BC 的方程为________.解析 由AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0可以知道k AC ＝－2，又A (5，1)，AC 边所在直线方程为2x ＋y －11＝0，联立直线AC 与直线CM 方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，所以顶点C 的坐标为C (4，3). 设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12， 由M 在直线2x －y －5＝0上，得2x 0－y 0－1＝0，B 在直线x －2y －5＝0上，得x 0－2y 0－5＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－3，所以顶点B 的坐标为(－1，－3).于是直线BC 的方程为6x －5y －9＝0.答案 6x －5y －9＝016.在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点(2，3)对称，则直线l 的方程是________________.解析 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点P ⎝⎛⎭⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2，3)的对称点为⎝⎛⎭⎫4－m ，6－b －3m 4， ∴6－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0.答案 6x －8y ＋1＝0。
第二节ꢀ两条直线的位置关系、点到直线的距离内容索引【教材·知识梳理】1.两条直线平行与垂直的判定两直线位条件斜率的关系置关系k 1=k 2平行两条不重合的直k 与k 都不存在12线l ，l ，斜率分12k k =-1_______12别为k 1，k 2垂直k 与k 一个为零，另一个不存在122.两条直线的交点3.三种距离【常用结论】1.直线系方程(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C).(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).(3)过直线l：A x+B y+C=0与l：A x+B y+C=0的交点的直线系方程为A x+B y+C+λ11112222111(A x+B y+C)=0(λ∈R)，但不包括l.22222.两直线平行或重合的充要条件直线l：A x+B y+C=0与直线l：A x+B y+C=0平行或重合的充要条件是11112222A B-A B=0.12213.两直线垂直的充要条件直线l：A x+B y+C=0与直线l：A x+B y+C=0垂直的充要条件是A A+B B=0.1111222212124.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先将直线方程化为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等.5.与对称问题相关的几个结论(1)点P(x，y)关于A(a，b)的对称点为P′(2a-x，2b-y).0000(2)设点P(x，y)关于直线y=kx+b的对称点为P′(x′，y′)，00则有可求出x′，y′.(3)点P(x，y)关于直线y=x+b的对称点为P′(y-b，x+b).0000(4)点P(x，y)关于直线y=-x+b的对称点为P′(b-y，b-x).0000【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)当直线l和l斜率都存在时,则k=k⇒l∥l.(ꢀꢀ)121212(2)如果两条直线l与l垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.(ꢀꢀ)12(3)点P(x0,y)到直线y=kx+b的距离为.(ꢀꢀ)(4)已知直线l:Ax+By+C=0,l:Ax+By+C=0(A,B,C,A,B,C为常数),若直线11112222111222l⊥l,则AA+BB=0.(ꢀꢀ)121212提示:(1)×ꢀ(2)×ꢀ(3)×ꢀ(4)√【易错点索引】序号易错警示典题索引1忽视两直线平行与重合的区别考点一、T1忽视利用两平行线间的距离公式要先把两直线2考点二、T3方程中x,y的系数化为对应相等3对位置情形考虑不全考点二、变式T2【教材·基础自测】1.(必修2P89练习BT2改编)两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0之间的距离为(ꢀꢀ)【解析】选D.由题意知a=6,直线3x+4y-12=0可化为6x+8y-24=0,所以两平行直线之间的距离为.2.(必修2P91习题2-2BT10(1)改编)若直线mx-3y-2=0与直线(2-m)x-3y+5=0互相平行,数m的值为(ꢀꢀ)A.2ꢀB.-1ꢀC.1ꢀD.0【解析】选C.两直线平行,其系数满足关系式-3m=-3(2-m),解得m=1.3.(必修2P89练习BT3改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值为(ꢀꢀ)A.ꢀB.2-ꢀC.-1ꢀD.+1【解析】选C.由题意知=1,所以|a+1|=,又a>0,所以a=-1.4.(必修2P87练习BT1改编)已知P(-2,m),Q(m,4),且直线PQ垂直于直线x+y+1=0,则m=________.ꢀ【解析】由题意知=1,所以m-4=-2-m,所以m=1.答案:15.(必修2P88例1改编)已知点A(3,2)和B(-1,4)到直线ax+y+1=0的距离相等,则a的值为________.ꢀ【解析】由点到直线的距离公式可得答案:或-4考点一ꢀ两直线的位置关系【题组练透】1.直线l:mx-2y+1=0,l:x-(m-1)y-1=0,则“m=2”是“l∥l”的(ꢀꢀ)1212A.充分不必要条件ꢀB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件C.充要条件ꢀ2.(2020·济南模拟)“m=3”是“直线l:2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0与直线l:(m-3)x12+2y-5=0垂直”的(ꢀꢀ)A.充分不必要条件ꢀC.充要条件ꢀB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.已知直线l:ax+2y+6=0和直线l:x+(a-1)y+a2-1=0,则当l∥l时,a的值为1212________.ꢀ4.已知直线l:ax+2y+6=0和直线l:x+ay+a2-1=0,则当l⊥l时, a的值为______.1212世纪金榜导学号ꢀ【解析】1.选C.由l∥l得-m(m-1)=1×(-2),得m=2或m=-1,经验证,当m=-1时,直12线l与l重合,舍去,所以“m=2”是“l∥l”的充要条件.12122.选A.由l⊥l得2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0,解得m=3或m=-2.12:x+2y+6=0,3.当a=1时,l1l:x=0,l不平行于l;当a=0时,l:y=-3,l:x-y-1=0,l不平行于l;2121212当a≠1且a≠0时,两直线方程可化为l:y=x-3,l:y=x-(a+1),由l∥l可1212得解得a=-1.综上可知,a=-1.答案:-1【一题多解】由l∥l知12即⇒⇒a=-1.答案:-14.方法一:当a=0时,l:2y+6=0,l:x=1,l与l垂直,故a=0符合;1212当a≠0时,l:y=-x-3,l:y=12由l⊥l,得≠-1,所以此时不成立.12方法二:因为l⊥l,所以A A+B B=0,121212即a+2a=0,得a=0.答案:0【规律方法】1.解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”2.在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.考点二ꢀ两条直线的相交、距离问题ꢀ【典例】1.(2020·北京模拟)已知点M(0,-1),点N在直线x-y+1=0上,若直线MN垂直于直线x+2y-3=0, 则点N的坐标是(ꢀꢀ)A.(-2,-1)ꢀꢀB.(2,3)ꢀC.(2,1)ꢀD.(-2,1)2.(2020·广州模拟)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是________.ꢀ,则c的值是______.3.若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为世纪金榜导学号ꢀ【解题导思】序号联想解题1由N为直线MN和直线x-y+1=0的交点,想到联立两直线方程求交点.2由点P到直线4x-3y-1=0的距离想到点到直线的距离公式解题.3由题意联想到两平行线间距离公式.【解析】1.选B.因为点N在直线x-y+1=0上,所以可设点N坐标为(x0,x+1).根据经过两点的直线的斜率公式,得kMN=因为直线MN垂直于直线x+2y-3=0,直线x+2y-3=0的斜率k=,所以kMN ×=-1,即=2,解得x=2.因此点N的坐标是(2,3).2.由题意得,点P到直线4x-3y-1=0的距离为又≤3,即|15-3a|≤15,解之得0≤a≤10,所以a的取值范围是[0,10].答案:[0,10]3.依题意知,,解得a=-4,c≠-2,即直线6x+ay+c=0可化为3x-2y+=0,又两平行线之间的距离为,所以,解得c=2或-6.答案:2或-6【规律方法】1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.2.处理距离问题的两大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.(2)动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离公式处理,而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上,从而简化计算.3.利用距离公式应注意(1)点P(x,y)到直线x=a的距离d=|x-a|,到直线y=b的距离d=|y-b|;0000(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数分别化为相等.【变式训练】1.求经过两条直线l:x+y-4=0和l:x-y+2=0的交点,且与直线2x-y-1=0垂直的直12线方程为________.2.直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为________.【解析】1.由得所以l与l的交点坐标为(1,3).12设与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为x+2y+c=0,则1+2×3+c=0,所以c=-7.所以所求直线方程为x+2y-7=0.答案:x+2y-7=02.方法一:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知即|3k-1|=|-3k-3|,所以k=所以直线l的方程为y-2=(x+1),即x+3y-5=0.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意.方法二:当AB∥l时,有k=k=,AB直线l的方程为y-2=(x+1),即x+3y-5=0.当l过AB中点时,AB的中点为(-1,4),所以直线l的方程为x=-1.故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.答案:x+3y-5=0或x=-1考点三对称问题考什么:(1)两直线的垂直关系命题(2)中点坐标公式.精解怎么考:1.直接求对称点或直线;2.求解折线最短问题;3.求三角形的角平读分线的方程.新趋势:1.折线最短问题;2.以点的对称为载体与圆、不等式等结合.两种对称问题的处理方法(1)点关于直线的对称:若两点P (x ,y )与P (x ,y )关于直线l :Ax+By+C=0111222学霸好方法对称,则线段P P 的中点在l 上,而且连接P P 的直线垂直于l ,列出方程组,可1212得到点P 关于l 对称的点P 的坐标(x ,y )(其中B≠0,x ≠x ).12221(2)直线关于直线的对称:此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,2有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.【命题角度1】点关于点的对称【典例】过点P(0,1)作直线l使它被直线l:2x+y-8=0和l:x-3y+10=0截得的线12段被点P平分,则直线l的方程为________.与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,【解析】设l12a-6)在l上,代入l的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上, 22所以直线l的方程为x+4y-4=0.答案:x+4y-4=0【解后反思】点P与直线l与直线l1,l2的交点有何关系?提示:点P是直线l与直线l1,l2的交点所连接线段的中点.【命题角度2】点关于直线的对称【典例】(2020·淮安模拟)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反世纪射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为________.金榜导学号【解析】设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M′(a,b),则反射光线所在直线过点M′,所以解得a=1,b=0.又反射光线经过点N(2,6).所求直线的方程为,即6x-y-6=0.答案:6x-y-6=0【解后反思】点M和它的对称点M′的连线段MM′与直线l有什么关系?提示:垂直【命题角度3】直线关于直线对称【典例】(2019·郑州模拟)直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是世纪金榜导学号()A.x-2y+3=0 C.x+2y+1=0B.x-2y-3=0 D.x+2y-1=0【解析】选A.设所求直线上任意一点P(x,y),则P关于x-y+2=0的对称点为P′(x,y),00因为PP′的中点在直线x-y+2=0上,又因为kPP′×1=-1,所以由得由点P′(x0,y)在直线2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.【解后反思】是否可以在直线2x-y+3=0上取一个特殊点求解?提示:可以取直线2x-y+3=0上两点并求出其关于直线x-y+2=0的对称点,根据两对称点求直线方程.【题组通关】【变式巩固·练】1.(2020·岳阳模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是)(A.x+2y-1=0 C.2x+y-3=0B.2x+y-1=0 D.x+2y-3=0【解析】选D.方法一:设所求直线上任一点为(x,y),则它关于x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,所以2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.方法二:根据直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线交点在直线x=1上知选D.2.已知直线l:3x-y+3=0,求:(1)点P(4,5)关于l的对称点.(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.(3)直线l关于(1,2)的对称直线.【解析】(1)设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P′(x′,y′),因为k·k=-1,即×3=-1.①PP′l又PP′的中点在直线3x-y+3=0上,所以3×+3=0.②由①②得把x=4,y=5代入③④得x′=-2,y′=7,所以点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(-2,7).(2)用(1)中的③④分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于l对称的直线方程为-2=0,化简得7x+y+22=0. (3)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3),关于(1,2)的对称点M′(x′,y′),所以=1,x′=2,=2,y′=1,所以M′(2,1).l关于(1,2)的对称直线平行于l,所以k=3,所以对称直线方程为y-1=3×(x-2),即3x-y-5=0.。
