2014届高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨) (49)

2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (46)一、选择题1．P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为( )A ．－aB ．aC ．－cD ．c【答案】B【解析】设圆与x 轴的切点为H ，由于圆内切于三角形，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝|F 1H |－|F 2H |，同时|F 1H |＋|F 2H |＝2c ，较容易得到x H ＝a ，该值也就是圆心的横坐标．故选择B.2．设F 1、F 2是双曲线y 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→²PF 2→＝0，则|PF 1→|²|PF 2→|的值等于( )A ．8B ．4C ．2 2D ．2 【答案】D【解析】设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ， 则由双曲线方程可得|m －n |＝2³2＝4，m 2＋n 2＝4³(4＋1)＝20，∴|PF 1→|²|PF 2→|＝12[m 2＋n 2－(m －n )2]＝2.3．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)【答案】B【解析】由题意知在双曲线上存在一点P ， 使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ， 即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ， 即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ，∴c ≤3a . 又∵c >a ，∴a <c ≤3a ，∴1<c a≤3，即1<e ≤3.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)【答案】C【解析】由双曲线的几何性质知，只有过F 的直线的斜率小于等于渐近线的斜率时才能与右支有一个交点，即3≤b a.两边平方得3a 2≤b 2,3a 2≤c 2－a 2. ∴e 2≥4，∴e ≥2.故选择C.5．P 是双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D【解析】由于两圆心恰好为双曲线焦点， |PM |≤|PF 1|＋r 1＝|PF 1|＋2， |PN |≥|PF 2|－r 2＝|PF 2|－1， ∴|PM |－|PN |≤|PF 1|＋2－(|PF 2|－1) ≤|PF 1|－|PF 2|＋3 ＝2a ＋3＝9.故选择D.二、填空题6．(2011江西卷²文)若双曲线y 216－x 2m＝1的离心率e ＝2，则m ＝ .【答案】48【解析】由题知a 2＝16，即a ＝4， 又e ＝2，所以c ＝2a ＝8，则m ＝c 2－a 2＝48.7．过双曲线x 24－y 23＝1左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M 、N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |的值为 .【答案】8【解析】由双曲线的定义得|MF 2|－|MF 1|＝2a ，|NF 2|－|NF 1|＝2a ， ∴|MF 2|＋|NF 2|－|MF 1|－|NF 1|＝4a ， 即|MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝4a ， ∵a 2＝4，∴a ＝2，∴结果为8.8．椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，那么cos∠F 1PF 2的值是 .【答案】13【解析】由题意可知，点P 既在椭圆上又在曲线上．根据椭圆和双曲线的定义可得⎩⎨⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝26|PF 1|－|PF 2|＝23∴⎩⎨⎧|PF 1|＝6＋3|PF 2|＝6－3|F 1F 2|＝2c ＝4，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝6＋32＋6－32－4226＋36－3＝13.三、解答题9．已知三点P (5,2)、F 1(－6,0)、F 2(6,0)． (1)求以F 1、F 2为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；(2)设点P 、F 1、F 2关于直线y ＝x 的对称点分别为P ′、F 1′、F 2′，求以F 1′、F 2′为焦点且过点P ′的双曲线的标准方程．【解析】由题意可设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其半焦距c ＝6.2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝112＋22＋12＋22＝6 5. ∴a ＝35，b 2＝a 2－c 2＝9. 所以所求椭圆的标准方程为x 245＋y 29＝1.(2)点P (5,2)、F 1(－6,0)、F 2(6,0)关于直线y ＝x 的对称点分别为点P ′(2,5)、F 1′(0，－6)、F 2′(0,6)．设所求双曲线的标准方程为y 2a 12－x 2b 12＝1(a 1>0，b 1>0)． 由题意知，半焦距c 1＝6， 2a 1＝||P ′F 1′|－|P ′F 2′|| ＝|112＋22－12＋22|＝4 5. ∴a 1＝25，b 12＝c 12－a 12＝36－20＝16. 所以所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1.10．已知双曲线方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1、F 2是双曲线左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|²|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2. 【解析】(1)已知方程化为双曲线的标准方程得x 29－y 216＝1，则a ＝3，b ＝4，c ＝5.∴焦点坐标为F 1(－5,0)、F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为x 3＋y 4＝0，或x 3－y4＝0.(2)设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，由⎩⎪⎨⎪⎧d 1²d 2＝32 ①|d 1－d 2|＝6 ②中①³2＋②2，解出d 12＋d 22＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理， cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|²|PF 2|＝d 12＋d 22－2c 22d 1d 2＝0，∴∠F 1PF 2＝90°.11．设声速是a m/s ，在相距10a m 的A 、B 两个哨所，听到一炮弹爆炸声的时间相差6s ，且B 处的声强是A 处声强的4倍，试确定炮弹爆炸点P 的位置，即确定P 点到AB 中点M 的距离及tan∠PMB 的值．(注：声强与距离的平方成反比)【解析】以M 点为原点，直线AB 为x 轴建立直角坐标系，如下图，A (－5a,0)，B (5a,0)，设P (x ，y )，依题意有：||PA |－|PB ||＝6a ，∴P 点在双曲线x23a 2－y 24a 2＝1上，∴B 处的声强为：kx －5a 2＋y2，A 处的声强为：k x ＋5a 2＋y2，k x －5a 2＋y 2＝4kx ＋5a 2＋y2 ∴(x ＋5a )2＋y 2＝4[(x －5a )2＋y 2]，解⎩⎪⎨⎪⎧16x 2－9y 2＝144a 2x ＋5a 2＋y 2＝4[x －5a 2＋y 2]得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝275a y ＝8145a∴P (275a ，8145a )∴|PM |＝65a ，tan∠PMB ＝y x ＝81427，即P 点到AB 中点的距离为65a ，且tan∠PMB ＝82714.12．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，点P (3，7)在双曲线C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF 的面积为22，求直线l 的方程．【解析】(1)依题意得，双曲线的半焦距c ＝2. 2a ＝|PF 1|－|PF 2| ＝3＋22＋72－3－22＋72＝22，∴a 2＝2，b 2＝c 2－a 2＝2. ∴双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.(2)依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入双曲线C 的方程并整理， 得(1－k 2)x 2－4kx －6＝0.①∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝－4k 2＋4³61－k 2>0，⇔⎩⎨⎧k ≠±1，－3<k < 3.∴k ∈(－3，－1)∪(－1,1)∪(1，3)．② 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则由①式得x 1＋x 2＝4k 1－k 2，x 1x 2＝61－k2，于是 |EF |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2x 1－x 22＝1＋k 2²x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2²223－k2|1－k 2|. 而原点O 到直线l 的距离d ＝21＋k2，∴S △OEF ＝12d ²|EF |＝12²21＋k 2²1＋k 2²223－k 2|1－k 2| ＝223－k 2|1－k 2|. 若S △OEF ＝22，即223－k 2|1－k 2|＝22⇔k 4－k 2－2＝0， 解得k ＝±2，故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为y ＝2x ＋2和y ＝－2x ＋2.。

2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (5)一、选择题1．设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时f (x )是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4的所有x 之和为( )A ．－3B ．3C ．－8D ．8【答案】C【解析】因为f (x )是连续的偶函数，且x >0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4，只有两种情况：①x ＝x ＋3x ＋4 ；②x ＋x ＋3x ＋4＝0. 由①知x 2＋3x －3＝0，故两根之和为x 1＋x 2＝－3. 由②知x 2＋5x ＋3＝0，故两根之和为x 3＋x 4＝－5. 因此满足条件的所有x 之和为－8. 故选择C.本题考查函数的性质及推理论证能力，易错之处是只考虑x ＝x ＋3x ＋4 ，而忽视了x ＋x ＋3x ＋4＝0，误选了A.2．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，那么满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．无数个【答案】C【解析】f (x )在[0，＋∞)递减，在(－∞，0]上递增，且f (0)＝1，f (－2)＝f (2)＝0，故(a ，b )可以是(－2，0)，(－2，1)，(－2,2)，(－1,2)，(0,2)，共5个．故选择C.3．对于函数①f (x )＝lg(|x －2|＋1)，②f (x )＝(x －2)2，③f (x )＝cos(x ＋2)．判断如下三个命题的真假：命题甲：f (x ＋2)是偶函数；命题乙：f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数； 命题丙：f (x ＋2)－f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是( ) A ．①③ B ．①② C ．③ D ．②【答案】D【解析】本题考查函数的增减性、奇偶性、考查真假命题的概念，考查分析问题的能力． 方法1：函数①、②使命题甲为真，函数③使命题甲为假，排除A 、C 选项；根据函数图像分析，函数①、②使命题乙为真；函数②使命题丙也为真，但函数①使命题丙为假，因此选D.方法2：由命题甲f (x ＋2)是偶函数，可知①、②满足条件，排除③；作出①②函数的图像，可知②满足命题乙的条件，①不满足乙的条件，排除①.因此选D.4．函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，又a ∈R ，则( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a ) D ．f (a 2＋1)<f (a )【答案】D【解析】法1：取a ＝0，由f (x )在R 上是减函数，去A 、B 、C ，∴选D.法2：∵f (x )是R 上的减函数，而a >0时，a <2a .a <0时，a >2a ，∴f (a )与f (2a )大小不定，同样a 2与a ，a 2＋a 与a 的大小关系不确定，从而f (a 2)与f (a )，f (a 2＋a )与f (a )的大小关系不定，但a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a ，从而f (a 2＋1)<f (a )．故选D.5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2，若对任意的x ∈[t ，t ＋2]，不等式f (x ＋t )≥2f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(0,2]D ．[－2，－1]∪[2，3]【答案】A【解析】当t ＝1时，x ∈[1,3]，若x ＝3，则f (x ＋t )＝f (4)＝15,2f (x )＝2f (3)＝18，故f (x ＋t )≥2f (x )不恒成立，故答案C 、D 错误； 当t ＝32时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，72，令g (x )＝f (x ＋t )－2f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－2x 2＝－x 2＋3x ＋94，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，72上是减函数，g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝12，g (x )≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，72上恒成立，即f (x ＋t )≥2f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，72上恒成立．故t ＝32符合题意，答案B 错误．故选择A.二、填空题6．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝ . 【答案】－1【解析】∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ， 由函数为偶函数得a ＋1＝0，解得a ＝－1.【答案】1＋2 2【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ≥0，x 2－5x ＋4≥0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥2，x ≤1或x ≥4，∴函数的定义域为x ≤0或x ≥4，而原函数在(－∞，0]上为减函数，在[4，＋∞)上是增函数，当x ＝0时f (x )＝4，而当x ＝4时，f (x )＝1＋22，故f (x )的最小值为1＋2 2.8．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝ .【答案】－2x 2＋4【解析】∵f (－x )＝f (x )且f (x )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2， ∴b (－x )2＋(2a ＋ab )(－x )＋2a 2＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2，∴－(2a ＋ab )＝2a ＋ab ，即2a ＋ab ＝0， ∴a ＝0或b ＝－2.当a ＝0时，f (x )＝bx 2，∵f (x )值域为(－∞，4]， 而y ＝bx 2值域不可能为(－∞，4]，∴a ≠0.当b ＝－2时，f (x )＝－2x 2＋2a 2，值域为(－∞，2a 2]． ∴2a 2＝4，∴a 2＝2，∴f (x )＝－2x 2＋4. 三、解答题9．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，求不等式f x －f －xx<0的解集．【解析】∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，∴f x －f －x x ＝2f xx <0，即⎩⎪⎨⎪⎧f x <0，x >0，或⎩⎪⎨⎪⎧f x >0，x <0.因为f (x )是奇函数且在(0，＋∞)上是增函数， 故f (x )在(－∞，0)上是增函数． 由f (1)＝0知f (－1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f x <0，x >0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧f x <f 1，x >0，∴0<x <1，⎩⎪⎨⎪⎧f x >0，x <0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧f x >f－1，x <0，∴－1<x <0.∴原不等式的解集为{x |－1<x <0或0<x <1}．10．设函数f (x )＝x 2－2x －1在区间[t ，t ＋1]上的最小值为g (t )，求g (t )的解析式． 【解析】f (x )＝(x －1)2－1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， ∴最小值g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2；当t ≥1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴最小值g (t )＝f (t )＝(t －1)2－2； 当t <1<t ＋1，即 0<t <1时， 最小值g (t )＝f (1)＝－2，∴g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2 t ≤0－2 0<t <1t －12－2 t ≥1.11．函数f (x )＝－x 2＋2tx ＋t 在[－1,1]上的最大值为g (t )，求函数g (t )的解析式；画出其图像，据图像写出函数g (t )的值域．【解析】f (x )＝－x 2＋2tx ＋t ＝－(x －t )2＋t 2＋t ，(－1≤x ≤1) 当－1≤t ≤1时，函数f (x )的最大值为f (t )＝t 2＋t . 当t <－1时，函数f (x )在[－1,1]上是减函数， ∴最大值为f (－1)＝－1－t .当t >1时，函数f (x )在[－1,1]上是增函数， ∴最大值为f (1)＝－1＋3t .综上可得g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋t －1≤t ≤1－1－t t <－1－1＋3t t >1图像如下：∴g (t )的值域为：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞. 12．设二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋a ，方程f (x )－x ＝0的两根x 1和x 2满足0<x 1<x 2<1. (1)求实数a 的取值范围；(2)试比较f (0)f (1)－f (0)与116的大小，并说明理由．【解析】方法1：(1)令g (x )＝f (x )－x ＝x 2＋(a －1)x ＋a ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，0<1－a 2<1，g 1>0，g 0>0，⇔⎩⎨⎧a >0，－1<a <1，a <3－22或a >3＋22，⇔0<a <3－2 2.故所求实数a 的取值范围是(0,3－22)． (2)∵f (0)f (1)－f (0)＝g (0) g (1)＝2a 2， 令h (a )＝2a 2.∵当a >0时，h (a )单调增加， ∴当0<a <3－22时，0<h (a )<h (3－22)＝2(3－22)2＝2(17－122) ＝2·117＋122<116，即f (0)f (1)－f (0)<116.方法2：(1)同方法1.(2)f (0)f (1)－f (0)＝g (0)g (1)＝2a 2， 由(1)知0<a <3－22， ∴42a －1<122－17<0. 又42a ＋1>0，于是 2a 2－116＝116(32a 2－1)＝116(42a －1)(42a ＋1)<0， 即2a 2－116<0，故f (0)f (1)－f (0)<116.方法3：(1)方程f (x )－x ＝0⇔x 2＋(a －1)x ＋a ＝0. 由韦达定理得x 1＋x 2＝1－a ，x 1x 2＝a ，于是0<x 1<x 2<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0，1－x 1＋1－x 2>0，1－x 11－x 2>0，⇔⎩⎨⎧a >0，a <1，a <3－22或a >3＋22，⇔0<a <3－2 2.故所求实数a 的取值范围是(0,3－22)．(2)依题意可设g (x )＝(x －x 1)(x －x 2)，则由0<x 1<x 2<1得f (0)f (1)－f (0)＝g (0)g (1)＝x 1x 2(1－x 1)(1－x 2)＝[x 1(1－x 1)][x 2(1－x 2)] <⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1－x 122⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1－x 222＝116，故f (0)f (1)－f (0)<116.。

2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (42)一、选择题1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2 D. 5【答案】D 【解析】d ＝|－5|1＋22＝ 5.故选择D.2．已知两直线2x ＋3y －3＝0与mx ＋6y ＋1＝0互相平行，则它们的距离等于( ) A.21313 B.52613 C.72613 D ．4【答案】C【解析】∵两直线互相平行，∴m ＝4， ∴距离d ＝|－3－12|22＋32＝72613. 故应选C.3．如图，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若 p 、q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”．已知常数p ≥0，q ≥0，给出下列命题：①若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个； ②pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为(p ，q )的点有且仅有2个； ③若 pq ≠0，则“距离坐标”为(p ，q )的点有且仅有4个． 上述命题中，正确命题的个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】①若p ＝q ＝0，则只有原点满足，正确；②若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则这样的点有无穷多个，它们是直线l 1与l 2上的点，除去原点；③若pq ≠0，则满足题意的点有且仅有4个，这4个点分别在4个角的内部，且两两关于O 点对称，正确．故选择C.4.在西气东输工程中，有一段煤气管道所在的直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，最近的两座城市在同一直角坐标系下的坐标为A (1,2)，B (5,0)，现要在管道l 边上建一煤气调度中心M ，使其到A 、B 两城市的距离之和最短，则点M 的坐标为( )A ．(6,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72 C ．(4,3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，152 【答案】C【解析】如图，作A 关于l 对称的点A 1，连结A 1B 交直线l 于M 点．利用三角形两边之和大于第三边证明．∵|AM |＋|MB |＝|A 1M |＋|MB |＝|A 1B |， 而|AM 1|＋|M 1B |＝|A 1M 1|＋|M 1B |>|A 1B |， ∴M 即为所求点，设A 1(x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2x －1＝2，x ＋12＋2×y ＋22－10＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋2y －15＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6.从而直线A 1B 的方程为：3x ＋y －15＝0，与x ＋2y －10＝0联立即可得到M 坐标为(4,3)． 故选择C.5．对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB ‖＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|.给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖＋‖CB ‖＝‖AB ‖； ②在△ABC 中，∠C ＝90°，则‖AC ‖2＋‖CB ‖2＝‖AB ‖2； ③在△ABC 中，‖AC ‖＋‖CB ‖>‖AB ‖. 其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】取特殊值，数形结合．在△ABC 中，∠C ＝90°，不妨取A (0,1)，C (0,0)，B (1,0)， ∵‖AB ‖＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|， ∴‖AC ‖＝1，‖BC ‖＝1， ‖AB ‖＝|1－0|＋|0－1|＝2.此时，‖AC ‖2＋‖CB ‖2＝2，‖AB ‖2＝4，‖AC ‖2＋‖CB ‖2≠‖AB ‖2； ‖AC ‖＋‖CB ‖＝‖AB ‖， 即命题②、③是错误的．设如图所示共线三点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，AC ″⊥CC ″，则‖AC ‖＝|x 1－x 3|＋|y 1－y 3| ＝|AC ″|＋|C ″C |＝|AB ′|＋|B ′C ″|＋|C ′C ″|＋|C ′C | ＝|AB ′|＋|B ′B |＋|BC ′|＋|C ′C |， ‖BC ‖＝|x 2－x 3|＋|y 2－y 3| ＝|BC ′|＋|C ′C |， ∴‖AC ‖＋‖CB ‖＝‖AB ‖， 即命题①正确．综上所述真命题的个数为1个．故选择B. 二、填空题6．如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 .【答案】2213【解析】过点C 作l 2的垂线l 4，以l 2、l 4为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系．设A (a,1)、B (b,0)C (0，－2) .由AB ＝BC ＝AC 知(a －b )2＋1＝b 2＋4＝a 2＋9＝边长2.7．过P (1,2)引直线，使它与两点A (2,3)，B (4，－5)的距离相等，则此直线方程为 .【答案】3x ＋2y ＝7及4x ＋y ＝6【解析】法一：直线与A 、B 的距离相等，那么直线或者与AB 平行或者经过AB 的中点． 若与AB 平行，则斜率k ＝k AB ＝－5－34－2＝－4，由点斜式得直线方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y ＝6；若直线经过AB 的中点，则AB 的中点坐标为(3，－1)，由两点式得直线方程为y ＋12＋1＝x －31－3，化简得3x ＋2y ＝7.法二：直线x ＝1显然不满足条件， 故可设所求直线斜率为k ， 则直线方程为y －2＝k (x －1)， 即kx －y －k ＋2＝0， 根据点到直线距离公式得 |2k －3－k ＋2|＝|4k ＋5－k ＋2|， ∴k ＝－4或k ＝－32.所求直线方程为4x ＋y ＝6及3x ＋2y ＝7.8．已知A (1,2)，B (3,4)，直线l 1：y ＝0，l 2：x ＝0，l 3：x ＋3y －1＝0.设P i 是l i (i ＝1,2,3)上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△P 1P 2P 3的面积是 .【答案】32【解析】设P 1(x,0)，P 2(0，y )，P 3(a ，b )，则a ＝1－3b ， |P 1A |2＋|P 1B |2＝(x －1)2＋4＋(x －3)2＋16 ＝2x 2－8x ＋30，当|P 1A |2＋|P 1B |2最小时，x ＝2； |P 2A |2＋|P 2B |2＝1＋(y －2)2＋9＋(y －4)2＝2y 2－12y ＋30；当|P 2A |2＋|P 2B |2最小时，y ＝3； |P 3A |2＋|P 3B |2＝(1－3b －1)2＋(b －2)2＋(1－3b －3)2＋(b －4)2＝20b 2＋24，当|P 3A |2＋|P 3B |2最小时，b ＝0，a ＝1， 所以S △P 1P 2P 3＝12×(2－1)×3＝32.三、解答题9．(2012青岛市质量检测)当0<a <2时，直线l 1：ax －2y ＝2a －4，直线l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4与坐标轴围成一个四边形，求使该四边形面积最小时a 的值．【解析】直线l 1交y 轴于A (0,2－a )，直线l 2交x 轴于C (a 2＋2,0)，l 1与l 2交于点B (2,2)．则四边形AOCB 的面积为S ＝S △AOB ＋S △OCB ＝12·(2－a )·2＋12(a 2＋2)·2＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，S 最小．因此使四边形面积最小时a 的值为12.10．在△ABC 中，M 为BC 上一点(异于B 、C )且|AB |2＝|AM |2＋|BM |·|MC |，求证：△ABC 是等腰三角形．【解析】以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系．设B 、C 的坐标分别为B (－a,0)、C (a,0)，点A 、M 的坐标分别为(b ，c )、(x,0)，其中－a <x <a .由|AB |2＝|AM |2＋|BM |·|MC |，得(b ＋a )2＋c 2＝(x －b )2＋c 2＋(a ＋x )(a －x )． 化简整理，得2b (x ＋a )＝0.∴－a <x <a ，∴x ＋a ≠0.∴b ＝0，即A 点坐标为(0，c )． ∴点A 落在BC 的中垂线上．∴|AB |＝|AC |，即△ABC 是等腰三角形．11．已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使|PA |2＋|PB |2＋|PC |2最小，并求最小值．【解析】以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示．则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a 2.设P 点坐标为(x ，y )， 则|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋y 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －3a 22 ＝3x 2＋3y 2－3ay ＋54a 2＝3x 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －3a 62＋a 2≥a 2. 当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立，所求最小值为a 2，此时，P 点坐标为正△ABC的中心⎝ ⎛⎭⎪⎫0，36a . 12．已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)，直线l 2：－4x ＋2y ＋1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2的距离是7105.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的12；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5？若能，求P 点坐标；若不能，请说明理由．【解析】(1)l 2即2x －y －12＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋－12＝7510. ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72. ∵a ＞0，∴a ＝3.(2)设点P (x 0，y 0)，若P 点满足条件②，则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x －y ＋C ＝0上，且C －35＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪C ＋125，即C ＝132或C ＝112，∴2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝|x 0＋y 0－1|5， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， ∴x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0.由P 在第一象限，∴3x 0＋2＝0不可能． 联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12，应舍去．由⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718即为同时满足三个条件的点．。

2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (58)一、填空题1．如图，⊙O 的直径AB ＝6 cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若∠CPA ＝30°，PC ＝ .【答案】3 3【解析】连接OC ，PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°. ∵∠CPA ＝30°，OC ＝AB2＝3，∴tan 30°＝3PC，即PC ＝3 3.2．(2011高考北京卷·理)如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G .给出下列三个结论：①AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ； ②AF ·AG ＝AD ·AE ； ③△AFB ∽△ADG .其中正确结论的序号是 . 【答案】①②【解析】∵CF ＝CE ，BF ＝BD ，∴BC ＝CE ＋BD .∴AB ＋BC ＋CA ＝(AB ＋BD )＋(AC ＋CE )＝AD ＋AE ，故结论①正确． 连接DF ，则∠FDA ＝∠DGA . 又∵∠A ＝∠A ，∴△ADF ∽△AGD . ∴AD AG ＝AF AD，∴AD 2＝AF ·AG . 又AE ＝AD ，∴AD ·AE ＝AF ·AG .故结论②正确，容易判断结论③不正确．3．如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，∠APC 的角平分线交AC 于点Q ，则∠AQP 的大小为 .【答案】135° 【解析】如图，连结OC ，则OC ⊥PC ， 设∠OAC ＝α，则∠AOC ＝π－2α，故∠APC ＝∠AOC －∠OCP ＝π－2α－π2＝π2－2α，从而∠APQ ＝12∠APC ＝π4－α.在△APQ 中，有∠AQP ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－α＝3π4＝135°.4．如图，AB 为半圆的直径，DE 为半圆的一条切线，点C 为切点，AD ⊥DE 于D ，BE ⊥DE 于E 交半圆于F ，若AD ＝3，BE ＝7，那么线段DE 的长为 .【答案】221【解析】如图，连结OC ，则OC ⊥DE ，得OC 是梯形ABED 的中位线， ∴OC ＝12(AD ＋BE )＝5，而AB ＝2OC ＝10；连结AF ，则∠AFB ＝90°， 四边形AFED 为矩形，得EF ＝3， ∵BE ＝7，得BF ＝4，于是DE ＝AF ＝AB 2－BF 2＝102－42＝221.5．如图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于点C ，若BC ＝6，AC ＝8，则AE ＝ ，AD ＝ .【答案】52，5【解析】∵BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝10. 设半径为r ，则10－r r ＝106，∴r ＝154.∴AE ＝10－2r ＝52，AD 2＝52×10＝25.∴AD ＝5.6.如图，⊙M 和⊙O 交于A 、B 两点，点M 在⊙O 上，⊙O 的弦MC 分别与弦AB 、⊙M 交于D 、E 两点，若MD ＝1，DC ＝3，则⊙M 的半径为 .【答案】2【解析】设⊙M 半径|ME |＝r ，延长DM 交⊙M 于N ， 则|DE |＝r －1.在⊙O 中，由相交弦定理，AD ·DB ＝MD ·DC ＝3. 在⊙M 中，由相交弦定理，AD ·DB ＝DE ·DN ＝(r －1)(r ＋1)＝3.∴r 2＝4，r ＝2.7．如图，已知两个同心圆，大圆的直径AB 交小圆于C 、D ，大圆的弦EF 切小圆于C ，ED 交小圆于G ，若小圆的半径为2，EF ＝43，则EG 的值为 .【答案】677【解析】如图，连结GC ，则GC ⊥ED ，由于EF 切小圆于C ，得EF ⊥CD ，EC ＝12EF ＝23，又CD ＝4，那么在Rt△ECD 中有ED ＝EC 2＋CD 2＝232＋42＝27，∵EC 2＝EG ·ED ，得EG ＝EC 2ED ＝23227＝677. 8．如图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3.过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ，则∠DAC ＝ ，线段AE 的长为 .【答案】30°，3 【解析】如图，连结OC ，∵BC ＝OB ＝OC ＝3，∴∠CBO ＝60°. 由于∠DCA ＝∠CBO ，即∠DCA ＝60°. 又AD ⊥DC ，得∠DAC ＝30°. 又∵∠ACB ＝90°，得∠CAB ＝30°，∴∠EAB ＝60°，从而∠ABE ＝30°， ∴AE ＝12AB ＝3.二、解答题9．如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线AP 垂直于直线OM ，垂足为P .(1)证明：OM ·OP ＝ OA 2；(2)N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直于直线ON ，且交圆O 于B 点．过B 点的切线交直线ON 于K .证明：∠OKM ＝ 90°.【证明】(1)因为MA 是圆O 的切线，所以OA ⊥AM . 又因为AP ⊥OM ，在Rt△OAM 中，由射影定理知，OA 2＝OM ·OP .(2)因为BK 是圆O 的切线，BN ⊥OK ， 同(1)，有OB 2＝ON ·OK ，又OB ＝OA ， 所以OP ·OM ＝ON ·OK ，即ON OP ＝OMOK.又∠NOP ＝∠MOK ，所以△ONP ∽△OMK ，故∠OKM ＝∠OPN ＝90°.10.如图，⊙O 1和⊙O 2内切于点P ，且⊙O 1过点O 2，PB 是⊙O 2的直径，A 为⊙O 2上的点，连结AB ，过O 1作O 1C ⊥BA 于C ，连结CO 2.已知PA ＝43，PB ＝4.(1)求证：BA 是⊙O 1的切线； (2)求∠BCO 2的正切值．【证明】∵O 1C ⊥BA ，∴∠O 1CB ＝90°. ∵⊙O 1和⊙O 2内切于点P ，PB 是⊙O 2的直径， ∴PB 过O 1，∠PAB ＝90°， ∴O 1C ∥PA ，∴PA ：PB ＝O 1C ：O 1B .∵⊙O 1过点O 2，PB ＝4，∴O 1B ＝3，O 1P ＝1. 又PA ＝43，∴O 1C ＝1，∴BA 是⊙O 1的切线．(2)连结PC ，由BA 是⊙O 1的切线知BC 2＝BO 2·BP ，∠BCO 2＝∠BPC .∵PB ＝4，BO 2＝2，∴BC ＝22，BC ＝－22(舍去)． 又∠B ＝∠B ，∴△BCO 2∽△BPC ， ∴CO 2PC ＝BC BP. 又△PCO 2是直角三角形， ∴tan∠BCO 2＝tan∠BPC ＝CO 2PC ＝BC BP ＝22. 11．已知如图，⊙O 1和⊙O 2内切于点T ，⊙O 2的弦CD 切⊙O 1于点E ，连结TC ，TD 分别交⊙O 1于点A 、B ，TE 的延长线交⊙O 2于F ，连结AB 、FD .求证：①AB ∥CD ； ②∠CTF ＝∠DTF ； ③DF 2－EF 2＝CE ·DE .【解析】过T 作两圆的公切线MN ，因为MN 是两圆的公切线， 所以∠MTC ＝∠ABT ，∠MTC ＝∠CDT ， 所以∠ABT ＝∠CDT ，所以AB ∥CD .(2)连结BE .因为CD 切⊙O 1于E .所以∠DEB ＝∠DTE . 因为AB ∥CD ，所以∠DEB ＝∠ABE ， 因为∠ABE ＝∠ATE ，所以∠ATE ＝∠DTE ， 即∠CTF ＝∠DTF .(3)因为TF 、CD 是⊙O 2的两条相交弦，所以CE ·DE ＝EF ·TE ＝EF ·(TF －EF )＝EF ·TF －EF 2. 因为∠FDE ＝∠CTF ＝∠DTF ，∠F 是公共角， 所以△FDE ∽△FTD ， 所以EF ∶DF ＝DF ∶TF ， 所以DF 2＝EF ·TF ， 所以CE ·DE ＝DF 2－EF 2， 即DF 2－EF 2＝CE ·DE .12．已知△ABC 内接于⊙O ，BT 为⊙O 的切线，P 为直线AB 上一点，过点P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ，交直线AC 于点F .(Ⅰ)如图甲，求证：当点P 在线段AB 上时，PA ·PB ＝PE ·PF ；(Ⅱ)如图乙，当点P 在线段AB 的延长线上时，上述结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．【解析】(Ⅰ)证明：因为BT 切⊙O 于点B ，所以∠EBA ＝∠C . 因为EF ∥BC ，所以∠AFP ＝∠C . 所以∠EBA ＝∠AFP .因为∠BPE ＝∠FPA ，所以△PBE ∽△PFA . 所以PB PF ＝PEPA，所以PA ·PB ＝PE ·PF .(Ⅱ)当P 为AB 延长线上一点时，(Ⅰ)中的结论仍成立． 因为BT 切⊙O 于点B ，所以∠ABM ＝∠ACB . 因为∠ABM ＝∠PBE ，所以∠PBE ＝∠ACB . 因为EF ∥BC ，所以∠F ＝∠ACB . 所以∠PBE ＝∠F .因为∠P 是公共角，所以△PBE ∽△PFA .所以PB PF ＝PEPA，所以PA ·PB ＝PE ·PF .。

2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (52)一、选择题1．下列两个变量中具有相关关系的是( ) A ．正方形的体积与边长B ．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间C ．人的身高与体重D ．人的身高与视力 【答案】C【解析】本题要注意区分函数关系与相关关系，函数关系是一种确定的关系，而相关关系则是一种存在某一种不确定的关系，题中A 、B 为函数关系，C 是相关关系，D 则无相关关系．故选择C.2．已知x 、y 之间一组数据x 与y A ．(0,0)点 B ．(x －，0)点 C ．(0，y －)点 D ．(x －，y －)点 【答案】D【解析】回归直线方程中，a 、b 有公式a ＝y －－b x －， 即y －＝a ＋b x －，所以直线必定过(x －，y －)点． 故选择D.3．已知变量x ，y 具有线性相关关系，测得一组数据如下：(2,30)，(4,40)，(5,60)，(6,50)，(8,70)，若它们回归直线的斜率为6.5，则在这些样本点中任取一点，它在回归直线上方的概率为( )A.25B.35C.15D.45 【答案】A【解析】x －＝5，y －＝50，a ＝y －－b x －＝17.5，所以回归直线方程为y ＝6.5x ＋17.5，验证知只有点(5,60)、(8,70)在回归直线的上方，故所求概率为25.故选择A.4．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，得到的回归直线方程y ＝bx ＋a ，那么下面说法不正确的是( )A ．直线y ＝bx ＋a 必经过点(x ，y )B ．直线y ＝bx ＋a 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点C ．y ＝bx ＋a 的斜率为∑i ＝1nx i y i －n x·y∑i ＝1nx i 2－nx2D ．直线y ＝bx ＋a 和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的偏差∑i ＝1n[y i －(bx i ＋a )]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的【答案】B【解析】回归直线方程一定过样本的中心(x ，y )，选项A 正确；选项C 是回归直线的斜率的计算公式，所以选项C 正确，易判断选项D 也正确，只有选项B 是错误的．故选择B.5．为考虑广告费用与销售额之间的关系，抽取了5家餐厅，得到如下数据：广告费用(千元)x 1.0 4.0 6.0 10.0 14.0 销售额(千元)y19.044.040.052.053.0A ．36.4千元B ．37.2千元C ．38.4千元D ．39.4千元 【答案】B【解析】x ＝7，y ＝41.6，∑i ＝15x i y i ＝1 697，∑i ＝15x i 2＝349.所以b ＝1 697－5×7×41.6349－5×49≈2.3，a ＝41.6－2.3×7＝25.5，故回归直线方程为y ＝2.3x －25.5. 当y ＝6万元＝60千元时，60≈2.3x －25.5. 解得x ≈37.2(千元)． 故选择B. 二、填空题6．下列关系中，具有相关关系的是. ①正方形的边长与面积之间的关系； ②水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． 【答案】②④【解析】①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②水稻产量与施肥量之间不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系． ③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具有相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．7．某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：百万元)之间有如下对应数据：则回归直线方程是. 【答案】y ＝6.5x ＋17.5【解析】列出下表，并用科学计算进行有关计算.b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x i 2－5x －2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5， a ＝y －b x －＝50－6.5×5＝17.5，于是所求的回归直线方程是y ＝6.5x ＋17.5.8．为了研究三月下旬的平均气温(x )与四月二十号前棉花害虫化蛹高峰日(y )的关系，某地区观察了2006年至2011年的情况，得到如下数据：峰日为日．【答案】12日或13日【解析】(1)运用科学计算器，得：x －＝29.13，y －＝7.5，∑i ＝16x i 2＝5 130.92，∑i ＝16x i y i ＝1 222.6，∴b ＝∑i ＝16x i y i －6x y∑i ＝16x i 2－6x －2＝－2.2，a ＝7.5－(－2.2)×29.13＝71.6.∴回归直线方程为y ＝－2.2x ＋71.6. 当x ＝27时，y ＝－2.2×27＋71.6＝12.2.据此，可估计该地区2012年4月12日或13日为化蛹高峰日． 三、解答题9．有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表： 摄氏温度 (℃) －5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 热饮杯数15615013212813011610489937654(1)画出散点图；(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律； (3)求回归直线方程；(4)如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数． 【解析】(1)散点图如下图所示：(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式①求出回归方程的系数．利用计算器容易求得回归方程 y ^＝－2.352x ＋147.767.(4)当x ＝2时，y ^＝143.063.因此，某天的气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮．10．某化工厂的原料中含有两种有效成分A 和B 的含量如下表所示：i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i ：A (%) 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y i ：B (%)67547264392258434634用x 表示A 的含量，用y 表示B 的含量，计算精确度保留小数点后4位小数． (1)作出散点图；(2)求出回归直线方程：y ^＝bx ＋a ；(3)计算回归直线方程y ^＝bx ＋a 对应的Q ＝∑i ＝110[y i －(bx i ＋a )]2并和另一条直线y ^＝b ′x＋a ′(a ′＝2a ，b ′＝2b )对应的Q ′＝∑i ＝110[y i －(b ′x i ＋a ′)]2.比较Q 和Q ′的大小．【解析】(1)散点图见下图：(2)把数据代入公式，计算可知回归直线方程为：y ^＝3.532 4x －11.563 5.(3)经计算：Q ＝∑i ＝110[y i －(bx i ＋a )]2＝348.338 1；Q ′＝∑i ＝110[y i －(b ′x i ＋a ′)]2＝27 175.555 1.∴Q ＜Q ′.11．一机器可以按各种不同的速度运转，其生产之物件有一些会有缺点，每小时生产有缺点物件的多寡，随机器运转的速度而变化，下列即为其试验结果：速度(转/秒)每小时生产有缺点物件数8 5 12 8 14 9 1611(1)(2)若实际生产中所容许的每小时最大缺点物件数为10，那么，机器的速度不得超过多少转每秒？【解析】(1)用x 来表示机器速度，y 表示每小时生产的有缺点的物件数，那么4个样本数据为：(x 1，y 1)＝(8,5)，(x 2，y 2)＝(12,8)， (x 3，y 3)＝(14,9)，(x 4，y 4)＝(16,11)， 则x －＝12.5，y －＝8.25. 回归直线的斜率为：b ＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x i 2－4x －2＝25.535＝0.728 6， 截距a ＝y －－b x －＝－0.857 1，所求的回归直线方程为：y ＝0.728 6x －0.857 1. (2)根据回归方程y ＝0.7286x －0.857 1， 要使y ≤10，即0.728 6x －0.857 1≤10， 解得，x ≤14.901 3，即机器速度不能超过14.901 3转/秒．12．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据x 3 4 5 6 y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (3)已知该厂技术改造前100吨甲产品生产能耗为90吨标准煤；试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？(参考数值3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 【解析】(1)由题设所给数据，可得散点图如图．(2)由对照数据，计算得：∑i ＝14x i 2＝86，x ＝3＋4＋5＋64＝4.5， y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，已知∑i ＝14x i y i ＝66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：b ＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x i 2－4x2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7， a ＝y －－b x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35.因此，所求的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35.(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为： 90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．。

2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (2)一、选择题1．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】若N⊆M，则需满足a2＝1或a2＝2，解得a＝±1或a＝± 2.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．故选择A.2．（2011大纲全国卷）下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( ) A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3【答案】A【解析】由a>b＋1得a>b＋1>b，即a>b，而由a>b不能得出a>b＋1；因此，使a>b成立的充分不必要条件是a>b＋1.故选择A.3．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是( )A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数【答案】A【解析】由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．故选择A.4．(2011上海卷·理)设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{A n}为等比数列的充要条件为( )A．{a n}是等比数列B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n…均是等比数列，且公比相同【答案】D【解析】∵A i＝a i a i＋1，若{A n}为等比数列，则A n＋1A n＝a n＋1a n＋2a n a n＋1＝a n＋2a n为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n＝q ，从而{A n }为等比数列．故选择D.5．已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件； ③r 是q 的必要条件而不是充分条件； ④綈p 是綈s 的必要条件而不是充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件． 则正确命题的序号是( ) A ．①④⑤ B ．①②④ C ．②③⑤ D ．②④⑤【答案】B【解析】s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，①正确，排除C 、D.因为q 是r 的充分条件，q 是s 的必要条件，所以s 是r 的充分条件，又因为s 是r 的必要条件，所以s 是r 的充分必要条件，⑤错，排除A.故选择B.二、填空题6．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图像不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 个．【答案】1【解析】原命题正确，故其逆否命题正确，逆命题错误，故否命题错误．7．(2011陕西卷·理)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝ .【答案】3或4【解析】由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n ≥0得“1≤n ≤4”，逐个分析，当n ＝1、2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1、3；当n ＝4时，方程有正整数解2.8．下列小题中，p 是q 的充要条件的是 .①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点． ②p ：f －xf x＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数．③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β. ④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A . 【答案】①④【解析】在①中，函数有两个零点，则Δ＝m 2－4m －12>0，解得m >6或m <－2，所以p是q 的充要条件；②中p 是q 的充分不必要条件；③中p 是q 的既不充分也不必要条件；④中p 是q 的充要条件．三、解答题9．设T ＝x ＋y ＋xy ，其中x ，y 为非零实数，则命题“若1x ＋1y>0，则T ≠0”的否命题是否正确？为什么？【解析】否命题：若1x ＋1y≤0，则T ＝0，不正确．这是因为：若1x ＋1y≤0，∴x ＋yxy≤0， 即x ＋y ＝0或x ＋y 与xy 异号． 此时T ＝x ＋y ＋xy 不一定为0.10．指出下列命题中p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”中选一种)，并写出判断过程．(1)p ：a 2>b 2，q ：a >b .(2)p ：{x |x >－2，或x <3}，q ：{x |x 2－x －6<0}． (3)p ：a 与b 都是奇数，q ：a ＋b 为偶数．(4)p ：0<m <13，q ：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实数根．【解析】(1)∵a 2>b2a >b ，又a >b a 2>b 2，∴p 是q 的既不充分也不必要条件． (2)∵{x |x >－2，或x <3}＝R ， {x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，∴x ∈{x |x >－2，或x <3}⇒/ x ∈{x |－2<x <3}． 而x ∈{x |－2<x <3}⇒x ∈{x |x >－2，或x <3}． ∴p 是q 的必要而不充分条件． (3)因为a 、b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数， 而a ＋b 为偶数a 、b 都是奇数，所以p 是q 的充分不必要条件．(4)当m ＝0时，方程化为－2x ＋3＝0，仅有一个实根x ＝32.当m ≠0且Δ＝4－12m >0，即m <13且m ≠0时，方程有两个不相等的实数根，设两根为x 1，x 2，若0<m <13时，方程有两个不相等的实数根，且x 1＋x 2＝2m >0，x 1x 2＝3m >0，故方程有两个同号且不相等的实数根．即0<m <13⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实数根．若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实数根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m >0，x 1x 2＝3m >0⇒0<m <13.即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实数根⇒0<m <13，所以p 是q 的充要条件．11．已知函数f (x )在区间(－∞，＋∞)内是增函数，a ，b ∈R . (1)证明命题：如果a ＋b ≥0，那么f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )；(2)判断(1)中的逆命题是否正确？并证明你的结论． 【证明】(1)由a ＋b ≥0，得a ≥－b . 又f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )≥f (－b )．同理由b ≥－a ， 得f (b )≥f (－a )故f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．(2)逆命题正确 .逆命题：如果f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，那么a ＋b ≥0. 证明：假设a ＋b <0，则a <－b .由f (x )在(－∞，＋∞)上递增，得f (a )<f (－b )． 同理得f (b )<f (－a )． 即f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b ) 这与已知条件矛盾． 故判断(1)中逆命题成立． 12．若f 1(x )＝3|x －p 1|，f 2(x )＝2·3|x －p 2|，x ∈R ，p 1，p 2为常数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ， f 1x f 2x ，f 2x ， f 1xf 2x(1)求f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立的充要条件(用p 1，p 2表示)；(2)设a ，b 为两实数，a <b 且p 1，p 2∈(a ，b )，若f (a )＝f (b )，求证：f (x )在区间[a ，b ]上的单调增区间的长度和为b －a2(闭区间[m ，n ]的长度定义为n －m )．【解析】(1)f (x )＝f 1(x )恒成立 ⇔f 1(x )≤f 2(x )⇔|x －p 1|－|x －p 2|≤log 32. ①若p 1＝p 2，则①⇔0≤log 32，显然成立；若p 1≠p 2，记g (x )＝|x －p 1|－|x －p 2|. 当p 1>p 2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧p 1－p 2， x <p 2，－2x ＋p 1＋p 2， p 2≤x ≤p 1，p 2－p 1， x >p 1.所以g (x )max ＝p 1－p 2，故只需p 1－p 2≤log 32.当p 1<p 2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧p 1－p 2， x <p 1，2x －p 1－p 2， p 1≤x ≤p 2，p 2－p 1， x >p 2.所以g (x )max ＝p 2－p 1，故只需p 2－p 1≤log 32.综上所述，f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立的充要条件是|p 1－p 2|≤log 32. (2)分两种情形讨论．①如果|p 1－p 2|≤log 32，由(1)知f (x )＝f 1(x )(对所有实数x ∈[a ，b )，则由f (a )＝f (b )及a <p 1<b 易知p 1＝a ＋b2，再由f 1(x )＝的单调性可知，f (x )在区间[a ，b ]上的单调增区间的长度为 b －a ＋b 2＝b －a 2.②当|p 1－p 2|>log 32时，不妨设p 1<p 2，则p 2－p 1>log 32.于是， 当x ≤p 1时，有f 1(x )＝3p 1－x<3p 2－x<f 2(x )，从而f (x )＝f 1(x )．当x ≥p 2时，f 1(x )＝3x －p 1＝3p 2－p 1·3x －p 2 >3log32·3x －p 2＝f 2(x )，从而f (x )＝f 2(x )．当p 1<x <p 2时，f 1(x )＝3x －p 1及f 2(x )＝2·3p 2－x ，由方程3x 0－p 1＝2·3p 2－x 0，解得f 1(x )与f 2(x )图像交点的横坐标为x 0＝p 1＋p 22＋12log 32. ①显然p 1<x 0＝p 2－12[(p 2－p 1)－log 32]<p 2，这表明x 0在p 1与p 2之间．由①易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ， p 1≤x ≤x 0，f 2x ， x 0<x ≤p 2.综上可知，在区间[a ，b ]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ， a ≤x ≤x 0，f 2x ， x 0<x ≤b .故由函数f 1(x )与f 2(x )的单调性可知，f (x )在区间[a ，b ]上的单调增区间的长度之和为(x 0－p 1)＋(b －p 2)，由于f (a )＝f (b )，即3p 1－a＝2·3b －p 2，得p 1＋p 2＝a ＋b ＋log 32. ②故由①②得(x 0－p 1)＋(b －p 2)＝b －12(p 1＋p 2－log 32)＝b －a2.综合①②可知，f (x )在区间[a ，b ]上的单调增区间的长度之和为b －a2.。

2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (15)一、选择题1．函数y ＝ln cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2的图像是( )【答案】A【解析】ln cos x 为偶函数，且函数图像在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上单调递减．故选择A. 2．定义在R 上的函数既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程f (x )＝0在闭区间[－T ，T ]上的根的个数记为n ，则n 可能为( )A ．0B ．1C ．3D ．5【答案】D【解析】由题意得f (0)＝0，f (T )＝f (0＋T )＝f (0)＝0，f (－T )＝－f (T )＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＋T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＝0，因此n 可能是5. 3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图像的对称轴方程可能是( ) A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12【答案】D【解析】令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )， 得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，令k ＝0得该函数的一条对称轴为x ＝π12.故选择D. 4．(2011某某卷)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2C.32D.23【答案】C【解析】∵y ＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数； 当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由y ＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. 5．(2011新课标全国卷)函数y ＝11－x的图像与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】如图，两个函数图像都关于点(1,0)成中心对称，两个图像在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.故选择D.二、填空题6．以下对正弦函数y ＝sin x 的图像描述不正确的是①在y ＝sin x ，x ∈[－2π，0)，x ∈[2π，4π)，x ∈[4π，6π)的图像与x ∈[0,2π)的图像完全一样，只是位置不同②介于直线y ＝±1之间③关于x 轴对称④关于原点对称⑤有无数条对称轴 ⑥只有一个对称中心【答案】③⑥【解析】由正弦曲线的作图过程可以体会到①正确．又由y ＝sin x 的图像可知：－1≤y ≤1.即图像介于直线y ＝±1之间，②正确． 又因为y ＝sin x 是奇函数，所以④正确，故③不正确．⑤经过最高点或最低点的垂直于x 轴的直线都是y ＝sin x 图像的对称轴．所以⑤正确． ⑥y ＝sin x 图像与x 轴的交点都是它的对称中心，所以⑥不正确．7．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图像如图所示，则φ＝.【答案】9π10【解析】显然2π－3π4＝5π4＝T 2⇒T ＝5π2＝2πω⇒ω＝45， 将x ＝3π4代入y ＝sin(ωx ＋φ)，得45×3π4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 从而可得φ＝－11π10＋2k π，k ∈Z ，又φ∈[－π，π)，∴φ＝9π10. 8．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的任意x 1，x 2，有如下条件： ①x 1>x 2；②x 12>x 22；③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件序号是.【答案】② 【解析】设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．又当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，x 2随x 增大而增大，－cos x 随x 增大而增大，故f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，π2上为增函数，同理f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，0上为减函数，要使f (x 1)>f (x 2)，则需|x 1|>|x 2|，即x 12>x 22. 三、解答题9．已知函数f (x )＝2a sin 2x －22a sin x ＋a ＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域为[－5,1]，求a 、b 的值．【解析】f (x )＝2a sin 2x －22a sin x ＋a ＋b ＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －222＋b∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴sin x ∈[0,1]． ①若a >0，则当sin x ＝22，即x ＝π4时， f (x )min ＝b ＝－5.当sin x ＝0，即x ＝0时，f (x )max ＝a ＋b ＝1，a ＝6.②若a <0，则当sin x ＝22，即x ＝π4时， f (x )max ＝b ＝1，当sin x ＝0，即x ＝0时， f (x )min ＝a ＋b ＝－5，a ＝－6，综上得a ，b 的值为6，－5或－6,1.10．若方程1－2cos 2x －sin x ＋a ＝0有实数解，某某数a 的取值X 围．【解析】a ＝2cos 2x －1＋sin x ＝1－2sin 2x ＋sin x＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋98. －1≤sin x ≤1，则a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，98， 实数a 的取值X 围是：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，98. 11．求下列函数的值域：(1)y ＝2sin x cos 2x 1＋sin x； (2)y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －32. (3)y ＝sin x －1sin x ＋1. 【解析】(1)函数的定义域⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠2k π－π2，k ∈Z ，而原函数可化为：y ＝2sin x 1－sin 2x 1＋sin x＝2sin x (1－sin x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠2k π－π2，k ∈Z ， 即y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠2k π－π2，k ∈Z . 令t ＝sin x ，则－1<t ≤1， 由二次函数y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋12的单调性可知：当t ＝12时y max ＝12； 当t ＝－1时y ＝－4.但－1＜t ≤1，∴函数的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－4，12. (2)函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫sin x ＞32.∵32＜sin x ≤1， ∴0＜sin x －32≤1－32， 而y ＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数，∴y ≤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32， 即函数的值域为⎩⎪⎨⎪⎧ y ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫y ≤l g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32.(3)由y ＝sin x －1sin x ＋1得，sin x ＝1＋y 1－y， 由sin x ∈(－1,1]得－1<1＋y 1－y≤1， 解得y ≤0，∴值域为(－∞，0]．12．已知函数y ＝lg(2sin x )，回答以下问题：(1)求函数的定义域；(2)x 取何值时，y ＝0？x 取何值时，y 最大？(3)当x 从0增加到π时，函数值怎样变化？(4)此函数是否为周期函数？若是，求出其周期．【解析】(1)2sin x >0，∴2k π<x <2k π＋π，(k ∈Z )，∴定义域为{x ∈R |2k π<x <2k π＋π，k ∈Z }；(2)y ＝0，即2sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋5π6，k ∈Z ，当sin x ＝1时，y 最大为lg2.(3)令u ＝2sin x ，y ＝lg u ，u ∈(0,2]为增函数，当x 从0增加到π2时，u ＝2sin x 由0增加到2， ∴y ＝lg u ，u 由－∞增加到lg2；当x 从π2增加到π时，u 由2减小到0，∴y ＝lg u ，由lg2减小到－∞. (4)是，T ＝2π.。

2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (18)一、选择题1．已知函数f (x )＝(1＋cos 2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数 【答案】D【解析】∵f (x )＝(1＋cos 2x )·sin 2x＝(1＋2cos 2x －1)·sin 2x ＝2sin 2x cos 2x ＝12sin 22x ＝12·1－cos 4x 2＝14(1－cos 4x )， ∴T ＝2π4＝π2.故f (x )是以π2为最小正周期的偶函数． 2．sin6°·cos24°·sin78°·cos48°的值为( )A.116B ．－116 C.132D.18 【答案】A【解析】sin6°·cos24°·sin78°·cos48°＝sin6°cos24°cos12°cos48°cos6°cos6° ＝sin12°cos24°cos12°cos48°2cos6° ＝sin24°cos24°cos48°4cos6°＝sin48°cos48°8cos6° ＝sin96°16cos6°＝cos6°16cos6°＝116. 3．设a ＝3cos10°＋sin10°，b ＝4tan31°1＋tan 231°，c ＝2＋2sin38°，则a 、b 、c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．b >a >c【答案】B【解析】a ＝3cos10°＋sin10°＝2sin70°，b ＝2sin62°，c ＝2＋2sin38°＝21＋cos52°2＝2cos26°＝2sin64°，∴b <c <a . 4.3－sin 70°2－cos 210°＝()A.12B.22 C ．2 D.32【答案】C【解析】3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝23－cos 20°3－cos 20°＝2.5．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期和最大值分别为() A ．π，1 B ．π， 2C ．2π，1D ．2π， 2【答案】A【解析】y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos 2x ，所以函数的周期为π，最大值为1.二、填空题6．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan 2α的值为.【答案】43【解析】由任意角的三角函数定义得tan α＝y px p＝－2， 再利用正切的二倍角公式得tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－41－4＝43.7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35，则 cos 2θ＝.【答案】－725【解析】由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35，得cos θ＝35，再由二倍角公式得cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×925－1＝－725.8．设x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为. 【答案】 3【解析】原式＝2sin 2x sin 2x ＋1sin 2x ＝tan x ＋1＋tan 2x 2tan x＝3tan x 2＋12tan x ＝32tan x ＋12tan x≥232tan x ·12tan x ＝ 3. 当32tan x ＝12tan x ，即tan x ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π2时取等号． 三、解答题9．(2010卷)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值； (2)求f (x )的最大值和最小值．【解析】(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3 ＝－1＋34－2＝－94. (2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －232－73，x ∈R ， 因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时f (x )取最大值6；当cos x ＝23时f (x )取最小值－73. 10．(1)已知：θ≠k π(k ∈Z )， 求证：tan θ2＝1－cos θsin θ； (2)已知：sin θ＝45，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2－π4的值． 【解析】(1)∵θ≠k π，∴θ2≠k π2，k ∈Z ， ∴tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2sin 2θ22sin θ2cos θ2＝1－cos θsin θ.(2)∵sin θ＝45，∴cos θ＝±35. 当cos θ＝35，sin θ＝45时， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2－π4＝tan θ2－11＋tan θ2＝－13. 当cos θ＝－35，sin θ＝45时， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2－π4＝tan θ2－11＋tan θ2＝13. 11．(2011高考卷)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 【解析】(1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1 ＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π. (2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3. 于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1. 12．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值． 【解析】(1)方法1：因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，于是 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210. sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4， 故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35. sin 2x ＝2sin x cos x ＝－2425， cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3 ＝－24＋7350.。

2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (25)一、选择题1．公差不为零的等差数列{a n }中，有2a 3－a 72＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16 【答案】D【解析】 因为数列{a n }是等差数列， 所以由2a 3－a 72＋2a 11＝0得a 72＝2(a 3＋a 11)＝4a 7，解得a 7＝4或a 7＝0.又因为数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7， 所以b 7＝4(b 7＝0舍去)． 于是b 6b 8＝b 72＝16.故选择D.2．一父母为了给他们的孩子准备上大学的学费，从婴儿一出生就到银行存入一笔钱，以后每年生日都到银行储存相同数目的钱．设大学学费4年共需1万元，若银行储蓄年利率为2%，每年按复利计算，为使孩子18足岁上大学时本金和利息共有1万元，父母每年至少应存入(1.0217≈1.400,1.0218≈1.428,1.0219≈1.457)( )A ．358元B ．400元C ．458元D ．500元 【答案】C【解析】设每年存a 元，则a (1.0218＋1.0217＋…＋1)＝10 000，∴a ＝458元．3．已知{a n }是等差数列，a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，则该数列前10项和S 10等于( ) A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 【答案】B【解析】a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28， ∴(a 7＋a 8)－(a 1＋a 2)＝12d ＝28－4＝24， ∴d ＝2，a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝4，∴a 1＝1，∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10＋90＝100.4．将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是( )．A ．34 950B ．35 000C ．35 090D ．35 060【答案】A【解析】由“第n 组有n 个数”的规则分组，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列，前99组数的个数共有1＋99992＝4 950个．故第100组中的第1个数是34 950.5．小正方形按照图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成一个数列{a n }，则下列结论正确的是( )①a 5＝15②数列{a n }是一个等差数列 ③数列{a n }是一个等比数列④数列{a n }的递推关系式是a n ＝a n －1＋n (n ∈N *) A ．①②④ B．①③④ C ．①② D．①④ 【答案】D【解析】a 1＝1，a 2＝3，a 3＝1＋2＋3＝6，a 4＝1＋2＋3＋4＝10， a 5＝1＋2＋3＋4＋5＝15，∴①、④正确，②、③不正确． 故选择D. 二、填空题6．(2011某某卷·文)已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝.【答案】2【解析】由题意得2q 2－2q ＝4，解得q ＝2或q ＝－1. 又{a n }单调递增，得q >1，∴q ＝2.7．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝. 【答案】2n ＋1－3【解析】由a n ＋1＝2a n ＋3，则有a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)， 即a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以数列{a n ＋3}是以a 1＋3为首项，公比为2的等比数列， 即a n ＋3＝4×2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.8．一房地产开发商将他新建的一幢20层商品楼的房价按下列方法定价；先定一个基价a 元/m 2，再根据楼层的不同进行上、下浮动．一层的价格为(a －d )元/m 2，二层的价格为a元/m 2，三层的价格为(a ＋d )元/m 2，第i (i ≥4)层的价格为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋d ⎝ ⎛⎭⎪⎫23i －3元/m 2，则该商品房各层价格的平均值是.【答案】a ＋110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2317d 元/m 2【解析】各层单价之和为：(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋d ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋d ⎝ ⎛⎭⎪⎫2317 ＝3a ＋17a ＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23171－23d＝20a ＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2317d ， 所以各层价格的平均值是20a ＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2317d 20＝a ＋110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2317d (元/m 2)．三、解答题9．已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n 与1a 1的大小．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 22＝1a 1·1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，从而a 1d ＝d 2. 因为d ≠0，所以d ＝a 1＝a . 所以通项公式a n ＝na .(2)记T n ＝1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n，因为a 2n ＝2na ，所以T n ＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋ (12)＝1a ·12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 从而当a >0时，T n <1a 1；当a <0时，T n >1a 1.10．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n . 所以，当n >1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1.综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.11．等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{a n }(2)若数列{b n }满足： b n ＝a n ＋(－1)nln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 【解析】(1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18.所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1.(2)因为b n ＝a n ＋(－1)nln a n＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nn ln3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn ]ln 3. 所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n1－3＋n 2ln 3＝3n＋n 2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－n ln 3＝3n－n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n＋n2ln 3－1， n 为偶数，3n－n －12ln3－ln 2－1， n 为奇数.12．(2011某某卷·文)已知数列{a n }与{b n }满足b n ＋1a n ＋b n a n ＋1＝(－2)n＋1，b n ＝3＋－1n －12，n ∈N *，且a 1＝2.(1)求a 2，a 3的值；(2)设＝a 2n ＋1－a 2n －1，n ∈N *，证明{}是等比数列； (3)设S n 为{a n }的前n 项和，证明S 1a 1＋S 2a 2＋…＋S 2n －1a 2n －1＋S 2n a 2n ≤n －13(n ∈N *)． 【解析】(1)由b n ＝3＋－1n －12，n ∈N *， 可得b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，1，n 为偶数.又b n ＋1a n ＋b n a n ＋1＝(－2)n＋1，当n ＝1时，a 1＋2a 2＝－1，由a 1＝2，可得a 2＝－32；当n ＝2时，2a 2＋a 3＝5，可得a 3＝8. (2)对任意n ∈N *，a 2n －1＋2a 2n ＝－22n －1＋1，①2a 2n ＋a 2n ＋1＝22n＋1.② ②－①，得a 2n ＋1－a 2n －1＝3×22n －1，即＝3×22n －1，于是＋1＝4.所以{}是等比数列．(3)a 1＝2，由(2)知，当k ∈N *且k ≥2时，a 2k －1＝a 1＋(a 3－a 1)＋(a 5－a 3)＋(a 7－a 5)＋…＋(a 2k －1－a 2k －3)＝2＋3(2＋23＋25＋…＋22k －3) ＝2＋3×21－4k －11－4＝22k －1.故对任意k ∈N *，a 2k －1＝22k －1.由①得22k －1＋2a 2k ＝－22k －1＋1，所以a 2k ＝12－22k －1，k ∈N *.因此，S 2k ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2k －1＋a 2k )＝k2.于是，S 2k －1＝S 2k －a 2k ＝k －12＋22k －1.故S 2k －1a 2k －1＋S 2ka 2k ＝k －12＋22k －122k －1＋k212－22k －1 ＝k －1＋22k22k －k 22k －1＝1－14k －k4k4k－1.所以，对任意n ∈N *，S 1a 1＋S 2a 2＋…＋S 2n －1a 2n －1＋S 2na 2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1a 1＋S 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫S 3a 3＋S 4a 4＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2n －1a 2n －1＋S 2n a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14－112＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－142－24242－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n －n 4n 4n －1 ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋112＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋24242－1－…－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋n 4n 4n －1 ≤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋112＝n －13.。

2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (60)一、选择题1．若直线x a ＋y b＝1通过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1D.1a 2＋1b2≥1【答案】D【解析】因为点M (cos α，sin α)在以原点为圆心的单位圆上，即点M 满足x 2＋y 2＝1.由于直线x a ＋y b＝1通过点M ，即直线x a ＋y b＝1与x 2＋y 2＝1有公共点，即原点O 到直线bx ＋ay －ab ＝0的距离应小于等于1， ∴|－ab |a 2＋b2≤1，∴1a 2＋1b2≥1.2．(2010重庆卷·理)直线y ＝33x ＋2与圆心为D 的圆⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ∈[0,2π))交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为( )A.76π B.54π C.43π D.53π 【答案】C【解析】由已知得圆D ：(x －3)2＋(y －1)2＝3， 则圆心D 到直线y ＝33x ＋2距离等于 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪33×3－1＋213＋1＝62， 故cos 12∠ADB ＝d 3＝22，12∠ADB ＝π4，∠ADB ＝π2； 又AD ＝BD ，因此有∠DBA ＝π4. 而直线y ＝33x ＋2的倾斜角是π6，因此结合图形可知，在直线AD ，BD 中必有一条直线的倾斜角等于π6＋π4，另一条的直线的倾斜角等于π6＋π4＋π2.因此直线AD ，BD 的倾角之和等于2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＋π2＝4π3.故选择C. 二、填空题3．(2009高考广东卷·理)若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝ .【答案】－1【解析】把两直线化为普通方程分别为l 1：kx ＋2y ＝k ＋4；l 2：2x ＋y ＝1.∵两直线垂直，∴－k2·(－2)＝－1，解得k ＝－1.4．(2010天津卷·理)已知圆C 的圆心是直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋t ，(t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切．则圆C 的方程为 .【答案】(x ＋1)2＋y 2＝2【解析】由题意可得圆心C 的坐标为(－1,0)， 圆心到直线x ＋y ＋3＝0的距离 d ＝|－1＋3|2＝2， 因此圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.5．圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋4cos θ，y ＝－2＋4sin θ(θ为参数)的圆心坐标为 ，和圆C 关于直线x－y ＝0对称的圆C ′的普通方程是 .【答案】(3，－2)，(x ＋2)2＋(y －3)2＝16(或x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0) 【解析】将参数方程化为标准方程得 (x －3)2＋(y ＋2)2＝16. 故圆心坐标为P (3，－2)．点P (3，－2)关于y ＝x 的对称点P ′(－2,3)， 则圆C 关于y ＝x 对称的圆C ′的方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝16(或x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0)． 6．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)没有公共点，则实数m的取值范围是 .【答案】(－∞，0)∪(10，＋∞)【解析】由圆的参数方程可知其标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，直线与圆无公共点，即圆心(1，－2)到直线的距离大于半径，即d ＝|3×1＋4×－2＋m |32＋42＝|m －5|5>1， ∴m <0或m >10.7．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t ，(t 为参数)被圆 (x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为 .【答案】82【解析】把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t ，代入(x －3)2＋(y ＋1)2＝25得(－5＋t )2＋(2－t )2＝25，t 2－7t ＋2＝0， |t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝41，弦长为2|t 1－t 2|＝82.8．已知OP →＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R ，(O 为坐标原点)，向量OQ →满足OP →＋OQ →＝0，则动点Q 的轨迹方程是 .【答案】(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4 【解析】设Q (x ，y )，则OQ →＝(x ，y )，代入OP →＋OQ →＝0中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2cos α，y ＝－2－2sin α消去参数α，可得动点Q 的轨迹方程为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4. 三、解答题9．在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y的最大值．【解析】由椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ，(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)，其中0≤φ<2π. 因此，S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ ＝2·⎝⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3. 所以当φ＝π6时，S 取得最大值2.10．(2010辽宁卷·理)已知P为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．【解析】(1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3.(2)M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t .(θ为参数)11．(2010福建卷·理)在直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－ 22t ，y ＝ 5 ＋ 22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝2 5 sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，且若点P 的坐标为(3， 5 )，求|PA |＋|PB |. 【解析】(1)由ρ＝2 5 sin θ，得x 2＋y 2－2 5 y ＝0，即x 2＋(y － 5 )2＝5.(2)方法1：将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得 ⎝⎛⎭⎪⎫3－ 2 2t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2 2t 2＝5，即t 2－3 2 t ＋4＝0.由于Δ＝(3 2 )2－4×4＝2>0， 故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝3 2 ，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3， 5 )，故由上式及t 的几何意义得 |PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2 .方法2：因为圆C 的圆心为(0， 5 )，半径r ＝ 5 ，直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋ 5.由⎩⎨⎧x 2＋y －52＝5，y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0.解得⎩⎨⎧x ＝1， y ＝2＋ 5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)，又点P 的坐标为(3，5)， 故|PA |＋|PB |＝8＋ 2 ＝3 2 .12．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t .(t为参数)(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′.写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．【解析】(1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心C 1(0,0)，半径r ＝1. C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1， 所以C 2与C 1只有一个公共点． (2)压缩后的参数方程分别为C 1 ′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ，(θ为参数)；C 2′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t .(t 为参数)．化为普通方程为C 1 ′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22， 联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0，其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C 2′与椭圆C 1′仍然只有一个公共点，和C 1与C 2公共点个数相同．。