4.2.3直线与圆的方程的应用(两个课时)

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高一数学人教版A版必修二：4.2.3 直线与圆的方程的应用

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►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
解析答案
1 23 4
4. 已知集合 A ＝ {(x ， y)|x － y ＋ m≥0} ，集合 B ＝ {(x ， y)|x2 ＋ y2≤1}. 若 A∩B＝∅，则实数m的取值范围是_m_<_－____2_. 解析如图， A＝{(x，y)|x－y＋m≥0} 表示直线x－y＋m＝0及其右下方区域， B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}表示圆x2＋y2＝1及其内部，要使A∩B＝∅，则直线x－y＋m＝0在圆x2＋y2＝1的下方，
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 如图，一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________米.
解析答案
类型二坐标法证明几何问题例2 如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.
跟踪训练3 设半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为 3∶1，问A、B两人在何处相遇？
解析答案
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达标检测
1 23 4
1.一 m)，则这辆卡
车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( B )

4.2.3 直线与圆的方程的应用

4.2.3 直线与圆的方程的应用一、知识点回顾与归纳直线与圆的方程的应用主要是两方面：一是直线与圆的方程的实际应用；二是用坐标法解决平面几何问题。

1、直线与圆的方程的实际应用用直线和圆的方程解决实际生活问题的步骤（1）建立适当的直角坐标系，求出直线和圆的方程，把一个实际问题转化为数学问题；（2）解决这个数学问题；（3）解释它的实际意义，回归实际问题。

2、坐标法解决几何问题坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论。

这就是用坐标法解决平面几何问题的：“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论。

二、典型例题讲解与方法总结例1、已知一个圆形的公园，其半径长为2km，有两个村庄A和B，其中村庄A在公园的正东方向4km处，村庄B在公园的西北方向处（A，B相对公园的位置都是指相对公园的中心位置，现在要修一条连接村庄A和B的公路，但公路不能穿过公园，现有两种方案可供选择：方案一：分别从A，B沿与公园相切的方向修路，直至两公路相交；方案二：分别从A，B沿与公园相切的方向修路，至切点处，再环绕公园修路，直至连接两个切点，试问两种方案哪种更好？例2、已知圆内接四边形的两条对角线互相垂直，求证：经过对角线交点作任意一边的垂线必平分这一条边的对边。

例3、如图，圆O上任取一点M，以点M为圆心的圆与圆O的直径AB相切于点D，圆M与圆O相交于,E F，求证：EF平分MD。

例4、4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系一、知识点回顾与归纳1、空间直角坐标系的概念从空间中某一定点O 引三条互相垂直的数轴，通常用,,x y z 表示，分别称为x 轴，y 轴，z 轴，统称为坐标轴，这三条坐标轴中的每两条都确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、xOz 平面。

4.2.3直线与圆的方程的应用

(5, 3 )
o
(2,0)
(6,0)
C
x
5
例 3、有一大型商品 , A , B 两地均有出售且价格相同 ,某地居民从两地之一购得商品运回来 , 每公里的运费 A地是 B 地的 2倍 , 若 A , B 两地相距 1 0公里 , 顾客选择 A地或 B 地购买这种商品 ,以运费和价格的总费用较低为标准 ,那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点.
§4.2.3直线与圆的方程的应用
1
例1、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01）
y
x
2
例2、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
y
B (0,b)
6
例4、AB为圆的定直径,CD为动直径,自D 作AB的垂线DE,延长ED到P,使|PD|=|AB|, 求证直线CP必过一定点.
7
(c,0) C
M
A (a,0)
O
N O`
Байду номын сангаас
x
d E( , ) 2 2
3
a
(0,d) D
第一步:建立适当的坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步:通过代数运算,解决代数问题；
第三步:把代数运算结果翻译成几何结论.
4
y
(3,3 3 ) A
(0,0)
B
E P D

【数学必修2课件】4.2.3 直线与圆的方程的应用

2
建立如图所示的坐标系，则
A(3,3 3), B(0, 0), C(6, 0), D(2, 0), E(5, 3)
直线AD的方程为 y 3 3(x 2)
y A
解以上两方程联立的方程组，得
x 15 , y 3 3
7
7
直线BE的方程为y 3 (x 5) 3
5
所以点P的坐标是 (15 , 3 3 )
xE
a 2
xO '
பைடு நூலகம்
xM
ac 2
yE
d 2
bd yO' yN 2
证明：以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、BD所在直线分别为x轴、y轴，建立如所图所示的直角坐标系，设A （a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d），过四边形外接圆O的圆心分别作AC、BD、AD的垂线，垂足为 M、N、E，则M、N、E分别为AC、BD、AD的中点，
第二步：通过代数运算，解决代数问题．
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．
等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且有
BD 1 BC , CE 1 CA ,
3
3
AD,BE相交于点P．
y
求证： AP CP.
A
P
E
BD
C
解：以B为原点，BC边所在直线为轴，线段 1 BD为单位长，
D0
解得
E6
F 16
y N
┐
B
M
x
因此所求圆的方程为 x2＋y2＋6y－16＝0，
化为标准方程是
y N
A
┐
B
M
x
x2＋(y＋3)2＝52，
所以这个零件的半径为 5 cm．

数学423直线与圆的方程的应用课件新人教版A版必修2 优质课件

y
o
X
思考2：如图所示建立直角坐标系，设四边形的四个顶点分别为点 A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？
y B C oM
N
D
A x
思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的
坐标如何？
y
B
C
A
oM
x
N
D
思考4:如何计算圆心M到直线AD的距离|MN|？
思考5:由上述计算可得|BC|=2|MN|，从而命题成立.你能用平面几何知识证明这个命题吗？
02+(4-b)2= r2
102+(0-b)2=r2
解得，b= -10.5 r2=14.52
所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
M
O1 o
N
O2
x
练习
1、求直线l: 2x-y-2=0被圆C: (x-3)2+y2=0所截得的弦长.
2、某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. 现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过?
P
5
MO
N
第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
思考3:如图所示建立直角坐标系，取10km为长度单位，那么轮船航线所在直线和台风圆域边界所在圆的方程分别是什么？
y
港口
x
台o

课件6：4.2.3 直线与圆的方程的应用

③⊙C 经过定点 A，圆心 C 在直线 l 上运动，求半径最小的圆或求经过两定点 A、B 的最小的圆，用数形结合法讨论求解． ④P 在⊙C 内，求经过点 P 的直线与圆相交最短弦长，用数形结合法求解． ⑤P、Q 分别在⊙C1 与⊙C2 上运动，求|PQ|的最值，用数形结合讨论求解．
例 4 已知点 P(x，y)在圆 x2＋y2－6x－6y＋14＝0 上. (1)求yx的最大值和最小值； (2)求 x2＋y2＋2x＋3 的最大值与最小值．
4.2.3 直线与圆的方程的应用
情境导入某县位于山区，居民的居住区域大致呈如图所示的
五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成.
若AB＝60 km，AE＝CD＝30 km，为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转
播台距五边形各顶点的距离平方和最小，图中P1、P2、 P3、P4是AC的五等分点，你能判断出转播台应建在何处吗？
取 10 km 为单位长度，则受到台风影响的圆形区域所对应的圆 O 的方程为 x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，
则轮船航线所在直线的方程为7x＋4y＝1，即 4x＋7y－28＝0. 圆心 O(0,0)到直线 4x＋7y－28＝0 的距离为： d＝ 4|22＋8| 72＝ 2685>3，所以直线 4x＋7y－28＝0 与圆 O 外离，所以轮船不会受到台风的影响．
预习自测 1．某洞口的横截面是半径为 5 cm 的半圆，则该半圆的方程是 ( D ) A．x2＋y2＝25 B．x2＋y2＝25(y≥0) C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0) D．随着建立的直角坐标系的变化而变化
2．如图是某圆拱桥的示意图．这个圆拱桥的水平面跨度 AB＝24 m，拱高 OP＝8 m．现有一船，宽 10 m，水面以上高 6 m，这条船能从桥下通过吗？为什么？

4.2.3直线与圆的方程的应用教案

4.2.3 直线与圆的方程的应用教案1. 教学目标•理解直线和圆的方程的基本概念及其应用；•掌握利用直线和圆的方程解决实际问题的方法；•培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

2. 教学内容•直线和圆的方程的概念和基本性质；•直线和圆的方程的利用方法；•实际问题的解决方法。

3. 教学重点•直线和圆的方程的应用；•实际问题的解决方法。

4. 教学方法•合作学习法：学生分组进行问题解答和讨论；•案例分析法：通过具体案例分析来引发学生思考和讨论。

5. 教学准备•教学PPT；•教学板书；•直线和圆的方程相关的案例题。

6. 教学步骤第一步：引入1.引导学生回顾直线和圆的基本概念和方程的表示方法；2.提出一个实际问题，如：小明家离学校的距离为10 km，他的家与学校之间有一条笔直的公路，小明每天骑自行车沿着公路来回上下学。

问：小明上学和放学分别骑行多久可以到达学校和回家？第二步：知识讲解1.通过PPT展示直线和圆的方程的应用方法；2.讲解题目中的问题可以通过直线的方程来解决；3.引导学生思考，如果道路是曲线会对题目的解决方法产生什么影响。

第三步：案例分析1.提供一个具体的案例题，如：已知直线方程为2x + 3y = 7，圆的方程为(x-2)² + (y+1)² = 9，求直线与圆的交点；2.学生分组进行讨论，尝试寻找解决问题的方法；3.鼓励学生积极思考，指导他们通过代入法解决问题。

第四步：解决问题1.组织学生进行讨论，整理解决问题的步骤并记录在板书上；2.学生按照讨论的步骤，尝试解决问题；3.学生上台讲解解题过程，引导其他学生讨论和提问。

第五步：总结1.总结直线和圆的方程的应用方法；2.引导学生思考直线和圆的方程的优点和局限性；3.鼓励学生发散思维，思考其他应用场景。

7. 课堂练习1.提供多个直线和圆的方程的应用题，进行课堂练习；2.学生分组解答题目，并互相讨论解答过程。

8. 布置作业1.布置练习题，要求学生使用直线和圆的方程解决相关问题；2.鼓励学生对课堂讲解的知识进行扩展和应用。

4.2.3直线与圆的方程的应用 (2).pdf

设所求圆的方程是(x – a)2 + (y – b)2 = r2.
于是有
使学生熟悉平面几何问题与代数问题的转
| BD |= 1 | BC | ，|CE| = 1 |CA|，
3
3
AD、BE 相交于点 P.求证 AP⊥
CP.
(a +18.7)2 + b2 = r2 ,
(a
−18.7)2
+ b2
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.
3．情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决
问题的能力.
（二）教学重点、难点
重点与难点：直线与圆的方程的应用.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
你能说出两点间的距离公
学生思考后作答
启发
式直线方程的四种形式及圆的
教师再引入课题
并引导学
复习引入方程的两种形式吗？
现在我们通过几个例子说明生回顾，
直线与圆的方程在实际生活以及从而引入
平面几何中的应用.
新课.
3．阅读并思考教科书上的
师：指导学生观察教科书上的
例 4，你将选择什么方法解决图形特征，利用平面坐标系求解.
例 4 的问题？
即 3 (x + 5)2 + y2 = (x − 5)2 + y2
整理得 (x + 25)2 + y2 = (15)2
①
4
4
所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在 A 或 B 地购买，在圆内的居民应选择在 A
地购买，在圆外的居民应选择在 B 地购买.

4.2.3直线与圆的方程的应用课件人教新课标

问题提出
通过直线与圆的方程，可以确定直线与圆、圆和圆的位置关系，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以通过建立直角坐标系，利用直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决.对此，我们必须掌握解决问题的基本思想和方法.
第四章圆与方程高一数学必修2
4.2 直线、圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用
第三步：把代数在Rt△AOB中，|OA|=4， |OB|=3，∠AOB=90°，点P是△AOB内切圆上任意一点，求点P到顶点A、O、B的距离的平方和的最大值和最小值. y B
解：易求得内切圆半径r 1,所以内切圆方程为：
P (x 1)2 ( y 1)2 1 x2 y2 2x 2 y 1；令：
M
N
O1 o
O2
x
课堂演练
等边ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且 BD 1 BC ， 3
CE 1 CA ，AD、BE相交于点P，求证设AP CP. 3
y
A
解：提示：令等边ABC的边长为6.
E P
B o D(2,0) C(6,0) x
作业：
P132练习:1，2，3，4. P133习题4.2B组:1，2，3.
思考2:如图所示建立直角坐标系，那么求支柱A2P2的高度，化归为求一个什么问题？
y P2 P
x A A1 A2 O A3 A4 B
思考3:取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆
的方程？
y
P2 P
x2+(y+10.5)2=14.52
x
A A1 A2 O A3 A4 B
思考4:利用这个圆的方程可求得点P2的纵坐标是多少？问题Ⅱ的答案如何？

人教版数学必修二课件：4-2-3直线与圆的方程的应用

∴|OM|＝
2 ＝2 5
5 5，|OB|＝2，
∴|MB|＝45
5，∴|AB|＝8
5
5 .
解法 2：将 A、B 两点坐标求出，再用两点间距离公式求解，但运算量较大，一般采用解法 1.
【变式训练 2】 (2019 年山东省聊城市高三模拟)已知直线 ax＋y－1＝0 与圆 C：
(x－1)2＋(y＋a)2＝1 相交于 A，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数 a 的值为
【变式训练 3】已知圆的方程为 x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点 A(－3，－5)的直线交圆的弦 PQ 的中点 M 的轨迹方程．
解：设所求轨迹上任一点 M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心坐标为 C(3，3)．因为 CM⊥AM，所以 kCM·kAM＝－1.
图6
【解析】以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在的直线为 x 轴，建立如图 7 所示的直角坐标系，则 O1(－2，0)，O2(2，0)．
由已知|PM|＝ 2|PN|， ∴|PM|2＝2|PN|2. ∵两圆的半径均为 1，
图7
∴|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．设 P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33. ∴所求动点 P 的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或 x2＋y2－12x＋3＝0)．
相切于 A、B 两点，则四边形 PAOB(O 为坐标原点)的面积的最小值等于( )
A．24
B．16 C．8 D．4
【解析】由题意得 PA＝PB，PA⊥OA，PB⊥OB， SPAOB＝2S△PAO＝2×12PA·PO＝PA·PO 又∵在 Rt△PAO 中， PA2＝PO2－4，当 PO 最小时，PA 最小此时所求面积最小

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4.2.3 直线与圆的方程的应用
（两个课时）
一、教学目标
1、知识与技能
（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；
（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．
二、教学重点、难点：
重点与难点：直线与圆的方程的应用．
三、教学设想
板书设计：
坐标法解几何问题的”三步曲”
第一步：建立适当的直角坐标系，将几何问题代数化；第二步：代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成集合结论。