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图论及其应用简介图论是计算机科学中的一个重要分支，研究的对象是由边与顶点组成的图形结构以及与其相关的问题和算法。
图论的应用广泛，涵盖了计算机科学、网络科学、物理学、社会学、生物学等多个领域。
本文将介绍图论的基本概念、常用算法以及一些实际的应用案例。
图的基本概念图由顶点（Vertex）和边（Edge）组成，记作G=(V, E)，其中V为顶点的集合，E为边的集合。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图有向图中的边具有方向性，即从一个顶点到另一个顶点的边有明确的起点和终点。
有向图可以表示一种有序的关系，比如A到B有一条边，但B到A可能没有边。
有向图的表示可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
无向图无向图中的边没有方向性，任意两个顶点之间都有相互连接的边。
无向图可以表示一种无序的关系，比如A与B有一条边，那么B与A之间也有一条边。
无向图的表示通常使用邻接矩阵或邻接表。
常用图论算法图论中有许多经典的算法，其中一些常用的算法包括：深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法。
通过从起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深入图中的顶点，直到无法再继续前进时，返回上一个顶点并尝试下一条路径的方式。
DFS可以用于判断图是否连通，寻找路径以及检测环等。
广度优先搜索（BFS）广度优先搜索也是一种用于遍历或搜索图的算法。
不同于深度优先搜索，广度优先搜索逐层遍历顶点，先访问离起始顶点最近的顶点，然后依次访问与起始顶点距离为2的顶点，以此类推。
BFS可以用于寻找最短路径、搜索最近的节点等。
最短路径算法最短路径算法用于计算图中两个顶点之间的最短路径。
其中最著名的算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra’s A lgorithm）和弗洛伊德算法（Floyd’s Algorithm）。
迪杰斯特拉算法适用于没有负权边的图，而弗洛伊德算法可以处理带有负权边的图。
最小生成树算法最小生成树算法用于找到一个连通图的最小的生成树。
其中最常用的算法是普里姆算法（Prim’s Algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal’s Algorithm）。
dag实现原理DAG，全称为有向无环图（Directed Acyclic Graph），是一种常用于解决并行计算和任务调度问题的数据结构。
在计算机科学中，DAG被广泛应用于任务调度、依赖管理、编译优化等领域。
DAG的实现原理主要包括以下几个关键点：1. 有向图：DAG是一种有向图，其中的节点表示任务或操作，边表示任务之间的依赖关系。
节点之间的有向边表示任务的执行顺序，即后续任务依赖于前置任务的执行结果。
2. 无环性：DAG中不能存在环路，也就是说，不能存在从某个节点出发经过若干条边后回到该节点的情况。
这是为了保证任务的执行顺序不会出现循环依赖，避免死锁和无限循环的问题。
3. 任务调度：DAG可以用于任务的调度和执行。
在一个DAG中，每个节点表示一个任务，节点之间的边表示任务之间的依赖关系。
通过解析DAG中的依赖关系，可以确定任务的执行顺序，从而实现任务的调度。
4. 并行计算：DAG可以帮助实现任务的并行计算。
在一个DAG中，存在多个没有前置依赖的任务，这些任务可以并行执行，提高计算效率。
而有依赖关系的任务则需要按照依赖关系的顺序进行执行，确保前置任务的结果正确地传递给后续任务。
在实际应用中，DAG的实现可以基于不同的算法和数据结构。
一种常见的实现方式是使用拓扑排序算法和邻接表数据结构。
拓扑排序算法通过遍历有向图的节点，按照节点的依赖关系生成一个线性的序列。
在这个序列中，前置任务总是排在后续任务的前面。
拓扑排序算法可以保证任务的执行顺序满足依赖关系，同时判断是否存在环路。
邻接表是一种常用的数据结构，用于表示有向图的邻接关系。
对于每个节点，邻接表记录了指向该节点的所有边。
通过邻接表，可以很方便地查找节点的后续任务。
使用拓扑排序算法和邻接表数据结构，可以很好地实现DAG的任务调度和并行计算。
首先，构建DAG的数据结构，将任务和依赖关系表示为节点和边。
然后，使用拓扑排序算法对DAG进行排序，得到任务的执行顺序。
拓扑排序算法与有向无环图拓扑排序算法是一种对有向无环图（DAG）进行排序的算法，它可以将图中的顶点按照一定的顺序进行排序，使得图中的任意一条有向边从排在前面的顶点指向排在后面的顶点。
在实际应用中，拓扑排序算法可以用来解决诸如任务调度、依赖关系分析等问题。
一、拓扑排序算法的定义
拓扑排序算法的基本思想是通过不断地选择入度为0的顶点，并且将该顶点从图中删除，最终得到的顶点序列就是图的拓扑排序。
在实际应用中，可以采用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）等方法来实现拓扑排序算法。
二、拓扑排序算法的步骤
1. 初始化：将所有顶点的入度计数初始化为0，并将入度为0的顶点加入一个队列中。
2. 遍历：循环遍历队列中的顶点，每次取出一个顶点并将其加入拓扑排序的结果序列中。
3. 更新：将该顶点指向的顶点的入度减1，并将入度减为0的顶点加入队列中。
4. 结束条件：直到队列为空时，所有顶点都已经被处理，得到的顺序即为拓扑排序的结果。
三、拓扑排序算法的应用
1. 任务调度：在任务调度中，拓扑排序算法可以用来确定任务执行
的顺序，保证任务之间的依赖关系得到满足。
2. 依赖关系分析：在软件工程中，拓扑排序算法可以用来分析软件
中各个模块之间的依赖关系，有助于代码的组织与管理。
3. 课程安排：在学校教学中，拓扑排序算法可以用来安排课程的上
课顺序，确保学生按照一定的顺序学习各门课程。
综上所述，拓扑排序算法是一种重要的图算法，可以用来处理有向
无环图中顶点的排序问题，具有广泛的应用价值。
通过深入理解和掌
握拓扑排序算法，可以更好地解决实际生活和工作中遇到的各种问题。
有向无环图有向无环图（DAG）是一种重要的图形数据结构，在计算机科学、网络和算法分析等领域中都有广泛的应用。
它与普通无向图有所不同，因为它会在连接时增加一个方向，这就意味着它可以表示有序的数据。
有向无环图被广泛应用于计算机科学领域，比如拓扑排序、分布式处理、编译器设计等等。
概念有向无环图是由一些顶点和一些有序的边组成，它将数据结构中的每个顶点连接起来。
每条边都有一个方向，这就决定了图中的有序性，也决定了如何遍历图中的每个顶点。
它只有在没有重复出现的边时，才能保证从一个顶点开始，能够遍历到整个图中的每个顶点。
另外一个特点是，它不能有环，也就是说，从一个顶点出发，不能回到该顶点本身。
拓扑排序有向无环图是一种很强大的数据结构，它可以用来实现拓扑排序（Topological Sorting）。
拓扑排序是一种重要的技术，可以根据有向边的方向，对顶点进行排序，以便给定时序性任务分配排序方式。
比如，在建筑工程中，需要用到拓扑排序，比如地基建完再搭框架，搭框架后再安装门窗等等。
拓扑排序能保证输出的顺序和输入的顺序一致，也可以用于求解最短路径问题，比如求解从一个城市到另外一个城市的最短路径。
分布式处理有向无环图也可以用来实现分布式处理(Distributed Processing)，它可以把任务分解成一些独立的子任务，然后把它们连接起来，形成有向无环图，这样每一个子任务可以在不同的处理器上完成。
分布式处理可以使用有向无环图的拓扑排序算法，实现对任务的排序，从而保证任务的正确执行。
同时，由于它不存在环路，因此也可以保证它是安全的，不会出现死锁的情况，这样也就可以保证流程的有序性。
编译器设计有向无环图也可以用于编译器设计（Compiler Design）。
编译器是计算机科学中一种重要的应用，它可以把高级语言翻译成机器语言，从而可以让计算机处理高级语言编写的程序。
有向无环图可以用来构建编译器，因为它可以实现对语句的排序，这样可以保证编译器在编译过程中符合语法规则，并且能够正确翻译，从而使程序能够正确执行。
有向图与无向图的性质与算法1. 引言在图论中，有向图和无向图是两种最基本的图模型。
它们在表达和解决各类实际问题时具有重要的应用价值。
本文将介绍有向图和无向图的性质以及相关算法，以便读者对其有更深入的理解。
2. 有向图的性质有向图是由一系列顶点和有方向的边组成的图模型。
以下是有向图的几个重要性质：2.1 有向边的方向性与无向图不同，有向图中的边是有方向的，它们从一个顶点指向另一个顶点。
这种方向性在描述一些实际问题时非常有用，比如描述物流运输的路径。
2.2 顶点的入度和出度有向图中的每个顶点都有一个入度和一个出度。
顶点的入度是指指向该顶点的边的数量，而出度是指从该顶点出发的边的数量。
通过计算入度和出度，我们可以了解顶点在图中的连接情况。
2.3 有向环和拓扑排序有向图中存在一个重要的概念，即有向环。
有向环是指从一个顶点出发，经过若干个有向边后又回到该顶点的路径。
有向环在一些问题的分析和解决中具有特殊意义。
而拓扑排序是一种常用的对有向无环图进行排序的方法，它可以按照顶点之间的依赖关系进行排序。
3. 无向图的性质无向图是由一系列顶点和无方向的边组成的图模型。
以下是无向图的几个重要性质：3.1 无向边的无方向性与有向图不同，无向图中的边是无方向的，它们连接着两个顶点，代表了两个顶点之间的关系。
无向图可以用来表示一些没有方向性的问题，比如社交网络中的好友关系。
3.2 顶点的度数无向图中的顶点的度数是指与该顶点相连的边的数量。
顶点的度数越高，说明该顶点在图中的重要性越高，具有更多的连接关系。
3.3 联通性和连通分量无向图中有一个关键性质，即联通性。
若两个顶点之间存在一条连接它们的路径，则称这两个顶点是连通的。
连通分量则是将图中所有连通的顶点分为若干个集合，每个集合内的顶点都是连通的。
4. 算法与应用4.1 有向图的最短路径算法有向图中的最短路径算法是指寻找从一个顶点到另一个顶点的最短路径的方法。
其中，Dijkstra算法和Bellman-Ford算法是常用的有向图最短路径算法。
第6讲 有向无环图应用之关键路径——教学讲义关键路径有向图在工程计划和经营管理中有着广泛的应用。
通常用有向图来表示工程计划时有两种方法：（1）用顶点表示活动，用有向弧表示活动间的优先关系，即上节所讨论的AOV 网。
（2）用顶点表示事件，用弧表示活动，弧的权值表示活动所需要的时间。
把用第二种方法构造的有向无环图叫做边表示活动的网（Activity On Edge Network ）,简称AOE-网。
AOE-网在工程计划和管理中很有用。
在研究实际问题时，人们通常关心的是： ● 哪些活动是影响工程进度的关键活动？ ● 至少需要多长时间能完成整个工程？在AOE 网中存在惟一的、入度为0的顶点，叫做源点；存在惟一的、出度为0的顶点，叫做汇点。
从源点到汇点的最长路径的长度即为完成整个工程任务所需的时间，该路径叫做关键路径。
关键路径上的活动叫做关键活动。
这些活动中的任意一项活动未能按期完成，则整个工程的完成时间就要推迟。
相反，如果能够加快关键活动的进度，则整个工程可以提前完成。
例如，在下图所示的AOE-网中，共有9个事件，分别对应顶点v 0, v 1, v 2, …,v 7, v 8。
其中v 0为源点，表示整个工程可以开始。
事件v 4表示a 4，a 5已经完成，a 7,a 8可以开始。
v 8为汇点，表示整个工程结束。
v 0到v 8的最长路径（关键路径）有两条：（v 0，v 1，v 4，v 7，v 8）或（v 0，v 1，v 4，v 6，v 8），长度均为18。
关键活动为（a 1，a 4，a 7，a 10）或（a 1，a 2，a 8，a 11）。
关键活动a 1计划6天完成，如果a 1提前2天完成，则整个工程也可以提前2天完成。
在讨论关键路径算法之前，首先给出几个重要的定义：（1）事件v i 的最早发生时间ve(i)：从源点到顶点v i 的最长路径的长度，叫做事件v i 的最早发生时间。
求ve(i) 的值可从源点开始，按拓扑顺序向汇点递推： ve(0)=0；ve(i)=Max{ve （k ）＋dut （<k,i>）}<k,i>∈T,1≤i ≤n-1;AOE-网其中，T为所有以i为头的弧<k,i>的集合，dut（<k,i>）表示与弧<k,i>对应的活动的持续时间。
第七章图7.1图的基本概念7.2图的存储7.3图的遍历7.4图的连通性问题7.5有向无环图及其应用7.6最短路径7.1图的基本概念•图(graph)：–一个顶点（vertex）的有穷集V(G)和一个弧(arc)的集合E(G)组成。
记做：G＝(V，E)。
V是数据结构中的数据元素，E是集合上的关系•弧(arc)、弧头（终点）、弧尾（起点）：–<v,w>表从v到w的弧•有向图(digraph)、无向图(undigraph)、边:–(v,w)代表<v,w>和<w,v>/•有向网、无向网：–带权的有向图和无向图•完全图（complete graph）：边e为n(n-1)/2•有向完全图：弧e为n(n-1)•稀疏图（sparse graph）：有向图e<nlogn•稠密图（dense graph）：有向图e>nlogn•子图（subgraph）:–G=(V,E),G’=(V’,E’),如V’≦V且E≦E’,则称G’是G的子图•度(degree)、出度(OutDegree)、入度(Indegree):–<u,v>称u邻接到v，或v邻接自u。
邻接到某顶点的弧的数目称该顶点的入度ID(v)；邻接自某顶点的弧的数目称该顶点的出度OD(u)；某顶点的入度、出度之和为该顶点的度TD(v)•路径和回路：–有向路径/无向路径，路径长度、回路或环•连通图和连通分量：–连通图(无向)，强连通图（有向），连通分量•生成树、生成森林：–连通图的生成树是极小连通子图。
–有向图的生成森林由若干有向树组成，含有图中全部顶点和部分足以构成若干颗不相交有向树的狐。
ADT Graph{数据对象：V是具有相同特性数据元素的集合。
数据关系：R={<v,w>|v,w∈V且P(v,w),其中<v,w>表示从v 到w的狐，谓词P(v,w)表示狐<v,w>的信息}基本操作：1)CreateGraph(&G,V,E)2)DestroyGraph(&G)3)LocateVex(G，u)4)GetVex(G，v)5)PutVex(&G，v，value)6)FirstAdjVex(G，v)7)NextAdjVex(G，v，w)8)InsertVex(&G，v)9)DeleteVex(&G，v)10)InsertArc(&G，v，w)11)DeleteArc(&G，v，w)12)DFSTraverse(G，v，visit())13)BFSTraverse(G，v，visit()) }ADT Graph7.2图的存储•图的数组（邻接矩阵）存储表示typedef enum{DG，DN，AG，AN}GraphKind；typedef struct ArcCell{VRType adj;InfoType*info;}ArcCell,AdjMatrix[MAX_V_NUM][MAX_V_NUM]；typedef struct{VertexType vexs[MAX_V_NUM];AdjMatrix arcs;int vexnum,arcnum;GraphKind kind;}MGraph;7.2.2图的邻接表存储表示typedef struct ArcNode{int adjvex;struct ArcNode*nextarc;InfoType*info;}ArcNode；typedef struct VNode{VertetType data;ArcNode*firsrarc;}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM]; typedef struct{AdList vertices;int vexnum,arcnum;int kind;}ALGraph;创建邻接矩阵存的无向网Status CreateUDN(MGraph&G){//采用数组（邻接矩阵）表示法，构造无向网G。
scanf("%d,%d,%d",&G.vexnum,&G.arcnum,&IncInfo);for(i=0;i<G.vexnum;i++)scanf("%c",&G.vexs[i]);for(i=0;i<G.vexnum;++i)//初始化邻接矩阵for(j=0;j<G.vexnum;++j){G.arcs[i][j].adj=INFINITY;//{adj,info}G.arcs[i][j].info=NULL;}for(k=0;k<G.arcnum;++k){//构造邻接矩阵scanf(&v1,&v2,&w);//输入一条边依附的顶点及权值i=LocateVex(G,v1);j=LocateVex(G,v2);//确定v1和v2在G中位置G.arcs[i][j].adj=w;//弧<v1,v2>的权值if(IncInfo)scanf(G.arcs[i][j].info);//输入弧含有相关信息G.arcs[j][i].adj=G.arcs[i][j].adj;//置<v1,v2>的对称弧<v2,v1>}return OK;}//CreateUDN7.3图的遍历7.3.1深度优先遍历•深度优先搜索（Depth First Search）：–从某个顶点v出发，首先访问该顶点，然后依次从它的各个未被访问的邻接点出发，深度优先遍历图。
直至图中所有和v有路径相通的点都被访问到；若仍有其他顶点未被访问，则另选一个未被访问的顶点作为起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到。
–算法void DFS（Graph G，int v）–DFS生成树7.3.2广度优先遍历•广度优先搜索（Breadth First Search）：–从某个顶点v出发，首先访问该顶点，然后依次访问v的各个未曾访问的邻接点，然后分别从这些邻接点出发依次访问它们的邻接点。
并使得“先被访问的顶点的邻接点”先于“后被访问的顶点的邻接点”被访问，直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到；若仍有其他顶点未被访问，则另选一个未被访问的顶点作为起始点，重复上述过程，直至图中所有结点都被访问到–算法void BFSTraverse（Graph G,int v）–BFS生成树深度优先遍历的序列是：0，2，6，5，1，4，7，3广度优先遍历的序列是：0，2，1，6，5，4，3，77.4图的连通性问题•极小连通子图：–n个结点的连通图中，包涵n个结点和n-1个边构成的连通子图•连通图的生成树：即极小连通子图•非连通图的生成森林•连通网的最小生成树：权值和最小的生成树•求连通网最小生成树的算法–克鲁斯卡尔（Kruskal）算法复杂度：O(eloge)–普里姆（Prim）算法复杂度：O(n*n)–算法比较：当e（边）与n*n差不多时，采用Prim算法快；当e远小于n*n时，采用Kruskal算法快克鲁斯卡尔算法(Kruskal)–算法思想1).构造只含n个结点的森林。
2).按权值从小到大选择边加入到森林中，并使森林不产生回路。
3).重复2直到森林变成一颗树–算法描述:1).设G（V，E），把V＝{1，2，......n}看成孤立的n个连通子图。
边按照权的非递减次序排列。
2).顺序查看边。
对于第k条边（v，w），如果v，w分别属于两个连通字图T1、T2，则用边（v、w）将T1、T2连成一个连通字图。
3).重复2，直至n个结点同属于一个连通图普里姆算法（Prim）–算法思想复杂度O(n*n)1.将所有结点分为两类集合：一类是已经落在生成树上的结点集合，另一类是尚未落在生成树上的结点集合。
2.在图中任选一个结点v构成生成树的树根，形成生成树结点集合。
3.在连接两类结点的边中选出权值最小的边，将该边所连接的尚未落在生成树上的结点加入到生成树上。
同时保留该边作为生成树的树枝。
4.重复3直至所有结点都加入生成树–算法描述1.设G＝（V，E），权A[m,n]，令U＝{1}。
2.if(U≦V)取min(A[i,j])，使i∈U，j∈V－U。
3.将j加入U4.重复2、3，直至U＝V7.5有向无环图及其应用7.5.1拓扑排序•活动顶点网络（AOV，activity on vertex）–以顶点表示活动，以弧表示活动之间的优先制约关系的有向图。
•死锁：–AOV中不允许出现回路，回路意味某活动以自己的结束作为开始的先决条件。
称为死锁。
•拓扑排序、拓扑有序序列–若在有向图中从u到v有一条弧，则在序列中u排在v 之前，称有向图的这个操作为拓扑排序。
所得序列为拓扑有序序列。
若有死锁，则无法获得拓扑有序序列•操作方法：1)选取一个没有前驱的顶点，输出它，并从AOV中网中删除此顶点以及所有以它为尾的弧。
2)重复1）直至输出所有结点•统计有向图邻接表各顶点的入度void FindIndegree(ALGraph G){for(i=0;i<G.vexnum;i++)indegree[i]=0;for(i=0;i<G.vexnum;i++){p=G.vertices[i].firstarc;while(p){indegree[p->adjvex]++;p=p->nextarc;}//while}//for}//FindIndegreeStatus TopologicalSort(ALGraph G){//算法7.12char indegree[MAX_VERTEX_NUM];FindInDegree(G,indegree);//对各顶点求入度indegree[0..vernum-1]InitStack(S);for (i=0;i<G.vexnum;++i)//建零入度顶点栈S if (!indegree[i])Push(S,i);//入度为0者进栈count =0;//对输出顶点计数while (!StackEmpty(S)){Pop(S,i);printf(i,G.vertices[i].data);++count;//输出i 号顶点并计数for (p=G.vertices[i].firstarc;p;p=p->nextarc){k =p->adjvex;//对i 号顶点的每个邻接点的入度减1if (!(--indegree[k]))Push(S,k);//若入度减为0，则入栈}}if (count<G.vexnum)return ERROR;//该有向图有回路else return OK;}//TopologicalSort写出右图的拓扑排序序列:拓扑排序(复杂度O(n+e))抽象方法如何改V1V2V3V5V4V7V6C6135247深度优先遍历退出递归次序7.5.2关键路径•事件：–关于活动开始或完成的断言或陈述。
