6.1 平方根(1)

6.1平方根(第1课时）教学目标1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性;2.了解开方与乘方互为逆运算，会求某些非负数的算术平方根，能化简某些带根号的数，掌握计算根式范围的方法;3.通过学习算术平方根，提升学生的数感和符号感，发展抽象思维;4.通过解决实际生活中的问题，让学生体会数学与生活是紧密联系的.教学重点表示正数的算数平方根教学难点√2多大探究教学过程一、情景引入讲述数学史第一次数学危机：的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。

它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。

实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。

对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。

这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。

这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。

更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。

这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

二、新知探究活动一：算数平方根探究：问题1：学校要举行美术作品比赛，你想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少?说一说，你是怎样算出来的？因为52=25，所以这个正方形画布的边长应取5 dm.问题2：完成表1：正方形的边长/dm 1 3 9 2 3正方形的面积/dm²1 9 81 49思考：你能从表1发现什么共同点吗？已知一个正数，求这个正数的平方，这是平方运算问题3：完成表2：正方形的面积/dm² 4 49 0.36964正方形的边长/dm 2 7 0.6 3 8思考：你能从表2发现什么共同点吗？表1与表2中两种运算有什么关系？已知一个正数的平方，求这个正数；互为逆运算归纳：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a 的算术平方根。

6.1平方根（第一课时）班级： 姓名：【学习目标】1．理解算术平方根的意义，会用根号表示正数的算术平方根，会求一个非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负性。

2. 培养逆向思维能力。

重点难点：理解算术平方根的意义。

【学习过程】一、【自主预习】：（阅读课本40页的内容，完成以下题目）（一）算术平方根的定义表中的问题，实际上是已知一个正数的 ，求 的问题。

2. 算术平方根的定义 一般的，如果一个正数．．x 的 等于a ，即a x =2，那么这个正数．．．．x 叫做 算术平方根．．．．．。

a 的算术平方根记为 ，读作“ ”， a 叫做 。

规定：0的算术平方根是 .（二）算术平方根的性质=2)4( ；=2)91( ；2)2(= ；=2)31( 。

一个非负数的算术平方根一定是 ，一个非负数的算术平方根的平方一定等于 。

a 要有意义，a 的取值范围是三、【合作探究】：例： 求下列各数的算术平方根：(1)100 (2)4964； (3) 0.0001. 精练1.填空：(1)因为_____2=64，所以64的算术平方根是______＝______；(2)因为_____2=0.25，所以0.25的算术平方根是____________；(3)因为_____2=1649，所以1649的算术平方根是____________.2.求下列各式的值：＝______；______；______；______；＝______；＝______.3.根据112＝121，122＝144，132＝169，142＝196，152＝225，162＝256，172＝289，182＝324，192＝361，填空并记住下列各式：_______，_______，_______，_______，_______，_______，_______，_______，_______4.辨析题：小欧认为，因为(－4)2＝16，所以16的算术平方根是－4.你认为小欧的看法对吗？为什么？四、【总结升华】：本节课我的收获：我的疑问：【学习评价】答案：精练的答案：1、（1）8,8,8 （2）0.5,0.5,0.5 （3）4/7 4/7 4/72、9, 10, 1, 3/5, 0.1, 33、11,12,13,14,15,16,17,18,194、不正确,负数没有算术平方根七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）x-在实数范围内有意义,则x的取值范围是（）1．若式子5A．x＞5 B．x≥5 C．x≠5 D．x≥0【答案】B【解析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．-在实数范围内有意义，解：∵式子x5∴x-1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．2．4的算术平方根为（）A．2 B．±2 C．﹣2 D．16【答案】A【解析】根据算术平方根的定义直接选出答案.【详解】4的算术平方根为：1．故选：A．【点睛】本题考查了学生对算术平方根定义的掌握，掌握区分算术平方根和平方根的区别是解决此题的关键.3．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15°30′，则下列结论中不正确的是( )A．∠2＝45°B．∠1＝∠3C．∠AOD与∠1互为邻补角D．∠1的余角等于75°30′【答案】D【解析】根据角平分线性质、对顶角性质、互余、互补角的定义，逐一判断．【详解】A、由OE⊥AB，可知∠AOE=90°，OF平分∠AOE，则∠2=45°，正确；B、∠1与∠3互为对顶角，因而相等，正确；C、∠AOD与∠1互为邻补角，正确；D、∵∠1+75°30′=15°30′+75°30′=91°，∴∠1的余角等于75°30′，不成立．故选D．【点睛】本题主要考查邻补角以及对顶角的概念，和为180°的两角互补，和为90°的两角互余．4．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE 平分∠CAD，交BC于点E，过点 E 作EF∥AC，分别交AB、AD 于点F、G．则下列结论：①∠BAC ＝90°；②∠AEF＝∠BEF；③∠BAE＝∠BEA；④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个【答案】B【解析】利用高线和同角的余角相等,三角形内角和定理即可证明①,再利用等量代换即可得到③④均是正确的,②缺少条件无法证明.【详解】解：由已知可知∠ADC=∠ADB=90°,∵∠ACB＝∠BAD∴90°-∠ACB=90°-∠BAD,即∠CAD=∠B,∵三角形ABC的内角和=∠ACB+∠B+∠BAD+∠CAD=180°,∴∠CAB=90°,①正确,∵AE平分∠CAD,EF∥AC，∴∠CAE=∠EAD=∠AEF,∠C=∠FEB=∠BAD,②错误,∵∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠BEA=∠BEF+∠AEF,∴∠BAE＝∠BEA,③正确,∵∠B=∠DAC=2∠CAE=2∠AEF,④正确,综上正确的一共有3个,故选B.【点睛】本题考查了三角形的综合性质,高线的性质,平行线的性质,综合性强,难度较大,利用角平分线和平行线的性质得到相等的角,再利用等量代换推导角之间的关系是解题的关键.5．下列调查中，适合采用全面调查方式的是（）A．了解某班40名学生视力情况B．对市场上凉糕质量情况的调查C．对某类烟花爆竹燃放质量情况的调查D．对鄂旗水质情况的调查【答案】A【解析】分析：由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，对各选项分析判断后利用排除法求解．详解：A．对某班40名同学视力情况的调查，比较容易做到，适合采用全面调查，故本选项正确；B．对市场上凉糕质量情况的调查，调查面较广，不容易做到，不适合采用全面调查，故本选项错误；C．对某类烟花爆竹燃放质量情况的调查，破坏性调查，只能采用抽样调查，故本选项错误；D．对鄂旗水质情况的调查，无法进行普查，只能采用抽样调查，故本选项错误．故选A．点睛：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．6．有3cm ，6cm ，8cm ，9cm 的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】分析：从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可：四条木棒的所有组合：3cm ，6cm ，8cm 和3cm ，6cm ，9cm 和3cm ，8cm ，9cm 和6cm ，8cm ，9cm ；只有3cm ，6cm ，9cm 不能组成三角形．故选C ．7．若多项式2x bx c ++因式分解后的一个因式是()1x +，则b c -的值是（ ） A ．1-B ．1C ．0D ．2- 【答案】B【解析】根据多项式x 2＋bx ＋c 因式分解后的一个因式是（x ＋1），即可得到当x ＋1＝0，即x ＝−1时，x 2＋bx ＋c ＝0，即1−b ＋c ＝0，即可得到b−c 的值．【详解】解：1x +为2x bx c ++因式分解后的一个因式．∴当10x +=，即1x =-时，20x bx c ++=，即2(1)(1)0b c -+⋅-+=，1b c ∴-+=-，1b c ∴-=．故选：B ．【点睛】本题主要考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．8．定义：平面内的直线l 1与l 2相交于点O ，对于该平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l2的距离分别为a、b，则称有序非实数对(a，b)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，距离坐标为(2，3)的点的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】根据两条相交直线把平面分成四部分，在每一个部分内都存在一个满足要求的距离坐标解答．【详解】如图，直线l1，l2把平面分成四个部分，在每一部分内都有一个“距离坐标”为（2，3）的点，所以，共有4个．故选D．【点睛】本题考查了点到直线的距离，点的坐标的类比利用，读懂题目信息并且理解两条相交直线把平面分成四部分是解题的关键．9．下列图形中不是轴对称图形的是A．B．C．D．【答案】D【解析】根据轴对称图形的定义即可求解.【详解】ABC均为轴对称图形，D不是轴对称图形故选D.【点睛】此题主要考查轴对称图形的定义，解题的关键是熟知轴对称图形的定义.10．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④【答案】B【解析】试题分析：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．故选B．考点：1.正方形的判定；2.平行四边形的性质．二、填空题题11．已知方程2x+y＝3，用含x的代数式表示y，则y＝______．-【答案】32x-=写成用含x的代数式表示y，需要进行移项即得．【解析】把方程2x y1【详解】解：移项得：=-，y32x=-．故答案为y32x【点睛】考查的是方程的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的左边，其它的项移到另一边．∥的一个条件是__________．12．如图，不添加辅助线，请写出一个能判定AB CD【答案】∠1=∠2或∠1=∠3或∠1+∠4=180°【解析】平行线判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可得结论．【详解】∠1与∠2是内错角，如果∠1=∠2，则两直线平行；∠1与∠3是同位角，如果∠1=∠3，则两直线平行；∠1与∠4是同旁内角，如果∠1+∠4=180°，两直线平行．故答案为：∠1=∠2或∠1=∠3或∠1+∠4=180°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解答此类要围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．13．利用如图2的二维码可以进行身份识别，某校模仿二维码建立了一个七年级学生身份识别系统，图2是七年级某个学生的识别图案，黑色小正方形表示2，白色小正方形表示2．将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×22+d×22+2．如图2第一行数字从左到右依次为2，2，2，2，序号为2×23+2×22+2×22+2×22+2＝6表示该生为6班学生．则该系统最多能识别七年级的班级数是___个．【答案】26．【解析】该系统最多能识别七年级的班级数是a×32+b×22+c×12+d×02+2的最大值，由于a，b，c，d的取值只能是2或2，所以当a=b=c=d=2时，序号有最大值.【详解】当a ＝b ＝c ＝d ＝2时，a ×23+b ×22+c ×22+d ×22+2＝2×23+2×22+2×22+2×22+2＝8+4+2+2+2＝26．故答案为26．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，理解题意，得出当a=b=c=d=2时，序号有最大值是解题的关键.14．若关于x 的不等式2x ﹣a≤0的正整数解是1、2、3，则a 的取值范围是_____．【答案】6≤a ＜1．【解析】解：解不等式20x a -≤，得： 2a x ≤， ∵其正整数解是1、2、3， 所以342a ≤<， 解得68a ≤<故答案为：68a ≤<．15．已知31x y =⎧⎨=⎩是方程kx ﹣y ＝2的解，那么k ＝_____． 【答案】1【解析】根据二元一次方程的解的定义解答即可．【详解】解：由题意得，3k ﹣1＝2，解得，k ＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．16．如图，直线12l l ，143=∠，272=∠，则3∠的度数是__________度．【答案】65【解析】先用对角线和平行线的性质将已知和所求角转换到一个三角形中，最后用三角形内角和即可解答 【详解】解：如题：∵12l l∴∠1=∠5由∵∠2=∠4∴∠3=180-∠4-∠5=180-∠1-∠2=65°故答案为65.【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理的知识，其关键是将已知和所求联系在一个三角形上.17．如果22a b =，那么a b =的逆命题是________.【答案】若a b =，则22a b =【解析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，【详解】解：命题“如果22=，结论是a＝b，a b=，那么a＝b”的条件是如果22a b故逆命题是：如果a＝b，那么22=．a b故答案为：若a＝b，那么22=．a b【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．三、解答题18．某商场正在销售A、B两种型号玩具，已知购买一个A型玩具和两个B型玩具共需200元；购买两个A型玩具和一个B型玩具共需280元.（1）求一个A型玩具和一个B型玩具的价格各是多少元？（2）我公司准备购买这两种型号的玩具共20个送给幼儿园，且购买金额不能超过1000元，请你帮该公司设计购买方案？（3）在（2）的前提下，若要求A、B两种型号玩具都要购买，且费用最少，请你选择一种最佳的设计方案，并通过计算说明。

第八早实数6.1平方根⑴【学习目标】1. 理解并掌握算术平方根的概念，会用根号表示一个非负数的算术平方根. 2•了解算术平方根的非负性，会求一个非负数的算术平方根.【学习重点】算术平方根的概念.【学习难点】根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根.散爭环节蓿导行为提示：点然学生的学习的激情，引发学生思考本节课学什么.行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题要认真探究，教会学生落实重点.情景导入生成问题情景导入请同学欣赏本节导图，并回答问题.学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？如果这块画布的面积是12 dm2呢？这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题.这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容•这本节课我们先学习有关算术平方根的概念.自学互研生成能力【自主探究】认真阅读教材P40的内容，并尝试完成下面问题：1. 一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2= a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数.规定：0的算术平方根是0.2. 对于所有正数，被开方数越大，对应的算术平方根也越大. —3. 负数有算术平方根吗？答：负数没有算术平方根.【合作探究】活动1：填表：思考：上述问题可以看作已知什么，求什么问题.学生讨论展示：是已知一个正数的平方，求这个正数的问题•也就是，在等式x 2= a(x > 0)中，已知 的值.归纳结论：一般地，如果一个正数 x 的平方等于a ,即x 2 = a ,那么这个正数 x 叫做a 的算术平方根, 术平方根记为，读作“根号 a ”，a 叫做被开方数•规定：0的算术平方根是0.对应练习：试一试：你能根据等式122= 144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来. 记：(1)一个正数只有一个算术平方根； (2)求算术平方根时，若遇带分数应将其化为假分数，若遇带根号的式子,则应先将含根号的式子化简，然后再求其算术平方根，平方开不尽的用根号表示；(3)具有双重非负性：一: 方数a 是非负数，二是算术平方根的值为非负数.行为提示：教会学生怎么交流，充分在小组内展示自己，提出疑惑，共同解决.【自主探究】解答下面各题：1. 求下列各数的算术平方根:49(1) 100 ; (2)1 ; (3)64；(4)196 ; 49 7⑶64= 8； (4) = 14；= 102. 求下列各式的值：9 3=1； 25 = 5 ； (3) = 2.【合作探究】活动2：思考：(1)什么样的数有算术平方根？正数和 0.(2) 一个数的算术平方根可能为负数吗？不可一(3) >0，其中a > 0.(填不等号)(4) 当非负数a 逐渐变大时，发生怎样的变化？变 一学生讨论交流展示：归纳总结：1.由算术平方根的定义知：a > 0,> 0，即算术平方根的被开方数为非负数.2. 被开方数越大，对应的算术平方根也越大，这个结论对所有正数都成立.交流展示生成新知【交流预展】1. 将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并 将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.2. 各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知” 【展示提升】 a ,求x a 的算 学习笔 £被开 (5)10解: (1) = 10 ；⑵=1 ;知识模块一算术平方根的概念知识模块二算术平方根的性质检测反馈达成目标【当堂检测】1下列各式中无意义的是(D )1A. —B.C.D.22. (—2)2的算术平方根是(A )A. 2B.± 2C. —2D.3. 下列各数没有算术平方根的是(B )2A. 0B.—1C. 10D. 104•求下列各数的算术平方根：16(1)144; (2)1 ; (3)25；(4)0.008 1 ; (5)0.4解：(1)12; (2)1 ; (3)5; (4)0.09 ; (5)0.5.兴华的书房面积为10.8 m2,她数了一下地面所铺的正方形地砖正好是120块，请问每块地砖的边长是多少？解：设每块地砖的边长是x m,则有120x2= 10.8.因为x>0，所以x = 0.3.答：每块地砖的边长为0.3 m.【课后检测】见学生用书课后反思查漏补缺2 .存在困惑：1.收获：______________________________________________________________________________________2 .存在困惑：。