61平方根(3)课件

求 a – 20042的值.
p
作业
作
作业本 业
题目
如果一个数的平方等于9， 这个数是多少？
若x2 = 4 ， 则 x 等于多少? 25
X2 1
16 36
49 64
81
x
88
+1 -1
+4 -4 +6 -6
+7 -7
+99
a 的 平方根 或 二次方
根
即 如果 X2 = a，那么x 叫作 a 的平 方根。
-64，
0， （-4）2，
5
例3 求下列各式的值：
1） 144 2）- 0.81
3） 121
196
4） (-7)2 5）（ 56 ）2
11 -11 0.6 -0.6
64
9
25
1) 一个数的两个平方根是 3a+1 与2(a-8),求这个数.
2)已知 2004 – a + a 2005 = a,
x 表示什么,这里被开 方数x 可以取什么样的数?
1) 1.21 的平方根是 ± 1.1 (√ )
2) 9 的平方根是 3
(× )
3) -5 是 25 的平方根
(√ )
4) 16 的平方根是 ± 4
(× )
5) 平方根是本身的数有0 ,1 (× )
例2 下列各数有平方根吗？如果有，求出它
的平方根; 如果没有，请说明理由。
9 16
的平方根是
3 4
,
3) 因为( 0.5)2 = 0.25,
所以 0.25 的平方根是 0.5.
正数的平方根有什么特点？
0的平方根是多少？ 负数有平方根吗？
正数有 两个 平方根，它们 互为相反数

0的平方根是( 0 )；
负数有平方根吗？
负数( 没有 )平方根．
探究二、平方根的表示方法
ɑ(ɑ≥0)的平方根表示为：
a
aa0
根号 被开方数
读作正、负根号ɑ
则：16的平方根可以写作： 16=±4
3 表示：__3_的__平__方__根_____
请你区别：（ ɑ ≥0 ）
α， α
aa0
， α分别表示什么意义?
（1）100 （2） 9
16
（3）0.25
解 （1）10210,0100的平方根是10 ;
（2）
3
2
9
,
4 16
9 16
的平方根是
3 4
;
（3）0.520.25, 0.25的平方根是 0.5.
归纳平方根的性质
aa0
正数的平方根有什么特点？
正数的平方根有( 两 )个，它们互为相反数；
0的平方根是多少？
x2
aa0
a
输出入x
输出入a
平方根的定义：
aa0
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这 个数叫做a的平方根或二次方根．这就是说，
如果 x2 a，那么x 叫做a的平方根
探究一、平方根与开平方
x2
a
aa0
x2
a
输入x
输出a 输出x
输入a
平方
互为逆 运算
开平方
例题解析
aa0
例4 求下列各数的平方根
aa0
6.1 平方根
（第二课时）
学习目标
aa0
1、掌握平方根的概念与性质. 2、会通过开平方运算求一个非负数的平方根. 3、理解平方与开平方互为逆运算.

1、在同一平面内，‗‗不‗‗相‗‗交‗‗的两条直线叫做平行线； 在同一平面内,两条直线的位置关系只有‗‗相‗‗交‗‗和 ‗‗‗平‗‗行‗‗两种情况；
2、平行公理：经过 直线外 一点，有且只有 一 条 直线与这条直线平行；
3、推论：如果两条直线都与第三条直线‗‗‗平‗‗行‗‗‗， 那么这两条直线也互相平行. 即：如果b∥a，c∥a，那么‗‗‗b‗∥‗‗c‗‗‗‗‗‗；
（2）
5 6
是 25
36
的一个平方根.（√
）
X X （3） 42 的平方根是－4. （ ） （4） 25 的平方根是±5. （ ）
2.求出下列各数的平方根.
⑴0.04
⑵ 81
121
⑶6 1
4
⑷
(2) 81 9 121 11
(3) 25 5 42
4、学习反思： ‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗ ‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗。
五、强化训练
判断题 ①不相交的两条直线叫做平行线( × ) ②两条直线的关系只有相交、平行两种（ × ）
直线b相交逐步变为在直线c 的右侧与b相交。想象一下， 在这个过程中，有没有直线 a与直线b不相交的位置呢？
c a
A
B
b
二、学习目标
1 理解平行线的意义，了解 同一平面内两条直线的两种位 置关系；
2 理解并掌握平行公理及其 推论，会根据几何语句画图、 用直尺和三角板画平行线.
知平
识行
点 一
线 的
8.求满足下列各式的 x 的值.
（1） 25x2 36 0 ; (2) 21 x2 1 ; (3) 1 2x 32 52 .

1 2
立方根的定义
一个数$a$的立方根是一个数$x$，满足$x^3 = a$。
立方根的性质
任何实数的立方根只有一个值，可以是正数、负 数或零。例如，$-8$的立方根是$-2$。
3
立方根的运算规则
$(a^3)^n = a^{3n}$；$(a^n)^3 = a^{3n}$。
平方根与立方根的混合运算
混合运算的顺序
注意事项
先进行乘除运算，再进行加减运算。
在进行混合运算时，需要注意运算顺 序和符号的变化，避免出现计算错误。
运算规则
$(a pm b)^3 = a^3 pm 3a^2b + 3ab^2 pm b^3$。
05
实际应用
平方根在日常生活中的应用
计算土地面积
在农业、土地测量等领域，经常 需要计算土地面积，平方根是计
关系，以及平方根的近似值计算方法。
学生对于本节课的评价和建议
03
学生可以提出自己的意见和建议，以便教师更好地改进教学方
法和课件内容，提高教学质量。
THANKS
感谢观看

开方与乘方的关系
开方是乘方的逆运算，即a的平方根是a的1/2次方。
平方根的近似值计算
如何使用四舍五入法或二分法等近似计算平方根的值。
学生自我评价与反馈
学生对本节课内容的掌握程度
01
学生应该能够理解并掌握平方根的基本概念和性质，以及如何
进行简单的平方根运算。
学生对于本节课难点的理解情况
02
学生应该能够理解平方根与算术平方根的区别、开方与乘方的
平方根的表示方法
代数表示法
在代数中，我们通常用符号√来表示平方根，并在数字上方画一条横线或使用斜杠 来表示。例如，√4=2或√4=∣2∣。

归纳小结 深化新知
• 知识： • 方法： • 收获： • 疑问：
小结与提升 ：
活动 课外探究 深化新知
解下列方程： （1）x2=9； （2）4x2=9；
（3）x2-81=0； （4）（x+1）2=1.
活动六 分层作业 提高能力
作业(必做题）：
1.下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根，如果没有说明理由.
1616 4
4
(3) ∵(±0.5)2＝0.25，
∴0.205.的25平方根0.5是. ±0.5.
口答：1.
下列哪些 (1) 5 数可以求 平方根 (3) - 5
(5) -｜-5︳
（2）0 (4)-(-5）
(6)(- 3)2
(7) –32
(8)
9
2.用符号
表示下列
各数的平 方根
（1） 2 16 （3）
81
(1) 169 13 (2) 0.004 9 0.07 (3) 64 8
81 9
巩固提升
例6：如果一个正数的两个平方根是a-1 和a+3,求a的值及这个正数。
举一反三
1.若(x+1)2+ =y 02，则x+y的值＿＿＿. 2.如果一个正数的两个平方根为2a＋1和 3a－11,则a的值为( ) A. ±1 B. 1 C. 2 D. 9 3.已知2a－1的平方根是±3，b－1的算术平 方根是4，求a＋2b的值.
25
（2）0.2 (4)-(-5）
（5) (-3)2
(6)
81
3.判断正 误（对的 打√,错的 打×）
5
（1） 是5的平方根；
5 （2）- 是5的平方根；
(3）5的5 平方根是 ；

=18
了解算术平方根的概念，会用根号表示一个正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性.
面积 1 如果一个正数x的平方等于a，即 x 2 =a ，那么这个
解:设每块地板砖的边长为x m. 判断题：下列各式是否有意义？为什么？
9
16 36
16 25
a
★那么乘方与谁互为逆运算呢？
（4）
（5）3
边长 判断题：下列各式是否有意义？为什么？
二 算术平方根的双重非负性
一个正数的算术平方根有几个？
求下列各数的算术平方根： 我们已学过了有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方这五种运算。
非负数 a 0
6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
因为22=4 ，所以4的算术平方根是＿＿；
★加法与减法互为逆运算；
了解算术平方根的概念，会用根号表示一个正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性.
得
，
１
表示的意义是什么？它的值是多少？用等式怎样表示？
３４6
4
5?
了解算术平方根的概念，会用根号表示一个正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性.
所以100的算术平方根为10，
上面的问题，实际上是已知一个正数的平 ∵192=
∴
=19
∵202= 400 ∴
=20
⑴100 ⑵
⑶0.
方，求 这个正数 的问题.
第六章 实 数
6.1 平方根
第1课时 算术平方根
学习目标
了解算术平方根的概念，会用根号表 1 示一个正数的算术平方根，并了解算
术平方根的非负性.
2 了解开方与乘方互为逆运算，会用平 方运算求某些非负数的算术平方根.
我们已学过了有理数的加法、减法、乘法、 除法、乘方这五种运算。

0的算术平方根是 0 4、平方运算与开平方运算互为逆运算．
例2 求下列各数的算术平方根： 3是前面学习过的9的算术平方根，
例2 求下列各数的算术平方根：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
负数 没有算术平方根 只有非负数才平方根和算术平方根
读作“正、负根号a ”．
即
．
结论： 算术平方根的性质
正数有一个算术平方根， 有两个平方根。
0 有一个算术平方根—— 0 ， 有一个平方根——0
(4) 62
3．例题解析
例1 求下列各式的值：
(1) 4 ( 2 ) 49 (3) (11)2 81
(4) 62
解：（3）∵ 112 (11)2
(11)2 11
3．例题解析
例1 求下列各式的值：
(1) 4 ( 2 ) 49 (3) (11)2 81
(4) 62
解：（4）∵ 62 62
62 6 a2 a
解：（1）∵
4．归纳数的平方根的特征
正数a的平方根有两个.
解：（负4）∵ 数没， 有平方根．
为什么？
自我检测：相信你是最棒的！
判断下列说法是否正确：
（1）－9的平方根是－3;
（× ）
（2）49的平方根是7 ；
（× ）
（3）（－2）2的平方根是±2 ；（√ ）
（4）－1 是 1的平方根;
（√ ）
（5） 16 的平方根是 ±4，16的算术平方根是4.（× ）
（1）10； （2） 16 ； （3）0.49; 225
（4） ( 3) 2
（5） 9
解：（3）∵ (0.7)2 0.49
∴ 0.49 的平方根是 0.7
例2 . 求下列各数的平方根：

6.1 平方根（第三课时）学案
【学习目标】
1.掌握平方根的概念，明确平方根与算术平方根的联系与区别. 能用符号正 确地表示一个数的平方根 2.理解开平方与平方间的互逆关系.根据这种互逆关系求一个数的平方根.
.
【重点难点】
重点：平方根的概念; 求一个数的平方根. 难点：平方根的概念; 求一个数的平方根.
9
数学活动二:数学活动二：求一个数的平方根
把求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,而平方运算与开平方运算互 为逆运算.根据这种运算关系,可以求一个数的平方根. 例如当 2 时,x=±1; 当 2 时,则x=±4,
x = 16 x =1 2 2 当x = 36 时,x=±6; 当 x = 49 时,x=±7; 2 4 4 2 当x = ,则 ± 为 的平方根,它们的对应关系如图所示. 25 5 25
【当堂达标】
1. 169 的平方根是多少？
2.
16 的值为多少?16的平方根为多少? 16 的平方根呢?
3.若 35 的整数部分为a,小数部分为b,求a、b的值.
4. 有一长方形花坛,长是宽的4倍,其面积为 25m2 ,求长和宽
平方 开平方
数学活动三：应用
1 （2） （3）0 36
2. 121的平方根是多少？
（4）0.01
3.
49
的算术平方根是多少？
【学习体会】
1.本节课你独立思考了那些知识？参与讨论了哪些知识？还 有那些疑惑？ 2.本节课你最成功的地方是什么？说给你小组成员听听.
创设情景
1.如果一个数的平方等于9，则这个数是________;
2.填表
【课中探究】
数学活动一：阅读教材，理解平方根的概念：
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根, 即若 x 2 = a ,则x为a的平方根,记为 x = 为±3 是9的平方根,表示为 ? 3

1.开平方：
求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方, a 叫做被开方数.
2.要点精析： (1)一个正数的正的平方根就是它的算术平方根． (2)平方与开平方是互逆运算．开平方与加、减、乘、除、乘方 一样是一种运算，即： 运算名称：加、减、乘、除、乘方、开平方(非负数)． 运算结果：和、差、积、商、幂、平方根(互为相反数)．
边长是多少？.
解：正方形的面积是边长的平方，根据算术平方根
的定义可得：正方形的边长是 A (A＞0)．
2 如果x 2＝a，那么下列说法错误的是( B ) A. 若x 确定，则a 的值是唯一的 B. 若a 确定，则x 的值是唯一的 C. a 是x 的平方 D. x 是a 的平方根
3 4的平方根是（ C ） A．16 C．±2
1. 定义：若x2=a，则x 叫做a 的平方根.
2. 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数， 0的平方根是0，负数没有平方根.
3. 平方根与开平方间的关系： (1)开平方是求平方根的运算； (2)平方根是开平方运算的结果.
求一个非负数的平方根的方法：
① 求一个非负数a 的平方根，就是要把平方后等于a 的 数找出来，从而求出a 的所有平方根；
因为152＝225，所以225的算术平方根是15.
(2)
2 1 9 44
.因为
3 2
2
9 4
，
所以
2 1 4
的平方根是±
3 2
.
因为
3 2
2
9 4
，所以 2 1 4
的算术平方根是
3 2.
(3)因为
1
2 3
2
1
2 3
2
，
所以
1

2.七彩作业.
第六章
实数
6.1 平方根
第3课时 平方根
学习目标
1.了解平方根的概念,能用符号正确地表示一个数的平方
根,建立符号意识.
2.理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系,明确平方
根和算术平方根之间的联系和区别,提升推理能力.
3.经历从具体到抽象、从特殊到一般的过程,提高抽象
能力.
学习重难点
学习重点：平方根的概念和求一个数的平方根.
C.-1.2是(-1.2)2的算术平方根
D.0.9的平方根是0.3
当堂训练
81
(2)
的平方根是( C )
Hale Waihona Puke 169A.±4
9
B.
4
3
C.±
2
3
D.
2
当堂训练
2.认真填一填.
(1)121的平方根是 ±11 ,5是
25 的一个平方根.
(2)若一个正数的平方根是2a-2和-a+2,则a=
正数为
4 .
0 ,这个
C.非负数的平方根互为相反数
D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
回顾反思
1. 平方根的性质是什么？
2. 怎么表示一个非负数的平方根？
3. 怎样求一个非负数的平方根？
当堂训练
1.精心选一选.
(1)以下叙述中正确的是( B )
A.-16的算术平方根是4
5 25
B. 是 的一个平方根
6 36
7 2 49
49
7
(3)因为
= ,所以±
=± .
3
9
9
3
拓展应用
①④⑤
1.下列说法正确的是_________.

5 625 25 25 2 ± ＝ ，因为 ＝ 16 4 4， 2

625 5 的平方根是 ± 16 2.
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第3课时
平方根
【点悟】 (1)任何一个正数的平方根都是一对相反数， 不能漏掉其中的一个； (2)对于求 a(a≥0)的平方根，先要对 a进行化简，再求它的平方根，即要正确 区分 a的平方根与 a 的平方根的差别．
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第3课时
平方根
12．王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为 2m－6， 它的平方根为± (m－2)．求这个数． 小张的解法如下： 依题意可知，2m－6 是 m－2 或者是－(m－2)两数中的一个．① 当 2m－6＝m－2 时，解得 m＝4，② 2m－6＝2×4－6＝2，③ 这个数为 4；
第3课时
平方根
2019年春人教版数学七年级下册课件
6.1 平方根
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第3课时
平方根
第六章
实数
6.1 平方根 第3课时 平方根
学习指南 知识管理
归类探究
当堂测评
分层作业
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第3课时
平方根
学习指南
教学目标
[教用专有]
1．理解平方根的概念，会求一个非负数的平方根． 2．能运用平方根进行计算求值．
所以±
13 136＝±
49 7 ＝ ± 36 6.
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第3课时
平方根
9．[2018· 广东]一个正数的平方根分别是 x＋1 和 x－5，则 x＝ ____ 2 .

（2）- 0.0625 -0.25 ; （3） 121 11 .
64 8
能力提升题
6.1 平方根/
1.a的一个平方根是3，则另一个平方根是 -3 ，a= 9 .
2.81的平方根是___9_， 81的算术平方根是__3__ .
3.3a-2和2a-3是一个正数的两个平方根，则这两个平方 根是__1_和_-_1_，这个数是_1__.
6.1 平方根/
例如： 4的平方根表示为 ： 4， 4 2
5的平方根表示为 ： 5，
25 的平方根表示为 ： 25， 25 5
36
36 36 6
0的平方根表示为: 0
规定 ： 0 0. 0 0
0的平方根为0.
6.1 平方根/
考 点 1 利用平方根的表示求平方根
分别求下列各数的平方根：
=±
5 3
.
（3）1.21. 有两个平方根
解: 由于1.12 1.21，
因此1.21的平方根是1.1与-1.1.
即± 1.21=± 1.1.
6.1 平方根/
求下列各数的平方根：
（1）81； （2）1265 ； （3）0.49. 解：(1)∵ (±9)2=81，
∴81的平方根为±9．即 81 9 .
4
+3
-3
9
6.1 平方根/
反之，已知一个数的平方，求这个数的运算是什么？
+1
？运算
-1
1
+2
-2
4
+3
-3
9
求一个数的平方根的运算叫作开平方.
6.1 平方根/
开平方与平方是什么关系？
根号
指数
平 方 运 算

自学指导二
• 认真阅读教材p45到p46练习上面的 内容，并回答下列问题：
• 1.归纳数的平方根的特征 • 2.怎样表示正数a的算数平方根？ • 3.怎样表示正数a的平方根？ • 4.怎样表示正数a的负的平方根？
4．归纳数的平方根的特征
正数的平方根有什么特点？ 正数的平方根有两个，它们互为相反数； 0的平方根是多少？ 0的平方根就是0 ； 负数有平方根吗？ 负数没有平方根．
根是平方根的一种。
（2） 存在条件相同：平方根和算术平方根都具有非负
性
（3） 0的平方根和算术平方根都是0。
区别
（1） 定义不同： “如果一个数X的平方等于a，那么这
个数X叫做a的平方根”， “如果一个正数x的平方等于a,即 x2 =a,那么这个正数x叫做a的算术平方根”。
（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数
为什么？
平方根的表示方法、读法P45
可以省略 根指数 根号
a 非负数a的平方根 2
表示为： 2 a
被开方数
一个正数a的正平方根，用“ a”表示，
（读作“根号a”）。又叫a的算术平方根
a的负平方根，用“ a”表示， （读作“负根号a”）。
合起来，一个正数a的平方根就用“ a”表示， （读作“正、负根号a”）。
自学检测1
1.求下列各数的平方根：
（1）100 ；（2） 9 ; （3）0.25 ; （4）2 1 ; （5）0 .
16
4
2. 判断下列说法是否正确，并说明理由． （1）49的平方根是7； （2）2是4的平方根； （3）-5是25的平方根；
（4）64的平方根是 8 ；
（5）-16的平方根是-4．
学习目标： （1）了解平方根的概念；掌握平方根

?
9 4
，
所以 2 1 的平方根是 ? 3 ．
4
2
即? 9 ? ? 3 ．
42
2 求下列各数的平方根：
（1）100 ；（2） 9 ; （3）0（.25 ; 16
解：（5）因为?0 ?2 ? 0 ，
4）2 1 ; （5）0 . 4
所以0的平方根是0．
即? 0 ? 0 ．
四、练习巩固
1 判断下列说法是否正确，并说明理由． （1）49的平方根是7； （2）2是4的平方根； （3）-5是25的平方根；
?1 ?1
1
?2 ?2
4
?3 ?3
9
求平方根
1
?1 ?1
4
?2 ?2
9
?3
?3
两图中的运算有什么关系呢？
2. 求下列各数的平方根：
（1）100 ；（2） 9 ; （3）0（.25 ; 16
4）2 1 ; （5）0 . 4
解：（1）因为??10?2 ? 100 ，
所以100的平方根是 ? 10 ．
即 ? 100 ? ?10．
本课主要学习平方根的概念、平方根的特 征．本课既是前面学习的算术平方根的延续， 又是用直接开平方法、公式法解一元二次方程 的基础，同时本节课也为更好地理解立方根的 概念和求法提供了思路和研究方法．
布置作业
教科书 习题6.1第3、4、7、8题
（4）64的平方根是 ?8 ；
（5）-16的平方根是-4．
小组间互动
2 判断下列各式计算是否正确，并说明理由．
(1) 4 ? ?2； (2) ? 4 ? ?2； (3) ? 4 ? ?2．
小组间互动
3. 说出下列各式的意义，并求它们的值：

1.定义
一般地，如果一个回正数顾x的与平方思等考于a，即x2=a,
那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为 a
读作“根号a”，a叫做被开放数.
2. x 3有意义的条件是 x ______
3.如何求一个非负数的算术平方根.
4.求下列各数的算术平方根.
（1）36（2） 81 （3）7
怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？
解析:（1）依次按键 3136=.显示56 所以 3136 =56
（2）依次按键 2=.显示1.414213562 所以 2 ≈1.414
计算器型号 不同按键顺 序有所不同
哦
例题3.小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向 裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为 3：2，不知能否裁出来，正在发愁，小明见了说“别发愁， 一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”，你
∵1.412=1.988，1.422 =2.0164，1.988＜2＜2.0164
∴ 1.41＜ 2 ＜1.42
∵1.4142=1.999396，1.4152 =2.02225，1.999396＜2＜2.00225 ∴ 1.414＜ 2 ＜1.415
可以借助计算器：按 键，再按2，=键可得 2 的近似值
同意小明的说法吗？小丽能用这张纸片裁出符合要求的纸
片吗？
解析：设长方形纸片的长为3xcm,宽为2xcm.根据题意得 3x·2x=300 6x2=300 x2=50
x= 50 因此，长方形纸片的长为3 50
因为50＞49
所以 50 ＞7 ，3 50＞21
因此不同意小明的说法，小丽不能裁出符合要求的纸片.
x
1
1