高中数学圆锥曲线专题
圆锥曲线专题
考纲要求：
1.掌握直线的各种方程形式，理解直线方程中系数的几何
意义，能够判定直线间的平行或垂直关系，求交点坐标和点到直线的距离。
2.理解圆锥曲线的方程与曲线的几何意义，掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义和标准方程的推导过程，理解这些曲线的几何特性，能够求解与直线或其他曲线的位置关系和交点问题。
知识导图：
见图片）
精解名题：
1.弦长问题
已知椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ 和点 $B(0,-2)$，过点 $B$ 引椭圆的割线 $BD$ 与椭圆交于 $C$、$D$ 两点。
1）确定直线 $BD$ 斜率的取值范围。
2）若割线 $BD$ 过椭圆的左焦点 $F_1$，右焦点
$F_2$ 是椭圆的右焦点，求 $\triangle CDF_2$ 的面积。
2.轨迹问题
已知平行四边形 $ABCO$，$O$ 是坐标原点，点 $A$ 在
线段 $MN$ 上移动，点 $B$ 在双曲线 $\frac{x^2}{169}-
\frac{y^2}{36}=1$ 上移动，求点 $C$ 的轨迹方程。
3.对称问题
已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，直线
$l:y=kx+2$，点 $C(0,c)$ 在直线 $l$ 上方，问椭圆上是否存在
相异两点 $A$、$B$，关于直线 $l$ 对称，请说明理由。
4.最值问题
已知抛物线 $C:x=-2(y-m)^2$，点 $A$、$B$ 及
$P(2,4)$ 均在抛物线上，且直线$PA$ 与$PB$ 的倾斜角互补。
1）求证：直线 $AB$ 的斜率为定值。
2）当直线 $AB$ 在 $y$ 轴上的截距为正值时，求
$\triangle ABP$ 面积的最大值。
5.参数的取值范围
已知 $a=(x,0),b=(1,y)$，且 $(a+3b) \perp (a-3b)$。
1）求点 $P(x,y)$ 的轨迹 $C$ 的方程。
2）直线 $l:y=kx+m(k\neq 0,m\neq 0)$ 与曲线 $C$ 交于$A$、$B$ 两点，且在以点 $D(0,-1)$ 为圆心的同一圆上，求$m$ 的取值范围。
改写后的文章：
圆锥曲线是高中数学中的重要部分，涉及直线和曲线的方程、几何性质和位置关系等内容。在考试中，我们需要掌握直线和圆锥曲线的各种方程形式，理解方程中系数的几何意义，能够判定直线间的平行或垂直关系，求交点坐标和点到直线的距离。同时，我们还需要理解圆锥曲线的方程与曲线的几何意义，掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义和标准方程的推导过程，理解这些曲线的几何特性，能够求解与直线或其他曲线的位置关系和交点问题。
下面是一些例题，供大家练：
1.弦长问题
已知椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ 和点 $B(0,-2)$，过点 $B$ 引椭圆的割线 $BD$ 与椭圆交于 $C$、$D$ 两点。
1）确定直线 $BD$ 斜率的取值范围。
2）若割线 $BD$ 过椭圆的左焦点 $F_1$，右焦点
$F_2$ 是椭圆的右焦点，求 $\triangle CDF_2$ 的面积。
2.轨迹问题
已知平行四边形 $ABCO$，$O$ 是坐标原点，点 $A$ 在
线段 $MN$ 上移动，点 $B$ 在双曲线 $\frac{x^2}{169}-
\frac{y^2}{36}=1$ 上移动，求点 $C$ 的轨迹方程。
3.对称问题
已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，直线
$l:y=kx+2$，点 $C(0,c)$ 在直线 $l$ 上方，问椭圆上是否存在
相异两点 $A$、$B$，关于直线 $l$ 对称，请说明理由。
4.最值问题
已知抛物线 $C:x=-2(y-m)^2$，点 $A$、$B$ 及
$P(2,4)$ 均在抛物线上，且直线$PA$ 与$PB$ 的倾斜角互补。
1）求证：直线 $AB$ 的斜率为定值。
2）当直线 $AB$ 在 $y$ 轴上的截距为正值时，求
$\triangle ABP$ 面积的最大值。
5.参数的取值范围
已知 $a=(x,0),b=(1,y)$，且 $(a+3b) \perp (a-3b)$。
1）求点 $P(x,y)$ 的轨迹 $C$ 的方程。
2）直线 $l:y=kx+m(k\neq 0,m\neq 0)$ 与曲线 $C$ 交于
$A$、$B$ 两点，且在以点 $D(0,-1)$ 为圆心的同一圆上，求$m$ 的取值范围。
1.已知抛物线y=2px(p>0)，过动点M(a,0)且斜率为1的直
线l与该抛物线交于不同的两点A、B
1）若AB≤2p，求a的取值范围
2）若线段AB的垂直平分线交AB于点Q，交x轴于点N，试求Rt△MNQ的面积
解析：
1）由题意得，直线l的斜率为1，则l的解析式为y=x-a。又因为直线l与抛物线y=2px交于不同的两点A、B，则可列
出方程组：
y=2px
y=x-a
解得A、B的坐标为：
A(2ap/(1-p),2ap^2/(1-p))
B(-2ap/(1+p),-2ap^2/(1+p))
由于AB≤2p，所以可以列出不等式：
