高中数学圆锥曲线专题

高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题第一部分：椭圆1．椭圆的概念在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)假设a>c，则集合P为椭圆；(2)假设a＝c，则集合P为线段；(3)假设a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2典型例题例1.F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段例2. 已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( )(A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(1251622≠=+y y x例3. 假设F (c ，0)是椭圆22221x y a b+=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于2M m+的点的坐标是( ) (A)(c ，2b a ±) 2()(,)b B c a-± (C)(0，±b ) (D)不存在例4. 设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22x a +22y b=1(a >b >0)的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,假设∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( )例5 P 点在椭圆1204522=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，假设21PF PF ⊥，则P 点的坐标是 .例6.写出满足以下条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; .(2)焦点坐标为)0,3(-,)0,3(,并且经过点(2，1); . (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的31; ____. (4)离心率为23，经过点(2，0); . 例7 12F F 、是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ⋅的最大值是 ．第二部分：双曲线1．双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：(1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a>c时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)典型例题例8.命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于2a (a >0)；命题乙： 点P 的轨迹是双曲线。

高中数学圆锥曲线压轴题大全(总25页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-数学压轴题圆锥曲线类一1．如图，已知双曲线C ：x a yba b 2222100-=>>()，的右准线l 1与一条渐近线l 2交于点M ，F 是双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点.（I ）求证：O M M F→⊥→； （II ）若||MF →=1且双曲线C 的离心率e =62，求双曲线C 的方程；（III ）在（II ）的条件下，直线l 3过点A （0，1）与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q 且P在A 、Q 之间，满足A P A Q →=→λ，试判断λ的范围，并用代数方法给出证明.2．已知函数f x x n x n f n n x n n N ()()[()]()(*)=≤--+--<≤∈⎧⎨⎩00111，， 数列{}a n 满足a f n nN n=∈()(*) （I ）求数列{}a n 的通项公式； （II ）设x 轴、直线x a =与函数y f x =()的图象所围成的封闭图形的面积为Sa a ()()≥0，求S nS n n N ()()(*)--∈1； （III ）在集合M N N kkZ ==∈{|2，，且10001500≤<k }中，是否存在正整数N ，使得不等式a S n S n n->--10051()()对一切n N >恒成立？若存在，则这样的正整数N 共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N ；若不存在，请说明理由.（IV ）请构造一个与{}a n 有关的数列{}b n ，使得l i m ()n nb b b →∞+++12 存在，并求出这个极限值. 19. 设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程； （II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||A B F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线； （III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP O Q →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.3. 已知数列{}a n 的前n 项和为S n N n ()*∈，且S m m a n n=+-()1对任意自然数都成立，其中m 为常数，且m <-1. （I ）求证数列{}a n 是等比数列；（II ）设数列{}a n 的公比q f m =()，数列{}b n 满足：b a b f b n n 11113==-，() ()*n n N ≥∈2，，试问当m 为何值时，l i m (l g )l i m (n b a n b b b b b b n n →∞=→∞+++3122334…+-b b n n 1)成立？4．设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P ，Q 两点，且P 分向量AQ 所成的比为8∶5．（1）求椭圆的离心率； （2）若过F Q A ,,三点的圆恰好与直线l ：033=++y x 相切，求椭圆方程．5．（理）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n ≥-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y 的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．（文）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n =-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y 的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．6．垂直于x 轴的直线交双曲线2222=-y x 于M 、N 不同两点，A 1、A 2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A 1M 与A 2N 交于点P （x 0，y 0）（Ⅰ）证明：;2202为定值y x +（Ⅱ）过P 作斜率为02y x -的直线l ，原点到直线l 的距离为d ，求d 的最小值. 7．已知函数x x x f sin )(-= （Ⅰ）若;)(],,0[的值域试求函数x f x π∈（Ⅱ）若);32(3)()(2:),,0(],,0[xf x f f x +≥+∈∈θθπθπ求证（Ⅲ）若)32(3)()(2,),)1(,(],)1(,[xf x f f Z k k k k k x ++∈+∈+∈θθππθππ与猜想的大小关系（不必写出过程）.数学压轴题圆锥曲线类二1．如图，设抛物线2:xy C=的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB. 2．设A 、B 是椭圆λ=+223y x上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）3． 已知不等式n n n 其中],[log 21131212>+++ 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足 ,4,3,2,),0(111=+≤>=--n a n na a b b a n n n（Ⅰ）证明 ,5,4,3,][log 222=+<n n b ba n （Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n>时，对任意b>0，都有.51<n a4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值．5．已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =+．(Ⅰ)求函数()g x 的解析式；(Ⅱ)解不等式()()1g x f x x ≥--；(Ⅲ)若()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围．数学压轴题圆锥曲线类三1．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca P F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.2．函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g += （Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ；（Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.3．已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈（I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()nn f x a x a x a x=+++，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.4．已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程； （II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.5．椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程； （Ⅱ）若直线2:+=kx y l与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.6.数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a nn n 且. （Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=….7．已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,21,110N n a a a a n n n ∈-==+ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+（2）求数列}{n a 的通项公式a n .1.解：（I ） 右准线l 12：x a c =，渐近线l 2：y bax =∴=+M a c a b cF c c a b()()22220，，，， ，∴→=O M a c a b c ()2， M F c a c a b c b c a bc →=--=-()()22，，O M M F a b c a bc O M M F →⋅→=-=∴→⊥→2222220 ……3分（II ） e b a e a b =∴=-=∴=621222222，，||()M F b c a b c b b a cb a →=∴+=∴+=∴==1111142222222222，，， ∴双曲线C 的方程为：x y 2221-= ……7分 （III ）由题意可得01<<λ ……8分证明：设l 31：y k x =+，点P x y Q x y ()()1122，，， x =由x y y kx 22221-==+⎧⎨⎩得()1244022--+=kx k x l 3与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q∴-≠=+->+=->=-->⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪∴≠±<<-<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪120161612041204120221012022212212222k k k x x k k x x k k k k k ∆() ∴-<<-122k ……11分 A P A Q x y x y →=→∴-=-λλ，，，()()112211，得x x 12=λ∴+=-=--∴+=--=-=+-()()()1412412116412421222122222222222λλλλx k k x kk k k k k ， -<<-∴<-<∴+>12202111422k k ，，()λλ∴+>∴-+>()1421022λλλλ∴λ的取值范围是（0，1）……13分 2.解：（I ） nN ∈* ∴=--+-=+-f n n n n f nn f n ()[()]()()111 ∴--=f n f n n()()1 ……1分 ∴-=-=-=f f f f f f ()()()()()()101212323……fn fn n ()()--=1 将这n 个式子相加，得fnf n n n ()()()-=++++=+012312f f n n n ()()()0012=∴=+∴=+∈a n n n N n()(*)12……3分 （II ）S n S n ()()--1为一直角梯形（n =1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为fn f n ()()-1，，高为1∴--=-+⨯=+-S n S n f n f n a a n n()()()()112121=-++=12121222[()()]n n n n n……6分（III ）设满足条件的正整数N 存在，则n n n nn ()+->⇔>⇔>12100522100520102 又M ={}200020022008201020122998，，，，，，，∴=N 201020122998，，……，均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列. 设共有m 个满足条件的正整数N ，则2010212998+-=()m ，解得m =495 ∴M 中满足条件的正整数N 存在，共有495个，N m i n =2010 ……9分（IV ）设b a nn=1，即b n n n n n =+=-+212111()()则b b b n n n n 122112121313141112111+++=-+-+-++-+=-+ [()()()()]()显然，其极限存在，并且l i m ()l i m []n nn b b b n →∞→∞+++=-+=122112 ……10分 注：b c a n n=（c 为非零常数），b b q q n a n n a n n n ==<<++()(||)12012121，等都能使l i m ()n n b b b →∞+++12 存在. 19.解：（I ） ec a =∴=2422，c a a c 22312=+∴==，， ∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 4分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()Mx y ，[]2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[] O P O Q xx y y xx k x x xx k xx x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·0110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k xx k k i i =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222 由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l . 14分3.解：（I ）由已知S m m a n n ++=+-1111()()S m m a n n=+-()1 （2） 由()()12-得：a m a m a n n n ++=-11，即()m a m a n n+=+11对任意n N ∈*都成立 {} m m a a m m a n n n 为常数，且即为等比数列分<-∴=++1151（II ）当n =1时，a m m a 111=+-() ∴====+∴==+≥∈---a b I q f m mm b f b bb n n N n n n n 11111113112，从而由（）知，()()()* ∴=+-=∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭∴=+-=+=+∈--1111111131212911b b b b b b n n b n n N n n n n n n n，即为等差数列，分()()*a m m n n =+⎛⎝ ⎫⎭⎪-11∴→∞=→∞-++=+→∞+++=→∞-+-+++-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-l i m (l g )l i m l g l g l i m ()l i m n b a n n n m m mm n bb bb b b n n n n nn n 121133131414151112112231·……由题意知lg mm +=11，∴+=∴=-m m m 110109， 13分4.解：（1）设点),0,(),0,(0c F x Q -其中),0(,22b A b a c -=．由P 分AQ 所成的比为8∶5，得)135,138(0b x P ， 2分 ∴a x a x 231)135()138(022202=⇒=+．①， 4分 而AQ FA b x AQ b c FA ⊥-==),,(),,(0，∴0=⋅AQ FA ．cb x b cx 2020,0==-∴．②， 5分由①②知0232,32222=-+∴=a ac c ac b ．∴21.02322=∴=-+e e e ． 6分（2）满足条件的圆心为)0,2(22cc b O -'， )0,(,2222222c O c cc c a c c b '∴=--=-， 8分圆半径a ca cb r ==+=22222．10分由圆与直线l ：033=++y x 相切得，a c =+2|3|， 又3,2,1,2===∴=b a c c a ．∴椭圆方程为13422=+y x ． 12分5.（理）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分 dn a n nd a d a a a a a y n n n n n n n )21()1()()(11111221+++++=+++++=+++=+++++++d n n a n n 2)1()1(1+++=+ 4分)2)(1()2)(1(1111a a a n nda n n n n -++=++=+++)3(2111a a n n -+=+． 7分又211211,++--≤-∴≥-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-≤-++++，当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+≤-+=+． 13分 当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=，∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分（文）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分 )2)(1(2)1()1()21()1()()(1111111221nda n d n n a n d n a n nd a d a a a a a y n n n n n n n n n ++=+++=+++++=++++=+++=+++++++++)3(21)2)(1(11111a a n a a a n n n n -+=-++=+++， 6分又211211,++--=-∴=-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-=-++++．当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+=-+=+． 13分 当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=．∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分6.解（Ⅰ）证明：)0,2(),0,2(),,(),,(211111A A y x N y x M --- 则设)2(2111++=∴x x y y M A 的方程为直线①直线A 2N 的方程为)2(211---=x x y y ②……4分①×②，得)2(2221212---=x x y y分为定值的交点与是直线即822),(22),2(21,222020210022222121 =+∴=+--=∴=-y x N A M A y x P y x x y y x（Ⅱ）02222),(20020200000=-+=+--=-y y x x y x x x y x y y l 整理得结合的方程为22020201222242y yyx d +=+=+=于是……10分11221122220202020≥+=∴≤+∴≤∴=+y d y y y x 当1,1,1200取最小值时d y y =±=……12分7.解：（Ⅰ）为增函数时当)(,0cos 1)(,),0(x f x x f x ∴>-='∈π分的值域为即求得所以上连续在区间又4],0[)()(0),()()0(],0[)( ππππx f x f f x f fx f ≤≤≤≤（Ⅱ）设)32(3)()(2)(x f x f f x g +-+-=θθ，32sin3sin )(2)(xx f x g +++-=θθ即 )32cos cos (31)(xx x g ++-='θ……6分θπθπθπ=='∈+∴∈∈x x g xx 得由,0)(),0(32),0(],,0[ .)(,0)(,),0(为减函数时当x g x g x <'∈∴θ分为增函数时当8)(,0)(,),( x g x g x >'∈πθ 分因而有对的最小值为则上连续在区间10)32(3)()(20)()(],0[)()(],0[)( x f x f f g x g x x g g x g +≥+=≥∈θθθπθπ （Ⅲ）在题设条件下，当k 为偶数时)32(3)()(2xf x f f +≥+θθ 当k 为奇数时)32(3)()(2xf x f f +≤+θθ……14分 数学压轴题圆锥曲线类二1.解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x切线BP 的方程为：;02211=--x y x x解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P=+=所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310， ,343)(3321021010212010pP P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）方法1：因为).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.0||≠FP∴||41)1)(1(||||cos 102010010FP x x x x x x x x FA FP FA FP AFP +=--+⋅+==∠同理有||41)1)(1(||||cos 102110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +=--+⋅+==∠∴∠AFP=∠PFB. 方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2(1x ，则P 点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的方程而直线即.041)41(1121=+--x y x x x所以P 点到直线BF 的距离为：2||412||)41()()41(|42)41(|1211212122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,041)41(),0(041410020020=+-----=-x y x x x x x x y 即 直线BF 的方程：,041)41(),0(0414********=+-----=-x y x x x x x x y 即 所以P 点到直线AF 的距离为：2||41)41)(2|)41(|41)2)(41(|1020201020220012010201x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=，同理可得到P 点到直线BF 的距离2||012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB.（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根， ∴,0])3(3)3([422>--+=∆k k λ ②且,3)3(2221+-=+k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k=－1，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设),,(),,(2211y x B y x A 则有.0))(())((332121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠ ∵N （1，3）是AB 的中点， ∴.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而又由N （1，3）在椭圆内，∴,1231322=+⨯>λ∴λ的取值范围是（12，+∞）.直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x+y －4=0.（Ⅱ）解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0，代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根，∴).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得 .)3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程得016842=-+-λx x ⑤同理可得 .)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥∵当12>λ时，||||,)12(2)3(2CD AB <∴->-λλ假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为 .2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角⇔|AN|2=|CN|·|DN|，即 ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边,212-=λ由④和⑦知，⑧式右边,2122923)2232)3(2)(2232)3(2(-=--=--+-=λλλλ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆.解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12, ∵CD 垂直平分AB ， ∴直线CD 方程为13-=-x y ，代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,21224,32,1-±-=-±=λλx x 不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλCA)21233,23123(-------+=λλλλDA计算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上.又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆. （注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）3.本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想. （Ⅰ）证法1：∵当,111,0,211111na na a n a a n na a nn n n n n n n +=+≥∴+≤<≥-----时即,1111na a n n ≥-- 于是有.111,,3111,211112312na a a a a a n n ≥-≥-≥-- 所有不等式两边相加可得.13121111na a n +++≥- 由已知不等式知，当n ≥3时有，].[log 211121n a a n >- ∵.][log 22.2][log 2][log 2111,2221n b ba b n b n b a b a n n +<+=+>∴= 证法2：设n n f 13121)(+++= ，首先利用数学归纳法证不等式.,5,4,3,)(1 =+≤n bn f ba n（i ）当n=3时， 由 .)3(11223313333112223b f ba a a a a a +=++⋅≤+=+≤知不等式成立.（ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即,)(1bk f ba k+≤则1)(1)1(11)1(1)1()1(1++⋅++≤+++=+++≤+bb k f k k a k k a k a k a k k k k ,)1(1)11)((1)()1()1()1(bk f bbk k f b b b k f k k b k ++=+++=+++++=即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1 =+≤n bn f ba n又由已知不等式得 .,5,4,3,][log 22][log 21122 =+=+<n n b bb n ba n（Ⅱ）有极限，且.0lim =∞→n n a（Ⅲ）∵,51][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令则有,10242,10][log log 1022=>⇒>≥n n n故取N=1024，可使当n>N 时，都有.51<n a4.解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ，则()2111222222,2242,1 1.43a MA a A F a cca a a c c a abc a b c x y =-=-⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩∴===+=由题意,得 故椭圆方程为 (Ⅱ)()004,,0P y y -≠设001122121102112212000121212350,22tan 115tan y y PF k PF k F PF PF M F PF y k k F PF k k y y y F PF F PF F PF π=-=-<∠<∠<∴∠-∴∠==≤=++=±∠∠∠设直线的斜率,直线的斜率 为锐角。

高中数学-高考圆锥曲线-难题-17道-教师版一、单选题1．（2011·湖北高考真题（文））（2011•湖北）将两个顶点在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则（ ）A ．n=0B ．n=1C ．n=2D ．n≥3 【答案】C2．（2013·全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．112⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭， C ．113⎛⎤-⎥ ⎝⎦， D ．1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B二、解答题3．（2014·上海高考真题（文）） 在平面直角坐标系中，对于直线：0ax by c和点记1122)().ax by c ax by c η=++++（若<0，则称点被直线分隔.若曲线C 与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C 的一条分隔线.⑴求证：点被直线分隔；⑵若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；⑶动点M 到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明轴为曲线E的分割线.【答案】(1)证明见解析；（2）11(,][,)22k ∈-∞-⋃+∞；（3）证明见解析. 4．（2014·福建高考真题（文））已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2. （1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.【答案】（1）24x y =.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明见解析.5．（2011·山东高考真题（文））在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆．如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=﹣3于点D（﹣3，m）．（1）求m2+k2的最小值；（2）若|OG|2=|OD|∙|OE|，（i）求证：直线l过定点；（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由．【答案】（1）2 （2）见解析6．（2013·浙江高考真题（理））图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．【答案】（1）（2）7．（2013·湖北高考真题（文））（2013•湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（1）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1=λS 2？并说明理由．【答案】（1）（2）见解析8．（2011·广东高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，给定抛物线21:4L y x =，实数,p q 满足240p q -≥，12,x x 是方程20x px q -+=的两根，记(){}12,max ,p q x x φ=（1）过点()20001,04A P P P ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭作L 的切线交y 轴于点B ，证明：对线段AB 上的任一点(),Q p q ，均有()0,2P p q φ=； （2）设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足2400a b a ->≠，，过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),'(,)44E P P E P P ，12,l l 与y 轴分别交于,'F F ，线段EF 上异于两端点的点集记为X ，证明：112(,)(,)2P M a b X P P a b φ∈⇔>⇔=；（3）设()21(,)|15144y x D x y y x ⎧⎫≤-⎧⎪⎪⎪=⎨⎨⎬≥+-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，当点(),p q 取遍D 时，求(),p q φ的最小值（记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）min 1ϕ=，max 54ϕ=. 9．（2019·全国高考真题（理））已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G . （i ）证明：PQG 是直角三角形； （ii ）求PQG 面积的最大值.10．（2018·浙江高考真题）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）⎡⎢⎣⎦.11．（2017·山东高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率为2，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：1y k x =E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.【答案】（1）2212x y += （2）SOT ∠ 的最大值为π3 ，取得最大值时直线l 的斜率为12k =±. 12．（2017·浙江高考真题）如图，已知抛物线2x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P （x,y ）13-x 22⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q（I ）求直线AP 斜率的取值范围；（II ）求·PA PQ 的最大值 【答案】（I ）（-1，1）；（II ）2716. 13．（2014·重庆高考真题（理））如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F ∆.（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的圆，其方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 14．（2015·湖北高考真题（文））一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子在滑槽AB 内作往复运动时，带动绕O 转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221164x y +=；（Ⅱ）存在最小值8． 15．（2014·重庆高考真题（文））如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F ∆.（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的圆，其方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 16．（2015·江苏高考真题）（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.【答案】（1）x 22+y2=1（2）y=x−1或y=−x+1．17．（2015·重庆高考真题（文））（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）如图，椭圆x 2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1,F2,且过F2的直线交椭圆于P,Q两点，且PQ⊥PF1.（Ⅰ）若|PF1|=2+√2，|PF2|=2-√2，求椭圆的标准方程.（Ⅱ）若|PQ|=λ|PF1|，且34≤λ≤43，试确定椭圆离心率的取值范围.【答案】（Ⅰ）x 24+y2=1，（Ⅱ）√22<e≤√53.。

(1)当5AC =时，求cos POM ∠(2)求⋅PQ MN 的最大值．7．已知抛物线1C ：28x y =的焦点点，1C 与2C 公共弦的长为4(1)求2C 的方程；(2)过F 的直线l 与1C 交于A ，（i ）若AC BD =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与系.8．已知圆()(2:M x a y b -+-点O 且与C 的准线相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)点()0,1Q -，点P （与Q 不重合）在直线切线，切点分别为,A B ．求证：9．已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为于y 轴的直线l 交曲线1C 于点Q 两点．a b (1)求椭圆的方程；(2)P 是椭圆C 上的动点，过点P 作椭圆为坐标原点）的面积为5217，求点12．过坐标原点O 作圆2:(2)C x ++参考答案：）(),0a-，(),0F c，所以AF时，在双曲线方程中令x c=，即2bBFa=，又AF BF= ()所以BFA V 为等腰直角三角形，即易知2BFA BAF ∠=∠；当BF 与AF 不垂直时，如图设()()0000,0,0B x y x y >>00tan(π)y BFA x c -∠=-即tan -又因为00tan y BAF x a∠=+，002tan 2y x aBAF +∠=4．(1)21±2(2)证明见解析.【分析】（1）求出椭圆左焦点F1 1x5．(1)21 2x y =(2)1510,33 P⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式可解；【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：三角换元法；（5）平面向量；（7．(1)2213x y -=(2)（i ）36±；（ii ）点F 在以【分析】（1）根据弦长和抛物线方程可求得交点坐标，结合同焦点建立方程组求解可得；（2）（i ）设()11,A x y ，(2,B x 物线方程和双曲线方程，利用韦达定理，结合以及点M 坐标，利用FA FM ⋅【详解】（1）1C 的焦点为(0,2F 又1C 与2C 公共弦的长为46，且所以公共点的横坐标为26±，代入所以公共点的坐标为(26,3±所以229241a b -=②联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩，得28160x kx --=，Δ=联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2231129k x kx -++则3421231kx x k +=--，342931x x k =-，9．(1)2212x y +=，2212x y -=(2)12y x =-或12y x=(3)2【分析】（1）用b 表示12,e e ，由12e e ⋅=10．(1)2222114222x y x y +=-=，；(2)1；(3)是，=1x -【分析】（1）根据椭圆和双曲线的关系，结合椭圆和双曲线的性质，求得343+因为AB 既是过1C 焦点的弦，又是过所以2212||1()AB k x x =+⋅+-且121||()()22p p AB x x x =+++=所以212(1)k +=2240123(34)k k +,【点睛】因为//l OT ，所以可设直线l 的方程为由22x y =，得212y x =，得y '所以曲线E 在T 处的切线方程为联立22y x m y x =+⎧⎨=-⎩，得2x m y m =+⎧⎨=⎩()2,22N m m ++NT。

高中数学_圆锥曲线400题一、单选题( ) 1. 一双曲线的两渐近线为1:20L x y -=与2:20L x y +=且通过点()﹐其方程式为(1)22182x y -= (2)22182x y -=- (3)22128x y -= (4)22128x y -=-﹒( ) 2. 拋物线2118y x =+的焦点在 (1)()0,3 (2)()0,10 (3)330,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ (4)2570,32⎛⎫⎪⎝⎭﹒( ) 3. 在坐标平面上﹐过点()2,5P 而与双曲线221254x y -=相切的直线有几条﹕ (1)0 (2)1 (3)2(4)3 (5)4﹒( ) 4. 坐标平面上有一双曲线﹐已知其两焦点为()10,2--与()10,2-﹐一渐近线的斜率为34-﹐问此双曲线的贯轴长度为何﹕ (1)3 (2)4 (3)6 (4)8 (5)16﹒( ) 5. = (1)其长轴长为(2)其短轴长为(3)正焦弦长为(4)长轴的两端点为()6,2-﹑()6,2-- (5)长轴的方程式为0x y +=﹒( ) 6. 设拋物线的对称轴平行于y 轴且通过()1,0﹑()0,5-﹑()2,11三点﹐则方程式为 (1)245y x x =+- (2)265y x x =-- (3)245y x x =+- (4)2325y x x =+-﹒( ) 7. 通过点()1,1且与椭圆2223x y +=相切的直线方程式为 (1)23x y += (2)210x y -+= (3)23x y += (4)21x y -=﹒( ) 8. 拋物线的方程式为()()()2223465425x y x y +-=-+-﹐那么它的对称轴方程式为 (1)3470x y +-= (2)90x y +-= (3)4380x y --= (4)68310x y +-=﹒( ) 9.如右圖﹐A ﹐B ﹐C ﹐D 四個點中有一點是橢圓的焦點﹐選出該焦點： (1)A (2)B (3)C (4)D ﹒( )10. 下列何者正确﹕ (1)与拋物线恰交于一点的直线是切线 (2)与椭圆恰交于一点的直线是切线 (3)与双曲线恰交于一点的直线是切线 (4)通过()1,3作椭圆2299x y +=的切线恰有一条﹒( )11. 设k 为一常数﹐若方程式222117x y k k +=+-表一椭圆且与双曲线221759x y -=有相同的焦点﹐则k 的值为 (1)9- (2)9-或8 (3)10- (4)10-或9﹒( )12. 已知方程式()()2225423x y x y ⎡⎤-+=+-⎣⎦的图形为拋物线Γ﹐则Γ的正焦弦长为何﹕ (1)(2)(3)(4)5 (5)10﹒( )13. 下列各叙述何者为真﹕ (1)若双曲线的两渐近线互相垂直﹐则此双曲线必为等轴双曲线(2)设a ﹑b ﹑c 为实数﹐方程式22ax by c +=的图形是双曲线⇔0ab < (3)若直线L 与圆锥曲线Γ恰交于一点P ﹐则L 必为Γ的切线 (4)过双曲线的中心可作双曲线的二条切线﹒( )14. 设P 为双曲线22:1916x y Γ-=在第一象限的一点﹐若1F ﹑2F 为Γ的两焦点且12:1:3PF PF =﹐则下列哪些值可能为△12PF F 的周长﹕ (1)18 (2)20 (3)22 (4)24 (5)26﹒( )15. 拋物线的顶点为()1,0﹐焦点为()0,1﹐则下列何者正确﹕ (1)其方程式为()241y x =- (2)其对称轴为10x y --= (3)其方程式为22261070x xy y x y +++-+= (4)其正焦弦长为4 (5)其准线为30x y --=﹒( )16. 求椭圆229436x y +=上的点P 到直线:210L x y +=的最长距离为 (1)15 (2) (3)5( )17. 求拋物线28y x =被直线22x y -=所截的弦长为 (1)40 (2)(3)(4)50﹒ ( )18. 阿光在做习题时﹐遇到一题题目如下﹔「求过点()3,5且与双曲线22:48210x y x y Γ--+-=相切的直线方程式﹒」阿光的作法如下﹔35435821022x y x y ++⨯--⨯+⨯-= ⇒125412510x y x y ---++-= ⇒8480x y --=⇒220x y --=﹒答﹔切线方程式为220x y --=﹒就阿光的作法与答案﹐试判别下列何者为真﹕ (1)作法与答案皆正确(2)作法正确﹐但计算过程中有发生错误﹐使得答案不正确(3)作法正确﹐但答案错误﹐因为切线要有两条﹐所以阿光少写一条铅直切线3x = (4)作法不正确﹐因为()3,5不在双曲线上﹒( )19.同例題1﹐如果調整檯燈罩﹐將其往下壓﹐如圖﹒那麼桌面上S 區域的邊界是下列哪種圓錐曲線的一部分？ (1)圓 (2)橢圓 (3)拋物線 (4)雙曲線﹒( )20. (1)10(2)10+(3)14 (4)15﹒二、多选题( ) 1. 已知一拋物线的焦点为()4,3﹐准线为y 轴﹐则下列哪些点也在此拋物线上？ (1)()2,3(2)()4,7 (3)()4,1- (4)()4,3- (5)()0,3﹒( ) 2. 已知椭圆的长轴平行于x 轴﹐中心为()1,2且通过点()4,6﹐试问下列哪些点一定会在这椭圆上﹕ (1)()3,4 (2)()4,2- (3)()5,6 (4)()2,2-- (5)()2,6-﹒( ) 3. 已知拋物线方程式为284200y x y -++=﹐则 (1)对称轴为2x = (2)顶点()2,2- (3)焦点()2,0 (4)正焦弦长为8 (5)开口向上﹒( ) 4. 直线y x k =+与双曲线22412y x -=的相交关系为 (1)0k =时﹐没有交点 (2)3k =时﹐有一个交点 (3)3k <-时﹐有二个交点 (4)3k >时﹐没有交点 (5)k =时﹐没有交点﹒( ) 5. 下列有关双曲线224x y -=的叙述哪些是正确的？ (1)顶点为()0,2与()0,2- (2)贯轴长为2 (3)贯轴与共轭轴等长 (4)渐近线互相垂直 (5)通过中心可作出两条切线﹒( ) 6. 下列方程式何者表示一个完整的拋物线﹕ (1)()()222253412x y x y +=+- (2)(3)2y -=(4)25410y x y +--= (5)25x y +-﹒( ) 7. 设a ﹑b ﹑c 为实数﹐若二次函数2x ay by c =++的图形通过()1,0且与y 轴相切﹐下列何者为真﹕ (1)0a < (2)0b > (3)1c = (4)240b ac +> (5)0a b c ++≥﹒( ) 8. 已知坐标平面上三点()3,0A ﹐()3,0B -﹐(),P x y ﹐下列叙述哪些是正确的？(1)若8PA PB +=﹐则P 点的轨迹是一个椭圆 (2)若6PA PB +=﹐则P 点的轨迹是一个圆 (3)若4PA PB +=﹐则P 点的轨迹是一个椭圆 (4)若PA PB =﹐则P 点的轨迹是一条直线(5)若3PA PB -=﹐则P 点的轨迹是双曲线的一支﹒( ) 9. 设220ax cy dx ey f ++++=﹐22220a c d e +++≠在坐标平面﹐下列叙述何者正确﹕ (1)若0ac <﹐图形不可能为无图形 (2)0ac =﹐则图形为一直线 (3)0f =时必过原点 (4)若图形为椭圆﹐则0ac > (5)0ac >时图形可能为点﹒( )10. 一双曲线贯轴平行y 轴﹐中心为()1,2-且过()2,4-﹐则下列哪些点也会在双曲线上﹕ (1)()0,3 (2)()1,3- (3)()1,1- (4)()2,0- (5)()0,0﹒( )11. 关于10Γ=﹐则下列何者为真﹕ (1)Γ表一椭圆 (2)Γ表一双曲线 (3)Γ的中心为()2,2- (4)Γ对称于直线20x -= (5)Γ的一顶点为()2,3﹒( )12. 在坐标平面上﹐请问下列哪些直线与双曲线221364x y -=不相交﹕ (1)3y x = (2)32y x =(3)31y x =+ (4)3y x =- (5)100y =﹒( )13. 下列叙述何者正确﹕ (1)已知拋物线上三点﹐可以求出拋物线之方程式 (2)已知顶点及正焦弦长﹐可以求出拋物线之方程式 (3)已知椭圆的两焦点及椭圆上一点﹐可以求出椭圆的方程式 (4)已知椭圆的中心及长轴﹑短轴的长度﹐可以求出椭圆的方程式 (5)已知椭圆的四个顶点坐标﹐可以求出椭圆的方程式﹒( )14. 下列哪些叙述是正确的﹕ (1)Γ为拋物线﹐L 为一直线﹐若L 与Γ仅有一个交点﹐则L必为Γ的切线 (2)Γ为椭圆﹐L 为一直线﹐若L 与Γ仅有一个交点﹐则L 必为Γ的切线 (3)Γ为双曲线﹐L 为一直线﹐若L 与Γ仅有一个交点﹐则L 必为Γ的切线 (4)Γ为一圆锥曲线（拋物线、椭圆或双曲线）﹐V 为它的一个顶点﹐L 为过V 的对称轴﹐则过V 的切线必与L 垂直 (5)Γ为一圆锥曲线（拋物线、椭圆或双曲线）﹐P 在Γ上﹐则通过P 恰可作一条Γ的切线﹒( )15. 下列各方程式中﹐哪些图形的焦点相同﹕ (1)22192x y -= (2)22129x y -= (3)223824x y -= (4)22143x y += (5)221143x y +=﹒( )16.在()0,0O 有三個同心圓﹐半徑為1﹐2﹐3﹐在()4,0P 有四個同心圓﹐半徑為1﹐2﹐3﹐4﹐如右圖所示﹒A ﹐B ﹐C ﹐D ﹐E ﹐F 在某一個橢圓上﹐則下列有關此橢圓的選項哪些是正確的？ (1)中心為()2,0(2)長軸長為4 (3)短軸長為3 (4)一頂點為9,02⎛⎫⎪⎝⎭(5)一焦點為()4,0﹒( )17. 下列哪些叙述是正确的﹕ (1)()()22321250x y x y -+++-=的图形为两直线 (2)2的图形为双曲线的一支 (3)24y x =与24y x =图形的形状与大小均相同（不论位置） (4)22260x y -+=与22260x y --=图形的形状与大小均相同（不论位置） (5)2262x y =+与2262y x =+图形的形状与大小均相同（不论位置）﹒( )18. 坐标平面上﹐下列哪些直线与双曲线22:149x y Γ+=-不相交﹕(1)230x y -= (2)3210x y -+= (3)210x y -+= (4)320x y += (5)3y =﹒( )19. 一拋物线Γ的方程式为28x y =﹐()P 为Γ上一点﹐今有一平行y 轴的光線自上方射向P ﹐經反射後射到Γ上另一點Q 再反射﹒令1L 為過P 的切線﹐2L 為過Q 的切線﹐1L 和2L 交於R ﹒則下列哪些正確﹖(1)Q 的坐標為23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(2)經過Q 的反射線與y 軸交於()0,1103(3)2L 320y ++= (4)1L 與2L垂直 (5)R 的y坐標為2-﹒( )20. 已知坐标平面上一双曲线Ω的对称轴平行坐标轴﹐贯轴长2﹐图形过()2,10A -﹐()4,10B ﹐()1,4C 三点﹐且这三点不在双曲线的同一支上﹒关于此双曲线﹐下列哪些叙述是正确的﹕ (1)Ω的贯轴平行x 轴 (2)Ω与x 轴必相交 (3)Ω与直线5y =没有交点 (4)Ω与直线1x =交于两点 (5)一直线过点()1,4C 且平行于Ω的其中一条渐近线﹐则此直线与Ω交于两点﹒( )21. 设1F 与2F 为坐标平面上双曲线22:1916x y Γ-=的两个焦点﹐P 为Γ上一点﹐使得此三点构成一直角三角形；试问符合条件的P 点有n 个﹐则n =﹕ (1)4n ≥ (2)4n ≤ (3)6n ≥ (4)6n ≤ (5)8n ≥﹒( )22. 关于双曲线22:1254y x Γ-=﹐下列哪些叙述是正确的﹕ (1)过点()0,0的直线不可能与Γ相切 (2)过点()5,0-有两条切线 (3)斜率为52的切线有两条 (4)斜率为3的切线有两条 (5)斜率为2的直线有可能将双曲线的两支分在此直线的两侧﹒( )23. 2=的点(),x y 所成的图形﹐下列叙述何者正确﹕ (1)此图形为一椭圆 (2)此图形为一双曲线 (3)此图形的中心在()1,1-(4)此图形对称于20x y -+= (5)已知此图形上有一点22⎛ ⎝⎭﹐则22⎛ ⎝⎭必也在此图形上﹒( )24. 关于双曲线22:1254y x Γ-=﹐下列哪些叙述是正确的﹕ (1)过点()0,0的直线不可能与Γ相切 (2)Γ的共轭双曲线的焦点为(0, (3)斜率为52的切线有两条 (4)斜率为3的切线有两条 (5)斜率为2的直线有可能将双曲线的两支分在此直线的两侧﹒( )25. 设a 与b 为实数﹐关于二元二次方程式22240x ay bx y ++-=的图形Γ﹐下列哪些叙述是正确的﹕ (1)若Γ是一椭圆﹐则0a < (2)若Γ是一双曲线﹐则0a > (3)若Γ是一圆﹐则1a = (4)若Γ是一拋物线﹐则0a =且0b = (5)若0a =且0b =﹐则Γ是一拋物线﹒( )26. 已知()1,2A ﹐()3,1B --﹐()5,5C ﹐:0L x y -=﹐满足下列条件的P 的图形叙述何者正确﹕ (1)0PA PB -=时图形为双曲线的一支 (2)10PB PC +=时图形为椭圆 (3)P 到C 的距离与P 到直线L 的距离相等时为拋物线 (4)15PB PC +=时图形为椭圆 (5)4PA PB -=时图形为双曲线﹒( )27. 下列何者为真﹕ (1)椭圆内接最大面积的矩形﹐此矩形必为正方形 (2)过点()3,4可做2条切线与双曲线221916x y -=相切 (3)过点()0,0可做1条切线与双曲线221916x y -=相切 (4)等轴双曲线的正焦弦长等于贯轴长 (5)若1Γ﹑2Γ互为共轭双曲线﹐又双曲线1Γ的两焦点间的距离为4﹐则2Γ的两焦点间的距离亦为4﹒( )28. 已知等轴双曲线Γ的一条渐近线为0x y +=﹐中心的坐标()1,1-且Γ过点()4,0﹐试问下列叙述哪些是正确的﹕ (1)Γ的两渐近线互相垂直 (2)0x y -=为Γ的另外一条渐近线(3)Γ的贯轴在直线1x =上 (4)点()3,1--为Γ的一个焦点 (5)点(1,1-+为Γ共轭双曲线Γ'的一个顶点﹒( )29. 设xy 平面上Γ6=﹐试问下列叙述哪些是正确的﹕ (1)Γ的图形可以当成两个拋物线 (2)Γ的贯轴所在直线是两渐近线的角平分线 (3)3410x y -+=是Γ的对称轴 (4)1711,55⎛⎫- ⎪⎝⎭是Γ的顶点 (5)147,55⎛⎫- ⎪⎝⎭是Γ的顶点﹒( )30. 已知双曲线的两条渐近线方程式为20x y +=与20x y -=﹐两顶点的距离为1﹐下列何者可能是此双曲线的方程式﹕ (1)224161x y -= (2)221641x y -= (3)2241x y -= (4)2241x y -+= (5)2241x y -+=﹒三、填充题1. 求拋物线2112y x x =-+-的焦点坐标为____________﹒2. 设双曲线22:1416x y Γ-=﹐P 为其上动点﹐1F ﹑2F 为其两焦点﹐求(1)若15PF =﹐则2PF =____________﹒(2)若19PF =﹐则双曲线上满足此条件的P 点共有____________个﹒ 3. 设k 为实数且2y x kx k =++的图形与直线21y x =+没有交点﹐则k 的范围为____________﹒ 4. 设直线:32L x y k =+与拋物线2:y x Γ=相切﹐则k 值为____________﹒ 5. 已知拋物线顶点()1,2﹐焦点()1,2-﹐则准线方程式为____________﹒6. 求拋物线2134y x x =-++的焦点坐标为____________﹒7. 设椭圆22:14x y Γ+=与直线1:3L y x k =+交于相异两点﹐则k 的范围为____________﹒8. 双曲线的方程式为229490x y -+=﹐则共轭双曲线的共轭轴长为____________﹒ 9. 椭圆22114x y +=与直线2y x k =+交于相异两点﹐则k 的范围为____________﹒10. 设L 为过点()1,0-且斜率为m 的直线﹐若L 与拋物线24y x =相交于相异两点﹐则m 的范围为____________﹒11. 双曲线的共轭轴为y 轴﹐贯轴平行x 轴﹐一焦点为()2,2且通过点222,3⎛⎫⎪⎝⎭﹐则其贯轴长为____________﹒12. 拋物线的准线:3L x =﹐焦点()3,0F -﹐则此拋物线方程式为____________﹒ 13. 求椭圆22346850x y x y +-+-=的长轴长为____________﹒14. ()()2241x y x y +-+=的图形为一双曲线﹐其标准式为____________﹒ 15. 双曲线中心为()6,6﹐贯轴平行x 轴﹐贯轴长为10﹐中心至焦点距离为13﹐则(1)其渐近线方程式为____________﹒(2)其共轭双曲线方程式（标准式）为____________﹒ 16. 设一拋物线的顶点为()3,2﹐焦点为()5,2﹐则(1)此拋物线的方程式____________﹒ (2)准线方程式为____________﹒17. 设22:164x y k k Γ+=--（k 为实数）﹐若Γ表一焦点在x 轴上的椭圆﹐则k 的范围为____________﹒18. 曲线222430x xy y x y +++++=与1x y +=-之交点为A ﹑B ﹐则AB =____________﹒ 19. 双曲线()()22211416x y +--=上两点(),m n ﹑(),2m n +﹐则m =____________﹒20.如圖﹐一拋物線鏡滿足方程式22y x =﹐一光線從()5,2平行對稱軸射向鏡面上P 點﹐經反射又射到拋物線鏡面上的Q點﹐則Q 點的坐標為____________﹒21. 椭圆22421610x y x y +--+=﹐则(1)中心坐标为____________﹒(2)焦点坐标为____________﹒(3)长轴长为____________﹒ (4)短轴方程式为____________﹒(5)正焦弦长为____________﹒22. xy 平面上三点A ﹑B ﹑C ﹐已知()0,5A ﹐()0,5B -﹐AC =BC =﹐则以A ﹑B 为两焦点且通过C 点的双曲线方程式为____________﹒23. 已知21:45y x x Γ=+-与22:241y x x Γ=-+-交于A ﹑B 两点﹐则直线AB 的方程式为____________﹒24. 若一椭圆的两焦点为()12,3F ﹐()22,3F -﹐长轴长为10﹐试求(1)椭圆的正焦弦长为____________﹒(2)椭圆的方程式为____________﹒ 25.設一光線沿著2y =的直線行進﹐在拋物線22y x =上的兩點B ﹑C 反射（如圖）﹐則CD方程式為____________﹒26. 等轴双曲线Γ的一条渐近线为20x y -=﹐中心的坐标()2,1且Γ过点()3,2﹐则此双曲线Γ的方程式为____________﹒27. 有一拋物线Γ的对称轴为10y +=且准线为1x =﹓若Γ的正焦弦长是12﹐则Γ的方程式为____________﹒28. 已知平面上两点﹐()5,0A -﹐()3,0B ﹐若动点(),P x y 满足﹐则(1)10PA PB +=﹐P 点轨迹为____________﹒ (2)8PA PB -=﹐P 点轨迹为____________﹒29. 设Γ为以()10,0A ﹐()10,0B -为焦点且过(C 的椭圆﹐则(1)Γ的方程式为____________﹒ (2)内接矩形的最大面积为____________﹒ 30.设)4P-为椭圆()222148y x ++=上一点﹐且1F ﹑2F 为椭圆的两焦点﹐12F PF ∠的角平分线方程式为____________﹒ 31.右圖是一個雙曲線﹐且A ﹑B ﹑C ﹑D ﹑E 五個點中有一為其焦點﹐試判斷其焦點為____________﹒32. 椭圆22:943624360x y x y Γ++++=﹐则Γ的长轴方程式为____________﹒ 33. 过()3,2且与22236x y -=相切的直线方程式为____________﹒34. k 的图形是椭圆﹐则常数k 的范围为____________﹒35. 已知()5,3A -﹐()1,3B --为平面上两点﹐则以A 为顶点﹐B 为焦点的拋物线方程式为____________﹒36. 设双曲线Γ方程式为22491618430x y x y -+++=﹐而1F ﹑2F 是Γ的焦点﹐试回答下列问题﹔(1)两焦点1F 与2F 的坐标为____________﹒(2)若(),P x y 是Γ上的任一点﹐则12PF PF -=____________﹒ (3)两渐近线的方程式为____________﹒37. 设一直线L 与椭圆22312210x y x y ++-+=相切于一点()1,4P -﹐则L 的方程式为____________﹒ 38. 方程式22193x y k k +=--的图形﹐表示椭圆其长轴在x 轴上﹐则k 的范围为____________﹒39.如圖﹐用尺量量看﹐哪一點最有可能是橢圓的焦點﹖答﹕____________﹒ （請填代號）40. 直线20x y t -+=与图形x =t 的范围为____________﹒ 41. 「P 点与()5,0F 之距离」比「P 到直线:80L x +=之距离」多2﹐则P 点的轨迹方程式为____________﹒42. 有一椭圆其一焦点为()2,1-﹐短轴的一端点为()1,4﹐长轴平行y 轴﹐则此椭圆的方程式为____________﹒43. 双曲线方程式为()()2293162144x y ---=﹐则此双曲线的焦点坐标为____________﹒ 44. 以()1,1为顶点且通过()3,3A 与()1,3B -的拋物线方程式为____________﹒ 45. P 为椭圆()()221424x y ++-=上一点﹐直线:3412L x y +=﹐则(1)P 到直线L 的最长距离为____________﹒ (2)椭圆对直线L 的正射影长为____________﹒46. 若直线416ax y +=与椭圆221167x y +=相切﹐则a =____________﹒（二解）47. 双曲线的两焦点()12,6F -﹐()22,4F --且通过点()2,4P -﹐则此双曲线方程式为____________﹒ 48. 平面上有一椭圆﹐已知其焦点为()0,0和()4,4-且2x y +=为此椭圆的切线﹐则此椭圆的正焦弦长为____________﹒49. 设椭圆22432412240x y x y +-++=﹐则(1)中心坐标为____________﹒(2)正焦弦长为____________﹒50. 直线2y x k =+与2513y x x =-+交于两点P ﹑Q ﹐若3PQ =﹐则k =____________﹒51. 设方程式()()2223151x y k k +-+=-+的图形为贯轴平行y 轴的双曲线﹐则k 的范围为____________﹒52. 若方程式22132x y t t +=--的图形为椭圆﹐则t 的范围为____________﹒53. k =图形为一线段﹐k =____________﹒54. 拋物线253y x x =-++的一切线L 且垂直35x y -=﹐则L 的方程式为____________﹒ 55. 设拋物线的对称轴平行于y 轴且通过()0,3﹑()2,0﹑()4,5-﹐则这拋物线的焦点坐标为____________﹒56. 设22141x y t t +=-+为焦点在y 轴的双曲线﹐则t 的范围为____________﹒57. 双曲线()()2211:1169x y Γ---=﹐试求下列各直线与双曲线Γ的交点个数﹔(1)()3114y x -=-﹔____________个 (2)34y x =﹔____________个 (3)()4113y x -=-﹔____________个 (4)4x =﹔____________个 (5)14y x =﹔____________个﹒ 58. 设一拋物线的对称轴平行于x 轴且过()1,1﹑()3,2﹑()3,1-三点﹐则拋物线方程式为____________﹒59. 双曲线6Γ=﹐则(1)此双曲线的中心点坐标为____________﹒(2)贯轴长为____________﹒60. 设()1,0A ﹐()1,0B -为平面两定点﹐(),P x y 为动点﹐若△PAB 的周长为8且△PAB 的面积为2﹐则22x y +=____________﹒61. 若P 为拋物线2:1y x Γ=-上的动点﹐Q 为圆()22:11C x y +-=上的动点﹐则(1)PQ 的最小值为____________﹒(2)当PQ 有最小值时﹐P 点的y 坐标为____________﹒ 62. 设直线y x k =+与双曲线22412y x -=相切﹐试求(1)切点坐标为____________﹒ (2)定数k 的值为____________﹒63. 平面上双曲线()()2212125144x y -+-=与椭圆()()22212112x y k k-++=+共焦点﹐则k =____________﹒ 64. 已知F 是椭圆的一个焦点﹐1B ﹑2B 是短轴的两个端点且1290B FB ∠=︒﹐1A 是长轴上距离F 较近的一个端点﹐若11A F =﹐则椭圆长轴长为____________﹒ 65. 直线1kx y +=与拋物线28x y =-相切﹐则k =____________﹒66. 等轴双曲线的中心为()7,2且一焦点为()3,2﹐则此双曲线方程式为____________﹒ 67. 方程式轴是铅垂线且过()0,3﹑()2,1﹑()2,9-三点的拋物线为____________﹒ 68. 直线():12L y m x =++与22416x y -=恰有一交点﹐则m =____________﹒ 69. 请将下列各题填入适当的代号﹔(A)椭圆 (B)拋物线 (C)双曲线 (D)线段 (E)二射线 (F)一射线 (G)无图形 (H)双曲线的一部分(1)14x +的图形为____________﹒(2)5=的图形为____________﹒(3)=____________﹒(4)(),P x y ﹐2cos 22sin cos x y θθθ=⎧⎨=⎩﹐0θπ≤≤﹐P 的轨迹图形为____________﹒(5)(),P x y ﹐2sin cos x y θθ=⎧⎨=-⎩﹐θ为实数﹐P 的轨迹图形为____________﹒70. 已知x ﹑y 为实数﹐1z x yi =+﹐2z x yi =-﹐若126z z +=﹐则动点(),P x y 的轨迹图形方程式为____________﹒71. 已知拋物线的焦点()0,0﹐准线20x y ++=﹐若PQ 为正焦弦﹐P 在第二象限﹐则P 的坐标为____________﹒ 72.如圖所示為坐標平面上兩曲線的部分圖形﹐其中之一為橢圓的部分圖形﹐另一個為拋物線的部分圖形﹒已知兩曲線均通過()4,0C 與()4,0D -且皆以y 軸為對稱軸﹐皆以()0,3F -為其焦點﹔又橢圓的中心為原點﹐則此兩曲線的頂點A ﹑B 的距離AB =____________﹒73. 双曲线22:8x y Γ-=﹐点()1,1A ﹐由A 向Γ作切线﹐则切线方程式为____________﹒74. 已知椭圆的长轴平行x 轴且长轴上一个顶点()2,3到两个焦点1F ﹑2F 的距离分别为4及10﹓若椭圆的中心x 坐标小于2﹐则椭圆的方程式为____________﹒（请化成标准式） 75. 已知椭圆221369x y +=有一弦以()2,1为中点﹐含此弦的直线方程式为____________﹒76. 若双曲线2212:19x y a Γ-=上一点P 到此双曲线两渐近线的距离乘积为3613﹐今有一椭圆2Γ与双曲线1Γ共焦点且短轴长为4﹐则椭圆2Γ方程式的标准式为____________﹒77. 设一个拋物线方程式为28y x =﹓今有一椭圆与拋物线的准线相切且拋物线的焦点为椭圆中心﹐拋物线的顶点为椭圆之一焦点﹐则此椭圆的短轴长为____________﹒78. 已知直线y x k =--是拋物线2350x x y +--=的切线﹐则(1)k =____________﹒(2)切点为____________﹒79. 直线L 与22416x y +=相切且斜率为1﹐若切点为(),a b ﹐则1a b -+之值____________﹒ 80. 设E ﹑F 为椭圆2248x y +=的两焦点﹐设椭圆上一点()1,2A ﹐求EAF ∠的角平分线方程式为____________﹒81. 设3AB =﹐P 点在AB 上且1AP =﹐若A 在x 轴上移动﹐B 在y 轴上移动﹐则P 点的轨迹方程式为____________﹒82. 设拋物线通过()3,0﹑()5,6且其对称轴为1x =﹐则其方程式为____________﹒ 83. (),P x y 在2222142x y -=上﹐则22x y +的最小值为____________﹒84. 设()2,4P 为椭圆22242240x y x y +-+-=上一点﹐且F ﹑F '为椭圆的两焦点﹐则FPF '∠的角平分线为____________﹒85. 设4Γ=﹐则(1)共轭轴的长为____________﹒(2)顶点坐标为____________﹒ 86.某行星繞太陽的軌道為如圖之橢圓﹐太陽位於橢圓軌道之一焦點處﹒據觀測﹐此行星與太陽的最近距離為a 萬公里﹐最遠距離為b 萬公里﹐則 (1)行星位於____________時﹐距太陽的距離恰為a ﹑b 平均值（即距離為2a b+萬公里）﹒ (2)又已知此軌道的正焦弦長為短軸長的35﹐則太陽位置為____________﹒（以上各問題均依圖上所標示參考位置作答）87. 已知拋物线()()2:141x y Γ-=+﹐L 为过点()0,3-与Γ相切的直线﹐其斜率小于0﹐则(1)直线L的方程式为____________﹒(2)切点坐标为____________﹒88. 有一道光线经过()2,6A -沿水平方向前进碰到拋物线2:4y x Γ=上一点P ﹐经反射后通过一点B ﹐已知20PB =﹐求B 点的坐标为____________﹒89. 设圆锥曲线有顶点()2,1﹐焦点()0,0﹐则(1)若为长轴平行于x 轴的椭圆﹐则椭圆方程式为____________﹒ (2)若为拋物线﹐则准线方程式为____________﹒90. 点A 在y 轴上移动﹐点B 在x 轴上移动﹐AB 长度为10﹐P 在AB 上且:2:3AP PB =﹐则P 点的轨迹方程式为____________﹒91. 以(12,1F +﹐(22,1F -为两焦点的椭圆Γ通过点(2Q +﹐则Γ的方程式为____________﹒92. 若双曲线的顶点与焦点分别是椭圆()2294136x y ++=的焦点和顶点﹐则此双曲线的方程式为____________﹒（请化成标准式）93. 拋物线的准线垂直x 轴且过三点()1,0﹑()1,1-﹑()5,1-﹐则此拋物线的焦点坐标为____________﹒94. 设F 与F '为双曲线()()2215:123x y Γ-+-+=上两焦点﹐且有一点P 的坐标为()3,2-﹐试求FPF '∠的角平分线方程式为____________﹒95. 若(),P x y 在椭圆22:440x y Γ+-=上﹐O 为Γ的中心﹐()1,0A 且60POA ∠=︒﹐则PO 长为____________﹒96. 椭圆的对称轴平行于坐标轴﹐一短轴端点为()3,3-﹐一焦点为()6,7-﹐其正焦弦长为____________﹒97. 拋物线的轴垂直于x 轴﹐并通过()1,0-﹑()9,0-﹑()0,18三点﹐则过()1,0-的切线方程式为____________﹒98. 圆锥曲线22:23440x y x Γ---=焦点为1F ﹑2F ﹐若()4,2P 在圆锥曲线上﹐求12F PF ∠的角平分线方程式为____________﹒ 99. 椭圆()()2221100210021100x y --+=在第一﹑二﹑三﹑四象限内的面积依次为1R ﹑2R ﹑3R ﹑4R ﹐则1234R R R R -+-=____________﹒100. 过()3,2A 且与()()21122x y +=-共焦点﹐共对称轴的拋物线方程式为____________﹒101. 两渐近线为20x y +=﹐20x y -=﹐且一焦点为()的双曲线其共轭双曲线方程式为____________﹒102. 坐标平面上有一椭圆﹐已知其焦点为()0,0﹑()4,4且y x =为此椭圆的切线﹐则此椭圆的长轴长为____________﹒103. 与椭圆()()2212194x y -++=共焦点且共轭轴长为4的双曲线方程式为____________﹒104. 双曲线2224810x x y y ---+=上一点112⎛⎫+ ⎪⎝⎭到两渐近线的距离乘积为____________﹒105. 坐标平面上的一直线:40L x y -+=与线外一定点()3,3A ﹒今L 上任一点P 与A 的联机段的中垂线与过点P 并垂直L 的直线相交于Q 点﹐则动点Q 所形成曲线的顶点坐标为____________﹒ 106. 已知正焦弦PQ 的两端点分别为()5,1P -﹐()3,1Q --﹐则拋物线方程式为____________﹒107. 设k 为实数﹐若方程式()2211105y x k k++=--为双曲线﹐则此双曲线的焦点坐标为____________﹒（有两解）108. 设2212518x y +=上一点P 与两焦点F ﹑'F ﹐夹角为60度﹐求△'PFF 的面积为____________﹒109.如圖﹐有一太陽灶﹐它是由拋物線繞軸旋轉而做成的拋物面﹐開口直徑20公寸﹐開口距底部之深為6公寸﹒試問烤肉盤應置於距離底部____________公寸﹐才能將肉烤熟﹒110. 有一个过原点的等轴双曲线中心为()1,2-﹐其中一条渐近线为238x y -=﹐则双曲线方程式为____________﹒（不用化简乘开）111. 椭圆22191x y +=上两点()0,1A -﹐()3,0B ﹐若()00,C x y 为椭圆上另一点﹐则(1)△ABC 面积的最大值为____________﹒(2)()00,C x y =____________﹒112. 设()1,0A -﹐()0,2B ﹐P 是拋物线24y x =上的动点﹐则△ABP 面积的最小值为____________﹒ 113. 已知两圆221:16C x y +=﹐()222:104C x y -+=﹐若动圆C 与1C ﹑2C 均相切﹐则此动圆C 的圆心轨迹方程式为____________﹒ 114.已知橢圓22194x y +=上兩點P ﹑Q 如圖所示（P ﹑Q 是和x 軸夾角為60︒的直線與橢圓之交點）﹔現在想找出P ﹑Q 的坐標﹐則(1)若使用參數式()3cos ,2sin θθ﹐則對P 而言﹐θ與60︒的大小關係為____________（請填60θ<︒﹐60θ=︒﹐60θ>︒）﹒(2)同樣的﹐對Q 而言﹐θ與120︒的大小關係為____________﹒（請填120θ<︒﹐120θ=︒﹐120θ>︒）﹒115. 拋物线的准线方程式为10x y --=﹐焦点坐标为()1,1-﹐则此拋物线的方程式为____________﹒（以220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=形式表示）116. 设()15,0F -﹐()25,0F 为22:1169x y Γ-=的两焦点﹐若AB 为过2F 的任一焦弦﹐则△1ABF 面积的最小值为____________﹒117. 若一动圆与定圆()()22:314C x y +++=外切﹐且与直线:1L x =相切﹐则此动圆圆心的轨迹方程式为____________﹒118. 某行星绕一恒星之轨道为椭圆形且恒星在其一焦点处﹐据观测﹔此行星与恒星的最近距离为100万公里﹐最远距离为140万公里﹐则此椭圆的正焦弦长为____________万公里﹒ 119. 设圆()22:116C x y -+=﹐()1,0A -﹐()7,0B ﹐则(1)通过A 且与圆C 相切的所有圆的圆心轨迹方程式为____________﹒ (2)通过B 且与圆C 相切的所有圆的圆心轨迹方程式为____________﹒120. 有一双曲线A 的贯轴方程式是40y +=﹐且点()4,4-是一个焦点；若直线280x y -+=是A 的一条渐近线﹐则A 的方程式为____________﹒ 121. 设椭圆224972x y +=﹐则此椭圆切线斜率为23的切线方程式为____________﹒ 122. 设()5,4A 为平面上一点﹐P 为拋物线212y x =上一点﹐F 为拋物线的焦点﹐则当PF PA +有最小值时﹐P 点坐标为____________﹒123. 设1F ﹑2F 为双曲线221930x y -=的两个焦点﹐且P 为双曲线上一点﹐若12120F PF ∠=︒﹐则△12PF F 的最短边长度为____________﹒ 124. 已知椭圆与双曲线()22114x y +-=共焦点﹐且椭圆的正焦弦长度等于1﹐则椭圆的方程式为____________﹒125. 在坐标平面上﹐O 为原点﹐1B ﹑2B ﹑3B ﹐……在x 轴上﹐1B 在O 的右边﹐2B 在1B 的右边﹐3B 在2B 的右边﹐……﹐110OB =﹐1230B B =﹐23B B =50﹐1OB ﹑12B B ﹑23B B ﹐……的长度成等差数列﹐分别作正△11OB A ﹑正△122B B A ﹑正△233B B A ﹐……﹐其中1A ﹑2A ﹑3A ﹐……均在第一象限上﹐已知1A ﹑2A ﹑3A ﹐……在一个拋物线上﹐则此拋物线的方程式为____________﹒ 126. 已知一椭圆Γ的两焦点为()3,7F ﹐()'9,1F ﹐若直线2x y +=-为Γ的一切线﹐则Γ的长轴长为____________﹒ 127. 设一曲线方程式为()()()22223341213x y x y +-=-+-﹐则(1)对称轴方程式为____________﹒(2)顶点坐标为____________﹒ 128. 已知圆()()22:219C x y -++=及两点()2,3A ﹐()0,1B -﹐则(1)过点A 且与圆C 相切的圆之圆心形成的图形方程式为____________﹒ (2)过点B 且与圆C 相切的圆之圆心形成的图形方程式为____________﹒129. 拋物线2:8y x Γ=的焦点为F ﹐P 为Γ上的动点﹐点()4,2A -﹐当PA PF +有最小值时﹐此时P点坐标为____________﹒130. 在图中﹐圆O 的圆心为原点﹑半径为4﹐F 的坐标为()6,0﹐Q 在圓O 上﹐P 點為FQ 的中垂線與直線OQ的交點﹐當Q 在圓O 上移動時﹐求動點P 的軌跡方程式為____________﹒ （化成標準式）131. 椭圆22:4936x y Γ+=﹐则(1)若P 为椭圆Γ上的动点且()3,0A -﹐()0,2B -﹐则△PAB 面积最大值为____________﹒ (2)椭圆Γ的内接正方形面积为____________﹒ 132.台南一中大榕樹旁的長方形草皮裝設有灑水系統﹒其中高為1公尺的噴水管OA 直立於地面（如圖）﹐水自噴嘴A 噴出後呈拋物線狀﹐先向上至最高點後落下﹒若最高點離地面2公尺﹐但A 距拋物線對稱軸2公尺﹐則此噴嘴A 經360度旋轉後﹐可噴灑的草地區域為圓形﹐其直徑約為____________公尺﹒（取整數﹐小數點以下四捨五入）133.图形:x y Γ=100x y ++=的正射影（垂直投影）总长度为____________﹒（注意x ﹑y 范围限制）134. 与y 轴相切且与圆22124360x y x y +--+=相外切的圆其圆心的轨迹方程式为____________﹒135. 若P 点为椭圆2213611x y +=上的一点且P 在第一象限﹒今已知P 到焦点()5,0的距离是72﹐则P 点的坐标为____________﹒136. 双曲线Γ的一渐近线为23x y +=﹐Γ过()6,3﹑()4,0﹐又其贯轴（顶点联机）平行x 轴﹐则Γ的方程式为____________﹒137. 平面上与圆()2221x y -+=外切且与圆2249x y +=内切之所有圆的圆心﹐所成图形的方程式为____________﹒ 138. 设椭圆6Γ﹐则(1)在第一象限之顶点的坐标为____________﹒(2)又Γ内接矩形中﹐周长最大者﹐其周长为____________﹒139. 在坐标平面上﹐过()1,0F 的直线交拋物线24y x =于P ﹑Q 两点﹐P 在上半平面且2PF QF =﹐则P 的x 坐标为____________﹒140. 平面上有两点()2,5A ﹐()4,1B --﹐P 为椭圆()()2211194x y +-+=上任一点﹐则△PAB 的最大面积为____________﹒141. 若(),P a b 为椭圆22141x y +=上的任一点﹐则(1)23a b -的最小值为____________﹒(2)此时(),a b =____________﹒142. =____________﹒143. 设P 为椭圆2212516x y +=上一点﹐1F ﹑2F 为两焦点﹐若1260F PF ∠=︒﹐则△12PF F 的面积为____________﹒144. 与直线:120L x +=相切且与圆22:16C x y +=相切的圆其圆心轨迹方程式为____________﹒ 145. 过()3,0F 的直线交拋物线212y x =于P ﹑Q 两点﹐过P ﹑Q 两点作y 轴垂线﹐分别交y 轴于R ﹑S ﹐若:3:1PF FQ =﹐则梯形PQSR 的面积为____________﹒146. 圆()221:11C x y -+=﹐圆()222:125C x y ++=﹐则(1)若动圆C 和圆1C 外切且与圆2C 内切﹐动圆C 的圆心所形成的圆锥曲线方程式为____________﹒(2)若动圆C 同时与圆1C ﹑圆2C 均内切﹐动圆C 的圆心所形成的圆锥曲线方程式为____________﹒147. 设k 为一常数﹐已知拋物线Γ=﹐且过点()8,0﹐则Γ的顶点坐标为____________﹒148. 设一拋物线216x y =-﹐焦点F ﹐点()6,5A -﹐若在拋物线上有一点P ﹐使得PA PF +有最小值﹐则(1)P 点的坐标为____________﹒(2)最小值为____________﹒149. 设圆()()22:1236C x y ++-=及圆C 内一定点()3,2A ﹐通过A 点且与圆C 相（内）切的所有圆之圆心的轨迹（即圆心所成的图形）的方程式为____________﹒ 150.已知圓的方程式為()2211x y -+=﹐四邊形OAPQ 為圓內接梯形﹐底邊AO 為圓的直徑且A ﹑O 在x 軸上﹐現有一橢圓以A ﹑O 為焦點﹐且通過P ﹑Q 兩點﹐若1PQ =﹐則此橢圓的短軸長為_____________﹒四、计算题1. 已知一双曲线Γ的两焦点为()2,9F -与()2,3F '--﹐则(1)双曲线Γ方程式为何﹕ (2)Γ的共轭双曲线方程式为何﹕2. 设()()2:122y x Γ-=-﹐一光线沿3y =的直线行进﹐射在Γ上的P 点﹐经反射后又射在Γ上的Q 点﹐试求(1)PQ的方程式﹕ (2)PQ 长度为何﹕3. 自点()2,0作拋物线224y x x =-+的切线﹐试求(1)切线方程式﹒(2)切点﹒4. 下列叙述何者正确﹕(1)方程式222240x y x y k +-++=的图形是一个椭圆的充要条件是3k <﹒ (2)5的图形是一个椭圆﹒(3)椭圆()()22131916x y +-+=的正焦弦长为92﹒5. 已知一双曲线的顶点与焦点分别与椭圆221167x y +=的焦点与顶点相同﹐求此双曲线的方程式﹒6. 下列1～5各小题的方程式图形为何﹕请在(A)～(J)各项中选出对应的图形：(A)没有图形 (B)一线段 (C)一直线 (D)一射线 (E)两射线 (F)两相交直线 (G)双曲线 (H)拋物线 (I)椭圆 (J)双曲线的一支 (1)2248230x y x y ---+=﹒(2)()()()2222112x y x y ⎡⎤-+-=+-⎣⎦﹒10=﹒7=﹒2x =+﹒7. 设拋物线()()()22253122x y x y ⎡⎤-+-=-+⎣⎦﹐则(1)对称轴方程式﹒(2)顶点坐标﹒8. 若椭圆两焦点为)1F ﹐()2F ﹐切线L 为5x y +=﹐求此椭圆方程式﹒9. 已知()222210:x y x y aΓ++=+的图形为拋物线﹐则(1)a =﹕(2)Γ的顶点坐标﹒10. 已知直线2y x k =+与拋物线24y x =相切﹐求(1)k 的值﹒ (2)切点坐标﹒11. 试求过拋物线2432y x x =-+上一点()1,3P 所作的切线方程式﹒12. 设P 为椭圆22916144x y +=上一点﹐且P 到直线:10L x y +=的距离最短﹐求P 点坐标﹒13. 拋物线Γ﹐则(1)准线方程式﹒(2)对称轴方程式﹒(3)焦点坐标﹒(4)顶点坐标﹒(5)正焦弦长﹒14. 双曲线的两焦点()118,1F ﹐()212,1F -﹐有一渐近线的斜率为34﹐求此双曲线的方程式﹒ 15.某彗星的軌道為一拋物線﹐而以太陽為焦點﹐當彗星與太陽的距離為4百萬公里時﹐兩者連線與拋物線的軸成60︒﹐如右圖所示﹒問當彗星與太陽的連線垂直拋物線的軸時﹐兩者的距離為何？16. 在水槽边两点3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭﹐3,02B ⎛⎫⎪⎝⎭同时作相同的圆形水波﹐图中的实线同心圆代表波峰（连续的波峰相距2单位）﹐虚线同心圆代表波谷（连续的波谷相距2单位）﹒若水槽中遇到来自A ﹑B 两点的波峰同时到达﹐则出现如图中P 点所形成的亮线；但若遇到波峰与波谷同时到达﹐则形成图中暗线的轨迹﹒很明显地﹐AB 的中垂线是中央亮线﹐则(1)离中央亮线最近的第一条亮线（即P 点所在的曲线）所满足的方程式为何﹕(2)在平行AB 且相距10单位处设一屏障（如图）﹐若中央亮线与此屏障的交点是H ﹐最近的第一条亮线与此屏障的交点是Q ﹐则HQ 的距离为何﹕17. 试求下列锥在线点T 的切线T L 与法线N L 方程式各为何﹕(1)28y x =﹐9,62T ⎛⎫⎪⎝⎭﹒ (2)229425x y +=﹐()1,2T -﹒ (3)22235x y -=﹐()2,1T -﹒。

高中数学圆锥曲线知识点总结专题一：椭圆一、椭圆的定义平面内到两定点21,F F 的距离的和为常数（大于21F F ）的动点的轨迹叫椭圆。

即a MF MF 221=+当2a ﹥2c 时，轨迹是椭当2a =2c 时，轨迹是一条线段21F F ，当2a ﹤2c 时，轨迹不存在。

椭圆的几何性质：222b c a +=（符合勾股定理的结构）【补充】过焦点做垂直与实轴且交椭圆的线段叫通径，通径的一半为ab 2专题二：双曲线知识点：1、双曲线的概念：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线。

即a MF MF 221=- 当2a ﹤2c 时，轨迹是双曲线 当2a =2c 时，轨迹是两条射线 当2a ﹥2c 时，轨迹不存在【注】有绝对值时是两支，不含绝对值时仅一支. 2、双曲线的标准方程及几何性质：【注】焦点到渐近线的距离为b ；通径为ab 22。

3、常见双曲线的设法：（1）已知b a =的双曲线设为)0(22≠=-λλy x ； （2）已知过两点的双曲线可设为)0(122<=+AB By Ax ；（3）已知渐近线0=±nym x 的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλn y m x .4、两种特殊的双曲线：（1）实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．等轴双曲线的离心率为2.（2）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的共轭双曲线方程为12222=-a x b y ，它们有共同的渐近线为x aby ±=，它们的离心率21,e e 满足的关系式为1112221=+e e . 5、焦点三角形：设若双曲线方程为，F 1,F 2分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有：若则2tan221θb S PF F =∆；特别地，当时，有。

6、直线与双曲线的位置关系：（注意直线与渐近线平行）思考：平面内任一点P 作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线有几条？ 几何方法：1、若P 在双曲线内，有2条（分别与渐近线平行）；2、若P 在双曲线上，有3条（与渐近线平行的有两条，切线一条）；3、若P 在双曲线外：①若P 在渐近线上且P 为原点时，0条；2222x y 1a b-=12FP F ,∠=θ12F P F 90∠=o122FPF S b =V 22221(0,0)x ya b a b-=>>②若P 在渐近线上且P 不为原点时，2条（与另一渐近线平行的一条，切线一条）；③若P 不在渐近线上，有4条（与渐近线平行的有两条，切线两条）； 代数方法：通过对直线方程与双曲线方程组成的一元二次方程组的求解来讨论它们的位置关系。

圆锥曲线的综合问题考纲解读 1.求圆锥曲线过定点问题；2.利用圆锥曲线求定值、常数值；3.利用圆锥曲线求变量的取值范围，最值问题；4.利用圆锥曲线求解探索性、存在性问题．考点一 圆锥曲线过定点问题|方法突破[例1] (2018·淄博模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.(1)求椭圆C 的标准方程．(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左、右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．[解析] (1)因为左焦点(－c,0)到点P (2,1)的距离为10，所以(2＋c )2＋1＝10，解得c ＝1.又e ＝c a ＝12，解得a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3.所以所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0， Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0， 化为3＋4k 2>m 2.所以x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2.因为以AB 为直径的圆过椭圆右顶点D (2,0)，k AD ·k BD ＝－1， 所以y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1，所以y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0， 所以3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0.化为7m 2＋16mk ＋4k 2＝0， 解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k7.且满足3＋4k 2－m 2>0.当m ＝－2k 时，l ：y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾； 当m ＝－2k7时，l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －27，直线过定点⎝⎛⎭⎫27，0. 综上可知，直线l 过定点⎝⎛⎭⎫27，0 .[方法提升][母题变式]若本例的条件“以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点”，改为“以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点”．则直线l 是否还过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0， Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，化为3＋4k 2>m 2. 所以x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2.因为以AB 为直径的圆过椭圆左顶点D (－2,0)，k AD ·k BD ＝－1，所以y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝－1，所以y 1y 2＋x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝0，所以3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2－16mk 3＋4k 2＋4＝0.化为7m 2－16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝2k ，m 2＝2k 7.且满足3＋4k 2－m 2>0.当m ＝2k 时，l ：y ＝k (x ＋2)，直线过定点(－2,0)与已知矛盾； 当m ＝2k7时，l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋27，直线过定点⎝⎛⎭⎫－27，0. 综上可知，直线l 过定点⎝⎛⎭⎫－27，0.考点二 圆锥曲线的定值问题|方法突破[例2] 已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1.若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且k OA ·k OB＝－34(O 为坐标原点)，判断△AOB 的面积是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则由Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，得3＋4k 2－m 2>0.又x 1＋x 2＝－8mk3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2.又由k OA ·k OB ＝－34，得y 1y 2x 1x 2＝－34，即y 1y 2＝－34x 1x 2，∴3(m 2－4k 2)3＋4k 2＝－34·4(m 2－3)3＋4k 2，即2m 2－4k 2＝3. 又|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝24(1＋k 2)3＋4k 2.点O 到直线AB 的距离为d ＝|m |1＋k2＝ 2－12(1＋k 2)≥2－12＝62. S △AOB ＝12|AB |d ＝1224(1＋k 2)3＋4k 2·|m |1＋k 2＝12 24(1＋k 2)m 2(3＋4k 2)(1＋k 2)＝12243＋4k 2·3＋4k 22＝ 3. [方法提升]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1(－1,0)，长轴长与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆的方程；(2)过F 1作两直线m ，n 交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，若m ⊥n ，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a ∶2b ＝2∶3，c ＝1，a 2＝b 2＋c 2.解得a ＝2，b ＝ 3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由已知F 1(－1,0)，当直线m 不垂直于坐标轴时，可设直线m 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 由于Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫－8k 23＋4k 22－4×4k 2－123＋4k 2 ＝12(1＋k 2)3＋4k 2.同理|CD |＝12(1＋k 2)3k 2＋4.所以1|AB |＋1|CD |＝3＋4k 212(1＋k 2)＋3k 2＋412(1＋k 2)＝7(1＋k 2)12(1＋k 2)＝712.当直线m 垂直于坐标轴时，此时|AB |＝3，|CD |＝4；或|AB |＝4，|CD |＝3，1|AB |＋1|CD |＝13＋14＝712. 综上，1|AB |＋1|CD |为定值712.考点三 圆锥曲线中的范围(最值)问题|模型突破[例3] (2018·聊城模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的一点，l ：x ＝－a 2c ，且PQ ⊥l ，垂足为Q ，若四边形PQF 1F 2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，1B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎝⎛⎭⎫22，1[解析] 设点P (x 1，y 1)，由于PQ ⊥l ，故|PQ |＝x 1＋a 2c ，因为四边形PQF 1F 2为平行四边形，所以|PQ |＝|F 1F 2|＝2c ，即x 1＋a 2c ＝2c ，则有x 1＝2c －a 2c >－a ，所以2c 2＋ac －a 2>0，即2e 2＋e －1>0，解得e <－1或e >12，由于0<e <1，所以12<e <1，即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1. [答案] A [模型解法][高考类题]1．(2015·高考重庆卷)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：如图所示，由题意知BC 为双曲线的通径，所以|BC |＝2b 2a ，则|BF |＝b 2a .又|AF |＝c －a ，因为BD ⊥AC ，DC ⊥AB ，所以点D 在x 轴上，由Rt △BF A ∽Rt △DFB ，得|BF |2＝|AF |·|FD |，即(b 2a )2＝(c －a )|FD |，所以|FD |＝b 4a 2(c －a )，则由题意知b 4a 2(c －a )<a ＋a 2＋b 2，即b 4a 2(c －a )<a ＋c ，所以b 4<a 2(c －a )(a ＋c )，即b 4<a 2(c 2－a 2)，即b 4<a 2b 2，所以0<b 2a 2<1，解得0<b a <1，而双曲线的渐近线斜率为±ba ，所以双曲线的渐近线斜率的取值范围是(－1,0)∪(0,1)，故选A.答案：A2．(2017·高考浙江卷)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．解析：(1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12.因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|P A |＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3， 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3. 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝⎛⎭⎫－1，12上单调递增，⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716.考点四 圆锥曲线的存在性问题|方法突破[例4] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝2.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1<n <1. 直线P A 的方程为y －1＝n －1m x ，所以x M ＝m 1－n ，即M (m1－n，0)．(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )． 设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2. 所以 y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ， 点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)． [方法提升][跟踪训练](2018·徐州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围．(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →垂直？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解析：(1)由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于①中 Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2 ＝4k 2－2>0， 解得k <－22或k >22. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.(2)不存在，理由如下：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 由方程①得，x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝－42k 21＋2k 2＋2 2.因为(OP →＋OQ →)⊥AB →，AB →＝(－2，1)，所以(x 1＋x 2)·(－2)＋y 1＋y 2＝0， 即：－42k 1＋2k 2·(－2)－42k 21＋2k 2＋22＝0.解得：k ＝－24， 由(1)知k 2>12，与此相矛盾，所以不存在常数k 使OP →＋OQ →与AB →垂直．[考点二](2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解析：(1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．。