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高三数学第一轮复习讲义（小结）圆锥曲线一．课前预习：1．设抛物线22y x =，线段AB 的两个端点在抛物线上，且||3AB =，那么线段AB 的中点M 到y 轴的最短距离是 （ B ）()A 32 ()B 1 ()C 12 ()D 22．椭圆22221x y a b+=(0)a b >>与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于,A B 两点，在劣弧AB上取一点C ，则四边形OACB 的最大面积为 （ B ）()A 12ab ()B 22ab ()C 32ab ()D ab 3．ABC ∆中，A 为动点，1(,0)2B -，1(,0)2C ，且满足1sin sin sin 2C B A -=，则动点A的轨迹方程是 （ D ）()A 2216161(0)3x y y -=≠ ()B 2216161(0)3y x x -=≠()C 22161161()34x y x -=<- ()D 22161161()34x y x -=>4．已知直线1y x =+与椭圆221mx ny +=(0)m n >>相交于,A B 两点，若弦AB 中点的横坐标为13-，则双曲线22221x y m n -=的两条渐近线夹角的正切值是43．5．已知,,A B C 为抛物线21y x =-上三点，且(1,0)A -，AB BC ⊥，当B 点在抛物线上移动时，点C 的横坐标的取值范围是(,3][1,)-∞-+∞．二．例题分析：例1．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足||,||,||OA OB OF 成等比数列，过点F 作双曲线在第一、三象限内的渐近线的垂线l ，垂足为P ，（1）求证：PA OP PA FB ⋅=⋅；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点,D E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．（1）证明：设l ：()ay x c b=--，由方程组()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2(,)a ab P c c ，∵||,||,||OA OB OF 成等比数列，∴2(,0)a A c，∴(0,)abPA c=-，2(,)a ab OP c c =，2(,)b ab FP c c =-，∴222a b PA OP c ⋅=-，222a b PA FP c⋅=-，∴PA OP PA FB ⋅=⋅．（2）设1122(,),(,)D x y E x y ，由2222()1a y x cb x y a b ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得444222222222()()0a ac a c b x x a b b b b -+-+=， ∵120x x ⋅<，∴42222422()0a b a b c a b b-+<-，∴22b a >，即222c a >，∴2e >． 所以，离心率的取值范围为(2,)+∞．例2．如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)P m (0)m >作直线与抛物线交于,A B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点，（1）设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明：()QP QA QB λ⊥-；（2）设直线AB 的方程是2120x y -+=，过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程．解：（1）设直线AB 的方程为y kx m =+，代入抛物线方程24x y =得2440x kx m --=设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x m =-， ∵点P 分有向线段AB 所成的比为λ，得1201x x λ+=+，∴12x x λ=-，又∵点Q 是点P 关于原点的对称点，∴(0,)Q m ，∴(0,2)QP m =， ∴1212(,(1))QA QB x x y y m λλλλ-=--+- ∴12()2[(1)]QP QA QB m y y m λλλ⋅-=-+-221121222[(1)]44x x x x m m x x =+⋅++121212224442()2()044x x m m mm x x m x x x x +-+=+⋅=+⋅= ∴()QP QA QB λ⊥-．（2）由221204x y x y -+=⎧⎨=⎩得点(6,9),(4,4)A B -，由24x y =得214y x =，∴12y x '=，∴抛物线在点A 处切线的斜率为6|3x y ='=，设圆C 的方程是222()()x a y b r -+-=，则22229163(6)(9)(4)(4)b a a b a b -⎧=-⎪-⎨⎪-+-=++-⎩， 解得2323125,,222a b r =-==，∴圆C 的方程是22323125()()222x y ++-=，即22323720x y x y ++-+=．三．课后作业： 班级 学号 姓名xyAB P QO1．直线143x y+=与抛物线221169x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上的点P 使ABP ∆的面积等于6，这样的点P 共有 （ ）()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个2．设动点P 在直线1x =上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt OPQ ∆，则动点Q 的轨迹是 （ ） ()A 圆 ()B 两条平行线 ()C 抛物线 ()D 双曲线3．设P 是直线4y x =+上一点，过点P 的椭圆的焦点为1(2,0)F ，2(2,0)F -，则当椭圆长轴最短时，椭圆的方程为 ．4．椭圆221123x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1||PF 是2||PF 的 倍．5．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．6．直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2221x y -=的右支交于不同的两点,A B ， （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由． 7．8．如图，P 是抛物线C ：212y x =上一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 的切线垂直，l 与抛物线C 相交于另一点Q ，（1）当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程；（2）当点P 在抛物线C 上移动时，求线段PQ 中点M 的轨迹方程，并求点M 到x 轴的最短距离．OPlQM ∙xy。
第3讲 椭圆、双曲线、抛物线[考情分析] 高考对这部分知识考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．考点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程核心提炼1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．例1 (1)(2020·广州四校模拟)若椭圆＋＝1(其中a>b>0)的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案 D解析 椭圆＋＝1(其中a>b>0)的两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，可得2a＋2c＝16，椭圆＋＝1(其中a>b>0)的离心率为，可得＝，解得a＝5，c＝3，则b＝4，所以椭圆C 的方程为＋＝1.(2)(2020·全国Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为( )A.B．3C.D．2答案 B解析 方法一 由题意知a＝1，b＝，c＝2，F1(－2,0)，F2(2,0)，如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，所以|PF1||PF2|＝6，所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝3.方法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|＝2＝4.设点P的坐标为(x0，y0)，则解得|y0|＝.所以△PF1F2的面积为|F1F2|·|y0|＝×4×＝3.易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．跟踪演练1 (1)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x答案 C解析 方法一 因为以MF为直径的圆过点(0,2)，所以点M在第一象限．由|MF|＝x M＋＝5，得x M＝5－，即M.从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为.因为点N的横坐标恰好等于圆的半径，所以圆与y轴相切于点(0,2)，从而2＝，即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线方程为y2＝4x或y2＝16x.方法二 由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，点M(x0，y0)，则AF＝，AM＝.由已知，得AF·AM＝0，即y－8y0＋16＝0，解得y0＝4，M.由|MF|＝5，得＝5.又因为p>0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.(2)已知椭圆C：＋＝1(m>4)的右焦点为F，点A(－2,2)为椭圆C内一点，若椭圆C上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝8，则实数m的取值范围是( )A．(6＋2，25] B．[9,25]C．(6＋2，20] D．[3,5]答案 A解析 椭圆C：＋＝1(m>4)的右焦点F的坐标为(2,0)．设左焦点为F′，则F′(－2,0)．由椭圆的定义可得2＝|PF|＋|PF′|，即|PF′|＝2－|PF|，可得|PA|－|PF′|＝|PA|＋|PF|－2＝8－2.由||PA|－|PF′||≤|AF′|＝2，可得－2≤8－2≤2，解得3≤≤5，所以9≤m≤25.①又点A在椭圆内，所以＋<1(m>4)，所以8m－16<m(m－4)(m>4)，解得m<6－2(舍)或m>6＋2.②由①②得6＋2<m≤25，故选A.考点二 圆锥曲线的几何性质核心提炼1．求离心率通常有两种方法(1)求出a，c，代入公式e＝.(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．2．与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．例2 (1)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且AF1·AF2＝0，AF2＝2F2B，则椭圆E的离心率为( )A.B.C.D.答案 C解析 ∵AF2＝2F2B，设|BF2|＝x，则|AF2|＝2x，∴|AF1|＝2a－2x，|BF1|＝2a－x，∵AF1·AF2＝0，∴AF1⊥AF2，在Rt△AF1B中，有(2a－2x)2＋(3x)2＝(2a－x)2，解得x＝，∴|AF2|＝，|AF1|＝，在Rt△AF1F2中，有2＋2＝(2c)2，整理得＝，∴e＝＝.(2)(2020·莆田市第一联盟体联考)已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，M是AB的中点，则点M到抛物线准线的距离为( )A.B．4C．7D．8答案 B解析 由题意可知直线y＝x－1过抛物线y2＝4x的焦点(1,0)，如图，AA′，BB′，MM′都和准线垂直，并且垂足分别是A′，B′，M′，由图象可知|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)，根据抛物线的定义可知|AA′|＋|BB′|＝|AB|，∴|MM′|＝|AB|，联立得x2－6x＋1＝0，设A，B两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8，∴|MM′|＝4.二级结论 抛物线的有关性质：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为直线l的倾斜角)．(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)＋＝.跟踪演练2 (1)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，抛物线C的准线与双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则Γ的离心率e等于( )A.B.C.D.答案 D解析 抛物线的焦点坐标为，准线方程为x＝－，联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程得解得y＝±，可得|AB|＝，由△ABF为等边三角形，可得p＝·，即有＝，则e＝＝＝＝.(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(x0,2)是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x＝截得的弦长为|MA|，若＝2，则|AF|等于( )A.B．1C．2D．3答案 B解析 如图所示，由题意知，|MF|＝x0＋.∵圆M与线段MF相交于点A，且被直线x＝截得的弦长为|MA|，∴|MA|＝2|DM|＝2.∵＝2，∴|MF|＝|MA|，∴x0＝p.又∵点M(x0,2)在抛物线上，∴2p2＝8，又∵p>0，∴p＝2.∴|MA|＝2＝2，∴|AF|＝1.考点三 直线与圆锥曲线的位置关系核心提炼解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题要点如下：(1)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线的方程与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为含有x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的式子，进而求解即可．例3 (2020·全国Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(0<m<5)的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．解 (1)由题设可得＝，得m2＝，所以C的方程为＋＝1.(2)设P(x P，y P)，Q(6，y Q)，根据对称性可设y Q>0，由题意知y P>0.由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y＝－(x－5)，所以|BP|＝y P，|BQ|＝.因为|BP|＝|BQ|，所以y P＝1.将y P＝1代入C的方程，解得x P＝3或－3.由直线BP的方程得y Q＝2或8，所以点P，Q的坐标分别为P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(－3,1)，Q2(6,8)．所以|P1Q1|＝，直线P1Q1的方程为y＝x，点A(－5,0)到直线P1Q1的距离为，故△AP1Q1的面积为××＝；|P2Q2|＝，直线P2Q2的方程为y＝x＋，点A到直线P2Q2的距离为，故△AP2Q2的面积为××＝.综上，△APQ的面积为.规律方法 解决直线与圆锥曲线位置关系的注意点(1)注意使用圆锥曲线的定义．(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组．(3)注意用好圆锥曲线的几何性质．(4)注意几何关系和代数关系之间的转化．跟踪演练3 (1)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C 交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案 B解析 由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，| BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝＝，因为cos2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.(2)设F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为k(k>0)的直线过F交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线AB的斜率为( )A.B．1C.D.答案 D解析 假设A在第一象限，如图，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形，由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，又∵|FA|＝3|FB|，∴|AD|＝|CE|＝3|BE|，即B为CE的三等分点，设|BF|＝m，则|BC|＝2m，|AF|＝3m，|AB|＝4m，即|AC|＝＝＝2m，则tan∠ABC＝＝＝，即直线AB的斜率k＝.专题强化练一、单项选择题1．(2020·福州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则此双曲线的离心率为( )A. B.C. D.答案 C解析 因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，所以＝，所以双曲线的离心率e＝＝＝＝.2．(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于( )A．2B．3C．6D．9答案 C解析 设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋＝12.又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，所以9＋＝12，解得p＝6.3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为4，且直线AM与AN的斜率之积为－，则C的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋y2＝1答案 C解析 由△AF1B的周长为4，可知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，解得a＝，则M，N(，0)．设点A(x0，y0)(x0≠±)，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得·＝－，即y＝－(x－3)，①又＋＝1，所以y＝b2，②由①②解得b2＝2.所以C的方程为＋＝1.4．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )A.B.C．2D.答案 A解析 如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝，①将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的公共弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝.5．(2020·潍坊模拟)已知点P为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，直线PF1与C的一条渐近线垂直，垂足为H，若|PF1|＝4|HF1|，则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D.答案 C解析 如图，取PF1的中点M，连接MF2.由条件可知|HF1|＝|PF1|＝|MF1|，∵O是F1F2的中点，∴OH∥MF2，又∵OH⊥PF1，∴MF2⊥PF1，∴|F1F2|＝|PF2|＝2c.根据双曲线的定义可知|PF1|＝2a＋2c，∴|HF1|＝，直线PF1的方程是y＝(x＋c)，即ax－by＋ac＝0，原点到直线PF1的距离|OH|＝＝a，∴在△OHF1中，a2＋2＝c2，整理为3c2－2ac－5a2＝0，即3e2－2e－5＝0，解得e＝或e＝－1(舍)．二、多项选择题6．(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±xD．若m＝0，n>0，则C是两条直线答案 ACD解析 对于A，当m>n>0时，有>>0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确．对于B，当m＝n>0时，方程化为x2＋y2＝，表示半径为的圆，故B错误．对于C，当m>0，n<0时，方程化为－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝，b ＝，渐近线方程为y＝±x；当m<0，n>0时，方程化为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝±x，故C正确．对于D，当m＝0，n>0时，方程化为y＝±，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．7．已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是( )A．C的方程为－y2＝1B．C的离心率为C．曲线y＝e x－2－1经过C的一个焦点D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点答案 AC解析 因为渐近线方程为y＝±x，所以可设双曲线方程为－＝λ，代入点(3，)，得λ＝，所以双曲线方程为－y2＝1，选项A正确；该双曲线的离心率为，选项B不正确；双曲线的焦点为(±2,0)，曲线y＝e x－2－1经过双曲线的焦点(2,0)，选项C正确；把x＝y＋1代入双曲线方程，得y2－2y＋2＝0，解得y＝，故直线x－y－1＝0与曲线C只有一个公共点，选项D不正确．8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D.若|AF|＝8，则下列结论正确的是( )A．p＝4 B.DF＝FAC．|BD|＝2|BF|D．|BF|＝4答案 ABC解析 如图所示，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为E，M，连接EF.抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p，由于直线l的斜率为，则其倾斜角为60°.又AE∥x轴，∴∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，∴∠EFP＝∠AEF ＝60°，则∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，解得p＝4，故A正确；∵|AE|＝| EF|＝2|PF|，PF∥AE，∴F为线段AD的中点，则DF＝FA，故B正确；∵∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C正确；∵|BD|＝2|BF|，∴| BF|＝|DF|＝|AF|＝，故D错误．三、填空题9．(2019·全国Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案 (3，)解析 不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)．10．(2020·全国Ⅰ)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B 为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．答案 2解析 如图，A(a,0)．由BF⊥x轴且AB的斜率为3，知点B在第一象限，且B，则k AB＝＝3，即b2＝3ac－3a2.又∵c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2，∴c2－3ac＋2a2＝0，∴e2－3e＋2＝0.解得e＝2或e＝1(舍去)．故e＝2.11．设双曲线mx2＋ny2＝1的一个焦点与抛物线y＝x2的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为________．答案 解析 ∵抛物线x2＝8y的焦点为(0,2)，∴mx2＋ny2＝1的一个焦点为(0,2)，∴焦点在y轴上，∴a2＝，b2＝－，c＝2.根据双曲线三个参数的关系得到4＝a2＋b2＝－，又离心率为2，即＝4，解得n＝1，m＝－，∴此双曲线的方程为y2－＝1，则双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0，则抛物线的焦点(0,2)到双曲线的一条渐近线的距离为d＝＝.12.如图，抛物线C1：y2＝2px和圆C2：2＋y2＝，其中p>0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，D，B，C四点，则AB·CD的值为________．答案 解析 易知AB·CD＝|AB|·|CD|，圆C2的圆心即为抛物线C1的焦点F，当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝，所以A，B，C，D，|AB|＝|CD|＝，所以AB·CD＝·＝；当直线l的斜率存在时，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则|AB|＝|FA|－|FB|＝x1＋－＝x1，同理|CD|＝x2，设l的方程为y＝k，由可得k2x2－(pk2＋2p)x＋＝0，则AB·CD＝|AB|·|CD|＝x1·x2＝.综上，AB·CD＝.四、解答题13．(2020·全国Ⅱ)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．解 (1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝.不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c.由|CD|＝|AB|得4c＝，即3×＝2－22，解得＝－2(舍去)，＝.所以C1的离心率为.(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1.设M(x0，y0)，则＋＝1，y＝4cx0，故＋＝1.①由于C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得＋＝1，即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)，c＝3.所以C1的标准方程为＋＝1，C2的标准方程为y2＝12x.14．已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且到原点的距离为2.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．(1)解 由题意可得解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x.(2)证明 设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨取A(2,2)．由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)，联立得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，从而B.所以直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0，易知直线GA的方程为2x－3y＋2＝0，从而r＝＝.因为点F到直线GB的距离d＝＝＝r，所以以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．。
一、直线l与圆锥曲线C的位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程0Ax By C++=（A，B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）=0，消去y（也可以消去x）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立0(,)0Ax By CF x y++=⎧⎨=⎩消去y后得20ax bx c++=（1）当0a=时，即得到一个一元一次方程，则l与C相交，有且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l抛物线的对称轴平行。
（2）当0a≠时，0∆>，直线l与曲线C有两个不同的交点；0∆=，直线l与曲线C相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l与曲线C相离。
二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212ABABAB x y y⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x ya ba b+=>>时，以P00（x,y）为中点的弦所在直线斜率22(0)bk ya=-≠xy，即22opbk ka=-；若椭圆方程为22221(0)y xa ba b+=>>时，相应结论为22(0)ak yb=-≠xy，即22o pak kb=-；（2）P00（x,y）是双曲线22221x ya b-=内部一点，以P为中点的弦所在直线斜率22(0)bk ya=≠xy，即22opbk ka=；若双曲线方程为22221y xa b-=时，相应结论为22(0)ak yb=≠xy，即22opak kb=；（3））P00（x,y）是抛物线22y px=内部一点，以P为中点的弦所在直线斜率(0)pk y=≠y；若方程为22x py=时，相应结论为kp=0x。
Ⅱ 题型与方法一、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判断：通法为直线代入曲线判断0∆>；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率大小得到。
圆锥曲线中最值和范围问题班级________姓名___________学号_________【问题呈现】1．椭圆14922=+y x 上一动点M 满足：21MF F ∠为钝角，则M 点横坐标的取值范围_______． 2．已知点3(,0)2A ，P 是抛物线24y x =上一动点，则PA 的最小值为___________． 3．椭圆1422=+y x 上一动点P ，则P 到直线04:=-+y x l 的距离最小值为：________．4．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为__________．5．斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=交于A ,B 两不同点，则线段AB 中点M 的轨迹方程为_______． 【方法小结】求解范围问题的一般方法：（1）结合定义，利用图形找出几何量的有界性； （2）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0；（3）函数法是探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视．（4）利用代数基本不等式．代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性．直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式．因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题． 【典题剖析】例1已知圆⊙8)1(:22=++y x C ，)0,1(-C 动圆与⊙C 相切且过定点)0,1(B ； （1）求动圆圆心的轨迹E 方程；（2）过点),0(t D ，11<<-t 倾斜角为 45的直线l 与轨迹E 交于N M ,两点，求NM C B ,,,四点围成的四边形面积的最大值。
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANⅠ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。
（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。
二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。
第三课时 最值、范围问题题型一 距离与面积的最值(范围)例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点F 到左顶点的距离为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不在x 轴上)，若OE→＝OA →＋OB →，延长AO 交椭圆于点G ，求四边形AGBE 的面积S 的最大值. 解 (1)由已知得b 2＝3，a ＋c ＝3，a 2＝b 2＋c 2.联立以上3个式子，可得a 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一 因为过F (1，0)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不在x 轴上)，所以设l 的方程为x ＝ty ＋1，由⎩⎨⎧x ＝ty ＋1，x 24＋y 23＝1，得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6t3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4. 因为OE→＝OA →＋OB →， 所以四边形AOBE 为平行四边形，所以S ＝SAOBE ＋S △OGB ＝3S △AOB ＝32|y 1－y 2| ＝32（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝18t 2＋13t 2＋4. 令t 2＋1＝m ，则m ≥1，S ＝18m 3m 2＋1＝183m ＋1m. 由函数的单调性易得当m ＝1，即t ＝0时，S max ＝92.法二 由OE→＝OA →＋OB →知四边形AOBE 为平行四边形. 所以S ＝S AOBE ＋S △OGB ＝3S △AOB .当直线AB 的斜率不存在时，S ＝3S △AOB ＝92.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0.由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，得 (4k 2＋3)y 2＋6ky －9k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6k4k 2＋3，y 1y 2＝－9k 24k 2＋3， 所以S ＝3S △AOB ＝32|y 1－y 2| ＝32（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝18k 4＋k 24k 2＋3.令4k 2＋3＝m ，则m >3，S ＝92－3×1m 2－2m ＋1<92.综上知，四边形AGBE 的面积S 的最大值S max ＝92.感悟提升 1.本题求四边形AGBE 面积的最值，首先分割，借助三角形面积转化为函数的最值问题；求解最值应用了两个技巧：一是换元，运用函数的性质；二是利用已知或隐含的不等关系构造不等式求解.2.若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.训练1 (2022·南宁模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，右顶点M 到左焦点的距离为3，直线l 与椭圆C 交于点A ，B .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线MA ，MB 的斜率为k 1，k 2.若4k 1k 2＋9＝0，求|AB |的最小值.解 (1)设椭圆的半焦距为c ，由题意得⎩⎨⎧c a ＝12，a ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，∴b ＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率不为0，设其方程为x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧x ＝my ＋n ，x 24＋y 23＝1，得(3m 2＋4)y 2＋6mny ＋3n 2－12＝0， ∴y 1＋y 2＝－6mn 3m 2＋4，y 1y 2＝3n 2－123m 2＋4， Δ＝(6mn )2－4(3m 2＋4)(3n 2－12)＝48(3m 2－n 2＋4)>0.由(1)知M (2，0)，则直线MA ，MB 的斜率分别为k 1＝y 1x 1－2，k 2＝y 2x 2－2，∴k 1k 2＝y 1y 2（x 1－2）（x 2－2）＝y 1y 2（my 1＋n －2）（my 2＋n －2）＝y 1y 2m 2y 1y 2＋m （n －2）（y 1＋y 2）＋（n －2）2 ＝3n 2－123m 2＋4m 2·3n 2－123m 2＋4＋m （n －2）⎝ ⎛⎭⎪⎫－6mn 3m 2＋4＋（n －2）2 ＝3n 2－124（n －2）2＝3（n ＋2）4（n －2）＝－94，解得n ＝1.∴直线l 的方程为x ＝my ＋1，直线l 过定点(1，0)，此时，y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4， ∴|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝1＋m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋42＋363m 2＋4＝1＋m 2·144（m 2＋1）（3m 2＋4）2 ＝12（m 2＋1）3m 2＋4＝4·3m 2＋33m 2＋4 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13m 2＋4≥3(当且仅当m ＝0时取等号)， ∴|AB |的最小值为3.题型二 斜率或某些参数(式子)的最值(范围)例2 (2021·兰州诊断)已知抛物线y 2＝4x 及点P (4，0).(1)以抛物线的焦点F 为圆心，|FP |为半径作圆，求圆F 与抛物线交点的横坐标；(2)若A ，B 是抛物线上不同的两点，且直线AB 与x 轴不垂直，弦AB 的垂直平分线恰好经过点P ，求F A →·FB→的取值范围. 解 (1)由已知得F (1，0)，所以圆F 的方程为(x －1)2＋y 2＝9，由⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋y 2＝9，y 2＝4x ，得x 2＋2x －8＝0. 解得x ＝2或x ＝－4.由于x >0，所以x ＝2.则圆与抛物线交点的横坐标为2.(2)设弦AB 的中点为M ，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，M (x 0，y 0)， 则x 0＝y 21＋y 228，y 0＝y 1＋y 22， 设线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝k (x －4)(k ≠0)，则直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2y 214－y 224＝4y 1＋y 2＝2y 0＝－1k ， ∴y 0＝－2k .∵点M 在弦AB 的垂直平分线上，∴y 0＝k (x 0－4)(k ≠0)，∴x 0＝2.则直线AB 的方程为k (y －y 0)＝2－x ，由⎩⎪⎨⎪⎧k （y －y 0）＝2－x ，y 2＝4x ，得ky －ky 0＝2－y 24，即y 2＋4ky ＋8k 2－8＝0，∴Δ＝16k 2－32k 2＋32＝－16k 2＋32>0，∴0<k 2<2.∵y 1＋y 2＝－4k ，y 1y 2＝8k 2－8，∴F A →·FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－1＋y 1y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 242－14(y 21＋y 22)＋1＋y 1y 2 ＝4(k 2－1)2－4＋1＋8k 2－8＝4k 4－7，∴F A →·FB→的取值范围是(－7，9). 感悟提升 圆锥曲线中求解含双变量的式子的取值范围的方法：几何条件定代换；目标关系式求范围.训练2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，直线x ＋3y －1＝0被以椭圆C 的短轴为直径的圆截得的弦长为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (4，0)的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且λ＝|MA |·|MB |，求λ的取值范围.解 (1)原点到直线x ＋3y －1＝0的距离为12，由题得⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝b 2(b >0)，解得b ＝1. 又e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝34，得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当直线l 的斜率为0时，直线l ：y ＝0为x 轴，λ＝|MA |·|MB |＝12.当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：x ＝my ＋4，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧x ＝my ＋4，x 24＋y 2＝1，消去x 得 (m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0.由Δ＝64m 2－48(m 2＋4)>0，得m 2>12，所以y 1y 2＝12m 2＋4. λ＝|MA |·|MB |＝m 2＋1|y 1|·m 2＋1|y 2|＝(m 2＋1)|y 1y 2|＝12（m 2＋1）m 2＋4＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－3m 2＋4. 由m 2>12，得0<3m 2＋4<316， 所以394<λ<12.综上可得：394<λ≤12，即λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤394，12.1.如图，已知椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px (p ＞0)，点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点，过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M (B ，M 不同于A ).(1)若p ＝116，求抛物线C 2的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值.解 (1)由p ＝116，得抛物线C 2的焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫132，0. (2)由题意可设直线l ：x ＝my ＋t (m ≠0，t ≠0)，点A (x 0，y 0).将直线l 的方程代入椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，得(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－2＝0，所以点M 的纵坐标y M ＝－mt m 2＋2. 将直线l 的方程代入抛物线C 2：y 2＝2px ，得y 2－2pmy －2pt ＝0，所以y 0y M ＝－2pt ，解得y 0＝2p （m 2＋2）m， 因此x 0＝2p （m 2＋2）2m 2. 由x 202＋y 20＝1，得1p 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m 2＋2⎝⎛⎭⎪⎫m ＋2m 4≥160， 当且仅当m ＝2，t ＝105时，p 取到最大值1040.2.已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B (32，94)，抛物线上的点P (x 0，y 0)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x 0<32. (1)求直线AP 斜率的取值范围；(2)Q 是以AB 为直径的圆上一点，且AP →·BQ →＝0，求AP →·PQ→的最大值. 解 (1)设直线AP 的斜率为k ，则k ＝x 20－14x 0＋12＝x 0－12，且－12<x 0<32， 则－1<x 0－12<1.所以直线AP 斜率的取值范围是(－1，1).(2)由题意可知，AP→与AQ →同向共线，BQ ⊥AQ ， 联立直线AP 与BQ 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32（k 2＋1）. 因为|AP |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝1＋k 2·(k ＋1)， |PQ |＝1＋k 2(x Q －x 0)＝－（k －1）（k ＋1）2k 2＋1， 所以AP →·PQ →＝|AP →|·|PQ→|＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2， 所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，AP →·PQ →取得最大值2716. 3.(2022·全国名校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F (1，0)，定直线l ：x ＝－2，动点P 到l 的距离比到点F 的距离大1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点H (3，2)的动圆M 与曲线C 相交，其中A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＝x 2>3)为它们的两个交点，且动圆M 与直线y ＝2相交于另一点D ，求|DH |的最小值. 解 (1)设动点P (x ，y )，则由题意知x ＋2＝|PF |＋1，所以x ＋1＝|PF |，即点P 到定直线x ＝－1的距离与点P 到点F 的距离相等，所以点P 的轨迹是以O 为顶点，F 为焦点的抛物线，所以轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)由题意可知圆心M 在x 轴上，设M(m，0)，D(x3，2)，x3>3，由题意知A(x1，2x1)，B(x1，－2x1)，连接MH，MA，则|MH|＝|MA|，即（m－3）2＋（0－2）2＝（m－x1）2＋（0－2x1）2，即m＝x21＋4x1－132x1－6.由题意知圆M的方程为(x－m)2＋y2＝(m－3)2＋4. 令y＝2，得x＝2m－3或x＝3，所以x3＝2m－3，所以|DH|＝x3－3＝2m－6＝x21＋4x1－13x1－3－6＝x21－2x1＋5x1－3.因为x1>3，所以|DH|＝x21－2x1＋5 x1－3＝(x1－3)＋8x1－3＋4≥2（x1－3）·8x1－3＋4＝4＋42，当且仅当x1－3＝8x1－3，即x1＝3＋22(x3＝3－22舍去)时等号成立. 所以|DH|的最小值为4＋4 2.4.(2020·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)过点M(2，3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为1 2.(1)求C的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值. 解(1)由题意可知直线AM的方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＝－4，当y ＝0时，解得x ＝－4，所以a ＝4.由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2，3)，可得416＋9b 2＝1，解得b 2＝12，所以C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设与直线AM 平行的直线方程为x －2y ＝m (m ≠－4).如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程x －2y ＝m 与椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得3(m ＋2y )2＋4y 2＝48，化简可得16y 2＋12my ＋3m 2－48＝0，所以Δ＝144m 2－4×16(3m 2－48)＝0，即m 2＝64，解得m ＝±8，与AM 距离比较远的直线方程为x －2y ＝8，点N 与直线AM 的距离即两平行线之间的距离，即d ＝8＋41＋4＝1255，由两点之间距离公式可得|AM|＝（2＋4）2＋32＝35，所以△AMN的面积的最大值为12×35×1255＝18.。
