第三章 流体运动学基础

空间各点只要有一个运动要素随时间变化，流体运动称为非恒 定流。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。

一、流场：充满运动流体的空间
场：分布在空间某一区域内的物理量或数学函数。
标量场：场内定义的是标量函数 矢量场：场内定义的是矢量函数 均匀场：如果同一时刻场内各点函数的值都相等 不均匀场：如果同一时刻场内各点函数的值不相等 定常场(稳定场)：如果场内函数不随时间改变 不定常场(不稳定场) ：如果场内函数随时间改变
x
y
y
z
z
v



t
x
x
y
y
z
z

xvi

y
v
j z
v k

v

x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
vi

y
t
x
y
x
y
dt
dt
dt
y x
xy
yx
d xy
dt
=
d yx
dt
( x
y
y )
x
y dxdt
x
剪切变形速率：两条 正交流体边单位时间 角度变化的平均值
xOy平面
xy
yx

1
2

x
y

y
x

yOz平面
yz
zy
z

z t
z (a,b, c,t)

ax

x
t

2x t 2
ax
(a,b,c,t
)
a
y

y
t

2、拉格朗日坐标：
在某一初始时刻t0，以不同的一组数(a,b,c)
来标记不同的流体质点，这组数 (a,b,c)就叫
拉格朗日变数。或称为拉格朗日坐标。
物理量的表示形式：若以f表示流体质点的某 一物理量，其拉格朗日描述的数学表达是： f=f(a,b,c,t)
如任意时刻t，任何质点在空间的位置(x,y,z) 都可以看成为拉格郎日变数和时间t的函数
流进的流体质量：
1u1dA1
在单位时间内从 2-2断面 流出的流体质量：
2u2 dA2
在单位时间内流入控制体的流体质量为：
dM 1u1dA1 2u2 dA2
对稳定流，各点的运动要素不随时间变化，且流体又是 无空隙的连续介质，由质量守恒定律得：
dM 0
即
1u1dA1 2u2 dA2
求：（1）流线方程以及t=0，1，2时的流线图
（2）迹线方程以及t=0时通过（0，0）点的迹线 dx dy dz dx dy 解：（1）由流线方程 得： 。 ux uy uz a bt 对自变量x，y积分，得： ay btx C bt y xC a 因此，流线为一簇平行的斜线。在不同的瞬时，流线的斜率不同。
后三项反映了在同一瞬时（即t不变）流体质点从 一个空间转移到另一个空间点，即流体质点所在空 间位置的变化而引起的速度变化率，称迁移加速度。

欧拉法的优越性：
1. 利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。
2. 采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二 阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏 微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容
p p( x, y, z, t )

1766年德国得腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说,在“欧洲最 大得王”得宫廷中应有“欧洲最大得数学家”。于就是她应邀 去柏林,居住达二十年之久。在此期间她完成了《分析力学》一 书,建立起完整与谐得力学体系。
1786年,她接受法王路易十六得邀请,定居巴黎,直至去世。近 百余年来,数学领域得许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉 格朗日得工作。
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
ay
vy t
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
az
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
矢量形式
一、 Euler法(欧拉法)
质点加速度:
a dv v (v )v dt t
当地加速度
迁移加速度
第一部分:就是由于某一空间点上得流体质点得速度 随时间得变化而产生得,称为当地加速度
✓2、 欧拉变数:对于三元流动,各运动要素就是空 间点得坐标(x,y,z)与时间t得函数,不同得(x,y,z)即 表示空间中不同得点,通常称(x,y,z)为欧拉变数。
一、Euler法(欧拉法)
3、 物理量方程: 研究表征流场内流体流动得各种物理量得
矢量场与标量场。
压强、密度、温度为: p p(x, y, z, t)
(1) 在定常流动中,流线不 随时间改变其位置与形状, 流线与迹线重合。在非定 常流动中,由于各空间点上 速度随时间变化,流线得形 状与位置就是在不停地变 化得。
(2) 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线, 一般情况流线不能相交与分支。
(3) 流线不能突然折转,就是一条光滑得连续曲线。