第3章流体运动学

第3章 流体运动学
§3-1 流体运动的描述 §3-2 欧拉法的基本概念 §3-3 连续性方程 §3-4 流体微团的运动
【教学基本要求】 教学基本要求】
1、了解描述液体运动的拉格朗日法和欧拉法的内容和特点。 、了解描述液体运动的拉格朗日法和欧拉法的内容和特点。 2、理解液体运动基本概念 流线和迹线，元流和总流，过流断面，流量， 流线和迹线， 、理解液体运动基本概念(流线和迹线 元流和总流，过流断面，流量， 断面平均流速，一元流、二元流和三元流)。 断面平均流速，一元流、二元流和三元流 。 3、掌握液体运动分类和特征 恒定流和非恒定流、均匀流和非均匀流 。 恒定流和非恒定流、 、掌握液体运动分类和特征(恒定流和非恒定流 均匀流和非均匀流)。 4、掌握并能应用恒定总流连续性方程。 恒定总流连续性方程。 、掌握并能应用恒定总流连续性方程 5、了解液体运动的基本形式：平移、变形（线变形和角变形）、旋转。 、了解液体运动的基本形式：平移、变形（线变形和角变形） 旋转。 6、理解无旋流动 有势流动 和有旋流动物理意义。 有势流动)和有旋流动物理意义 、理解无旋流动(有势流动 和有旋流动物理意义。
【学习重点】 学习重点】
1、液体运动的分类和基本概念。 、液体运动的分类和基本概念。 2、恒定总流的连续性方程的形式及应用条件。 、恒定总流的连续性方程的形式及应用条件。 流体最基本特征：流动性，是流体与固体的最基本区别。 流体最基本特征：流动性，是流体与固体的最基本区别。 运动要素(流动要素) 位移、速度、加速度，不涉及引起运动的“ 要素。 运动要素(流动要素)：位移、速度、加速度，不涉及引起运动的“力”要素。 流体运动学任务： 流体运动学任务： 建立流体运动的概念， (1)建立流体运动的概念，研究描述流体运动的方法； 建立流体运动的概念 研究描述流体运动的方法； 确定流动的运动要素， 质量守恒方程。 (2)确定流动的运动要素，建立流动最基本规律 质量守恒方程。 确定流动的运动要素 建立流动最基本规律—质量守恒方程
流体运动的描述 3.1.2 欧拉法
研究流体质点流经流场中各空间点的运动，不研究流体质点的运动历程， 研究流体质点流经流场中各空间点的运动，不研究流体质点的运动历程， 流体质点流经流场中各空间点的运动 综合各空间点运动要素变化规律。欧拉法以“流场”为研究对象——流场法。 流场法。 综合各空间点运动要素变化规律。欧拉法以“流场”为研究对象 流场法 观看录像 要点： 要点： (1)分析流体空间固定位置处运动要素 速度、压强)随时间变化规律； 分析流体空间固定位置处运动要素( (1)分析流体空间固定位置处运动要素(速度、压强)随时间变化规律； (2)分析某一空间位置到另一空间位置时 运动要素随位置变化规律。 分析某一空间位置到另一空间位置时， (2)分析某一空间位置到另一空间位置时，运动要素随位置变化规律。 时间t的函数固定点 ),流场 图3-1-1时间 的函数固定点 时间 的函数固定点M(x、y、z),流场t运动要素如下。 、 、 ),流场t运动要素如下。 欧拉变数：x、y、z、t自变量。流场运动要素是时空(x,y,z,t)连续函数。 欧拉变数： 、 、 、 自变量。流场运动要素是时空 连续函数。 自变量 连续函数 流速场 （3-4） ） （3-5） ） 压强场: ＝ （ ， ， ， ） 压强场: p＝p（x，y，z，t） ， ，， 密度场: 密度场: ρ=ρ(x，y，z，t ) （3-6） ） （3 - 7 ）
流体质点速度沿x方向成线性变化 已知相距l=50cm两点 方向成线性变化， 补例 流体质点速度沿 方向成线性变化，已知相距 两点 的速度为u 的速度为 A=2m/s，uB=6m/s。流动为恒定流，试求 、B两点 ， 。流动为恒定流，试求A、 两点 的质点加速度。 的质点加速度。
[解] 设速度 =ax+b。已知 点为坐标原点，即 解 设速度u 点为坐标原点， 。已知A点为坐标原点 x x=0时，ux=b=2m/s；x=0.5m时，ux=0.5a+2=6，得a=8s-1。则 时 ； 时 ， ux=8x+2
观看录像一
观看录像二
观看录像三
欧拉法的基本概念
(3)均匀流、非均匀流 )均匀流、 空间 均匀流：流线相互平行的直线流动， 均匀流：流线相互平行的直线流动，即 (3-14) ) 观看录像 均匀流特征： 均匀流特征： 过流断面为平面，形状和大小沿程不变； ①过流断面为平面，形状和大小沿程不变； 同一条流线上各点流速相同，各过流断面上v相等 相等； ②同一条流线上各点流速相同，各过流断面上 相等； ③同一过流断面上各点测压管水头为常数(z+ 同一过流断面上各点测压管水头为常数( =c)。 ) 例：等直径直管液流或断面形状和水深不变长直渠道中的水流都是均匀流。 等直径直管液流或断面形状和水深不变长直渠道中的水流都是均匀流。 非均匀流：流线不是平行直线的流动,又分急变流和渐变流 急变流和渐变流。 非均匀流：流线不是平行直线的流动,又分急变流和渐变流。 观看录像 非均匀流中流场中相应点的流速大小或方向或同时二者沿程改变， 非均匀流中流场中相应点的流速大小或方向或同时二者沿程改变，即沿流 程方向速度分布不均。 程方向速度分布不均。 流体在收缩管、扩散管或弯管中的流动。 例：流体在收缩管、扩散管或弯管中的流动。 均匀流或非均匀流与过流断面上流速分布是否均匀没有关系。 均匀流或非均匀流与过流断面上流速分布是否均匀没有关系。 恒定、非恒定流相对时间，均匀、非均匀流相对空间；恒定流可是均匀流， 恒定、非恒定流相对时间，均匀、非均匀流相对空间；恒定流可是均匀流， 也可为非均匀流，非恒定流也如此，但注意明渠非恒定均匀流不可能存在。 也可为非均匀流，非恒定流也如此，但注意明渠非恒定均匀流不可能存在。 恒定流中流场中任意空间点的运动要素不随时间变化， 恒定流中流场中任意空间点的运动要素不随时间变化，所以时变加速度等于 均匀流中质点运动速度不随空间位置变化，所以位变加速度等于零。 零；均匀流中质点运动速度不随空间位置变化，所以位变加速度等于零。 P49 例3-1
§3-1 流体运动的描述
理论力学：刚体模型，质点。 流动：拉格朗日法、欧拉法。 理论力学：刚体模型，质点。 流动：拉格朗日法、欧拉法。
3.1.1 拉格朗日法
综合足够多流体质点随时间运动得整个流动规律—质点系法。 综合足够多流体质点随时间运动得整个流动规律 质点系法。 质点系法 研究对象：流体质点。 研究对象：流体质点。 t0起始位置(a，b，c)为各质点标志，时刻 位置(x，y，z)。 起始位置( ， ， )为各质点标志，时刻t位置 ， ， ) 位置( 拉格朗日变数： 、 、 、 自变量 自变量。 拉格朗日变数：a、b、c、t自变量。 ＝ ＝ 位置坐标： ＝ 位置坐标： x＝x(a，b，c，t)、 y＝y(a，b，c，t)、 z＝z(a，b，c，t) 速度分量: 速度分量 (3-2) 加速度分量： 加速度分量： (3-3)
(3-1)
压强、密度： ＝ 压强、密度： p＝p (a，b，c，t) ，ρ=ρ (a，b，c，t) 为变数， 为变数 可得某指定质点任意时刻所处位置。 含 (1) (a,b,c)=const,t为变数，可得某指定质点任意时刻所处位置。 义 (2) (a,b,c)为变数，t=const，可得某一瞬间不同质点在空间的分布。 为变数， 为变数 ，可得某一瞬间不同质点在空间的分布。 优点：直观性强、概念简明、描述各质点时变过程。可用质点动力学理论分析。 优点：直观性强、概念简明、描述各质点时变过程。可用质点动力学理论分析。 缺点：用于如射流、波浪简单运动，实际流动应用中有很多数学困难。 缺点：用于如射流、波浪简单运动，实际流动应用中有很多数学困难。 运动要素空间分布规律，不需了解流体质点的时变过程，流体力学中很少采用。 运动要素空间分布规律，不需了解流体质点的时变过程，流体力学中很少采用。
欧拉法广泛用于描述流体运动，例如气象预报。 欧拉法广泛用于描述流体运动，例如气象预报。
流体运动的描述 流体质点的加速度、 3.1.3 流体质点的加速度、质点导数
(1)流体质点加速度 (1)流体质点加速度 拉格朗日法的式( 即为指定质点( 的加速度表达式。 拉格朗日法的式(3-3)即为指定质点(a、b、c)的加速度表达式。 即为指定质点 、 、 的加速度表达式 欧拉法的流场某点加速度：流体质点沿其流线通过该点时所具有的加速度。 欧拉法的流场某点加速度：流体质点沿其流线通过该点时所具有的加速度。 x、y、z是质点运动轨迹空间点坐标，有x=x(t)、y=y(t)、z=z(t)。则质点加速度 是质点运动轨迹空间点坐标， 、 、 是质点运动轨迹空间点坐标 、 、 。 复合函数求导 泰勒展开，略去高阶小量} {注:泰勒展开，略去高阶小量 其中流体质点位置坐标( ， ， )时间变化率等于质点运动速度， 其中流体质点位置坐标(x，y，z)时间变化率等于质点运动速度，即
观看动画
补例 如图直线过原点(0，0)与点（8，6）。若流体质点沿该直线 如图直线过原点 ， 与点（ ， ）。若流体质点沿该直线 与点 ）。 m／s运动，求质点在（8，6）点的加速度。 运动， 以速度 ／ 运动 求质点在（ ， ）点的加速度。
[解] 解 由直线求得 的分量为u ，设x、y的分量为 x、uy，则 、 的分量为
故有 分量形式： 分量形式：
（3-8） ）
（3-9） ）
+ j +k x y z
Hale Waihona Puke 矢量式： 矢量式：（3-10） ）
=i
流体运动的描述
两个加速度： 两个加速度： 当地加速度(时变加速度) 当地加速度(时变加速度) ：给定空间点速度随时间变化， 给定空间点速度随时间变化， 速度随时间变化 流场不恒定性产生； 流场不恒定性产生； 迁移加速度(位变加速度) 迁移加速度(位变加速度) ：给定瞬时速度场沿流线方向导数 速度随位置变化) 速度场不均匀性产生。 (速度随位置变化)，速度场不均匀性产生。 欧拉法的x、 、 是时间 的函数，所以流速是t的复合函数。 是时间t 欧拉法的 、y、z是时间t的函数，所以流速是t的复合函数。 质点加速度：速度对时间全导数。 质点加速度：速度对时间全导数。速度对时间偏导数代表不同质点先后经 过某固定空间点产生的该空间点上的加速度，为当地加速度； 过某固定空间点产生的该空间点上的加速度，为当地加速度；同一个质点占据 空间点位置变化，形成该质点流速随时间变化而产生的加速度是迁移加速度。 空间点位置变化，形成该质点流速随时间变化而产生的加速度是迁移加速度。 质点加速度=当地加速度 当地加速度+迁移加速度 质点加速度 当地加速度 迁移加速度 水管出流： 图3-2水管出流： 水管出流 H随时间变化：A、B、C、D存在当地加速度、迁移加速度； 随时间变化： 、 、 、 存在当地加速度 迁移加速度； 存在当地加速度、 随时间变化 H随时间不变：A、B、C、D不存在当地加速度， 随时间不变： 、 、 、 不存在当地加速度， 随时间不变 不存在当地加速度 C→D存在迁移加速度 存在迁移加速度 (2)质点导数 质点导数— (2)质点导数—随体导数 质点导数：流体力学将质点物体量随时间变化率的全导数， 质点物体量随时间变化率的全导数 质点导数：流体力学将质点物体量随时间变化率的全导数，即 观看动画 （3-11） ） 质点的物理量 流体压强、密度、温度、速度和加速度 A 当地导数、 —当地导数、局部导数或时变导数 A + (u )A—迁移导数或位变导数 t t A—质点的物理量 流体压强、密度、温度、速度和加速度) 质点的物理量(流体压强、密度、温度、速度和加速度