2018北京市昌平区高三二模数学试题及答案

2018北京昌平区高三数 学 (文)第二次统一练习2018.5本试卷共5页，共150分. 考试时长120分钟. 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知全集U =R ,集合A ={x ∣x> 1或x <1- }，则U A =ðA. (,1)(1,)-∞-+∞B. (,1][1,)-∞-+∞C. (1,1)-D. [1,1]-2．下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是 A. 1y x= B. 3y x = C. sin y x = D. lg y x =3. 在平面直角坐标系中，不等式组0,10,0x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是A. 1B. 12C. 14D. 184. 设0.21()2a =，2log 3b =，0.32c -=，则A. b c a >>B. a b c >>C. b a c >>D. a c b >>5. 执行如图所示的程序框图，若输入 x 值满足24x -<≤，则输出y 值的取值范围是A. [3,2]-B. [1,2]C. [4,0)-D. [4,0)-U [1,2]6. 设,x y ∈R ，则||1||1x y ≤≤“且”是22+2x y ≤“”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是 A ．42log y x=2x <23y x =-y输出 结束否x输入开始是B ．5C ． 2D ．28. 2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额（含税级距）税率(%) 不超过1500元3 超过1500元至4500元的部分 10 超过4500元至9000元的部分20 ……某调研机构数据显示，希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月工资、薪金所得8500元，则此人当月少缴纳此项税款A. 45元B. 350元C. 400元D. 445元第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在复平面内，复数1+ii对应的点的坐标为 . 10. 若抛物线212x y =，则焦点F 的坐标是 .11. 在∆ABC 中，2a =，263b =， π=3A ，则C = . 12. 能够说明命题“设，，a b c 是任意实数，若>>a b c ，则2a b c +>”是假命题的一组整数，，a b c 的值依次为 .13. 向量a ，b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量a ，b 所成角的余弦值是_________;向量a ，b 所张成的平行四边形的面积是__________.ab14．已知函数()22,1ln 1.x ax x f x a x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩‚‚①当1a =时，函数()f x 极大值是 ；②当1x <时，若函数()f x 有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是 ____ . 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题13分）已知函数()2sin()cos()3sin 244f x x x x =--+ππ. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最值及相应的x 值.16. （本小题13分） 已知数列{}n a 满足1211,2a a ==，数列{}n b 是公差为2的等差数列，且11n n n n b a a na +++=. （I ）求数列{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n a 前n 项的和n S . 17.（本小题13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数（AQI ），绘制如下频率分布直方图：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：空气质量指数AQI (0,100)[100,200)[200,300)空气质量状况优良轻中度污染 重度污染（I ）试根据样本数据估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；0.007AQI0.0030.0012502001500.008100频率/组距50O图1 A 地空气质量指数（AQI ）0.005AQI0.0030.0022502001500.008100频率/组距50O图2 B 地空气质量指数（AQI ）(II) 若分别在A 、B 两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于150的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率.18.（本小题14分）如图，四边形ABCD 是正方形，平面ABCD ⊥平面ABEF ，//,AF BE ,2,1AB BE AB BE AF ⊥===．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ； （Ⅱ）求证： //AC 平面DEF ； （III ）求三棱锥D -FEB 的体积.19. (本小题14分)已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的经过点(0,1)，且离心率为22.（I ）求椭圆E 的标准方程；（II ）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点(0)M m ，，求实数m 的取值范围.20. (本小题13分)设函数3()f x x c =+,2()820g x x x =-，方程()()f x g x =有三个不同实根123123,,()x x x x x x <<. （I ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）求c 的取值范围； （III ）求证：124x x +>.FEBOADC数学试题答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DBCCAABC二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)9. (1,1)- 10. (0,3) 11. 5π(75)12︒或12. 1,2,3--- 13. 45; 3 14. 1e ；1a <三、解答题(共6小题，共80分) 15.（共13分）解：（I ）π()sin(2)3sin 22f x x x =-+cos23sin 2x x=+π2sin(2)6x =+所以()f x 的最小正周期是π. -------------------8分 （II ）因为 π02x ≤≤, 所以 02πx ≤≤,所以 ππ7π2666x ≤≤+,当π6x =时，max ()2f x =. 当π2x =时，m ()1in -f x =. --------------------13分16.（共13分）解：（Ⅰ）因为 11n n n nb a a na +++=，所以 1221b a a a += . 又因为1212a a =1，= , 所以11b =.所以数列{}n b 的通项公式是2-1n b n =. --------------------7分 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知2-1n b n =，且11n n n n b a a na +++=.所以11(21)n n nn a a na ++-+=，得到112n n a a += .所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列. 那么数列{}n a 前n 项和111()222112nn n S --==--. --------------------13分17.（共13分）解：（Ⅰ）从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.0080.007)500.75+⨯=，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为3650.75274⨯≈天 .--------------------4分（Ⅱ）A 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.003503⨯⨯=个，设为123,,a a a ，空气质量指数在[200,250)内，为200.001501⨯⨯=个，设为4a ， B 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.002502⨯⨯=个，设为12,b b ， 空气质量指数在[200,250)内，为200.003503⨯⨯=个，设为345,,b b b ， 设“A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C ， 则基本事件空间1112131415212223242531323334354142434445{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b Ω=，基本事件个数为20n =，434445{,,}C a b a b a b =，包含基本事件个数为3m =，所以A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为3()20P C =. --------------------13分18.（共14分）证明：（I ）因为正方形ABCD ,所以AC BD ⊥.又因为平面ABEF ⊥平面ABCD , 平面ABEF I 平面ABCD=AB ,,AB BE ⊥ BE ⊂平面ABEF ,所以BE ⊥平面ABCD. 又因为AC ⊂平面ABCD.故BE ⊥AC. 又因为BE BD B =I ，所以 AC ⊥平面BDE . --------------------5分（II ）取DE 的中点G ，连结OG ,FG ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 的中点． 则OG //BE ，且12OG BE =． 由已知AF //BE ，且12AF BE =，则//AF OG 且AF OG =，所以四边形AOGF 为平行四边形，所以AO //FG ， 即AC //FG ．因为AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ，所以AC //平面DEF ． --------------------10分（III ）因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，平面ABEF I 平面ABCD=AB , 所以//,AD BC AD AB ⊥.由（I ）知，BE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD 所以BE AD ⊥ 所以 AD ⊥平面BEF .所以11143323D BEF BEF V S AD BE AB AD -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=. --------------------14分19.(共14分)解：（Ⅰ）由题意，得222122b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩， 解得 21a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．所以椭圆E 的标准方程是2212x y +=． -------------------5分（II ）（1）当直线x AB ⊥轴时，m = 0符合题意．（2）当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，由22(1)220y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，得()()2222124210k x k x k +-+-=， GFEBOADC由2222(4)8(12)(1)0k k k ∆=--+->，得k ∈R ．设()11,x y A ，()22,x y B ，则2212122242(1)1212k k x x x x k k-+=⋅=++，． 所以121222(2)12ky y k x x k -+=+-=+，所以线段AB 中点C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．由题意可知，0k ≠，故直线C M 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令x = 0，212k y k =+，即212k m k =+当k > 0时，，得2120=11242k m k kk<=≤++，当且仅当22k =时“=”成立． 同理，当 k < 0时，2120=11242k m k kk>=≥-++，当且仅当22k =-时“=”成立． 综上所述，实数m 的取值范围为22,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．--------------------14分20. (共13分)解：（Ⅰ）2'()3x f x =，'(1)3f =，又(1)1f c =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：32y x c =+-. --------------------3分（Ⅱ）设32()820h x x x x c =-++，2'()31620h x x x =-+， 令'()0f x =，则2,x =或103x =当x 变化时，'()h x 与()h x 的变化情况如下表：x(,2)-∞210(2,)310310(,)3+∞ '()h x + 0- 0+ ()h x16c +40027c +所以，当160,c +>且400027c +<时，因为(0)0,(4)160h c h c =<=+>，故存在1(0,2),x ∈210(2,),3x ∈310(,4),3x ∈使得123()()()0h x h x h x === 由()h x 的单调性知，当且仅当400(16,)27c ∈--时，函数()h x 有三个不同的零点， 即当且仅当400(16,)27c ∈--时，方程()()f x g x =有三个不同实根. -------------------9分 （III ）由（Ⅱ）知1(0,2),x ∈210(2,),3x ∈224(,2)(0,2),3x -∈⊆()h x 在(0,2)上单调递增，则122144x x x x +>⇔-< 212(4)()()0h x h x h x ⇔-<==222()()(4)0u x h x h x ⇔=-->，210(2,),3x ∈ 由32322222222(4)(4)8(4)20(4)4416h x x x x c x x x c -=---+-+=-+-++，3232222222222()()(4)(820)(4416)u x h x h x x x x c x x x c =--=-++--+-++322222(6128)x x x =-+-设32()2122416u x x x x =-+-，则2'()6(2)u x x =-所以当10(2,)3x ∈时，'()0u x >，即()u x 在10(2,)3上单调递增，而(2)0u = 所以当10(2,)3x ∈时，()(2)0u x u >=，所以2()0u x >，210(2,)3x ∈所以124x x +>. --------------------13分。

2018年北京各区高三二模文科数学分类汇编——概率统计1.（昌平）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数（AQI ），绘制如下频率分布直方图：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（I ）试根据样本数据估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；(II) 若分别在A 、B 两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率.解：（Ⅰ）从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.0080.007)500.75+⨯=，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为3650.75274⨯≈天 .--------------------4分（Ⅱ）A 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.003503⨯⨯=个，设为123,,a a a ，空气质量指数在[200,250)内，为200.001501⨯⨯=个，设为4a ， B 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.002502⨯⨯=个，设为12,b b ， 空气质量指数在[200,250)内，为200.003503⨯⨯=个，设为345,,b b b ，150图1 A 地空气质量指数（AQI ） 0.0050.0030.0020.008图2 B 地空气质量指数（AQI ）设“A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C ， 则基本事件空间1112131415212223242531323334354142434445{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b Ω=，基本事件个数为20n =，434445{,,}C a b a b a b =，包含基本事件个数为3m =，所以A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为()P C =分（Ⅰ）根据表中数据写出这10年内栽种银杏数量的中位数,并计算这10年栽种银杏数量的平均数；（Ⅱ）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏数量多的概率.解：（Ⅰ）这10年中栽种银杏数量的中位数为3700株.设平均数为x ，则34003300360036003700420044003700+4200+4200=383010x +++++++=株.……… 4分（Ⅱ）根据表中数据，满足条件的年份有2009，2010，2011，2013，2014共5年.从这5年中抽取2年，有2009，2010；2009，2011；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2010，2013；2010，2014；2011，2013；2011，2014；2013，2014共10种情况.设事件A 表示“任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多”.则事件A 包括2009，2010；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2011，2013；2011，2014共6种情况. 所以63()==105P A . 答：任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多的概率为35………………13分 3. （东城）某校高一年级有400名学生，高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本．已知在高一年级中抽取了60名学生，则在高二年级中应抽取的学生人数为 B （A ）66 （B ）54 （C ）40 （D ）364.（东城）2017年北京市百项疏堵工程基本完成．有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组．A组：128，100，151，125，120．B组：100，102，96，101，a．已知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是45.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”．从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；（Ⅲ）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义．解：（Ⅰ）因为B组数据的中位数为100，所以100a≤．因为从B组中随机抽取一个数不小于100的概率是45，所以100a≥．所以100a=. …………5分（Ⅱ）从A组中取到128,151,125,120时，B组中符合题意的取法为100,96,100，共4312⨯=种；从A组中取到100时，B组中符合题意的取法为100,102,96,101,100，共155⨯=种；因此符合题意的取法共有12517+=种，而所有不同的取法共有5525⨯=种，所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率1725P=. …………10分（Ⅲ）B组的方差小于A组的方差，说明疏堵工程完成后，该路公交车全程所用时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障．…………13分5.（房山） 1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权。

昌平区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知命题p ：“∀x ∈R ，e x ＞0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 0﹣2＞x 02”，则（ ）A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧（￢q ）是真命题D ．命题p ∨（￢q ）是假命题2． （m+1）x 2﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（﹣∞，﹣1） C．D．3． 若关于x 的不等式07|2||1|>-+-++m x x 的解集为R ，则参数m 的取值范围为（ ） A ．),4(+∞ B ．),4[+∞ C ．)4,(-∞ D ．]4,(-∞【命题意图】本题考查含绝对值的不等式含参性问题，强化了函数思想、化归思想、数形结合思想在本题中的应用，属于中等难度.4． 已知f （x ）=x 3﹣3x+m ，在区间[0，2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞2B ．m ＞4C ．m ＞6D ．m ＞85． 若复数满足71i i z+=（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ． D ．i -6． 下列四个命题中的真命题是（ ）A ．经过定点()000,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示B ．经过任意两个不同点()111,P x y 、()222,P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=-- 表示C ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示 D ．经过定点()0,A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示7． 函数f （x ）=﹣lnx 的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38． 已知()(2)(0)x b g x ax a e a x =-->，若存在0(1,)x ∈+∞，使得00()'()0g x g x +=，则b a的 取值范围是（ ）A ．(1,)-+∞B ．(1,0)- C. (2,)-+∞ D ．(2,0)- 9． 直线在平面外是指（ ） A ．直线与平面没有公共点 B ．直线与平面相交C ．直线与平面平行班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________D ．直线与平面最多只有一个公共点10．（）0﹣（1﹣0.5﹣2）÷的值为（ ）A ．﹣B ．C ．D ．11．设F 1，F 2分别是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，若∠F 1PQ=60°，|PF 1|=|PQ|，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P ﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣1＞0”的否定形式是 ． 14．已知点E 、F 分别在正方体 的棱上，且, ,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .15．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考的好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的 两人说对了．16．等比数列{a n }的公比q=﹣，a 6=1，则S 6= ．17．已知[2,2]a ∈-，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则的取值范围为__________. 18．函数y=1﹣（x ∈R ）的最大值与最小值的和为 2 ．三、解答题19．已知函数，．（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）若，求函数的单调递增区间．20．已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．（1）求a，b的值；（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cosB=，b=2，求a的值．22．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）=f（x1）﹣f（x2）．（1）求f（1）的值；（2）若当x＞1时，有f（x）＜0．求证：f（x）为单调递减函数；（3）在（2）的条件下，若f（5）=﹣1，求f（x）在[3，25]上的最小值．23．已知f （x ）=x 3+3ax 2+bx 在x=﹣1时有极值为0． （1）求常数 a ，b 的值；（2）求f （x ）在[﹣2，﹣]的最值．24．（本小题满分16分）给出定义在()+∞,0上的两个函数2()ln f x x a x =-,()g x x =- （1）若()f x 在1=x 处取最值．求的值；（2）若函数2()()()h x f x g x =+在区间(]0,1上单调递减，求实数的取值范围； （3）试确定函数()()()6m x f x g x =--的零点个数，并说明理由．昌平区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：命题p：“∀x∈R，e x＞0”，是真命题，命题q：“∃x0∈R，x0﹣2＞x02”，即﹣x0+2＜0，即：+＜0，显然是假命题，∴p∨q真，p∧q假，p∧（￢q）真，p∨（￢q）假，故选：C．【点评】本题考查了指数函数的性质，解不等式问题，考查复合命题的判断，是一道基础题．2．【答案】C【解析】解：不等式（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立，即（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立若m+1=0，显然不成立若m+1≠0，则解得a．故选C．【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0只需．3．【答案】A4．【答案】C【解析】解：由f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去）∵函数的定义域为[0，2]∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①；f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②由①②得到m＞6为所求．故选C【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值5． 【答案】A 【解析】试题分析：42731,1i i i i i ==-∴==-,因为复数满足71i i z +=,所以()1,1i i i i z i z+=-∴=-，所以复数的虚部为,故选A.考点：1、复数的基本概念；2、复数代数形式的乘除运算. 6． 【答案】B 【解析】考点：直线方程的形式.【方法点晴】本题主要考查了直线方程的表示形式，对于直线的点斜式方程只能表示斜率存在的直线；直线的斜截式方程只能表示斜率存在的直线；直线的饿两点式方程不能表示和坐标轴平行的直线；直线的截距式方程不能表示与坐标轴平行和过原点的直线，此类问题的解答中熟记各种直线方程的局限性是解答的关键.111] 7． 【答案】B【解析】解：函数f （x ）=﹣lnx 的零点个数等价于函数y=与函数y=lnx 图象交点的个数， 在同一坐标系中，作出它们的图象：由图象可知，函数图象有1个交点，即函数的零点个数为1 故选B8． 【答案】A【解析】考点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值.【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.9． 【答案】D【解析】解：根据直线在平面外是指：直线平行于平面或直线与平面相交， ∴直线在平面外，则直线与平面最多只有一个公共点． 故选D ．10．【答案】D【解析】解：原式=1﹣（1﹣）÷=1﹣（1﹣）÷=1﹣（1﹣4）×=1﹣（﹣3）×=1+=．故选：D．【点评】本题考查了根式与分数指数幂的运算问题，解题时应细心计算，是易错题．11．【答案】D【解析】解：设|PF1|=t，∵|PF1|=|PQ|，∠F1PQ=60°，∴|PQ|=t，|F1Q|=t，由△F1PQ为等边三角形，得|F1P|=|F1Q|，由对称性可知，PQ垂直于x轴，F2为PQ的中点，|PF2|=，∴|F1F2|=，即2c=，由椭圆定义：|PF1|+|PF2|=2a，即2a=t=t，∴椭圆的离心率为：e===．故选D．12．【答案】C【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，故选C．【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．二、填空题13．【答案】．【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题所以，命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣1＞0”的否定形式是：．故答案为：．14．【答案】【解析】延长EF 交BC 的延长线于P ，则AP 为面AEF 与面ABC 的交线，因为，所以为面AEF 与面ABC 所成的二面角的平面角。

2018年北京市昌平区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜﹣1或x＞1}，则∁U A＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]2．（5分）若复数z＝cosθ+i sinθ，当时，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知等比数列{a n}中，a1＝27，a4＝a3a5，则a7＝（）A．B．C．D．34．（5分）设，b＝log23，c＝2﹣0.3，则（）A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．a＞c＞b 5．（5分）若满足条件的整点（x，y）恰有12个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．06．（5分）设x，y∈R，则“x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是（）A．4B．C．2D．8．（5分）2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于（）A．5000～6000元B．6000～8000元C．8000～9000元D．9000～16000元二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在二项式的展开式中，第四项的系数是．（用数字作答）10．（5分）在△ABC中，，，AC＝1，则BC＝．11．（5分）已知双曲线C：的渐近线方程为，则双曲线C的离心率是．12．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x值满足﹣2＜x≤4，则输出y值的取值范围是．13．（5分）向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量，所成角的余弦值是；向量，所张成的平行四边形的面积是．14．（5分）已知函数f（x）＝①当x＜1时，若函数f（x）有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是；②若函数f（x）的最大值为1，则a＝．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．16．（13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A，B两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到A，B两地区的空气质量指数（AQI）如图所示：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（Ⅰ）试估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；（Ⅱ）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C：“A地区空气质量等级优于B地区空气质量等级”．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A，B两地区哪个地区．（只需写出结论）17．（14分）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图2．（I）求证：A1E⊥平面BCDE；（II）求二面角E﹣A1D﹣B的余弦值；（III）在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP平面A1BP？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（14分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的经过点（0，1），且离心率为．（I）求椭圆E的标准方程；（II）过右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆交于A，B两点，线段AB 的垂直平分线交y轴于点M（0，m），求实数m的取值范围．19．（13分）已知函数f（x）＝ax2+ax﹣xe x，a＞1．（I）若曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x，求a的值；（II）证明：当x＜0时，函数f（x）存在唯一的极小值点为x0，且．20．（13分）已知正项数列{a n}中，若存在正实数p，使得对数列{a n}中的任意一项a k，也是数列{a n}中的一项，称数列{a n}为“倒置数列”，p是它的“倒置系数”．（I）若数列：1，4，9，x（x＞9）是“倒置系数”为p的“倒置数列”，求x 和p的值；（II）若等比数列{a n}的项数是m，数列{a n}所有项之积是T，求证：数列{a n}是“倒置数列”，并用m和T表示它的“倒置系数”p；（III）是否存在各项均为整数的递增数列{a n}，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”，如果存在，请写出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．2018年北京市昌平区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜﹣1或x＞1}，则∁U A＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]【解答】解：∁U A＝[﹣1，1]．故选：D．2．（5分）若复数z＝cosθ+i sinθ，当时，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：当时，复数z＝cos+i sin＝﹣﹣i，则复数z在复平面内对应的点位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知等比数列{a n}中，a1＝27，a4＝a3a5，则a7＝（）A．B．C．D．3【解答】解：∵等比数列{a n}中，a1＝27，a4＝a3a5，∴27q3＝27q2•27q4，解得q＝，∴a7＝27q6＝＝．故选：A．4．（5分）设，b＝log23，c＝2﹣0.3，则（）A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．a＞c＞b【解答】解：∵，且2﹣0.2＜20＝1，而b＝log23＞log22＝1．∴b＞a＞c．故选：C．5．（5分）若满足条件的整点（x，y）恰有12个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0【解答】解：作出满足条件的平面区域，如图：要使整点（x，y）恰有12个，即为（0，0）、（1，0）、（﹣1，﹣1）、（0，﹣1），（1，﹣1）、（2，﹣1）、（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣2）、（0，﹣2），（1，﹣2）、（2，﹣2）、（3，﹣2）．故整数a的值为﹣2．故选：B．6．（5分）设x，y∈R，则“x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x|≤1且|y|≤1⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如x＝0，y＝．∴x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的必要不充分条件．故选：B．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是（）A．4B．C．2D．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是长方形，AB＝2，AD＝1，侧面P AB⊥底面ABCD，且∠P AB＝90°，P A＝2，＝2×1＝2，，，则S四边形ABCD，．∴该四棱锥的所有面中最大面的面积是．故选：B．8．（5分）2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于（）A．5000～6000元B．6000～8000元C．8000～9000元D．9000～16000元【解答】解：设该人当月工资、薪金所得为x元，由题意得：1500×3%+3000×10%+（x﹣8000）×20%﹣（x﹣7000）×3%＝332，整理，得：0.17x＝1377，解得x＝8100．故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在二项式的展开式中，第四项的系数是20．（用数字作答）【解答】解：的展开式的第四项为，∴第四项的系数是C63＝20．故答案为：20．10．（5分）在△ABC中，，，AC＝1，则BC＝1或．【解答】解：由题意可得：sin A＝，化为sin A＝，解得A＝或．∴BC2＝﹣2cos A，可得BC2＝1或7，解得BC＝1或．故答案为：1或．11．（5分）已知双曲线C：的渐近线方程为，则双曲线C的离心率是．【解答】解：根据题意，双曲线C：的渐近线方程为，则有＝，即a＝2，则双曲线的方程为﹣y2＝1，其中a＝2，b＝1，则c＝＝，则双曲线的离心率e＝＝；故答案为：．12．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x值满足﹣2＜x≤4，则输出y值的取值范围是[﹣3，2]．【解答】解：根据输入x值满足﹣2＜x≤4，故：利用函数的定义域，分成两部分：即：﹣2＜x＜2和2≤x≤4，当﹣2＜x＜2时，执行y＝x2﹣3的关系式，故：﹣3≤y＜1，当2≤x≤4时，执行y＝log2x的关系式，故：1≤y≤2．综上所述：y∈[﹣3，2]，故答案为：[﹣3，2]13．（5分）向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量，所成角的余弦值是；向量，所张成的平行四边形的面积是3．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，不妨取＝（2，1），＝（1，2），则＝＝＝．向量，所张成的平行四边形的面积S＝••sin＝×＝5×＝3．故答案分别为：，3．14．（5分）已知函数f（x）＝①当x＜1时，若函数f（x）有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是a＜1；②若函数f（x）的最大值为1，则a＝±1．【解答】解：①x＜1时，f（x）＝﹣x2+2ax，f′（x）＝﹣2x+2a＝﹣2（x﹣a），由f′（x）＝0，解得x＝a．∵函数f（x）有且只有一个极值点，∴a＜1．则实数a的取值范围是（﹣∞，1）．②a＝0时，f（x）＝，此时f（x）max＝0≠1，舍去．a＜0时，x≥1时，f（x）＝≤0．x＜1时，f（x）＝﹣（x﹣a）2+a2，x＝a 时，函数f（x）取得最大值，f（a）＝a2，令a2＝1，a＜0，解得a＝﹣1．a＞0时，x≥1时，f（x）＝，f′（x）＝，可得函数f（x）在[1，e）内单调递增，在（e，+∞）内单调递减．f（x）max＝f（e）＝．x＜1时，f（x）＝﹣（x﹣a）2+a2，x＝a时，函数f（x）取得最大值，f（x）max ＝f（a）＝a2，当，即a时，令a2＝1，解得a＝1．当a2，即0＜a＜时，令＝1，解得a＝e．舍去．综上可得：a＝±1．故答案为：±1．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．【解答】解：（Ⅰ）＝＝，∴f（x）的最小正周期是π；（Ⅱ）∵，∴0≤2x≤π，∴，当时，f（x）max＝2．当时，f（x）min＝﹣1．16．（13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A，B两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到A，B两地区的空气质量指数（AQI）如图所示：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（Ⅰ）试估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；（Ⅱ）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C：“A地区空气质量等级优于B地区空气质量等级”．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A，B两地区哪个地区．（只需写出结论）【解答】（共13分）解：（Ⅰ）从A地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为1﹣＝0.75，估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为365×0.75≈274天．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）记A1表示事件：“A地区空气质量等级为优良”，A2表示事件：“A地区空气质量等级为轻中度污染”，B1表示事件：“B地区空气质量等级为轻中度污染”，B2表示事件：“B地区空气质量等级为重度污染”，则A1与B1独立，A2与B2独立，B1与B2互斥，C＝A1B1∪A1B2∪A2B2．所以P（C）＝P（A1B1∪A1B2∪A2B2）＝P（A1B1）+P（A1B2）+P（A2B2）＝P （A1）P（B1）+P（A1）P（B2）+P（A2）P（B2）．由所给数据得A1，A2，B1，B2发生的频率分别为，，，．故，，，，所以事件C的概率P（C）＝＝0.2925．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（Ⅲ）从空气质量角度，建议选择A地区居住．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）17．（14分）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图2．（I）求证：A1E⊥平面BCDE；（II）求二面角E﹣A1D﹣B的余弦值；（III）在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP平面A1BP？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（共14分）证明：（I）因为DE⊥AB，所以BE⊥DE．又因为BE⊥A1D，DE∩A1D＝D，所以BE⊥平面A1DE．因为A1E⊂平面A1DE，所以A1E⊥BE．又因为A1E⊥DE，BE∩DE＝E，所以A1E⊥平面BCDE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解：（II）因为A1E⊥平面BCDE，BE⊥DE，所以以E为原点，分别以EB，ED，EA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（0，，0），A1（0，0，1）．所以＝（﹣1，0，1），＝（﹣1，，0）．设平面A1BD的法向量＝（x，y，z），由，令y＝1，得＝（）．因为BE⊥平面A 1DE，所以平面A1DE的法向量，所以cos＜，＞＝＝＝．因为所求二面角为锐角，所以二面角E﹣A1D﹣B的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（III）假设在线段BD上存在一点P，使得平面A1EP⊥平面A1BD．设P（x，y，z），＝（0≤λ≤1），则（x﹣1，y，z）＝λ（﹣1，，0）．所以P（1﹣λ，，0）．所以＝（0，0，1），＝（1﹣λ，，0）．设平面A1EP的法向量＝（x，y，z），由，得，令x＝，得＝（）．因为平面A1EP⊥平面A1BD，所以＝3λ+λ﹣1＝0，解得∈[0，1]，所以在线段BD上存在点P，使得平面A1EP⊥平面A1BD，且＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）18．（14分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的经过点（0，1），且离心率为．（I）求椭圆E的标准方程；（II）过右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆交于A，B两点，线段AB 的垂直平分线交y轴于点M（0，m），求实数m的取值范围．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由题意，得b＝1，椭圆的离心率e＝＝＝，解得．所以椭圆E的标准方程：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）（1）当直线AB⊥x轴时，m＝0符合题意．（2）当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），由，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）＝0，由△＝（﹣4k2）2﹣8（1+2k2）（k2﹣1）＞0，得k∈R．设A（x1，y1），B（x2，y2），则．所以，所以线段AB中点C的坐标为（，﹣）．由题意可知，k≠0，故直线MC的方程为y+＝﹣（x﹣），令x＝0，，即当k＞0时，得，当且仅当时“＝”成立．同理，当k＜0时，，当且仅当时“＝”成立．综上所述，实数m的取值范围为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）19．（13分）已知函数f（x）＝ax2+ax﹣xe x，a＞1．（I）若曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x，求a的值；（II）证明：当x＜0时，函数f（x）存在唯一的极小值点为x0，且．【解答】解：（I）因为f（x）＝ax2+ax﹣xe x，得f′（x）＝2ax+a﹣e x﹣xe x，所以f′（0）＝a﹣1．因为曲线在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x，所以f′（0）＝a﹣1＝1，即a＝2；（II）证明：设h（x）＝2ax+a﹣e x﹣xe x，则h′（x）＝2a﹣2e x﹣xe x＝2a﹣（x+2）e x．因为x＜0，所以x+2＜2，e x＜1．又因为a＞1，所以h′（x）＞0，故h（x）＝a（2x+1）﹣e x（1+x）在（﹣∞，0）上为增函数．又因h（0）＝a﹣1＞0，h（﹣）＝﹣e＜0，由零点存在性定理，存在唯一的，有h（x0）＝0．当x∈（﹣∞，x0）时，h（x）＝f′（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，x0）上为减函数，当x∈（x0，0）时，h（x）＝f′（x）＞0，即f（x）在（﹣∞，x0）上为增函数，所以x0为函数f（x）的极小值点．20．（13分）已知正项数列{a n}中，若存在正实数p，使得对数列{a n}中的任意一项a k，也是数列{a n}中的一项，称数列{a n}为“倒置数列”，p是它的“倒置系数”．（I）若数列：1，4，9，x（x＞9）是“倒置系数”为p的“倒置数列”，求x 和p的值；（II）若等比数列{a n}的项数是m，数列{a n}所有项之积是T，求证：数列{a n}是“倒置数列”，并用m和T表示它的“倒置系数”p；（III）是否存在各项均为整数的递增数列{a n}，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”，如果存在，请写出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（I）因为数列：1，4，9，x（x＞9）是“倒置系数”为p的“倒置数列”．所以也是该数列的项，且．故，即x＝p＝36．（II）因为数列{a n}是项数为m项的有穷正项等比数列，取p＝a1•a m＞0，对数列{a n}中的任意一项a i（1≤i≤m），也是数列{a n}中的一项，由“倒置数列”的定义可知，数列{a n}是“倒置数列”；又因为数列{a n}所有项之积是T，所以即．（III）假设存在这样的等差数列{a n}为“倒置数列”，设它的公差为d（d＞0），“倒置系数”为p．因为数列{a n}为递增数列，所以a1＜a2＜a3＜…＜a n＜…则又因为数列{a n}为“倒置数列”，则正整数也是数列{a n}中的一项（i＝1，2，…），故数列{a n}必为有穷数列，不妨设项数为n项，则p＝a i•a n+1（1≤i≤n﹣1）﹣i则a1a n＝a2a n﹣1，得a1a n＝（a1+d）（a n﹣d），即（n﹣2）d2＝0由n≥3，故d＝0，与d＞0矛盾．所以，不存在满足条件的数列{a n}，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”．。

2018年北京市昌平区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集U＝R，集合A＝{x|x<−1或x>1}，则∁U A＝（）A.(−∞, −1)∪(1, +∞)B.(−∞, −1]∪[1, +∞)C.(−1, 1)D.[−1, 1]【答案】D【考点】补集及其运算【解析】进行补集的运算即可．【解答】∁U A＝[−1, 1]．2. 下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A.y=1xB.y=x3C.y=sinxD.y=lgx【答案】B【考点】函数奇偶性的性质【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，y=1x为反比例函数，在其定义域上为奇函数，但不是增函数，不符合题意；对于B，y=x3为幂函数，在其定义域上为奇函数，且是增函数，符合题意；对于C，y=sinx为正弦函数，在其定义域上为奇函数，但不是增函数，不符合题意；对于D，y=lgx为对数函数，其定义域为(0, +∞)，不是奇函数，不符合题意；3. 在平面直角坐标系中，不等式组{x−y≥0x+y−1≤0y≥0，表示的平面区域的面积是（）A.1B.12C.14D.18【答案】C【考点】简单线性规划【解析】先作出不等式组对应的平面区域，然后根据区域确定面积即可．【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：由{x =y x +y =1 得A(12, 12)，则三角形的面积S =12×1×12=14，4. 设a =(12)0.2，b ＝log 23，c ＝2−0.3，则（ ）A.b >c >aB.a >b >cC.b >a >cD.a >c >b 【答案】C【考点】 对数值大小的比较【解析】把a ，c 化为同底数，再由指数函数与对数函数的单调性比较大小．【解答】∵ a =(12)0.2=2−0.2>2−0.3=c ，且2−0.2<20＝1，而b ＝log 23>log 22＝1．∴ b >a >c ．5. 执行如图所示的程序框图，若输入x 值满足−2<x ≤4，则输出y 值的取值范围是（ ）A.[−3, 2]B.[1, 2]C.[−4, 0)D.[−4, 0)∪[1, 2]【答案】A【考点】程序框图【解析】直接利用程序框图和分段函数求出结果．【解答】解：当−2<x <2时，−3≤y <1,当2≤x ≤4时，1≤y ≤2，得：−3≤y ≤2，即：y ∈[−3, 2].故选A ．6. 设x ，y ∈R ，则“|x|≤1且|y|≤1“是“x 2+y 2≤2“的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】“|x|≤1且|y|≤1“⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如取x=0，y=√2．即可判断出结论．【解答】“|x|≤1且|y|≤1“⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如取x=0，y=√2．∴ “|x|≤1且|y|≤1“是“x2+y2≤2“的充分不必要条件．7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是（）A.4B.√5C.2D.√2【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积及底面面积，则答案可求．【解答】由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是长方形，AB=2，AD=1，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=90∘，PA=2，则S四边形ABCD=2×1=2，S△PAD=12×2×1=1，S△PAB=12×2×2=2，S△PBC=12×2√2×1=√2，S PDC=12×2×√5=√5．∴该四棱锥的所有面中最大面的面积是√5．8. 2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，希望将个税免征额从元上调至元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月工资、薪金所得8500元，则此人当月少缴纳此项税款（）A.45元B.350元C.400元D.445元【答案】C【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】根据列表即可分别求出个税免征额为3500元和7000元时，此人当月所缴纳的税款，进而即可得出此人当月少缴纳此项税款的值．【解答】根据表格，个税免征额为3500元时，此人当月所缴纳的税款为：1500×3100+3000×10100+500×20100=445（元）；当个税免征额为7000元时，此人当月的所缴纳的税款为：1500×3100=45(元)；∴此人当月少缴纳此项税款为445−45=400（元）．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．在复平面内，复数1+ii对应的点的坐标为________．【答案】(1, −1)【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】∵1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i，∴复数1+ii对应的点的坐标为(1, −1)．若抛物线x2＝12y，则焦点F的坐标是________．【答案】(0, 3)【考点】抛物线的性质【解析】根据题意，由抛物线的标准方程分析可得其焦点位置以及p的值，由焦点坐标公式计算可得答案．【解答】根据题意，抛物线x2＝12y，其焦点在y轴的正半轴上，且p＝6，则其焦点坐标为(0, 3)；在△ABC 中，a =2，b =2√63，A =π3，则C =________． 【答案】5π12【考点】正弦定理【解析】根据正弦定理与三角形内角和定理求出B 的值，再求C 的大小．【解答】△ABC 中，a =2，b =2√63，A =π3， ∴a sinA =b sinB ， 2sin π3=2√63sinB ，∴ sinB =√22， 又a >b ，∴ 0<B <π2，解得B =π4，∴ C =π−A −B =π−π3−π4=5π12．能够说明命题“设a ，b ，c 是任意实数，若a >b >c ，则2a +b >c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．【答案】−1，−2，−3【考点】命题的真假判断与应用【解析】令整数a ，b ，c 的值依次为−1，−2，−3，可得命题“设a ，b ，c 是任意实数，若a >b >c ，则2a +b >c ”是假命题．【解答】令整数a ，b ，c 的值依次为−1，−2，−3，此时a >b >c ，且2a +b <c ，即命题“设a ，b ，c 是任意实数，若a >b >c ，则2a +b >c ”是假命题，向量a →，b →在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量a →，b →所成角的余弦值是________；向量a →，b →所张成的平行四边形的面积是________．【答案】45,3【考点】向量的三角形法则【解析】如图所示，建立直角坐标系，不妨取a →=(2, 1)，b →=(1, 2)，利用向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式即可得出．【解答】如图所示，建立直角坐标系，不妨取a →=(2, 1)，b →=(1, 2)，则cos <a →,b →>=a →⋅b →|a →|⋅|b →|=√5⋅√5=45． 向量a →，b →所张成的平行四边形的面积S =|a →|⋅|b →|⋅sin <a →,b →>=√5×√5×√1−(45)2=5×35=(3)已知函数f(x)={−x 2+2ax,x <1alnxx ,x ≥1①当a =1时，函数f(x)极大值是________；②当x <1时，若函数f(x)有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是________．【答案】1e ,a <1【考点】利用导数研究函数的极值【解析】①当a =1时，函数f(x)={−x 2+2x,x <1lnx x,x ≥1 ，f′(x)={−2x +2,x <11−lnx x 2,x ≥1 ，分析各个区间上导函数的符号，进而可得函数f(x)极大值；②当x <1时，若函数f(x)有且只有一个极值点，则函数的对称轴在x =1的左侧，进而得到答案．【解答】①当a =1时，函数f(x)={−x 2+2x,x <1lnx x,x ≥1 ， f′(x)={−2x +2,x <11−lnx x 2,x ≥1 ， 当x <1时，f′(x)>0，函数为增函数，当1≤x <e 时，f′(x)>0，函数为增函数，当x >e 时，f′(x)<0，函数为减函数，故当x =e 时，函数f(x)极大值是1e ；②当x <1时，若函数f(x)有且只有一个极值点，则函数的对称轴在x =1的左侧，即x =a <1，三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.已知函数f(x)=2sin(π4−x)cos(π4−x)+√3sin2x ．(I)求函数f(x)的最小正周期；(II)求函数f(x)在区间[0,π2brack 上的最值及相应的x 值．【答案】(Ⅰ)f(x)=sin(π2−2x)+√3sin2x =cos2x +√3sin2x =2sin(2x +π6)，∴ f(x)的最小正周期是π；(Ⅱ)∵ 0≤x ≤π2，∴ 0≤2x ≤π，∴ π6≤2x +π6≤7π6， 当x =π6时，f(x)max =(2)当x =π2时，f(x)min =−(1)【考点】正弦函数的周期性诱导公式三角函数的最值【解析】（I ）直接利用二倍角公式变形，再由辅助角公式化积即可求函数f(x)的最小正周期；(II)结合已知条件求出π6≤2x +π6≤7π6，进而可求出函数f(x)在区间[0,π2brack 上的最值及相应的x 值．【解答】(Ⅰ)f(x)=sin(π2−2x)+√3sin2x =cos2x +√3sin2x =2sin(2x +π6)，∴ f(x)的最小正周期是π；(Ⅱ)∵ 0≤x ≤π2，∴ 0≤2x ≤π，∴ π6≤2x +π6≤7π6， 当x =π6时，f(x)max =(2)当x =π2时，f(x)min =−(1)已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=12，数列{b n }是公差为2的等差数列，且b n a n+1+a n+1=na n ．(I)求数列{b n }的通项公式；(II)求数列{a n }前n 项的和S n ．【答案】(Ⅰ)因为 b n a n+1+a n+1=na n ，所以 b 1a 2+a 2=a 1．又因为a 1=1,a 2=12，所以b 1=(1)所以数列{b n }的通项公式是b n =2n −(1)(Ⅱ) 由(Ⅰ)知b n =2n −1，且b n a n+1+a n+1=na n ．所以(2n −1)a n+1+a n+1=na n ，得到 a n+1a n =12（常数）．所以数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列．那么数列{a n }前n 项和：S n =1−(12)n 1−12=2−21−n ．【考点】数列的求和数列递推式【解析】(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论，进一步求出数列的通项公式，最后求出数列的前n 项和．【解答】(Ⅰ)因为 b n a n+1+a n+1=na n ，所以 b 1a 2+a 2=a 1．又因为a 1=1,a 2=12，所以b 1=(1)所以数列{b n }的通项公式是b n =2n −(1)(Ⅱ) 由(Ⅰ)知b n =2n −1，且b n a n+1+a n+1=na n ．所以(2n −1)a n+1+a n+1=na n ，得到 a n+1a n =12（常数）．所以数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列．那么数列{a n }前n 项和：S n =1−(12)n 1−12=2−21−n ．为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数(AQI)，绘制如下频率分布直方图：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：( II)若分别在A 、B 两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于150的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率．【答案】(Ⅰ)从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.008+0.007)×50=0.75，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为365×0.75≈274天．——————–(Ⅱ)A 地20天中空气质量指数在[150, 200)内，为20×0.003×50=3个，设为a 1，a 2，a 3，空气质量指数在[200, 250)内，为20×0.001×50=1个，设为a 4，B 地20天中空气质量指数在[150, 200)内，为20×0.002×50=2个，设为b 1，b 2，空气质量指数在[200, 250)内，为20×0.003×50=3个，设为b 3，b 4，b 5，设“A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C ，则基本事件空间：Ω={a 1b 1, a 1b 2, a 1b 3, a 1b 4, a 1b 5, a 2b 1, a 2b 2, a 2b 3, a 2b 4, a 2b 5, a 3b 1, a 3b 2, a 3b 3, a 3b 4, a 3b 5, a 1b 1,a 4b 2,a 4b 3,a 4b ，基本事件个数为n =20，C ={a 4b 3, a 4b 4, a 4b 5}，包含基本事件个数为m =3，所以A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为P(C)=320．——————–【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】(Ⅰ)从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为0.75，由估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，从而能求出A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数．(Ⅱ)A地20天中空气质量指数在[150, 200)内为3个，设为a1，a2，a3，空气质量指数在[200, 250)内为1个，设为a4，B地20天中空气质量指数在[150, 200)内为2个，设为b1，b2，空气质量指数在[200, 250)内为3个，设为b3，b4，b5，设“A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C，利用列举法能求出A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率．【解答】(Ⅰ)从A地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.008+0.007)×50=0.75，估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为365×0.75≈274天．——————–(Ⅱ)A地20天中空气质量指数在[150, 200)内，为20×0.003×50=3个，设为a1，a2，a3，空气质量指数在[200, 250)内，为20×0.001×50=1个，设为a4，B地20天中空气质量指数在[150, 200)内，为20×0.002×50=2个，设为b1，b2，空气质量指数在[200, 250)内，为20×0.003×50=3个，设为b3，b4，b5，设“A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C，则基本事件空间：Ω={a1b1, a1b2, a1b3, a1b4, a1b5, a2b1, a2b2, a2b3, a2b4, a2b5, a3b1, a3b2, a3b3, a3b4, a3b5, a1b1,a4b2,a4b3,a4b ，基本事件个数为n=20，C={a4b3, a4b4, a4b5}，包含基本事件个数为m=3，．——————–所以A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为P(C)=320如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面ABE，AF // BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．(Ⅰ)求证：AC⊥平面BDE；(Ⅱ)求证：AC // 平面DEF；(III)求三棱锥D−FEB的体积．【答案】(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AB⊥BE，BE⊂平面ABEF，∴BE⊥平面ABCD．又∵AC⊂平面ABCD．∴BE⊥AC，又BE∩BD=B，∴AC⊥平面BDE；(Ⅱ)证明：取DE的中点G，连结OG，FG，∵四边形ABCD为正方形，∴O为BD的中点．则OG // BE，且OG=12BE．由已知AF // BE，且AF=12BE，则AF // OG且AF=OG，∴四边形AOGF为平行四边形，则AO // FG，即AC // FG．∵AC平面DEF，FG⊂平面DEF，∴AC // 平面DEF；(Ⅲ)∵平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴AD // BC，AD⊥AB．由(Ⅰ)知，BE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴BE⊥AD∴AD⊥平面BEF．∴V D−BEF=13×S△BEF×AD=13×12×BE×AB×AD=43．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】(Ⅰ)由四边形ABCD是正方形，可得AC⊥BD．再由已知结合面面垂直的性质可得BE⊥平面ABCD，则BE⊥AC，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BDE；(Ⅱ)取DE的中点G，连结OG，FG，可证明四边形AOGF为平行四边形，则AO // FG，再由线面平行的判定可得AC // 平面DEF；(Ⅲ)由平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，可得AD // BC，AD⊥AB．由(Ⅰ)知，BE⊥平面ABCD，则BE⊥AD，即有AD⊥平面BEF，然后利用棱锥体积公式求解．【解答】(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AB⊥BE，BE⊂平面ABEF，∴BE⊥平面ABCD．又∵AC⊂平面ABCD．∴BE⊥AC，又BE∩BD=B，∴ AC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)证明：取DE 的中点G ，连结OG ，FG ，∵ 四边形ABCD 为正方形，∴ O 为BD 的中点． 则OG // BE ，且OG =12BE ．由已知AF // BE ，且AF =12BE ，则AF // OG 且AF =OG ， ∴ 四边形AOGF 为平行四边形，则AO // FG ， 即AC // FG ．∵ AC 平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， ∴ AC // 平面DEF ；(Ⅲ)∵ 平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形， 平面ABEF ∩平面ABCD =AB ， ∴ AD // BC ，AD ⊥AB ．由(Ⅰ)知，BE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴ BE ⊥AD∴ AD ⊥平面BEF ．∴ V D−BEF =13×S △BEF ×AD =13×12×BE ×AB ×AD =43．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的经过点(0, 1)，且离心率为√22．( I)求椭圆E 的标准方程；( II)过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点M(0, m)，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）由题意，得b =1，椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a 2=√22，解得 {a =√2b =1．所以椭圆E 的标准方程：x 22+y 2=1．——————-（2）（1）当直线AB ⊥x 轴时，m =0符合题意．（2）当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =k(x −1)， 由{y =k(x −1)x 2+2y 2−2=0 ，得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2(k 2−1)=0， 由△=(−4k 2)2−8(1+2k 2)(k 2−1)>0，得k ∈R ． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1⋅x 2=2(k 2−1)1+2k 2．所以y 1+y 2=k(x 1+x 2−2)=−2k1+2k 2，所以线段AB 中点C 的坐标为(2k 21+2k 2, −k1+2k 2)．由题意可知，k ≠0，故直线MC 的方程为y +k 1+2k 2=−1k(x −2k 21+2k 2)，令x =0，y =k 1+2k 2，即m =k1+2k 2 当k >0时，得0<m =k 1+2k 2=11k+2k ≤√24，当且仅当k =√22时“=”成立． 同理，当 k <0时，0>m =k1+2k 2=11k+2k ≥−√24，当且仅当k=−√22时“=”成立． 综上所述，实数m 的取值范围为[−√24,√24]．——————–【考点】 椭圆的离心率 【解析】(Ⅰ)由题意可知：b =1，根据椭圆的离心率公式，即可求得a 的值，即可求得椭圆方程；(II)分类讨论，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标求得AB 中点C 坐标，求得MC 的方程，分类讨论，根据基本不等式的性质，即可求得实数m 的取值范围． 【解答】（1）由题意，得b =1，椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a 2=√22，解得 {a =√2b =1．所以椭圆E 的标准方程：x 22+y 2=1．——————-（2）（1）当直线AB ⊥x 轴时，m =0符合题意．（2）当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =k(x −1)， 由{y =k(x −1)x 2+2y 2−2=0 ，得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2(k 2−1)=0， 由△=(−4k 2)2−8(1+2k 2)(k 2−1)>0，得k ∈R ． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1⋅x 2=2(k 2−1)1+2k 2．所以y 1+y 2=k(x 1+x 2−2)=−2k1+2k 2， 所以线段AB 中点C 的坐标为(2k 21+2k2, −k 1+2k 2)．由题意可知，k ≠0，故直线MC 的方程为y +k1+2k 2=−1k (x −2k 21+2k 2)， 令x =0，y =k 1+2k 2，即m =k1+2k 2 当k >0时，得0<m =k 1+2k 2=11k+2k ≤√24，当且仅当k =√22时“=”成立． 同理，当 k <0时，0>m =k1+2k 2=11k+2k ≥−√24，当且仅当k=−√22时“=”成立． 综上所述，实数m 的取值范围为[−√24,√24]．——————–设函数f(x)=x 3+c ，g(x)=8x 2−20x ，方程f(x)=g(x)有三个不同实根x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)．(I)求曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程； (II)求c 的取值范围；(III)求证：x 1+x 2>4． 【答案】（1）f ′(x)=3x 2，f′(1)=3，又f(1)=c +1，则曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为：y =3x +c −2； （2）设ℎ(x)=x 3−8x 2+20x +c ，ℎ′(x)=3x 2−16x +20， 令f′(x)=0，则x =2，或x =103，当x 变化时，ℎ′(x)与ℎ(x)的变化情况如下表：所以，当c +16>0，且c +40027<0时，因为ℎ(0)=c <0，ℎ(4)=16+c >0， 故存在x 1∈(0, 2)，x 2∈(2,103)，x 3∈(103,4)， 使得ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=ℎ(x 3)=0， 由ℎ(x)的单调性知，当且仅当c ∈(−16,−40027)时，函数ℎ(x)有三个不同的零点，即当且仅当c ∈(−16,−40027)时，方程f(x)=g(x)有三个不同实根．（3）证明：由(Ⅱ)知x 1∈(0, 2)，x 2∈(2,103)，4−x 2∈(23,2)⊆(0,2)， ℎ(x)在(0, 2)上单调递增，则x 1+x 2>4⇔4−x 2<x 1⇔ℎ(4−x 2)<ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=0 ⇔u(x 2)=ℎ(x 2)−ℎ(4−x 2)>0，x 2∈(2,103)，由ℎ(4−x 2)=(4−x 2)3−8(4−x 2)2+20(4−x 2)+c =−x 23+4x 22−4x 2+c +16，u(x 2)=ℎ(x 2)−ℎ(4−x 2)=(x 23−8x 22+20x 2+c)−(−x 23+4x 22−4x 2+c +16) =2(x 23−6x 22+12x 2−8)，设u(x)=2x 3−12x 2+24x −16，则u ′(x)=6(x −2)2所以当x ∈(2,103)时，u ′(x)>0，即u(x)在(2,103)上单调递增，而u(2)=0 所以当x ∈(2,103)时，u(x)>u(2)=0，所以u(x 2)>0，x 2∈(2,103)， 所以x 1+x 2>(4) 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，可得切线 的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；(Ⅱ)设ℎ(x)=x 3−8x 2+20x +c ，求得导数和单调区间、极值，即可得到所求范围； (III)由ℎ(x)的单调性，x 1+x 2>4⇔4−x 2<x 1⇔ℎ(4−x 2)<ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=0，设u(x)=2x 3−12x 2+24x −16，求得导数和单调性，即可得证． 【解答】（1）f ′(x)=3x 2，f′(1)=3，又f(1)=c +1，则曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为：y =3x +c −2； （2）设ℎ(x)=x 3−8x 2+20x +c ，ℎ′(x)=3x 2−16x +20， 令f′(x)=0，则x =2，或x =103，当x 变化时，ℎ′(x)与ℎ(x)的变化情况如下表：所以，当c +16>0，且c +40027<0时，因为ℎ(0)=c <0，ℎ(4)=16+c >0， 故存在x 1∈(0, 2)，x 2∈(2,103)，x 3∈(103,4)， 使得ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=ℎ(x 3)=0， 由ℎ(x)的单调性知，当且仅当c ∈(−16,−40027)时，函数ℎ(x)有三个不同的零点，即当且仅当c ∈(−16,−40027)时，方程f(x)=g(x)有三个不同实根．（3）证明：由(Ⅱ)知x 1∈(0, 2)，x 2∈(2,103)，4−x 2∈(23,2)⊆(0,2)， ℎ(x)在(0, 2)上单调递增，则x 1+x 2>4⇔4−x 2<x 1⇔ℎ(4−x 2)<ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=0 ⇔u(x 2)=ℎ(x 2)−ℎ(4−x 2)>0，x 2∈(2,103)，由ℎ(4−x 2)=(4−x 2)3−8(4−x 2)2+20(4−x 2)+c =−x 23+4x 22−4x 2+c +16，u(x 2)=ℎ(x 2)−ℎ(4−x 2)=(x 23−8x 22+20x 2+c)−(−x 23+4x 22−4x 2+c +16) =2(x 23−6x 22+12x 2−8)，设u(x)=2x 3−12x 2+24x −16，则u ′(x)=6(x −2)2所以当x ∈(2,103)时，u ′(x)>0，即u(x)在(2,103)上单调递增，而u(2)=0 所以当x ∈(2,103)时，u(x)>u(2)=0，所以u(x 2)>0，x 2∈(2,103)， 所以x 1+x 2>(4)。

昌平区2018-2018学年第二学期高三年级第二次统一练习数学（文科）试卷考生注意事项：1、本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟。

2、答题前，考生务必将学校、姓名、考试编号填写清楚。

答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

3、修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液。

请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上作任何标记。

4、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1．已知集合{}{}3,1,2,3,4A x x B =≥=，则A B =A ．{4}B ．{3，4}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4}2．设条件0:2>+a a p , 条件0:>a q ; 那么q p 是的A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 数列{}n a 对任意*N n ∈ ，满足13n n a a +=+，且38a =，则10S 等于 A ．155B ． 160C ．172D ．2404. 若b a b a >是任意实数，且、,则下列不等式成立的是 A ．22b a > B ．1<ab C ．0)lg(>-b a D ．b a )31()31(<5.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸 (单位:cm )，可得这个几何体的体积是 A ．πcm 3B ．34πcm 3C ．35πcm 3 D ．2π cm 3俯视图6. 已知3log ,2321==b a ,则输出的值为A.22B.2C. 212- D. 212+7、已知ABC ∆中，,10,4,3===BC AC AB 则∙等于 A ．596- B. 215- C. 215 D. 2968、如图AB 是长度为定值的平面α的斜线段，点A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得ABP ∆的面积为定值，则动点P 的轨迹是A.圆B.椭圆 C 一条直线 D 两条平行线第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9.i-12= 10.一个正方形的内切圆半径为2，向该正方形内随机投一点P,点P 恰好落在圆内的概率是__________11.《中华人民共和国道路交通安全法》 规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20~80 mg/100mL （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL （含80）以上时，属醉酒驾车。

昌平区第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． “x ≠0”是“x ＞0”是的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2． 已知函数y=x 3+ax 2+（a+6）x ﹣1有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜a ＜2B ．﹣3＜a ＜6C ．a ＜﹣3或a ＞6D ．a ＜﹣1或a ＞23． 若偶函数f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，则不等式f （﹣1）＜f （lg x ）的解集是（ ）A ．（0，10）B ．（，10）C ．（，+∞）D ．（0，）∪（10，+∞）4． 若复数z 满足iz=2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）A ．（2，4）B ．（2，﹣4）C ．（4，﹣2）D ．（4，2）5． 下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m 表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m 的可能取值集合为（）A ．B ．C ．D ．6． 已知圆的半径为1,为该圆的两条切线,为两切点,那么O ,PA PB ,A B PA PB ∙u u u r u u u r的最小值为A 、B 、C 、D 、4-3-4-+3-+7． 若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则（）A ．()()()213f f f -<<B ．()()()123f f f <-<C ．()()()312f f f <<D ．()()()321f f f <-<8． 复数z=（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9． 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=（1+cos 2）a n +sin 2，则该数列的前10项和为（）A ．89B ．76C ．77D ．3510．某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A. B ．483C.D ．16320311．圆锥的高扩大到原来的 倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积12（ ）A.缩小到原来的一半B.扩大到原来的倍C.不变D.缩小到原来的1612．对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆x 2+y 2=2的位置关系一定是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心二、填空题13．如果椭圆+=1弦被点A （1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ．14．已知实数，满足，目标函数的最大值为4，则______．x y 2330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩3z x y a =++a =【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．15．函数的单调递增区间是 ．16．如图，在矩形中，，点为线段（含端点）上一个动点，且,ABCD AB =Q CD DQ QC λ=u u u r u u u rBQ交于，且，若，则 ．AC P AP PC μ=u u u r u u u rAC BP ⊥λμ-=17．已知是数列的前项和，若不等式对一切恒成立，则的取值范围是n S 1{}2n n -n 1|12n n nS λ-+<+｜n N *∈λ___________．【命题意图】本题考查数列求和与不等式恒成立问题，意在考查等价转化能力、逻辑推理能力、运算求解能力．18．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x+a ≤0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是 ．（用区间表示）三、解答题19．如图，在底面是矩形的四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=2，BC=2，E 是PD 的中点．A B C DPQ（1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（2）求二面角E ﹣AC ﹣D 所成平面角的余弦值．20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sinA ﹣sinC （cosB+sinB ）=0．（1）求角C 的大小； （2）若c=2，且△ABC 的面积为，求a ，b 的值．21．已知函数()f x =121x a +-（1）求的定义域.()f x （2）是否存在实数，使是奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

昌平区－第二学期高三年级第二次统一练习 数 学 试 卷（文科）考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、 班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若集合}{0>=x |x A ,}4|{2<=x x B ，则=B AA.{02<<-x |x }B. {20<<x |x }C. {22<<-x |x }D. {2->x |x } 2. “1>x ” 是“0lg >x 垂直”的A. 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A ． lg y x = B ．tan y x =C ．3xy = D ．13y x =4. 已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. 34B. 38C. 4D. 85. 已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ= A. 4π- B. 6πC.3πD.125π6. 爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身心健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度.现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为1v ，下山的速度为2v （21v v ≠），乙上下山的速度都是221v v +（甲、乙两人中途不停歇），则甲、乙两人上下山所用的时间21,t t 的关系为A ．21t t > B. 21t t < C. 21t t = D. 不能确定7. 四面体的四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，记其中最大的面积为S ，则SSi i341∑=的取值范围是A. ]231(,B. ]231[,C. (3432,]D. [3432,]8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()37712012(1)1a a -+-=，()32006200612012(1)1a a -+-=-，有下列结论：①20122012S =-；②20122012S =；③20127a a >；④20127a a <．其中正确的结论序号是A ．①② B．①③ C．②③ D．②④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. i - (1-2 i ) =___________.10. 若向量b a ,满足32=⋅=b a a ,||， >=<b a,cos 43，则 |b | = ___________. 11. 已知双曲线的方程为1422=-y x ，则其渐近线的方程为___________,若抛物线px y 22=的焦点与双曲线的右焦点重合，则_______p =.左视图22 俯视图25π12yOx2π612. 如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应等，则这样的x 值有的y 值，若要使输入的x 值和输出的y 值相___________个.13．若变量 x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤40x y y x 表示平面区域M ，则平面区域M 的面积是________;当 —42≤≤a 时，动直线a y x =+所经过的平面区域M 的面积为_____________.14. 若对于定义在R 上的函数f (x ) ,其图象是连续不断的，且存在常数λ(∈λR )使得f (x +λ) +λf (x ) = 0对任意实数x 都成立，则称f (x ) 是一个“λ—伴随函数”. 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①f (x ) =0 是常数函数中唯一个“λ—伴随函数”；② f (x ) = x 2是一个“λ—伴随函数”；③ “21—伴随函数”至少有一个零点. 其中不正确．．．的序号是________________（填上所有不．正确．．的结论序号）．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．（本小题满分13分） 已知向量 (cos ,sin )θθ=a ，(3,1)=-b ,22π≤θ≤π-. （Ⅰ）当b a ⊥时，求θ的值； （Ⅱ）求b a ⋅的取值范围.16．(本小题满分13分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5.现从一批日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下表所示：(Ⅰ)若所抽取的20件日用品中，等级系数为2的恰有4件，求a,b,c 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为4的2件日用品和等级为5的3件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.17.（本小题满分13分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为AD 中点,F 为11B C 中点.（Ⅰ）求证:1//A F 平面1ECC ；（Ⅱ）在CD 上是否存在一点G ,使BG ⊥平面1ECC ?若存在，请确定点G 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.18．（本小题满分14分）已知函数2()4ln 6f x x ax x b =+-+（a ，b 为常数），且2x =为()f x 的一个极值点． (Ⅰ) 求a 的值；(Ⅱ) 求函数()f x 的单调区间；(Ⅲ) 若函数()y f x =有3个不同的零点，求实数b 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C : 22221(0)x y a b a b+=>>，过点B （0，1）, 22.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(0,2)P 的直线l 与椭圆交于M ，N 两个不同的点，且使12PM PN =成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.等级 频数 频率1 ca 2 4 b3 9 0.454 2 0.15 3 0.15 合计201y=2x -3否是开始 输入xx ≤5y= x -1输出y结束是否x ≤2y=x2 F E D 1C 1B 1A 1DCBA20. (本小题满分13分)设数列}{n a 的首项211-=a ，前n 项和为n S ，且对任意*,N m n ∈都有)53()53(--=m m n n S S m n ，数列}{n a 中的部分项∈k a k b }({N *）成等比数列，且.4,221==b b(Ⅰ) 求数列｝与｛n n b a }{与的通项公式; （Ⅱ）令11)(+=n b n f ，并用x 代替n 得函数)(x f ，设)(x f 的定义域为R , 记))((...)2()1()0(*N n n n f n f n f f c n ∈++++=,求∑=+ni i i c c 111.昌平区－第二学期高三年级第二次统一练习数学(文科)试卷参考答案及评分标准 .4一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 BCDBBACD二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．) 9． -2-i 10. 2 11. x y 21±= , 52 12. 3 13．8 , 7 14. ①② 注：11,13题第一空2分.三、解答题(本大题共6小题，共80分)15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）b a ⋅0sin cos 3=+-=θθ ……… 2分 得3tan =θ 22π≤θ≤π-即：θ=3π………6分 （Ⅱ）由=⋅b a )sin(θθ32sin cos 3π-θ=+- ……… 9分 22π≤≤π-θ 6365π≤π-≤π-∴θ ……… 10分 21)3sin(1≤π-≤-∴θ 1)3sin(22≤π-≤-∴θ ……… 12分12≤⋅≤-∴b a ……… 13分16．(本小题满分13分)解:（Ⅰ）由频率分布表得115010450=++++...b a 即30.b a =+………2分 因为抽取20件日用品中，等级系数为2的恰有4件，所以20204.b ==解得10.a = ， 21020=⨯=.c ………5分 从而10350.c b .a =--=所以22010===c ,.b ,.a ………6分 (Ⅱ) 从日用品21x ,x ，321y ,y ,y 中任取两件，所有可能的结果为}},{},{},{},{},{},{},{},{},{21323121322212312111x ,x {y ,y y y y y y ,x y ,x y ,x y ,x y ,x y ,x ,,………9分设事件A 表示“从日用品21x ,x ，321y ,y ,y 中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件}{},{},{},{22312121y ,y y ,y y ,y x ,x 共4个，基本事件总数为10, ……… 11分故所求的概率 40104.)A (P == ……… 13分17.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，取BC 中点M ,连结,.AM FM11//B F BM B F BM ∴=且. ∴四边形1B FMB 是平行四边形.11//FM B B FM B B ∴=且.………2分 11//FM A A FM A A =且，∴四边形1AA FM 是平行四边形.1//FA AM ∴.E 为AD 中点，//AE MC AE MC ∴=且.∴四边形AMCE 是平行四边形. ………4分//CE AM ∴.1//CE A F ∴.11ECC F A 平面⊄ ,1EC ECC ⊂平面，11//A F ECC ∴平面. ……… 6分（Ⅱ） 证明：在CD 上存在一点G ,使BG ⊥平面1ECC 取CD 中点G ，连结BG ………7分 在正方形ABCD 中, ,,,DE GC CD BC ADC BCD ==∠=∠CDE BCG ∴∆≅∆. ECD GBC ∴∠=∠. ………9分 90CGB GBC ∠+∠=︒. 90CGB DCE ∴∠+∠=︒.BG EC ∴⊥. ………11分ABCD CC 平面⊥1 ,ABCD BG 平面⊂1CC BG ∴⊥,1ECCC C =.BG ∴⊥平面1ECC .故在CD 上存在中点G ,使得BG ⊥平面1ECC . ………13分18．（本小题满分14分）解： (Ⅰ) 函数f (x )的定义域为（0，+∞）……1分 ∵ f ′ (x ) =624-+ax x……2分 ∴06422=-+='a )(f ，则a = 1．………4分(Ⅱ)由(Ⅰ) 知b x x x x f +-+=6ln 4)(2∴ f ′ (x ) =xx x x x x x x )1)(2(24626242--=+-=-+ ………6分由f ′ (x ) > 0可得x >2或x <1，由f ′ (x ) < 0可得1< x <2． ∴ 函数f ( x ) 的单调递增区间为 (0 ，1) 和 (2，+ ∞ )，单调递减区间为 (1 , 2 )． ………9分(Ⅲ) 由(Ⅱ)可知函数f (x )在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增．且当x =1或x =2时，f ′ (x ) = 0． ………10分∴ f (x ) 的极大值为 5611ln 4)1(-=+-+=b b f ………11分f (x )的极小值为b b f +-=+-+=82ln 41242ln 4)2( ……12分由题意可知⎩⎨⎧<+-=>-=082ln 4)2(05)1(b f b f则 2ln 485-<<b ………14分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可知1=b ,32211)(122=-=-=aa b a c 解得92=a 故椭圆M 的方程为1922=+y x ………4分 （Ⅱ） 12PM PN =点M 为PN 的中点， 设)()(2211y ,x N ,y ,x M 则 122x x = ① ……5分（1）当直线的斜率k 不存在时，P(0,2)),10()10(-,N ,,M ,易知不符合条件，此时直线方程不存在. ………7分 （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为2+=kx yGMF E D 1C 1B 1A 1DCB A由⎪⎩⎪⎨⎧=++=19222y x kx y ，消去y 得 027361922=+++kx x )k (得072)19(4)36(22>⋅+⋅-=∆k k 解得312>k （*） ……9分 1936221+-=+k k x x ② ，1927221+=k x x ③ 由① ②③可得消去21x ,x ，可得532=k ，故515±=k ……13分综上可知：存在这样直线l 的方程为： 2515+±=x y ………14分20.（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 由,2111-==a S 代入已知得1)53()53(1⨯--=n n S S n 即n n S n 45432-=于是有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=-=⎩⎨⎧≥-==-)2(,223)1(,21)2(,)1(,11n n n n S S n S a n n n又2123211-⨯=-=a =1S 所以数列}{n a 的通项公式为 223-=n a n …….3分 由4,142==a a 知，数列}{k b a 是首项为1，公比为4的等比数列，14-=n b k a而k b a 为等差数列}{n a 中的第k b 项，是等比数列}{k b a 中的第k 项，所以有22341-=-k k b 即 34)4(321+=-n n b …….5分（Ⅱ）解由已知)241(23)(+=xx f ，则 43])24(24241[23]241241[23)1()(1=+++=+++=-+-x x x x x x f x f…….8分),()1(...)2()1()1()0(nnf n n f n f n f n f f c n +-+++++=∴①),0(...)2()1()(f nn f n n f n n f c n ++-+-+=②①+②得 43)1(2+=n c n 即)1(83+=n c n …….10分=+++=+=+∑13212111...111n n ni i i c c c c c c c c （18932964)211141313121+=⨯+-++-+-n nn n …….13分【 以上答案仅供参考，若有其它解法，请酌情给分】。

昌平区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 棱台的两底面面积为、，中截面（过各棱中点的面积）面积为，那么（ ）1S 2S 0S A ． B ． C ．D．=0S =0122S S S =+20122S S S =2． 已知全集U=R ，集合A={1，2，3，4，5}，B={x ∈R|x ≥3}，图中阴影部分所表示的集合为（）A ．{1}B ．{1，2}C ．{1，2，3}D ．{0，1，2}3． 执行如图所示的一个程序框图，若f （x ）在[﹣1，a]上的值域为[0，2]，则实数a 的取值范围是（）A ．（0，1]B ．[1，]C ．[1，2]D ．[，2]　4． 已知命题p ：“∀∈[1，e]，a ＞lnx ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2﹣4x+a=0””若“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．（1，4]B ．（0，1]C ．[﹣1，1]D ．（4，+∞）5． 如果过点M （﹣2，0）的直线l 与椭圆有公共点，那么直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．6． 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 27． 设是等差数列的前项和，若，则（ ）n S {}n a 5359a a =95SS =A ．1B ．2C ．3D ．48． 定义在R 上的奇函数f （x ），满足，且在（0，+∞）上单调递减，则xf （x ）＞0的解集为（）A ．B ．C ．D ．班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________9． 设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ）A ．ac bc >B ．11a b<C ．22a b > D ．33a b>10．已知集合（ ）{}{2|5,x |y ,A y y x B A B I ==-+===A ． B ． C ． D ．[)1,+∞[]1,3(]3,5[]3,5【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．11．与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（）A ．（，1，1）B ．（﹣1，﹣3，2）C ．（﹣，，﹣1）D ．（，﹣3，﹣2）12．以过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定二、填空题13．已知i 是虚数单位，且满足i 2=﹣1，a ∈R ，复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）在复平面内对应的点为M ，则“a=1”是“点M 在第四象限”的 条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）　14．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝k 1＋k 2·2n （k 1，k 2为常数），且a 2，a 3，a 4－2成等差数列，则a n ＝________．15．平面向量，满足|2﹣|=1，|﹣2|=1，则的取值范围 ．　16．在中，已知，则此三角形的最大内角的度数等ABC ∆sin :sin :sin 3:5:7A B C =于__________.17．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x 1，x 2，…，x 90和y 1，y 2，…，y 90，在90组数对（x i ，y i ）（1≤i ≤90，i ∈N *）中，经统计有25组数对满足，则以此估计的π值为 ．18．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的X 的值为2，则输出的结果是 ．三、解答题19．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数．()1ln 1f x a x x=+-（1）当时，求函数在点处的切线方程；2a =()f x ()()11f ，（2）讨论函数的单调性；()f x （3）当时，求证：对任意，都有．102a <<1+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，1e x aa x +⎛⎫+< ⎪⎝⎭20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111,A A AB CB A ABB =⊥．（1）求证：1AB ⊥平面1A BC ；（2）若15,3,60AC BC A AB ==∠=o ，求三棱锥1C AA B -的体积．21．（本小题满分10分）已知函数f（x）＝|x－a|＋|x＋b|，（a≥0，b≥0）．（1）求f（x）的最小值，并求取最小值时x的范围；（2）若f（x）的最小值为2，求证：f（x）≥＋.a b22．如图，菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起至△ACP位置，并使平面PAC⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）在菱形ABCD中，若∠ABC=60°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）求四面体PABC体积的最大值．23．已知函数f（x）=+lnx﹣1（a是常数，e≈=2.71828）．（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a=1时，方程f（x）=m在x∈[，e2]上有两解，求实数m的取值范围；（3）求证：n∈N*，ln（en）＞1+．24．（理）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若对所有的x≥0，均有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．昌平区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1． 【答案】A 【解析】试题分析：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为上部三棱锥的高为，根据相似比的性质可得：2h ，解得A ．220()2()a S a hS a S a hS '⎧=⎪+⎪⎨'⎪=+⎪⎩=考点：棱台的结构特征．2． 【答案】B【解析】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A 中，但不在集合B 中．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U B ）∩A ，又A={1，2，3，4，5}，B={x ∈R|x ≥3}，∵C U B={x|x ＜3}，∴（C U B ）∩A={1，2}．则图中阴影部分表示的集合是：{1，2}．故选B ．【点评】本小题主要考查Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．3． 【答案】B【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=的值，当a ＜0时，y=log 2（1﹣x ）+1在[﹣1，a]上为减函数，f （﹣1）=2，f （a ）=0⇒1﹣a=，a=，不符合题意；当a ≥0时，f ′（x ）=3x 2﹣3＞⇒x ＞1或x ＜﹣1，∴函数在[0，1]上单调递减，又f （1）=0，∴a ≥1；又函数在[1，a]上单调递增，∴f （a ）=a 3﹣3a+2≤2⇒a ≤．故实数a 的取值范围是[1，]．故选：B ．【点评】本题考查了选择结构的程序框图，考查了导数的应用及分段函数值域的求法，综合性强，体现了分类讨论思想，解题的关键是利用导数法求函数在不定区间上的最值．　4． 【答案】A【解析】解：若命题p ：“∀∈[1，e]，a ＞lnx ，为真命题，则a ＞lne=1，若命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a=0”为真命题，则△=16﹣4a≥0，解得a≤4，若命题“p∧q”为真命题，则p，q都是真命题，则，解得：1＜a≤4．故实数a的取值范围为（1，4]．故选：A．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．5．【答案】D【解析】解：设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），联立，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，∵过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，∴△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）≥0，整理，得k2，解得﹣≤k≤．∴直线l的斜率k的取值范围是[﹣，]．故选：D．【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．6．【答案】B【解析】解：根据题意球的半径R满足（2R）2=6a2，所以S球=4πR2=6πa2．故选B7．【答案】A【解析】1111]试题分析：．故选A ．111]199515539()9215()52a a S a a a S a +===+考点：等差数列的前项和．8． 【答案】B【解析】解：∵函数f （x ）是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f （）=0，∴f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，∵当x ＜0，当﹣＜x ＜0时，f （x ）＜0，此时xf （x ）＞0当x ＞0，当0＜x ＜时，f （x ）＞0，此时xf （x ）＞0综上xf （x ）＞0的解集为故选B 9．【答案】D 【解析】考点：不等式的恒等变换.10．【答案】D【解析】，故选D.{}{{}|5,||3,A y y B x y x x Q =≤===≥[]3,5A B ∴=I 11．【答案】C【解析】解：对于C 中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．故选：C ．【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．　12．【答案】C【解析】解：设过右焦点F 的弦为AB ，右准线为l ，A 、B 在l 上的射影分别为C 、D 连接AC 、BD ，设AB 的中点为M ，作MN ⊥l 于N 根据圆锥曲线的统一定义，可得==e，可得∴|AF|+|BF|＜|AC|+|BD|，即|AB|＜|AC|+|BD|，∵以AB为直径的圆半径为r=|AB|，|MN|=（|AC|+|BD|）∴圆M到l的距离|MN|＞r，可得直线l与以AB为直径的圆相离故选：C【点评】本题给出椭圆的右焦点F，求以经过F的弦AB为直径的圆与右准线的位置关系，着重考查了椭圆的简单几何性质、圆锥曲线的统一定义和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题13．【答案】　充分不必要　【解析】解：∵复数z=（a﹣2i）（1+i）=a+2+（a﹣2）i，∴在复平面内对应的点M的坐标是（a+2，a﹣2），若点在第四象限则a+2＞0，a﹣2＜0，∴﹣2＜a＜2，∴“a=1”是“点M在第四象限”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考查条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．14．【答案】【解析】当n＝1时，a1＝S1＝k1＋2k2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（k1＋k2·2n）－（k1＋k2·2n－1）＝k2·2n－1，∴k1＋2k2＝k2·20，即k1＋k2＝0，①又a2，a3，a4－2成等差数列．∴2a3＝a2＋a4－2，即8k2＝2k2＋8k2－2.②由①②联立得k1＝－1，k2＝1，∴a n＝2n－1.答案：2n－115．【答案】　[，1]　．【解析】解：设两个向量的夹角为θ，因为|2﹣|=1，|﹣2|=1，所以，，所以，=所以5=1，所以，所以5a 2﹣1∈[]，[，1]，所以；故答案为：[，1]．【点评】本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范围．　16．【答案】120o【解析】考点：解三角形．【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于基础题，本题的解答中根据，根据正弦定理，可设，即可利用余弦定理求解最大角的余弦，sin :sin :sin 3:5:7A B C =3,5,7a b ===熟记正弦、余弦定理的公式是解答的关键．17．【答案】 ．【解析】设A （1，1），B （﹣1，﹣1），则直线AB 过原点，且阴影面积等于直线AB 与圆弧所围成的弓形面积S 1，由图知，，又，所以【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．　18．【答案】　﹣3　．【解析】解：分析如图执行框图，可知：该程序的作用是计算分段函数f （x ）=的函数值．当x=2时，f （x ）=1﹣2×2=﹣3故答案为：﹣3【点评】本题主要考查了选择结构、流程图等基础知识，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．　三、解答题19．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.10x y --=【解析】试题分析：（1）当时，求出导数易得，即，利用点斜式可得其切线方程；（2）2a =()'11f =1k =求得可得，分为和两种情形判断其单调性；（3）当时，根据（2）可()21'ax f x x -=0a ≤0a >102a <<得函数在上单调递减，故，即，化简可得所证结论.()f x ()12，()11a f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ln 1a a a x x a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭试题解析：（1）当时，2a =，，，，所以函数在点()12ln 1f x x x =+-()112ln1101f =+-=()221'f x x x =-()221'1111f =-=()f x 处的切线方程为，即．()10，()011y x -=⨯-10x y --=（2），定义域为，．()1ln 1f x a x x =+-()0+∞，()2211'a ax f x x x x-=-=①当时，，故函数在上单调递减；0a ≤()'0f x <()f x ()0+∞，②当时，令，得0a >()'0f x =1x a=x10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1a1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，()'f x -+()f x ↘极小值↗综上所述，当时，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在0a ≤()f x ()0+∞，0a >()f x 10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增．1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，（3）当时，由（2）可知，函数在上单调递减，显然，，故，102a <<()f x 10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12a >()1120a ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，，所以函数在上单调递减，对任意，都有，所以．所以()f x ()12，1+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，01a x <<112a x <+<，即，所以，即，所以()11a f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭1ln 1101a a a x x⎛⎫++-< ⎪⎝⎭+ln 1a a a x x a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭1ln 1a x x a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭，即，所以．()ln 11a x a x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭ln 11x a a x +⎛⎫+< ⎪⎝⎭1e xaa x +⎛⎫+< ⎪⎝⎭20．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）有线面垂直的性质可得，再由菱形的性质可得，进而有线面垂直的判1BC AB ⊥11AB A B ⊥定定理可得结论；（2）先证三角形为正三角形，再由于勾股定理求得的值，进而的三角形1A AB AB 1A AB 的面积，又知三棱锥的高为，利用棱锥的体积公式可得结果.3BC =考点：1、线面垂直的判定定理；2、勾股定理及棱锥的体积公式.21．【答案】【解析】解：（1）由|x －a |＋|x ＋b |≥|（x －a ）－（x ＋b ）|＝|a ＋b |得，当且仅当（x －a ）（x ＋b ）≤0，即－b ≤x ≤a 时，f （x ）取得最小值，∴当x ∈[－b ，a ]时，f （x ）min ＝|a ＋b |＝a ＋b . （2）证明：由（1）知a ＋b ＝2，（＋）2＝a ＋b ＋2≤2（a ＋b ）＝4，a b ab ∴＋≤2，a b ∴f （x ）≥a ＋b ＝2≥＋，a b 即f （x ）≥＋.a b 22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）证明：取AC 中点O ，连接PO ，BO ，由于四边形ABCD 为菱形，∴PA=PC ，BA=BC ，∴PO ⊥AC ，BO ⊥AC ，又PO ∩BO=O ，∴AC ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ，∴AC ⊥PB ．（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊂平面PAC，PO⊥AC，∴PO⊥面ABC，∴OB，OC，OP两两垂直，故以O为原点，以方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，∵∠ABC=60°，菱形ABCD 的边长为2，∴，，设平面PBC的法向量，直线AB与平面PBC成角为θ，∴，取x=1，则，于是，∴，∴直线AB与平面PBC成角的正弦值为．（Ⅲ）法一：设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），∴，，又PO⊥平面ABC，∴=（），∴，∴，当且仅当，即时取等号，∴四面体PABC体积的最大值为．法二：设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），∴，，又PO⊥平面ABC，∴=（），设，则，且0＜t＜1，∴，∴当时，V'PABC＞0，当时，V'PABC＜0，∴当时，V PABC取得最大值，∴四面体PABC体积的最大值为．法三：设PO=x，则BO=x，，（0＜x＜2）又PO⊥平面ABC，∴，∵，当且仅当x2=8﹣2x2，即时取等号，∴四面体PABC体积的最大值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间思维能力的培养．23．【答案】【解析】解：（1）．因为x=2是函数f（x）的极值点，所以a=2，则f（x）=，则f（1）=1，f'（1）=﹣1，所以切线方程为x+y﹣2=0；（2）当a=1时，，其中x∈[，e2]，当x∈[，1）时，f'（x）＜0；x∈（1，e2]时，f'（x）＞0，∴x=1是f（x）在[，e2]上唯一的极小值点，∴[f（x）]min=f（1）=0．又，，综上，所求实数m的取值范围为{m|0＜m≤e﹣2}；（3）等价于，若a=1时，由（2）知f（x）=在[1，+∞）上为增函数，当n＞1时，令x=，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0，即，∴．故即，即．24．【答案】【解析】解：（1）由f'（x）=ln（x+1）+1≥0得，∴f（x）的增区间为，减区间为．（2）令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax．“不等式f（x）≥ax在x≥0时恒成立”⇔“g（x）≥g（0）在x≥0时恒成立．”g'（x）=ln（x+1）+1﹣a=0⇒x=e a﹣1﹣1．当x∈（﹣1，e a﹣1﹣1）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数．当x∈（e a﹣1﹣1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数．“g（x）≥0在x≥0时恒成立”⇔“e a﹣1﹣1≤0”，即e a﹣1≤e0，即a﹣1≤0，即a≤1．故a的取值范围是（﹣∞，1]．。