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拉格朗日中值定理洛必达法则.

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高等数学 第三章中值定理与导数的应用习题课

高等数学 第三章中值定理与导数的应用习题课

(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义 ． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型： 其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式 ．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数 阶导数 如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点 ．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。 的驻点。
3．函数的单调区间的判别 ．
函数在[a,b]上连续 在(a,b)内可导 上连续,在 内可导. 函数在 上连续 内可导

(整理)第六节 洛必达法则

(整理)第六节 洛必达法则

第一节洛必达法则在上一章中我们研究了导数的概念以及它们的计算方法,本章将利用导数来研究函数在区间上的某些特性,并利用这些特性解决一些实际问题一. 微分学中值定理[拉格朗日中值定理]如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使即成立。

这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。

[ 罗尔定理]若在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。

下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理[柯西中值定理]如果函数，在闭区间[a ，b]上连续，在开区间(a ，b)内可导，且≠0，那末在(a ，b)内至少有一点c ，使成立。

在求函数的极限时，常会遇到两个函数)(x f 、)(x F 都是无穷小或都是无穷大时，求它们比值的极限，此时极限)()(limx F x f 可能存在，也可能不存在．通常把这种极限叫做未定式，并分别简称为00型或∞∞型。

例如，xx x sin lim 0→就是00型的未定式；而极限x x x ln lim +∞→就是∞∞型的未定式．我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用"商的极限等于极限的商"这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？ 计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法. 本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则.一、00型未定式定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x（3）)()(lim0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)(lim 0x F x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.例1计算极限0e 1lim x x x →-.解 该极限属于“00”型不定式，于是由洛必达法则，得0e 1limx x x→-0e lim 11xx →==. 例2计算极限0sin lim sin x axbx →．解 该极限属于“0”型不定式，于是由洛必达法则，得00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==．注 若(),()f x g x ''仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即()()()lim lim lim ()()()x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''． 例3 计算极限33221216lim 248x x x x x x →-+--+．解 由洛必达法则，得33221216lim 248x x x x x x →-+--+222312lim 344x x x x →-=--263lim 642x x x →==-． 例4 计算极限arctan 2lim 1x xxπ→+∞-．解 arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2211lim 1x x x →+∞-+=-22lim 11x x x →+∞==+． 二、∞∞型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x →时未定式∞∞∞∞型同样适用．例5 计算极限ln lim(0)x xx αα→+∞>．解 此极限满足洛必达法则，于是得11ln 1lim lim lim 0x x x x x x x x ααααα-→+∞→+∞→+∞===． 例6 计算极限lim (0)nx x x n e →+∞>．解 所求问题是∞∞型未定式，连续n 次施行洛必达法则，有lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞===．例7 计算极限20tan lim sin x x xx x →-．解 20tan lim sin x x x x x →-30tan limx x xx →-=（利用等价无穷小量代换sin x x ） 22222000sec 1tan 1tan 1lim lim lim(3333x x x x x x x x x →→→-====． 使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．习题4-61.用洛必达法则求下列极限：（1）πππ--→x x x )sin(lim； （2）x xx 2tan 3tan lim 0→；（3）)0(ln lim >+∞→n xxn x ； （4）为常数）、n m x x n n m m x ,0(lim ≠--→αααα； （5）20)1ln(lim xx x +→； （6）x arc x x cot )11ln(lim ++∞→； （7）xx xe e x x x sin 2lim 0----→； （8）x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→．4. 洛必达法则在使用洛必塔法则时应注意以下几点：①洛必塔法则只适用于00型或∞∞型的极限. ②如果(x )g )( lim ''x f 仍是00型或∞∞型,则可继续使用洛必塔法则.③如果(x )g )( lim ''x f 不存在且不是∞,并不表明g(x ))( lim x f 不存在,只表明洛必塔法则失效,这时应用其他方法求解.第二节函数的极值 一、函数单调性的判定法函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？我们知道若函数在某区间上单调增(或减)，则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正(或负),也就是函数的导数在此区间上均取正值(或负值).因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性. 判定方法[定理] 设函数()y f x =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.（１）如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数()y f x =在],[b a 上单调增加； （２）如果在),(b a 内0)(<'x f ，那么函数()y f x =在],[b a 上单调减少. 证明 （1）由于函数)(x f 满足拉格朗日中值定理条件，故在],[b a 上任取两点21,x x （不妨设21x x <），必有),,(21x x ∈ξ使))(()()(12a b f x f x f -'=-ξ如果0)(>'x f ，必有0)(>'ξf ，于是0)()(12>-x f x f ，即 ).()(21x f x f < 这表明函数()y f x =在],[b a 上单调增加.同理可证，如果0)(<'x f ，函数()y f x =在],[b a 上单调减少.注：（1）在上面定理的证明过程中易于看到，闭区间],[b a 若改为开区间),(b a 或无限区间，该定理结论同样成立． （2）有的可导函数在某区间内的个别点处，导数等于零，但函数在该区间内仍旧是单调增加（或单调减少.例如，幂函数3x y =的导数23x y ='，当0=x 时，.0='y 但它在),(+∞-∞内是单调增加的，如图所示．(图4-2)图4-2[例1]讨论函数ln y x =的单调性. 解 ln y x =的定义域为(0,)+∞. 因为10[(0,)]y x x'=>∈+∞，所以ln y x =在其定义域(0,)+∞内单调增加. [ 例2]：确定函数的增减区间.解：此函数的定义域为(－∞,＋∞) 因为：，所以可以判出：当x ＞0时，＞0，故它的单调增区间为(0,＋∞)； 当x ＜0时，＜0，故它的单调减区间为(-∞,0)；注：此判定方法若反过来讲，则是不正确的。

中值定理与洛必达

中值定理与洛必达



（2）证：
作辅助函数：
f b f a x f x f a x a b a ∵ f (x) 在 [a, b] 连续，在（a, b）可导， ∴φ (x) 在 [a, b] 连续，在（a, b）可导， , 则由罗尔定理， b 且 a 0 0 , a , b ,使 至少存在一点 f b f a x f x , b a f b f a 即 f 0 , b a

f ( x ) f ( ) 当 x 0 , 0 , x
要使 f ( ) 存在， 只能 f ( ) 0 .
可见在函数取到最大值与最小值的点处， 其导数等于 0 。

f ( x ) f ( ) lim 0 ; x 0 x
( 1 ,0 ) 由Rolle定理，至少存在 使 ( ) 0 ， 2 n f ( x ) 0 即 ( x ) ( 2 n 1 ) x 4 x 1
在 [ 1 , 0 ] 中至少有一个 , 得证

例 4： 设 f ( x)在[0， 1]上可微， 对[0,1]上的每个 x，有0 f ( x) 1，且 f ( x) 1，证明方程 f ( x) x 在（0，1）内有且只有一个根。
( 3 ) f ( a ) f ( b ) , 那么 在 ( a ,b ) 内至少存在一 ( a b ) ，
使 f ( ) 0 .
几何意义： AB 为 [a , b] 上连续曲线，且除 a, b 两点外都有切线存在，两端点纵标相等， 则在 (a , b) 中至少能找到一点，使这点对应 曲线上的点处的切线平行于 x 轴。

微积分：微分中值定理

微积分：微分中值定理
2 b x
根的存在定理判断方程f x 0有根；
罗尔定理判断方程f x 0有根.
例 证明 f (x) x(x 1)(x 1)(x 2)
的导函数f x 有三个实根。
证 显然 f (2) f (1) f (0) f (1) 0,
f x在 2, 1,1, 0,0,1上均满足
Rolle定理
有一条切线平行 A
N
D
o a 1 x
2 b
x
于连接曲线端点的弦.
证明： 变形 f (b) f (a) f ( ) 0
ba
构造函数 ( x) f (b) f (a) x f ( x),
ba
则易证： ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，
(a) (b) af (b) bf (a) ,
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 难点: 用中值定理证题
罗尔定理判断方程f x 0有根.
用拉格朗日定理证明等式或不等式
作 业：
看书，并完成作业：P122: 3; 5; 6;7;8； 9;10;11.(1);12.(1);14.
3.5 洛必达(L’Hospital)法则
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
ba
在(a, b)内至少有一点，
使得 （） f (b) f (a) f ( ) 0,
ba
故 f (b) f (a) f ( )。
ba
拉格朗日中值定理的另几种形式：
(1) f b f a f ' b a
称为拉格朗日公式。
2 f x x f x f ' x
x, x x
一、罗尔（Rolle）定理
若函数 y f(x)满足：
(1)在闭区间a, b上连续，

微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析

微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析

微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析一、微分中值定理的证明和应用1.拉格朗日中值定理的证明：拉格朗日中值定理表述如下：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

拉格朗日中值定理是根据泰勒展开式推导而来。

设函数f(x)在区间[a,b]上满足条件，则对于任意的x∈(a,b)，都可以将f(x)展开成泰勒级数，即：f(x)=f(a)+f'(c)(x-a)其中c∈(a,b)。

因此，当x在(a,b)范围内变化时，根据泰勒展开式可知，存在至少一个c使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

2.拉格朗日中值定理的应用：拉格朗日中值定理常用于证明函数的性质以及求解函数的近似值，如用于证明介值定理、判定函数单调性、证明零点存在等。

它也可以用于求解极值问题，通过求解函数的导数等于零的方程，找到函数的极值点。

此外，拉格朗日中值定理还可以用于证明柯西中值定理。

3.柯西中值定理的证明：柯西中值定理是微分中值定理的推广，它表述如下：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且g'(x)≠0，则存在至少一点c∈(a,b)使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。

柯西中值定理的证明可以通过构造辅助函数来实现。

设辅助函数h(x)=[f(b)-f(a)][g(x)-g(a)]-[g(b)-g(a)][f(x)-f(a)]，然后根据辅助函数的性质，利用拉格朗日中值定理证明存在一些c，使得h'(c)=0。

进而，可以得到[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。

4.柯西中值定理的应用：柯西中值定理常用于证明函数之间的关系以及求解函数的极值问题。

例如，可以用柯西中值定理来证明洛必达法则，即如果两个函数f(x)和g(x)在x->a时都趋于零，且g'(x)≠0，则f'(x)/g'(x)在x->a时也趋于零。

罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则、泰勒公式等与导数的应用

罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则、泰勒公式等与导数的应用
中值定理与导 的应用
内容概要
称
要内容 3.令 3.以
3.令
称
条
结论
中值 罗尔 y = f (x) 令 在[a,b] 连续 以 在 (a,b) 至 少 存 在 一 点 ξ ∈ (a,b) 使 得
定理 中值
定理 内可
3 f (a) = f (b)
f / (ξ ) = 0
拉格 y = f (x) 令 在[a,b] 连续 以 在 (a,b) 至 少 存 在 一 点 ξ ∈ (a, b) 使 得
区间[0,1] 满足拉格朗日中值定理的条 又 f (1) = −2,f (0) = −2 f ′(x) = 12x2 −10x +1
要使
f ′(ξ ) =
f (1) − f (0) 1− 0
=0
只要
ξ = 5 ± 13 ∈ (0,1) 12
∃ξ = 5 ± 13 ∈ (0,1) 12
使
f ′(ξ ) =
=
f (2) − f (1) g(2) − g(1)
3ξ 2
只要
=7
2ξ 3
解
得 ξ = 14 ∈ (1,2) ξ 即 满足定理的数值 9
★★★6.设 f (x) 在[0,1] 连续 在 (0,1) 内可
且 f (1) = 0 求证
存在 ξ ∈ (0,1) 使 f ′(ξ ) = − f (ξ ) ξ
解 令 f (x) = 2x 2 − x − 3 在[−1,1.5] 连续 在 (−1,1.5) 内可 且 f (−1) = f (1.5) = 0
f (x) = 2x 2 − x − 3 在 [−1,1.5] 满 足 罗 尔 定 理 的 条
f ′(ξ ) = 4ξ −1 = 0 得

罗尔定理拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数地应用

罗尔定理拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数地应用

罗尔定理拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数地应用罗尔定理（Rolle's Theorem）是微积分中一个非常重要的定理，其形式如下：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导，且满足f(a) = f(b)，那么在(a,b)上至少存在一个数c，使得f'(c) = 0。

罗尔定理的主要应用是证明函数在其中一区间上存在零点。

它通过连续性和可导性的条件，保证了函数在区间内必然存在导数为零的点。

这个定理在许多数学分析证明中非常有用。

拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）是微积分中另一个重要的定理。

它表述如下：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导，那么在(a,b)上至少存在一个数c，使得f(b) -f(a) = f'(c)(b - a)。

柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）是拉格朗日中值定理的推广形式。

它表述如下：如果函数f和g在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导，并且g'(x)不为零，那么在(a,b)上至少存在一个数c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。

洛必达法则（L'Hôpital's rule）是一种用于解决极限问题的方法。

对于函数f(x)和g(x)，如果它们在特定点a的一些去心领域内可导，并且g'(x)不为零，如果f(a) = g(a) = 0或者f(a) = g(a) = ±∞，那么当x趋于a时，如果函数f(x)/g(x)存在极限，那么可以通过求导的方式，求出这个极限的值。

洛必达法则的应用主要是解决函数的不定型极限问题。

当直接计算极限时遇到不定型时，可以尝试将函数化为f(x)/g(x)的形式，并运用洛必达法则，求出极限的值。

3-1中值定理与洛必达法则

3-1中值定理与洛必达法则

练习
P.64 7(2,7,8)
二、 0 , ,0 ,1 , 型未定式解法
0 0

1. 0 型
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 0 ( ), ( ) 的类型: . 0
1 1 步骤: 0 , 或 0 0 . 0 x 2e x . ( 0 ) 例7 求 xlim x x x ( e ) e e lim lim 解: 原式 lim 2 x ( x ) x 2 x x x 2 x

0 0
例12
解 原 式 lim 1 sin x lim (1 sin x).
x
x cos x 求 lim . x x
极限不存在
x

1
洛必达法则失效。
1 实际上 原 式 lim (1 cos x ) 1. x x
小结
洛必达法则
型
1 g 1 f f g 1 g 1 f
例
证明 cos x cos y x y
设 f ( t ) cos t
当x y时 f ( x ) 在 以x与y为 端 点 的 区 间 上 满足拉格朗日中值定的 理条件
证:
f ( x ) f ( y ) f ( )( x y ), ( 在x与y之 间)
cos x cos y sin ( x y ),
第三章 导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 函数之商 应用
0 及 0
型的极限
研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
§3.1 中值定理与洛必达法则
(一)中值定理

罗尔拉格朗日柯西中值定理洛必达法则泰勒公式等与导数的应用

罗尔拉格朗日柯西中值定理洛必达法则泰勒公式等与导数的应用

罗尔拉格朗日柯西中值定理洛必达法则泰勒公式等与导数的应用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在特定点处的变化率。

导数的应用十分广泛，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、洛必达法则和泰勒公式等。

首先，罗尔定理是导数的一个重要应用。

罗尔定理断言，如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且在区间的两个端点上取相同的函数值，那么在开区间内必然存在至少一点，使得该点处的导数值为零。

这一定理在求解一些问题时非常有用，例如利用罗尔定理可以证明函数在区间内取最大或最小值的存在性。

第二，拉格朗日中值定理是导数的另一个重要应用。

拉格朗日中值定理断言，如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在这两个点之间存在至少一点，使得该点处的导数等于函数在这两个端点处的斜率。

这一定理在求解一些问题时非常有用，例如可以利用拉格朗日中值定理证明函数的单调性、判断函数的凹凸性等。

第三，柯西中值定理是导数的又一个重要应用。

柯西中值定理断言，如果两个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且其中一个函数在开区间内不为零，那么在这两个函数之间存在至少一点，使得这两个函数在该点处的导数的比值等于这两个函数在该点处的函数值的比值。

这一定理在求解一些问题时非常有用，例如可以利用柯西中值定理来证明两个函数在其中一区间内是否相等。

第四，洛必达法则是导数的又一个重要应用。

洛必达法则通过求函数的极限可以帮助我们计算一些特殊函数在其中一点处的导数。

该法则是通过对函数的分子和分母同时求导，并比较它们在其中一点的极限值来求得函数在该点处的导数。

这一法则在求解一些特殊函数的导数时非常有用，例如在求解\((\sin x)/x\)的导数时就可以使用洛必达法则。

第五，泰勒公式是导数的又一个重要应用。

泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它将一个函数在其中一点处的值与它在该点处的导数、二阶导数、三阶导数等有关。

利用泰勒公式，我们可以将一个复杂的函数通过多项式近似表示，从而简化计算。

4-12中值定理洛必达法则

4-12中值定理洛必达法则

三.若在罗尔定理的条件中去掉了 若在罗尔定理的条件中去掉了 结论是否还立？ 结论是否还立？
y
y = f ( x)
f (a) = f (b)
B
A
D
o a
ξ1
ξ2 b
x
几何解释: 几何解释 在曲线弧 AB 上至少有一点 C , 在该点处的切
线平行于弦 AB.
四.拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理
( 拉格朗日（ 拉格朗日（ Lagrange ）中值定理1) 如果函数 f(x)在
增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系
函数
中值定理
导数
∞ 0 型及 型未定式 ∞ 0
) ， 个 数 如 当x →a (或x →∞ 时 两 函 果 f (x) 与F(x) 都 于 或 趋 无 大 那 趋 零 都 于 穷 ， 末 f (x) 极 lim 限 可 存 、 可 不 在 通 能 在 也 能 存 ． x→ a F x) ( (x→ ) ∞ 0 ∞ 常 这 极 称 把 种 限 为 或 型 定 . 未 式 0 ∞
1 +1 2 = lim x 1 x →+∞ 1+ x
=1
lnsin ax lim 例6 求 x→0+ lnsinbx
∞ ( ) ∞
解
a tan bx a cos ax ⋅ sin bx = lim 原式 = lim + b cos bx ⋅ sin ax x→ 0 b tan ax x →0
+
absec2 bx = lim x→0 ab sec2 ax
闭区间 [ a , b ]上连续 , 在开区间 ( a , b ) 内可导 , 那末在 ( a , b ) 内至少有一点 ξ ( a < ξ < b ) ，使等式 − f ( a ) = f ' ( ξ )( b − a ) 成立 . f (b )

洛必达法则和泰勒公式

洛必达法则和泰勒公式

!
R2m1
(
x)
其中
R2m1(x)
(1)m1 cos( x)
(2m 2) !
x2m2
(0 1)
麦克劳林公式
f (0)
f
(0)x
f (0) x2
f
(n) (0) xn
2!
n!
(0 1)
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f (k) (x) ( 1)( k 1)(1 x)k
f (k) (0) ( 1)( k 1) (k 1,2,)
3 106
1) !
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
e 11 1 1 2.718282 2! 9!
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说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
本例 e 11 1 1 2! 9!
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则
各项舍入误差之和不超过 7 0.5106, 总误差限为 7 0.5106 106 5106 这时得到的近似值不能保证误差不超过 106.
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
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一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) y
y f (x)
x 的一次多项式
p1(x)
特点:
f (x0 ) f (x0 )
O x0 x x
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
Rn (x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
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罗尔拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数的应用

罗尔拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数的应用

罗尔拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数的应用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和洛必达法则是微分学中的一些重要定理和方法，它们与导数的应用密切相关。

以下将分别介绍这些定理和法则，并阐述它们在实际问题中的应用。

1.罗尔定理：罗尔定理是微积分中的一条重要定理，它主要用来判断函数在闭区间上是否存在一个零点。

具体而言，如果一个函数在闭区间[a,b]上连续，且在区间内的两个端点处的函数值相等，那么在这个区间内一定存在一个点，使得函数在这个点处的导数为零。

罗尔定理的实际应用非常广泛。

例如，在工程领域，我们经常需要通过求解方程来确定一些物理量的零点。

而罗尔定理可以帮助我们判断是否能够找到这个零点，从而指导我们进行后续的计算和分析。

2.拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理是微积分中的另一个重要定理，它主要用来研究函数的斜率问题。

具体而言，在一个闭区间[a,b]上连续的函数中，必然存在一个点c，使得函数在这个点处的导数等于函数在区间两个端点处导数的平均值。

拉格朗日中值定理的实际应用非常丰富。

例如，在经济学中，我们经常需要通过分析一段时间内的产出和就业情况来判断经济增长的速度。

而拉格朗日中值定理可以帮助我们确定这一时期内的平均增长速度，从而为我们提供对经济情况的深入理解和判断。

3.柯西中值定理：柯西中值定理是微积分中的另一个重要定理，它是拉格朗日中值定理的推广形式。

具体而言，对于两个闭区间[a,b]和[c,d]上连续的函数，如果两个函数在区间内的端点得函数值相等，那么在两个区间的交集中一定存在一个点，使得这个点的函数在两个方向的导数的比值等于这两个函数在区间内任意一点的导数的比值。

柯西中值定理的实际应用与拉格朗日中值定理类似，都是用来研究函数的平均变化速率和比率的问题。

例如，在物理学中，我们经常需要分析物体在一段时间内的平均速度和加速度，而柯西中值定理可以帮助我们确定这一时期内的平均加速度与瞬时加速度的关系，从而提供对物体运动情况的深入理解。

中值定理和洛必达法则

中值定理和洛必达法则

(ln x)
x 1
lim
x 1
1 x
1，
故此极限属于 0 型 .由洛必达法则Ⅰ得 0
ln x
(ln x)
lim
x 1
x
1
lim
x 1
x
1
1.
中值定理和洛必达法则
例4
解
属于 0 型，用洛必达法则Ⅰ得 0
原式 lim (ex cos x) lim ex sin x .
x0
x2
x0 2x
x
x2
lim
x0
3x2
1. 3
注意:
计算极限时，也可以将洛必达法则 I 和等价无穷小结合起来使用，以便简化计算. 该题用了两次等价无穷小代换，用了一次洛必达法则Ⅰ.
中值定理和洛必达法则
例6
解
原式 lim 1 e x0 x
2e2x ex 3x 1
lim
x0
x2
2e2x ex 3x 1
注意:
根据洛必达法则Ⅰ，求导后的结果可以是有限数A，也可以是， 或 .
中值定理和洛必达法则
例5
解
属于 0 型，先将分母中的sin x用等价无穷小进行代换，原式变为lim x
0
x0
tan x x3
，然后
再使用洛必达法则Ⅰ进行求解，有
原式
1 sec2
lim
x0
3x2
x
lim
x0
tan2 3x2
经济数学
中值定理和洛必达法则
1.1 中值定理
引例
在区间 a ，b内可导函数y f (x)的图像如图3 1所示，它
是一条光滑的曲线.这条曲线的两个端点A、B的纵坐标相等，即

洛必达法则汇总

洛必达法则汇总
1 f ( t ) 0, t f ( t ) t ln t 在 ( x , y ) 或 ( y, x ), x 0, y 0 是凹的. 1 x y 于是 [ f ( x ) f ( y )] f ( ) 2 2 1 x y x y 即 [ x ln x y ln y ] ln , 2 2 2 x y 即 x ln x y ln y ( x y ) ln . 2
直线 y x 为曲线 y 的斜渐近线 .
(4) 以函数的不连续点( x 1), 驻点 ( x 3, x 0, x 3 ) 和可能拐点的横坐标为 分点,
列表如下:
x (, 3) 3 ( 3,1) 1 ( 1,0) 0
y
( 0,1)
y

0
极大值
(2) 函数的极值及其求法
定义设函数f ( x )在区间(a , b )内有定义, x0是(a , b )内
的一个点, 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极大值; 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极小值.


0 0
拐点

yHale Waihona Puke xy1(1, 3 )
3
( 3,)

0
y
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
实际问题求最值应注意:
1)建立目标函数; 2)求最值; 若目标函数只有唯一驻 点，则该点的

拉格朗日中值定理-资料大全

拉格朗日中值定理-资料大全

多维空间中的拉格朗日中值定 理的应用
在解决多维空间中的几何、代数和微分方程问题时，可 以利用多维空间中的拉格朗日中值定理来研究函数的性 质和行为。
与其他数学定理的联系
拉格朗日中值定理与泰勒定理的联系
泰勒定理是研究函数在某一点附近的性质的定理，而拉格朗日中值定理则是研究函数在某一点的斜率的定理，两 者之间存在密切的联系。
推论三：泰勒公式
总结词
泰勒公式是拉格朗日中值定理的一个重要推论，它可 以用来近似表达一个函数的值。
详细描述
泰勒公式是由英国数学家泰勒在18世纪末提出的。这个 公式可以用来近似表达一个函数在一个点的值，精度取 决于所选取的项数。一般来说，项数越多，近似精度越 高。泰勒公式的一般形式为f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + f'''(a)(x - a)^3/3! + ...，其中f'(a)、 f''(a)、f'''(a)等表示函数在点a的导数。
04 拉格朗日中值定理的应用 实例
应用实例一：证明不等式
要点一
总结词
利用拉格朗日中值定理证明不等式，需要找到与不等式相 关的函数和区间，并利用定理推导出所需的不等式关系。
要点二
详细描述
在证明不等式时，我们通常选择两个函数，一个在区间上 单调递增，另一个在区间上单调递减。然后，利用拉格朗 日中值定理在这两个函数之间建立一个联系，从而证明不 等式。
拉格朗日中值定理与微积分基本定理的联系
微积分基本定理是微积分学中的基本定理之一，它建立了积分与微分之间的联系，而拉格朗日中值定理则是微分 学中的基本定理之一，两者之间存在密切的联系。
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§3.5 拉格朗日中值定理与洛必达法则
一、案例引入
二、讨论分析
1、拉格朗日中值定理 2、洛必达法则
案例引入
在两个高度相同的点间的一段连续曲线上，除端点外 如果各点都有不垂直于x轴的切线，那么至少有一点处 的切线水平的.
y P
A
B
x
O a b
讨论分析
一、拉格朗日（Lagrange）中值定理 1、 定理3-6（拉格朗日（Lagrange）中值定理） 如果函数 f (x)满足下列条件： （1）在闭区间[a, b]上连续;
矛盾, 故假设不真!
讨论分析
例6 若方程
方程 证明：令 在
有正根
证明：
内必定有根。 则 在 在 上 存在，且
连续，
所以
在
满足罗尔定理的条件。
上至少存在一点 的根。
根据罗尔定理可知，在 使 即 是方程
讨论分析
二、洛必达法则 当
x x0 （或 x ）时，如果两个函数
那么极限 f ( x ), g( x ) 都是无穷小或都是无穷大，
f x x 2 x是初等函数， 故在闭区间[0, 2]
2
上连续，在开区间(0, 2)内可导， 所以函数在[0, 2]上满
f (b ) f (a ) f ( ) 足拉格朗日中值定理的条件． L-中值定理： ba
又 f ( x ) 2 x 2, 令 f (2) f (0) f ( ) 2 2
则
显然，f ( x ) 在 [ x1 , x2 ] 上满足拉格朗日中值定理的条件，
所以
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 )( x1 x2 )
由于 f ( ) 0, 则 f ( x2 ) f ( x1 ) 0, 即 f ( x2 ) f ( x1 ) 即函数f (x)在区间 I 上任意两点的函数值相等， 故 f (x) 在区间 I 上为一常数．
讨论分析
例4. 证明等式
证: 设 在(-1, 1)上有：
由推论可知 令x=0,得 又
(C为常数)
故所证等式在定义域 上成立. 小结: 欲证 x I 时 f ( x ) C0 , 只需证在 I 上 f ( x ) 0,
且 x0 I , 使 f ( x0 ) C0 ，
讨论分析
在( a , b ) 内至少存在一点
应用说明： （1）证明方程 f (x)=0 根的唯一性。 （2）证明方程 f ( x ) 0 有根。
讨论分析
有且仅有一个小于1 的 例5. 证明方程 正实根 . 证: 1) 根的存在性 . 设 f ( x ) x 5 5 x 1, 则 f ( x ) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由零点定理知存在 x0 (0,1),
即 b3 a 3 3 2 (b a)， (a b) 显然有
3a 2 (b a) 3 2 (b a) 3b2 (b a)，
3a 2 (b a) b3 a 3 3b2 (b a)
即
讨论分析
x 例3. 证明不等式 1 x ln(1 x ) x ( x 0).
使
5 f ( x0 ) 0, 即 x0 5 x0 1 0
即方程 x 5 5 x 1 0 有小于 1 的正根
讨论分析
2) 根的唯一性 .
假设另有
f ( x) 在
[ x0 , x1 ](或 [ x1 , x0 ])满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点 但
练习: arctan x arccot x

2
, x ( , )
与 g ( x ) 的导数在区间 I 内相等， 推论2 若两个函数 f ( x ) 即
则
f ( x ) g( x )( x I )，
f ( x ) g( x ) C ( C 常数 )．
（2）在开区间(a, b)内可导， 那么在(a, b)内至少存在一点ξ，使得:
f (b) f (a ) f ( ), 或 f (b) f (a ) f ( )(b a ) ba
讨论分析
y
2、拉格朗日中值定理
C
B
的几何直观
A
由定理的条件可知,
O
a ξ
b
x
曲线 y
f ( x ) 在 [ a, b]上是一条连续的曲线弧 AB,
讨论分析
4、补充：罗尔（ Rolle ）定理
若函数 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 y (2) 在区间 (a , b) 内可导
(3) f ( a ) = f ( b )
L-中值定理： f ( )
f (b ) f (a ) ba
y f ( x)
o
aLeabharlann b x使 f ( ) 0.
20
即
80 2 2, 20
解得 1 (0, 2)
讨论分析
3、拉格朗日中值定理应用 （1）证明不等式； （2）证明等式
例2
证明：对任意 0 a b, 不等式 3a 2 (b a) b3 a 3 3b2 b a 成立． 3 f ( x ) x , 显然它在 [a , b]上满足 解 设 拉格朗日中值定理的条件，所以有 L-中值定理： f (b) f (a) f ( ) (b a)
证: 设 f (t ) ln(1 t ) , 显然 f (t)在[0, x]上满足拉格
朗日中值定理条件, 因此应有 即
即 因为
故
讨论分析
推论1 若函数 f ( x )在区间 I 上满足 f ( x ) 0, f (x)在区间 I上必为一常数． 证 设 x1 , x2 为区间I上任意两点（不妨设 x1 x2 )
曲线弧 AB内部每一点处都有不垂直于 x 轴的切线. 连接端点 A 和 B 作弦 AB , 则 f ( ) K AB f (b ) f (a ) . ba
讨论分析
2 f x x 2 x 在 [0, 2] 上满足拉格朗日定理么？ 函数 例1
如果满足，求出使定理成立的 的值。 解