《概率论与数理统计》点估计

期末作业考核

《概率论与数理统计》

满分100分

一、判断正误，在括号内打√或×（每题2分，共20分）

（ ×）1．nXXX,,,21是取自总体),(2N的样本，则niiXnX11服从)1,0(N分布；

（ ×）2．设随机向量),(YX的联合分布函数为),(yxF，其边缘分布函数)(xFX是),(limyxFy；

（ √ ）3．设＜＜xx|，20|＜xxA，31|＜xxB，则BA表示10|＜＜xx；

（ × ）4．若0)(ABP，则AB一定是空集；

（ × ）5．对于任意两个事件BA、，必有BABA；

（ × ）6．设CBA、、表示3个事件，则CBA表示“CBA、、中不多于一个发生”；

（ √ ）7．BA、为两个事件，则ABAAB；

（ √ ）8．已知随机变量X与Y相互独立，4)(,8)(YDXD，则4)(YXD；

（ √ ）9．设总体)1,(~NX， 1X,2X,3X是来自于总体的样本，则321636161ˆXXX是的无偏估计量；

（ √ ）10．回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量

之间是否存在某种相关关系。

二、填空题（每题3分，共30分）

1．设CBA、、是3个随机事件，则“三个事件都不发生”用CBA、、表示为 CBA ；

2．若事件CBA、、相互独立，则)(CBAP=

P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) ；

课程编号：0701110810PTMS

《概率论与数理统计A》（Probability and Statistics A）课程教学大纲

80学时 5学分

一、课程的性质、目的及任务

《 概率论与数理统计》课程是研究随机现象数统计规律的一门数学课程，它是近代数学

的重要分支，概率论与数理统计知识已广泛用于工农业生产和科学技术之中，并且与其它数

学分支相互渗透与结合。本课程是数学与应用数学、信息与计算科学专业的主要基础课之一，

其目的在于使学生掌握处理随机现象的基本思想、基本理论和基本方法，提高学生的数学素

质与科学思维能力，培养学生分析、提炼、解决实际问题的能力。

二、适用专业

数学与应用数学、信息与计算科学

三、先修课程

高等代数，数学分析

四、课程的基本要求

通过对本课程的学习学生应达到下列基本要求：

1. 深刻理解随机性、随机事件、概率等基本概念；

2. 理解随机变量及其分布，掌握离散型及连续型随机变量的特点，熟练掌握正态分布、

二项分布等几种常见分布，随机变量函数的分布；

3. 理解多维随机变量及其分布，边际分布与随机变量的独立性，掌握条件分布与条件

期望，多维随机变量函数的分布；

4. 理解随机变量的数字特征，掌握随机变量的数学期望、方差、协方差、相关系数等

数字特征的基本性质和计算；

5. 认识随机序列的两种收敛及其相互关系，理解大数定律、中心极限定理；

6. 理解样本、统计量等概念，掌握三大抽样分布，充分统计量；

7. 掌握点估计、点估计的评选标准、区间估计、最小方差无偏估计、贝叶斯估计；

8. 理解假设检验的基本概念、正态总体参数的假设检验、分布拟合检验；

9. 理解方差分析与回归分析的基本原理与方法，掌握最小二乘法估计、预测与控制，

线性模型的假设检验。

五、课程的教学内容

1．课堂讲授的教学内容

（1）事件与概率

随机性与必然性，随机事件，事件间的关系及运算，频率与概率，概率的公理化定义；

古典概型、几何概率，概率的性质，概率空间。

期末作业考核

《概率论与数理统计》

满分100分

一、计算题（每题10分，共70分）

1、设)4,3(~2NX，试求X的概率密度为)(xf。

解：因为随机变量X服从正态分布，所以他的密度函数具有如下形式：

)x(e21)x(f222)x(π

2、随机变量的密度函数为其他,0),0(,2)(Axxxp，其中A为正的常数，试求A。

3、设随机变量服从二项分布，即),(~pnB，且3E，71p，试求n。

4、已知一元线性回归直线方程为xay4ˆˆ，且3x，6y，试求aˆ。

5、设随机变量X与Y相互独立，且4)(,3)(YDXD，求)4(YXD。

6、设总体X的概率密度为

,0,10,)1();(其它，xxxf

式中>－1是未知参数，nXXX,,,21是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，用最大似然估计法求的估计量。

7、设nXXX,,,21是取自正态总体),0(2N的一个样本，其中0未知。已知估计量niiXk122ˆ是2的无偏估计量，试求常数k。

二、证明题（每题15分，共30分）

1．若事件A与B相互独立，则A与B也相互独立。 2．若事件BA，则)()(BPAP。

章 节

名 称 区间估计

教 学目 标 理解置信区间的概念，了解置信区间计算的基本原理及步骤

教 学重 点 置信区间的概念，置信区间计算的基本原理及步骤

教 学

难 点 置信区间计算的基本原理及步骤

教学内容

一、引入新课：

点估计量是有不足之处的，因为点估计量是一个随机变量，每给一个样本观测值点估计的值就会发生变化。虽然这些点估计的值都在真值附近波动，但是因为真值是未知的，所以这些点估计，他与真值之间到底有多近，这是不得而知的，因此点估计不能反映估计的精度。因此我们就想能不能给出未知参数的一个估计范围，并使其包含增值的可靠性，达到一定的要求，这就是我们今天要给大家介绍的区间估计。

二、讲授新课：

引例，估计一下某人的年龄范围。

第一种你可能会选择1岁到100岁，第二种区间估计，20岁到21岁。

很明显，第一种区间长，他的可信度高，也就是说，真值100%都在这个区间里面，但是精确度却很低。第二种区间短，这时可信度就低，也就是说，真值是不是在这个区间里面呢？因为区间太短可能性就很低了，它的精确度却很高。

因此，我们发现可信度和精确度是一对矛盾，提高了可信度，精确度就下降了，提高了精确度，可信度就会下降，那么在他们两者之间，我们应该如何取舍呢？

统计学家奈曼提出了处理原则，先确定可以接受的可信度的前提下，尽量的提高我们的精确度。

因此，我们首先来确定区间估计的可信度，区间估计的可信度也被称为置信度，我们用1来表示。1我们经常90%，95%，99%等,表示这个区间可信的程度。

1、区间估计的概念：

设总体的未知参数为，也就是我们要估计的参数。由样本x1到xn确定了两个统计量，1ˆ和2ˆ对于给定的实数)10(满足

1)ˆˆ(21P

我们就称随机区间)ˆ,ˆ(21为置信度为1的置信区间，其中1又称为置信水平或置信概率，显著性水平。

1这个置信水平反映了区间的可信度。