概率与统计中的点估计与区间估计

第ｌ９卷第３期　２００２年９月　吉林化工学　院学报　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＪＩＬＩＮ　ＩＮＳＴＩＴＵＴＥ　ＯＦ　ＣＨＥＭＩＣＡＬ　ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　Ｖ０１．１９　Ｎｏ．３　Ｓｅｐ．２００２　

文章编号：１００７．２８５３（２００２）０３－００８１－０２　

统计模型中广义均方误差的区间估计　

隋福利　，邱红兵２　

（１．淮海工学院基础科学系，江苏连云港２２２００５；２．广东工业大学应用数学系，广东广州５１００９０）　

摘要：研究了带约束条件的线性统计模型　

ｆ　Ｙ＝邵＋　（＊）｛　＝７　【ｅ～Ｎ（Ｏ，　）　

中可估函数　的估计ｃ　Ⅳ广义均方误差ＧＭＳＥＤ（ｃ　Ⅳ），其中　＞０，Ｖ＞０且Ｖ已知，Ｘ为，ｌ　Ｐ阶　

已知矩阵，且满足尺（　）ｃ尺（　）（尺（　））表示由Ｖ的列向量张成的线性子空间，Ｈ为，ｌ　Ｘ　Ｐ阶矩阵，　

且尺（　）ｃ尺（　）．给出了１一ａ其置信区间，发展了文［１］，［２］中的结果．　

关键词：线性统计模型；广义均方误差；线性约束；置信区间　

中图分类号：０　２１２　文献标识码：Ａ　

文［１］利用区间估计的方法讨论了线性模型　

（Ｉ）Ｉｉ　ｆ　Ｙ

～＝Ⅳ（０Ｘｆｌ　＋ｅ　）及（Ⅱ）

一Ｙ＝

…Ｘ［３＋

，一ｅ　））　

（其中　＞０，Ｖ＞０已知。且　为ｎ　Ｘ　Ｐ阶列满秩　

阵）中　的均方误差ＭＳＥ（￣）的置信区间．文［２］利　

用同样手段研究了上述模型的约束条件ＨＢ＝ｒ下　

的均方误差ＭＳＥ（￣）的置信区间．　

ｆ　ｙ＝　＋ｅ　

本文考虑如下模型：（＊）｛　＝ｙ　

Ｌ　ｅ～Ｎ（Ｏ．盯　）　（其中叮　＞０。Ｖ＞０已知。且　为ｎ　Ｘ　Ｐ阶已知矩　

阵。且满足尺（　）ｃ尺（　），（尺（　）表示由　的列向　

量张成的线性子空间）。　为ｎ　Ｘ　Ｐ阶矩阵，且　

尺（　）ｃ尺（　）．　

在模型（＊）的条件下。可估函数　的约束广义　

最小二乘估计（ＧＬＳＥ）为　

ｃｐ日＝Ｃ卢一ＣＳ　（日．ｓ　日’）　（Ｈ卢一），）。　

其中．ｓ＝　Ｘ，　＝Ｓ　Ｖ＋ｙ（Ｔ　毒　矩阵　

1 第八章 参数估计

第三节 区间估计与置信区间

估计小麦（或水稻，棉花）的平均亩产量，一般是给出平均亩产量的一个变化范围；高速公路上对车速的限制要求亦是一个速度区间；估计一个人的身高，体重，年龄等一般也是用给出一个范围的方式。一个用电器正常工作需要的电流、电压也是一个变化范围，等等。

在前面，我们讨论了总体参数的点估计问题，用),,,(21^nxxx作为的估计，但^与到底相差多少没有给出。在这里，我们要给出所在的一个区间，同时还要给出此区间包含参数的可靠程度，这就是对参数的区间估计问题。首先，给出置信区间和置信限的概念。 2 为讨论方便，在本章一下各节中，我们用nxxx,,,21表示总体的样本，也表示样本值.(根据具体情形(上下文含义),可以区别出来)

一、置信区间

设总体分布含有一未知参数，又nxxx,,,21为来自于总体的样本，若对于给定)10(，统计量),,(11nxx和),,(12nxx满足

1121{(,,)(,,)}1nnPxxxx，

(8.8)

则称区间21,为相应于置信度是1的置信区间，简称置信区间。

1和2分别称为置信下限和置信上限。1称为置信度。

由于),,(11nxx和),,(12nxx是统计量，它们是随机变量，因此区间21,是随机区间。

从式（8.8）看出，我们有1的把握保证1121(,,)(,,)nnxxxx 。

当很小时，随机区间以较大的概率 3 包含.具体地说，如果作多次抽样（每次抽n个样品），每次抽样得到的样本值nxxx,,,21可以确定一个区间21,，每个这样的区间可能包含，也可能不包含,但是在这么多区间中，包含的约占1，不包含的只占左右。例如，当＝0.05时，我们作100次抽样，则从平均的意义上说，将有95个区间包含。

第 1 页 共 4 页 《概率论与数理统计》第六、七章（点估计）复习题解答

1. 设来自总体X的一个样本为)4,3,1,4,4,1,3,2,1,2(),,,(1021xxx, (1) 求X, 2S, 2B; (2) 求经验分布函数)(*10XF并作图; (3) 求总体期望)(XE, 方差2)(XD的矩估计值.

2. 设21,XX是总体)2,1(~NX的样本，求概率)408.0)((221XXP.

3. 设521,,,XXX是总体),0(~2NX的样本，证明: )1(~3254321tXXXXXY.

4. 设随机变量),(~nmFF, (1) 求)12,10(01.0F,)12,10(99.0F; (2) 当10nm时, 求常数c, 使概率05.0)(cFP, 并把c用上分位点记号表示出来; (3) 当20,15nm时, 求概率)84.1(FP.

第 2 页 共 4 页

5. 设总体)2,5(~2NX, (1) 从中随机抽取容量为25的样本，求样本均值X落在4.2到5.8之间的概率; (2)

样本容量n取多大时, 可使95.0)8.5(XP?

6. 设1021,,,XXX是总体)4,(~2NX的样本，2S是样本方差, 且1.0)(2aSP, 求常数a.

7．设某厂生产的晶体管的寿命服从指数分布，即0,)(~EXPX，未知. 现从中随机抽取5只进行测试，得到它们的寿命（单位：小时）如下：518 612 713 388 434. 试求该厂晶体管平均寿命的最大似然估计值.

8．设总体X的一个样本为),,,(21nXXX，X的分布密度为elsexxxf ,0 0 ,2)(2, 参数0，未知. (1) 求的矩估计量; (2) 求矩估计量的方差; (3) 求的最大似然估计量.

班级班级：：________________

学号学号：：________________

姓名：________________

概率统计概率统计作业作业19————区间区间区间估计估计

【提要】①区间估计(Interval estimate)

设总体X

的参数θ

未知，对给定的(01)αα<<

，由样本

1,,

nXX⋯

确定两个统计量：

1121(,,),(,,)

nnXXXXθθ⋯⋯

，满足

12()1Pθθθα≤≤≥−

,则称随机区间

12[,]θθ

为θ

的置

信度为1α−

的置信区间

②求置信区间的方法——枢轴量法：

(i) 从θ

的一个良好的点估计出发，构造一个其分布已知，且分布与θ

无关的枢轴量

1(,,;)

ngXXθ⋯

; (ii) 确定常数,ab

，使得

1((,,,))1

nPagXXbθα≤≤≥−⋯

；

(ii) 解出

1121(,,)(,,)

nnXXXXθθθ≤≤⋯⋯

，即得置信区间

12[,]θθ

.

要求：熟悉正态总体均值、方差的置信区间.

1. 某厂生产的某材料的抗拉强度2~(,)XNµσ

（MPa）,现抽取容量为16的样本:

2.1, 2, 2.3, 2.4, 2.5, 2, 2.3, 2.5,

1.9, 2, 2.5, 2.6, 2.5, 1.9, 2, 2.3,

分别按下列要求求这批材料的平均抗拉强度µ

的置信水平为0.95的置信区间：

(1)0.4σ=

； (2) σ

未知.

2. 设总体2~(,)XNµσ

,其中2σ

已知，问样本容量n

取多大时，才能保证µ

的置信水平为0.99的置信

区间的长度不大于k

.

3. 设某种材料的抗压强度为2~(,)XNµσ

,2,µσ

未知，现随机取出10个试件做抗压试验，测得数据：

482, 493, 457, 471, 510, 446, 435, 418, 394, 469.

(1) 求平均抗压强度µ

的置信度为90%的置信区间；

(2) 求2σ

的置信水平为90%的置信区间.