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概率论与数理统计第6-7章(点估计)复习题

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1 《概率论与数理统计》第六、七章（点估计）复习题解答

1. 设来自总体X的一个样本为)4,3,1,4,4,1,3,2,1,2(),,,(1021xxx, (1) 求X, 2S, 2B; (2) 求经验分布函数)(*10XF并作图; (3) 求总体期望)(XE, 方差2)(XD的矩估计值.

2. 设21,XX是总体)2,1(~NX的样本，求概率)408.0)((221XXP.

3. 设521,,,XXX是总体),0(~2NX的样本，证明: )1(~3254321tXXXXXY.

4. 设随机变量),(~nmFF, (1) 求)12,10(01.0F,)12,10(99.0F; (2) 当10nm时, 求常数c, 使概率05.0)(cFP, 并把c用上分位点记号表示出来; (3) 当20,15nm时, 求概率)84.1(FP.

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2

5. 设总体)2,5(~2NX, (1) 从中随机抽取容量为25的样本，求样本均值X落在4.2到5.8之间的概率; (2)

样本容量n取多大时, 可使95.0)8.5(XP?

6. 设1021,,,XXX是总体)4,(~2NX的样本，2S是样本方差, 且1.0)(2aSP, 求常数a.

7．设某厂生产的晶体管的寿命服从指数分布，即0,)(~EXPX，未知. 现从中随机抽取5只进行测试，得到它们的寿命（单位：小时）如下：518 612 713 388 434. 试求该厂晶体管平均寿命的最大似然估计值.

8．设总体X的一个样本为),,,(21nXXX，X的分布密度为elsexxxf ,0 0 ,2)(2, 参数0，未知. (1) 求的矩估计量; (2) 求矩估计量的方差; (3) 求的最大似然估计量.

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9. 设总体X有期望)(XE, 方差2)(XD, 但均未知. nXXX,,,21是取自总体X的样本,

niiXnX11, niiXXnB122)(1, niiXXnS122)(11. 试验证: X是的无偏估计, 2B是2的渐近无偏估计, 而2S是2的无偏估计.

10．设nXXX,,,21是总体X的一个子样，)(XE，2)(XD存在且未知，任意正的常数),,2,1(niai满足11niia. 试证: (1) 估计量niiiXa1总是的无偏估计；(2) 在上述无偏估计中niiXnX11 最有效，并写出此时的最小方差.

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4

提示及参考答案

1. (1) 3, 4.6, 4.2; (2)

经验分布函数及其图形为

4 ,143 ,7.032 ,5.021 ,3.01 ,0)(*10xxxxxXF

0

0 1 2 3 4 x

(3) 3, 4.2；(若记得教材第179页例3的结论, 也可以利用来直接求)(XE, 2)(XD的矩估计值.)

2. 0.25. 考虑一下: 此题如果不用2分布, 而利用标准正态分布函数表, 该怎么求解?

3. 用到简单随机样本的概念、正态分布的性质、2分布和t分布定义.

4. (1) 4.30, 0.21; (2) 98.2)10,10(05.0Fc; (3) 0.10. 5. (1) 0.908; (2) 取17n即可. 6. 1.26a

7. 533. 8. (1) 矩估计量X23ˆ；(2) nD8)ˆ(2; (3) 最大似然估计量为}{maxˆ1iniX.

9. 从基本公式niiXnX11, niiXXnB122)(1, niiXXnS122)(11出发, 求数学期望.

10. (1) 验证)ˆ(E; (2) 求估计量niiiXa1ˆ的方差, 得到niiaD122)ˆ(, 再分析知当且仅当naaan121时，)ˆ(D取得最小值，故niiXnX11最有效. 此时, 最小方差为21)ˆ(nD.

1 y

1

0.7

0.5

0.3

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概率论与数理统计第六、七、八章综合作业

概率论与数理统计第六、七、八章综合作业

1 / 6 第六、七、八章的综合作业

班级： 姓名： 学号：

（A）

1、设随机变量X服从标准正态分布)1,0(N，对给定的)10(，数Z满足)(ZXP，若)(xXP，则x为多少？

2、设4321,,,XXXX是来自正态总体)2,0(2N的简单随机样本，

243221)43()2(XXbXXaY，

若统计量Y服从2分布，则常数ba,分别为多少？统计量Y的自由度为多少？

3、设随机变量)1)((~nntX，则21XY服从什么分布？

4、设1021,,,XXX是来自总体)4,(~2NX的简单随机样本，已知1.0)(2SP，则为多少？

5、设3621,,,XXX是来自总体)3.6,52(~2NX的简单随机样本，求X落在50.8到53.8之间的概率． 2 / 6

6、设总体X的概率密度函数为.,0;,);()(xxexfx

若nXXX,,,21是来自总体X的简单随机样本，求未知参数的矩估计量。

7、设总体X的概率分布为 X 0 1 2 3

P 2 )1(2 2 21

其中)210(是未知参数，利用总体X的如下样本值

3， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3.

求参数的矩估计值和最大似然估计值。

8、设总体X的均值及方差2都存在，且有02，但，2均为未知，又设nXXX,,,21是来自X的样本。试求，2的矩估计量．

9、设nXXX,,,21是来自总体X的一个样本，且)(~X。 求)0(XP的最大似然估计。

3 / 6

10、设421,,,XXX是来自正态总体),(2N的样本．其中,未知，设有估

计量)(31)(6143211XXXXT，43212743XXXXT

概率论与数理统计第六章测试题

概率论与数理统计第六章测试题

第6章 参数估计

选择题

1．设nXXX,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，X的分布函数F(x;θ)中含未知参数，则

（A）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量相同

(B) 用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不同

（C）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不一定相同

(D) 用最大似然估计法求出的θ的估计量是唯一的

2．设nXXX,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，EX=μ，DX=σ2，其中μ，σ2均为未知参数，X1ˆ，12ˆX，下面结论哪个是错误的。

（A）X1ˆ是μ的无偏估计 (B) 12ˆX是μ的无偏估计

（C）X1ˆ 比12ˆX 有效 (D) niiXn12)(1是σ2的最大似然估计量

3．设nXXX,...,,21是来自正态分布总体N(μ,σ2)的简单随机样本，其中数学期望μ已知，则总体方差σ2 的最大似然估计量是

（A） niiXXn12)(11 (B) niiXXn12)(1

（C） niiXn12)(11 (D) niiXn12)(1

4．已知总体X在区间[0,θ]上均匀分布，其中θ是未知参数，设nXXX,...,,21是来自X的简单随机样本，X是样本均值，},...,max{1)(nnXXX 是最大观测值，则下列选项错误的是

（A）)(nX是θ的最大似然估计量 (B) )(nX 是θ的无偏估计量

（C）X2是θ的矩估计量 (D) X2是θ的无偏估计量

5． 设总体X~N(μ1,σ2)，总体Y~N(μ2,σ2)，mXXX,...,,21和nYYY,...,,21分别是来自总体X和Y的简单随机样本，样本方差分别为2XS与2YS，则σ2 的无偏估计量是

《概率论与数理统计》复习题

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《概率论与数理统计》复习题

第一章：随机事件及其概率

1．某射手向一目标射击两次，Ai表示事件“第i次射击命中目标”，i=1，2，B表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B=（）

A．A1AB．A1A2C．A1A2D．A1A22．设A，B为两个互不相容事件，则下列各式错误的是（）．．A．P(AB)=0C．P(AB)=P(A)P(B)

B．P(A∪B)=P(A)+P(B)D．P(B-A)=P(B)

13．设事件A，B相互独立，且P(A)=，P(B)>0，则P(A|B)=()

3A．

1141B．C．D．1551534．已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，且AB，则P(A|B)=（）

A．0B．0.4C．0.8D．1

5.一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为（）

A．0.20B．0.30C．0.38D．0.57

3126.设A，B为两事件，已知P（A）=，P（A|B）=，P(B|A)，则P（B）=（）

335A.

1234B.C.D.55557.设随机事件A与B互不相容，且P(A)=0.2，P(A∪B)=0.6，则P(B)=________. 8．设A，B为两个随机事件，且A与B相互独立，P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(AB)=__________.9.10件同类产品中有1件次品，现从中不放回地接连取2件产品，则在第一次取得正品的条件下，第二次取得次品的概率是________.

10．某工厂一班组共有男工6人、女工4人，从中任选2名代表，则其中恰有1名女工的概率为________

11．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为_________.

12．一医生对某种疾病能正确确诊的概率为0.3，当诊断正确时，他能治愈的概率为0.8。若未被确诊，病人能自然痊愈的概率为0.1。①求病人能够痊愈的概率；

自-6-8第六、七、八章数理统计参考答案

自-6-8第六、七、八章数理统计参考答案

第六、七、八章 数理统计

（抽样分布、参数估计、假设检验）

一、思考题

1．统计抽样工作中，得到的都是具体数值，即样本值。为什么说样本是随机变量？

2．参数的区间估计中，参数与置信区间谁是随机的？

3．假设检验中两类错误的关系如何？要想同时减少犯两类错误的概率，办法是什么？

4．在单边检验问题中，建立原假设与备择假设的原则是什么？

二、单项选择题

1. 设)1(,,,,21nXXXn是来自正态总体),(2N的一个简单随机样本，X为样本均值，则}|{|XP（ ）}|{|XP。

（A）> （B）< （C）≥ （D）≤

2. 设nXXX,,,21是来自正态总体),(2N的一个简单随机样本，X和S2分别为样本均值和样本方差，则niiX12～（ ）。

（A） )1,0(N （B）)1(2n （C）)(2n (D))1(nt

3. 设nXXX,,,21是来自正态总体N(0,1)的一个样本，则下列统计量中，服从自由度为n-1的 2分布的是 （ ）。

（A）niiX12 （B）S2 （C）(n-1)2X （D）(n-1)S2

4. 设nXXX,,,21是来自正态总体),0(2N的一个样本，则下列统计量中，服从自由度为n-1的t分布的是 （ ）。

（A）SXn （B）SXn （C）2SXn （D）2SXn

5. 设随机变量)(~ntX)1(n，21XY，则（ ）。

（A）)(~2nY （B）)1(~2nY （C）)1,(~nFY （D）),1(~nFY