概率论与数理统计第6章 参数估计

第6章 参数估计

选择题

1．设nXXX,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，X的分布函数F(x;θ)中含未知参数，则

（A）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量相同

(B) 用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不同

（C）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不一定相同

(D) 用最大似然估计法求出的θ的估计量是唯一的

2．设nXXX,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，EX=μ，DX=σ2，其中μ，σ2均为未知参数，X1ˆ，12ˆX，下面结论哪个是错误的。

（A）X1ˆ是μ的无偏估计 (B) 12ˆX是μ的无偏估计

（C）X1ˆ 比12ˆX 有效 (D) niiXn12)(1是σ2的最大似然估计量

3．设nXXX,...,,21是来自正态分布总体N(μ,σ2)的简单随机样本，其中数学期望μ已知，则总体方差σ2 的最大似然估计量是

（A） niiXXn12)(11 (B) niiXXn12)(1

（C） niiXn12)(11 (D) niiXn12)(1

4．已知总体X在区间[0,θ]上均匀分布，其中θ是未知参数，设nXXX,...,,21是来自X的简单随机样本，X是样本均值，},...,max{1)(nnXXX 是最大观测值，则下列选项错误的是

（A）)(nX是θ的最大似然估计量 (B) )(nX 是θ的无偏估计量

（C）X2是θ的矩估计量 (D) X2是θ的无偏估计量

5． 设总体X~N(μ1,σ2)，总体Y~N(μ2,σ2)，mXXX,...,,21和nYYY,...,,21分别是来自总体X和Y的简单随机样本，样本方差分别为2XS与2YS，则σ2 的无偏估计量是

第 1 页 共 4 页 《概率论与数理统计》第六、七章（点估计）复习题解答

1. 设来自总体X的一个样本为)4,3,1,4,4,1,3,2,1,2(),,,(1021xxx, (1) 求X, 2S, 2B; (2) 求经验分布函数)(*10XF并作图; (3) 求总体期望)(XE, 方差2)(XD的矩估计值.

2. 设21,XX是总体)2,1(~NX的样本，求概率)408.0)((221XXP.

3. 设521,,,XXX是总体),0(~2NX的样本，证明: )1(~3254321tXXXXXY.

4. 设随机变量),(~nmFF, (1) 求)12,10(01.0F,)12,10(99.0F; (2) 当10nm时, 求常数c, 使概率05.0)(cFP, 并把c用上分位点记号表示出来; (3) 当20,15nm时, 求概率)84.1(FP.

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5. 设总体)2,5(~2NX, (1) 从中随机抽取容量为25的样本，求样本均值X落在4.2到5.8之间的概率; (2)

样本容量n取多大时, 可使95.0)8.5(XP?

6. 设1021,,,XXX是总体)4,(~2NX的样本，2S是样本方差, 且1.0)(2aSP, 求常数a.

7．设某厂生产的晶体管的寿命服从指数分布，即0,)(~EXPX，未知. 现从中随机抽取5只进行测试，得到它们的寿命（单位：小时）如下：518 612 713 388 434. 试求该厂晶体管平均寿命的最大似然估计值.

8．设总体X的一个样本为),,,(21nXXX，X的分布密度为elsexxxf ,0 0 ,2)(2, 参数0，未知. (1) 求的矩估计量; (2) 求矩估计量的方差; (3) 求的最大似然估计量.

第六章 样本及抽样分布

1.[一] 在总体N（52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X落在50.8到53.8之间的概率。

解：

8293.0)78()712(}63.68.163.65263.62.1{}8.538.50{),363.6,52(~2XPXPNX

2.[二] 在总体N（12，4）中随机抽一容量为5的样本X1，X2，X3，X4，X5.

（1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。

（2）求概率P {max (X1，X2，X3，X4，X5)>15}.

（3）求概率P {min (X1，X2，X3，X4，X5)>10}.

解：（1）25541225415412}112{|XPXPXP

=2628.0)]25(1[2

（2）P {max (X1，X2，X3，X4，X5)>15}=1－P {max (X1，X2，X3，X4，X5)≤15}

=.2923.0)]21215([1}15{1551iiXP

（3）P {min (X1，X2，X3，X4，X5)<10}=1－ P {min (X1，X2，X3，X4，X5)≥10}

=.5785.0)]1([1)]21210(1[1}10{15551iiXP

4.[四] 设X1，X2…，X10为N（0，0.32）的一个样本，求}.44.1{1012iiXP 1 解：)5(1.0}163.0{}44.1{),10(~3.0101221012221012查表iiiiiiXPXPχX

7．设X1，X2，…，Xn是来自泊松分布π (λ )的一个样本，X，S2分别为样本均值和样本方差，求E (X), D (X), E (S 2 ).

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第6章 抽样分布理论

样本与统计量

抽样分布

样本均值和样本方差的分布

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引 言

随机变量及其所伴随的概率分布全面描述了随机

现象的统计性规律。

概率论的许多问题中，随机变量的概率分布通常

是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都

是在这已知是基础上得出来的。

但实际中，情况往往并非如此，一个随机现象所

服从的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概

型，但是其中的某些参数是未知的。

2

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例如：

某公路上行驶车辆的速度服从什么分布是未知的；

电视机的使用寿命服从什么分布是未知的；

产品是否合格服从两点分布，但参数——合格率p是

未知的；

数理统计的任务则是以概率论为基础，根据试验

所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性做出合

理的推断。

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从第6章开始，我们学习数理统计的基础知识。

数理统计的任务是以概率论为基础，根据试验所得到

的数据，对研究对象的客观统计规律性作出合理的推

断.数理统计所包含的内容十分丰富，本书介绍其中

的参数估计、假设检验、方差分析、回归分析等内容.

第6章主要介绍数理统计的一些基本术语、基本概念、

重要的统计量及其分布，它们是后面各章的基础。 学习的基本内容

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第1节

样本与统计量

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样本与统计量

总体与样本

在数理统计中，把研究对象的全体称为总体

（population)或母体，而把组成总体的每个单元

称为个体。

抽样

要了解总体的分布规律，在统计分析工作中，往往

是从总体中抽取一部分个体进行观测，这个过程称为抽

样。

6

4

样本与统计量

子样

子样 是n个随机变量，抽取之后

的观测数据 称为样本值或子样观察值。

12,,,

nxxx12,,,

nXXX 在抽取过程中，每抽取一个个体，就是对总体X进

行一次随机试验，每次抽取的n个个体 ，

称为总体X的一个容量为n的样本（sample）或子

样；其中样本中所包含的个体数量称为样本容量。 12,,,