第二章 函数与基本初等函数1

1 第1讲 函数及其表示

【2013年高考会这样考】

1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法．

2．考查分段函数的简单应用．

3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．

【复习指导】

正确理解函数的概念是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，应通过适量练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误．本讲复习还应掌握：(1)求函数的定义域的方法；(2)求函数解析式的基本方法；(3)分段函数及其应用．

基础梳理

1．函数的基本概念

(1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 一个数x，在集合B中都有 确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.

(2)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫自变量，x的取值范围A叫做 ，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域．值域是集合B的子集．

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(4)相等函数：如果两个函数的定义域和 完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．

2．函数的三种表示方法

表示函数的常用方法有：解析法、列表法、 ．

3．映射的概念

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于 2 集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有 确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．

一个方法

求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法：

①若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得a＜q(x)＜b即可求出y＝f(q(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域．

两个防范

(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域．

(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．

三个要素

函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f：A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f.

双基自测

1．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )．

A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)

2．若f(x)＝1log122x＋1，则f(x)的定义域为(

)．

A.－12，0 B.－12，0C.－12，＋∞ D．(0，＋∞)

3．下列各对函数中，表示同一函数的是( )．

A．f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg x B．f(x)＝lgx＋1x－1，g(x)＝lg(x＋1)－lg(x－1)

C．f(u)＝ 1＋u1－u，g(v)＝ 1＋v1－v D．f(x)＝(x)2，g(x)＝x2

4．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )． 3 A．y＝x10 B．y＝x＋310C．y＝x＋410 D．y＝x＋510

5．函数y＝f(x)的图象如图所示．那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．

考向一 求函数的定义域

【例1】►求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝|x－2|－1log2x－1；(2)f(x)＝lnx＋1－x2－3x＋4.

【训练1】 (1)已知f(x)的定义域为－12，12，求函数y＝fx2－x－12的定义域；

(2)已知函数f(3－2x)的定义域为[－1,2]，求f(x)的定义域．

考向二

求函数的解析式

【例2】►(1)已知f2x＋1＝lg x，求f(x)；

(2)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．

4 【训练2】 (1)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的表达式．

(2)已知f(x)＋2f(1x)＝2x＋1，求f(x)．

考向三 分段函数

【例3】设函数f(x)＝ 21－x，x≤1，1－log2x，x＞1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )．

A．[－1,2] B．[0,2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)

【训练3】已知实数a≠0，函数f(x)＝ 2x＋a，x＜1，－x－2a，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．

阅卷报告1——忽视函数的定义域

【问题诊断】 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，考生容易忽视定义域，导致错误． 5 【防范措施】 研究函数的任何问题时，把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则．

【示例】► 求函数y＝log13(x2－3x)的单调区间．

【试一试】 求函数f(x)＝log2(x2－2x－3)的单调区间．

第2讲 函数的单调性与最值

【2013年高考会这样考】

1．考查求函数单调性和最值的基本方法．

2．利用函数的单调性求单调区间．

3．利用函数的单调性求最值和参数的取值范围．

【复习指导】

本讲复习首先回扣课本，从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念，复习中重点掌握：(1)函数单调性的判断及其应用；(2)求函数最值的各种基本方法；对常见题型的解法要熟练掌握．

基础梳理

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义 6 增函数 减函数

定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1＜x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有 ，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数

图象

描述

自左向右图象是上升的

自左向右图象是下降的

(2)单调区间的定义

若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

. ①对于任意x∈I，都有f(x)≤M； ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；

②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.

结论 M为最大值 M为最小值

一个防范

函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝1x分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．

两种形式 7 设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么

①fx1－fx2x1－x2＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；fx1－fx2x1－x2＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

两条结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．

四种方法

函数单调性的判断

(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．

(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．

(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．

(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．

双基自测

1．设f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f(－2)＝0，则xf(x)＜0的解集为

A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)

2．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( )．

A．[2－2，2＋2] B．(2－2，2＋2)C．[1,3] D．(1,3)

3．已知f(x)为R上的减函数，则满足f1x

A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

4．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是______．

5．若x＞0，则x＋2x的最小值为________．