第二章基本初等函数

第二章基本初等函数

金乡高中 金 瑜

§2．1指数函数

2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时）

第一课时：

教学目标：1.理解n次方根、根式的概念；

2.正确运用根式运算性质；

3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教学重点：根式的概念、运算性质

教学难点：根式概念的理解

教学方法：学导式

教学过程：

（Ⅰ）创设情景；

阅读问题1、问题2，认识将指数的取值范围进行推广的重要性和必要性。

（Ⅱ）复习回顾

引例：填空 （1）；a0= （a； *)n

naaaanN

个（)0__＝na)Nn,0a(*

(2) aman=____ (m,n∈Z)；(am)n=___(m,n∈Z)； (ab)n=___(n∈Z)

（3）； -； ___9_____9______0

（4）； )0a_____()a(2________a2(1)(2)复习整数

指数幂的概念和

运算性质；

(3)(4)复习平方根的概念

（Ⅲ）讲授新课

22=4 ，（-2）2=4 2，-2叫4的平方根 

23=8 2叫8的立方根； （-2）3=-8-2叫-8的立方根 

25=32 2叫32的5次方根 … 2n=a 2叫a的n次方根 

1.n次方根的定义：（板书）

一般地，如果，那么x叫做a的n次方根（ th root）,其中，且。 nxan1nnN

问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？是否正确？ nax

分析过程：

例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a6的3次方根。（要

求完整地叙述求解过程）

结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n

次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为。 nax

从而有：，， 32732325236aa

例2．根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。

结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为： )0a(an其中表示a的正的n次方根，表示a的负的n次方根。 nana例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。

结论3：0的n次方根是0，记作当a=0时也有意义。 nna,00即

这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质：

3.n次方根的性质：（板书）

其中 叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。 *)(2,12,Nkknaknaxnn



注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。

4.根式运算性质：（板书）

①，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。 aann）（

问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？

例4：求 ， ， ， 33)2(5524432)3(

由所得结果，可有：（板书）

② 为偶数为奇数；

nanaann|,|,

性质的推导（略）：

（Ⅳ）例题讲解

例1．求下列各式的值：

（4）（a>b） 3381）（－）（2102）（－）（4433）－（）（2)ba(

注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。

（III）课堂练习：求下列各式的值

(1) (2) (3) (4) 5324)3(2)32(625

（IV）课时小结

通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。

（V）课后作业

1、书面作业：

书P65习题2.1 A组题第1题。 2、预习作业：

a.预习内容：课本P55—P58。

b.预习提纲：

（1）根式与分数指数幂有何关系？

（2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？

na第二课时：

教学目标：1.理解分数指数幂的概念；

2.正确运用有理指数幂的运算性质；

3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教学重点：分数指数幂的概念和运算性质

教学难点：分数指数幂概念的理解

教学方法：学导式

（I）复习回顾

1.填空 （1） （2）； ；_______32______,6453______81______,8144

（3） (4) ；______)6(______,)3(5544；_______a_____,a312510（5）； （6） _____)3(___,27755）（.______5____,)4(4466

（II）讲授新课

分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n次方根的概念来解：

； 25101052aa,a)a(

也可根据n次方根的性质来解：。 2552510a)a(a

问题1：观察，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？ 34122510aa,aa

问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形

式？如：是否可行？ 3232aa分析：假设幂的运算性质对于分数指数幂也适用，那么，这mnnma)a(2332332aa)a(

说明也是的3次方根，而也是a2的3次方根（由于这里n=3，a2的3次方根唯32a2a32a

一），于是。这说明可行。 3232aa3232aa

由此可有：

1.正数的正分数指数幂的意义：

) 1*,,,0(nNnmaaanmnm且

注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数an的幂指数n与

根式的根指数n的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。

问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制，行不行？

分析：正例：等等； 32322510510331)2()2(,4)2()2()2(,28)8(

反例：； 62

31,2)8()8(,28)8(6262331而实际上问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂？

分析：正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿；0的分数指数幂与0的非0

整数幂的意义相仿。

2.负分数指数幂： )1*,,,0(1nNnma

aa

nmnm且

3.0的分数指数幂：（板书）

0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义（为什么？）。

说明：（1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性；

（2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数；

（3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即（板书）

； (0,,)rsrsaaaarsQ

()(0,,)rsrsaaarsQ

()(0,0,)rrrabababrQ

问题5：若a>0，α是无理数，则aα该如何理解？（引导学生先阅读课本P62——P62）

即：的不足近似值，从由小于的方向逼近，的过剩近似值从大于的方向22222逼近. 2

所以，当不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近222525

. 25

当的过剩似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近，222252525(如课本图所示) 由此，同样可规定 是无理数）的意义：p,0p(ap

① ap表示一个确定的实数；

② 上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明从略；

③ 指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫）。

（III）例题讲解：

例2．求值： 4332132

8116

411008－－－），（），（，

分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。

例3．用分数指数幂的形式表示下列各式：

3232,,(0)aaaaaaa式中

分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。

（IV）课堂练习

课本P59练习：1、2

（V）课时小结

通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用

有理指数幂的运算性质。

（V）课后作业

1、书面作业：课本P65习题2.1A组题第2 2、预习作业

（1）预习内容：课本P61例题4、5。

（2）预习提纲：

a.根式的运算如何进行？

b.利用理指数幂运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧？

第三课时

教学目标

1.掌握根式与分数指数幂的互化；

2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值；

3.培养学生的数学应用意识。

教学重点：有理指数幂运算性质运用。

教学难点：化简、求值的技巧

教学方法：启发引导式

教学过程

（I）复习回顾 1.分数指数幂的概念，以及有理指数幂的运算性质

分数指数幂概念 有理指数幂运算性质

； (0,,)rsrsaaaarsQ

()(0,,)rsrsaaarsQ

(0,,*,1)amnNn且()(0,0,)rrrabababrQ

2.用分数指数幂表示下列各式（a>0,x>0）

52a4x1

6xx3)a(

（II）讲授新课

例1．计算下列各式（式中字母都是正数）

);ba3()ba6)(ba2)(1(656131212132.)nm)(2(88341

分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，

并且要注意符号。（2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。

对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。

如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但：

① 结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数；

③ 根式需化成最简根式。

例2．计算下列各式：

);0a(aaa)1(322435)12525)(2(nmnmaa

nmnmnm

aaa1＝