第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ

第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ

考点1 函数的概念

1.(2015·湖北，7)设x∈R，定义符号函数xsgn＝ 1，x>0，0，x＝0，－1，x<0，则( )

A．|x|＝x|xsgn| B．|x|＝xxsgn

C．|x|＝ sgnxx D．|x|＝sgnx

1.解析 对于选项A，右边＝xxsgn＝x，x≠0，0，x＝0，而左边＝|x|＝x，x≥0，－x，x<0，显然不正确；

对于选项B，右边＝xxsgn＝x，x≠0，0，x＝0，而左边＝|x|＝x，x≥0，－x，x<0，显然不正确；

对于选项C，右边＝sgnxx＝x，x>00，x＝0x，x<0，而左边＝|x|＝x，x≥0，－x，x<0，显然不正确；

对于选项D，右边＝sgnx＝x，x>0，0，x＝0，－x，x<0，而左边＝|x|＝x，x≥0，－x，x<0，显然正确.故应选D.

答案 D

2.(2015·重庆，3)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域为( )

A．[－3,1] B．(－3,1)

C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

2.解析 需满足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪

(1，＋∞)．

答案 D

3.(2015·湖北，6)函数f(x)＝4－|x|＋lgx2－5x＋6x－3的定义域为( )

A．(2,3) B．(2,4]

C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6]

3.解析 依题意，有4－|x|≥0，解得－4≤x≤4；

①

且x2－5x＋6x－3>0，解得x>2且x≠3， ②

由①②求交集得函数的定义域为(2，3)∪(3，4]．故选C.

答案 C

4.(2015·新课标全国Ⅰ，10)已知函数f(x)＝ 2x－1－2，x≤1，－log2x＋1，x>1，且f(a)＝－3，

则f(6－a)＝( )

A．－74

B．－54 C．－34 D．－14

4.解析 若a≤1，f(a)＝2a－1－2＝－3，2a－1＝－1(无解)；

若a>1，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，a＝7，

f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝14－2＝－74.

答案 A

5.(2015·山东，10)设函数f(x)＝ 3x－b，x＜1，2x，x≥1.若65ff＝4，则b＝( )

A．1 B.78 C.34 D.12 5.解析 由题意，得65f＝3×56－b＝52－b.

若52－b≥1，即b≤32时，522=4b，解得b＝12.

若52－b＜1，即b＞32时，3×b25－b＝4，解得b＝78(舍去)．

所以b＝12.

答案 D

6.(2015·陕西，4)设f(x)＝ 1－x，x≥0，2x，x＜0，则f(f(－2))＝( )

A．－1 B.14 C.12 D.32

6.解析 ∵f(－2)＝2－2＝14＞0，则f(f(－2))＝41f＝1－41＝1－12＝12，故选C.

答案 C

7.(2014·山东，3)函数f(x)＝1log2x－1的定义域为( )

A．(0,2) B．(0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)

7.解析 由题意可知x满足log2x－1＞0，即log2x＞log22，根据对数函数的性质得x＞2，

即函数f(x)的定义域是(2，＋∞)．

答案 C

8.(2014·江西，4)已知函数f(x)＝ a·2x，x≥02－x，x＜0(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝( )

A.14 B.12 C．1 D．2 8.解析 因为－1＜0，所以f(－1)＝(1)2－－＝2，又2＞0，所以f[f(－1)]＝f(2)＝a·22＝1，

解得a＝14.

答案 A

9.(2015·新课标全国Ⅱ，13)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________.

9.解析 由函数f(x)＝ax3－2x过点(－1，4)，得4＝a(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.

答案 －2

考点2 函数的基本性质

1.(2016·山东，9)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，

f(－x)＝－f(x)，当x＞12时，21xf＝21xf.则f(6)＝( )

A.－2 B.－1

C.0 D.2

1.解析 当x＞12时，21xf＝21xf，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，

∴f(6)＝f(1).当x＜0时，f(x)＝x3－1且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，

∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)－[(－1)3－1]＝2，故选D.

答案 D

2.(2015·新课标全国Ⅱ，12)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x2，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是( )

A.1,31 B.－∞，13∪(1，＋∞)

C.－13，13 D.－∞，－13∪13，＋∞

2.解析 由f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x2 知f(x)为R上的偶函数，

于是f(x)＞f(2x－1)即为f(|x|)＞f(|2x－1|)．

当x＞0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，得f′(x)＝11＋x＋2x（1＋x2）2＞0，

所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数，

则由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，

平方得3x2－4x＋1＜0，解得13＜x＜1，故选A.

答案 A

3.(2015·北京，3)下列函数中为偶函数的是( )

A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x

C．y＝| ln x| D．y＝2x

3.解析 由f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，可知A为奇函数，B为偶函数，C定义域不关于原点对称，D为非奇非偶函数．

答案 B

4.(2015·福建，3)下列函数中为奇函数的是( )

A．y＝x B．y＝ex C．y＝cos x D．y＝ex－e－x

4.解析 由奇函数定义易知y＝ex－e－x为奇函数，故选D.

答案 D

5.(2015·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )

A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x

C．y＝2x＋12x D．y＝x2＋sin x

5.解析 对于A，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；

对于B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；

对于C，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；

对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选D.

答案 D

6.(2015·新课标全国Ⅰ，12)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，

且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝( )

A．－1 B．1 C．2 D．4

6.解析 设f(x)上任意一点为(x，y)，该点关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)，

将(－y，－x)代入y＝2x＋a，所以y＝a－log2(－x)，

由f(－2)＋f(－4)＝1，得a－1＋a－2＝1，2a＝4，a＝2.

答案 C

7.(2014·北京，2)下列函数中，定义域是R且为增函数的是( ) A．y＝e－x B．y＝x3

C．y＝ln x D．y＝|x|

7.解析 分别画出四个函数的图象，如图所示：

因为对数函数y＝ln x的定义域不是R，故首先排除C；

因为指数函数y＝e－x在定义域内单调递减，故排除A；

对于函数y＝|x|，当x∈(－∞，0)时，函数变为y＝－x，在其定义域内单调递减，故排除D；

而函数y＝x3在定义域R上为增函数．故选B.

答案 B

8.(2014·湖南，4)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )

A．f(x)＝1x2 B．f(x)＝x2＋1

C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2x

8.解析 因为y＝x2在(－∞，0)上是单调递减的，故y＝1x2在(－∞，0)上是单调递增的，

又y＝1x2为偶函数，故A对；

y＝x2＋1在(－∞，0)上是单调递减的，故B错；

y＝x3为奇函数，故C错；

y＝2－x为非奇非偶函数，故D错．所以选A.

答案 A

9.(2014·新课标全国Ⅰ，5)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是 偶函数，则下列结论中正确的是( )

A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数

9.解析 f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选C.

答案 C

10.(2014·广东，5)下列函数为奇函数的是( )

A．y＝2x－12x B．y＝x3sin x

C．y＝2cos x＋1 D．y＝x2＋2x

10.解析 选项B中的函数是偶函数；选项C中的函数也是偶函数；选项D中的函数是非奇非偶函数，根据奇函数的定义可知选项A中的函数是奇函数．

答案 A

11.(2014·重庆，4)下列函数为偶函数的是( )

A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x

C．f(x)＝2x－2x D．f(x)＝2x＋2x

11.解析 函数f(x)＝x－1和f(x)＝x2＋x既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A和选项B；选项C中f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，所以f(x)＝2x－2－x为奇函数，排除选项C；

选项D中f(x)＝2x＋2x，则f(－x)＝2x＋2x＝f(x)，所以f(x)＝2x＋2x为偶函数，故选D.

答案 D

12.(2016·北京，10)函数f(x)＝xx－1(x≥2)的最大值为________.