(完整版)抽象向量组线性相关性的判定与证明

收稿日期:2002-03-22作者简介:栾召平,济宁广播电视大学教学处教师。

证明向量组线性相关性的几种方法栾召平(济宁广播电视大学,山东　济宁　272000) 摘　要:向量组线性相关性概念较抽象,等价命题多而易混,使“证明问题”成为教与学的难点。

抓住关键,突出重点,归纳出证明向量组线性相关性问题的几种方法,可以解决其难点。

关键词:向量组;线性相关;线性无关中图分类号:O151·2 文献标识码:A 文章编号:1008-3340(2002)02-00 一、定义法定义法就是紧扣下面定义进行分析、论证定义:设向量组α1,α2,……αs ,(S ≥1),若数域R 中存在不全为零的数k 1,k 2……,k s ,使k 1α1+k 2α2+……+k s αs =0,则称向量组α1,α2,……,αs 线性相关:否则,就称向量组α1,α2,……,αs 线性无关。

在等价定义中,要理解定义的内涵和外延。

现举例说明如下:例1:证明:α1+α2,α2+α3,α1+α3线性无关的充分必要条件是α1,α2,α3线性无关。

证:充分性,若k 1(α1+α2)+k 2(α2+α3)+k 3(α1+α3)=0即:(k 1+k 3)α1+(k 1+k 2)α2+(k 2+k 3)α3=0而由α1,α2,α3线性无关的条件,必有k 1+k 3=0k 1+k 2=0k 2+k 3=0易知上齐次线性方程只有唯一零解:k 1=k 2=k 3=0,所以α1+α2,α2+α3,α1+α3线性无关。

必要性(反证法)假设α1,α2,α3线性相关,存在不全为零的数x 1,x 2,x 3使x 1α1+x 2α2+x 3α3=0,令k 1+k 3=x 1k 1+k 2=x 2k 2+k 3=x 3易知上非齐次线性方程组有解k 1,k 2,k 3且不全为零。

于是k 1(α1+α2)+k 2(α2+α3)+k 3(α1+α3)=0即(k 1+k 3)α1+(k 1+k 2)α2+(k 2+k 3)α3=0这与α1+α2,α2+α3,α1+α3线性无关的条件矛盾。

安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法作者院（系）数学与统计学院专业数学与应用数学年级2011级学号指导教师郭亚梅论文成绩日期2015年月日学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.作者签名：日期：导师签名：日期：院长签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.作者签名：导师签名：日期：向量组线性相关性的判定方法（安阳师范学院 数学与统计学院 河南 安阳 455002）摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。

所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法.关键词：向量组 线性相关 线性无关 判定方法 1 引言线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. 2.1 n 维向量的定义（一维、二维、三维向量，推广到n 维向量） 定义： n 个有次序的数12,a ,,a n a 所组成的数组12(a ,a ,)n a 或12(a ,a ,)T n a 分别称为n维行向量或列向量.这n 个数称为向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母,αβ等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 2.2 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律.全体的n 维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n 维向量空间（或线性空间）.例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n 次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性的定义 3.1向量组有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组. 例如一个m n ⨯矩阵对应一个m 维列向量组, 也对应一个n 维行向量组112212122212(a )(a )(a )n n m m mn a a a a aa 111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎦⎣111122122212,,,n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎛⎛⎫⎫⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎭⎭⎭⎝⎝⎝ 3.2向量组的线性相关性的定义 3.2.1 线性组合与线性表示设12:a ,a ,,a m A 是一向量组, 表达式1122m m k a k a k a +++称为向量组A 的一个线性组合, 其中12,k ,,k m k 是一组实数, 称为这个线性组合的系数.如果向量b 是向量组A 的线性组合1122m m b a a a λλλ=+++则称向量b 能由向量组A线性表示.例如，任一n 维向量，都可以由n 维基向量线性表示.例1. 设向量组)()()()(12341,0,1,b 1,1,1,b 3,1,1,b 5,3,1,T T T Tb =-==-=试判断4b 是否可由123,b ,b b 线性表示？如果可以的话，求出一个线性表示式.解 设一组数123,k ,k ,k 使4112233,b k b k b k b =++即有())(123231235,3,13,k ,k .TTk k k k k k =+++-+-由向量相等的定义可得线性方程组1232312335,k 3,k 1.k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪-+-=⎩该方程组的一个解为1232,k 3,k 0.k === 于是41223,b b b =+即4b 由123,b ,b b 线性表示. 定理1 向量b 能由向量组12:a ,a ,,a m A 线性表示的充分必要条件是矩阵12(a ,a ,)m A a =与矩阵12(a ,a ,,b)m B a =的秩相等, 即(A)R(B)R =.3.2.2.向量组线性相关的定义 定义1 向量组12:a ,a ,,a (m 2)m A ≥线性相关⇔在向量组A 中至少有一个向量能由其余1m -个向量线性表示. 定义2 给定向量组12:a ,a ,,a m A ，m 个数12,k ,,k ,m k 构造11220,m m k a k a k a +++= ()*如果存在不全为零的数12,k ,,k ,m k 使()*式成立，称向量组A 是线性相关的, 否则称它线性无关. 这两个定义是等价的. 证明如下：如果向量组A 中有某个向量(不妨设m a )能由其余1m -个向量线性表示, 即有121,,,,m λλλ-使112211,m m m a a a a λλλ--=++于是112211(1)a 0.m m m a a a λλλ--+++-=因为121,,,,1m λλλ--不全为0, 所以向量组A 线性相关.反过来，如果向量组A 线性相关，则有11220,m m k a k a k a +++=其中12,k ,,k m k 不全为0, 不妨设10k ≠, 于是12211()(k ),m m a a k a k =-++即1a 能由2,,a m a 线性表示.例2 判断向量组123(2,1,3,1),(4,2,5,4),(2,1,4,1)ααα=-=-=--是否线性相关.解：可取123,,χχχ为未知数，建立下列方程式 1122330,χαχαχα++=看它是否有123,,χχχ的不全为零的解.这是向量等式，按各个分量分别写出方程，就成为下列方程组1231231231232420,20,3540,40.χχχχχχχχχχχχ++=⎧⎪---=⎪⎨++=⎪⎪+-=⎩ 前面的含向量的方程组有无非零解等价于这个方程组有无非零解.可以用消元法解这个方程组.它有无线多解，当然有非零解，故123,,ααα线性相关.特别的一组解，可取为123(,,)(3,1,1),χχχ=--即12330ααα--=或3123.ααα=-定理2向量组12a ,a ,,a m 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵12(a ,a ,)m A a =的秩小于向量个数m ; 向量组线性无关的充分必要条件是(A)m R = 这是因为,向量组12:a ,a ,,a m A 线性相关11220m m x a x a x a ⇔+++= 即A x =0有非零解(A)m.R ⇔<向量组12a ,a ,,a m 线性无关12(a ,a ,,a )m.m R ⇔=例3 证明n 维单位坐标向量组12(1,0,,0),e (0,1,,0),,e (0,0,,1)T T T n e ===线性无关.证明 我们直接利用定义证明.如果存在一组数12,k ,,k ,n k 使得11220,n n k e k e k e +++=根据向量线性运算的定义可以得到 12(k ,k ,,k )(0,0,,0),T T n =从而120.n k k k ====所以12,e ,,e n e 是线性无关的.另证 我们利用定理，设向量组12,e ,,e n e 构成的矩阵为12(,e ,,e ),n I e =I 是n 阶单位矩阵.显然有(I)n,R =即(I)R 等于向量组中向量的个数，所以由定理2知向量组I 是线性无关的.例 4 已知向量123(1,1,1),a (0,2,5),a (2,4,7)T T Ta ===讨论向量组123,a ,a a 及向量组12a ,a 的线性相关性.解 对矩阵123(a ,a ,a )施行初等行变换使它变成行阶梯形矩阵，就可以同时看出矩阵123(a ,a ,a )及12(a ,a )的秩，再利用定理2就可以得出结论.易知123(a ,a ,a )23,R =<向量组123a ,a ,a 线性相关；12(a ,a )2,R =向量组12a ,a 线性无关.4.向量组线性相关性的性质（1）含零向量的向量组必线性相关.线性无关的向量组中一定不含零向量. （2）一个向量α线性相关0.α⇔=一个向量α线性无关⇔0α≠.(3)两个非零向量12,αα线性相关12.k αα⇔=两个向量12,αα线性无关⇔它们不成比例. (4)向量组有一部分线性相关，则全体线性相关. 向量组全体线性无关，则每一部分线性无关. 若向量组12:a ,a ,,a m A 线性相关, 则向量组121B :a ,a ,,a ,a m m +也线性相关. 反之, 若向量组B 线性无关, 则向量组A 也线性无关.结论可叙述为: 一个向量组若有线性相关的部分组, 则该向量组线性相关. 一个向量组若线性无关, 则它的任何部分组都线性无关. 性质（4）说明：这是因为, 记12(a ,a ,,a )m A =,121(a ,a ,,a ,a )m m B +=,有(B)R(A)1R ≤+.若向量组A 线性相关, 则有(A)R m <，从而(B)R(A)1 1.R m ≤+<+ 因此向量组B 线性相关. (5) 个数大于维数时，必线性相关.个数等于维数时，看行列式.m 个n 维向量组成的向量组, 当维数n 小于向量个数m 时一定线性相关. 特别地,1n +个n 维向量一定线性相关. 这是因为, m 个n 维向量12a ,a ,,a m 构成矩阵12(a ,a ,,a ),n m m A ⨯= 有R(A)n.≤若n m <则R(A)n m,≤< 故m 个向量12a ,a ,,a m 线性相关.(6)设向量组12:a ,a ,,a m A 线性无关, 而向量组12B :a ,a ,,a ,m b 线性相关, 则向量b 必能由向量组A 线性表示, 且表示式是唯一的. 这是因为, 记12(a ,a ,,a )m A =,12(a ,a ,,a ,b)m B =,有(A)(B)m 1,m R R =≤<+即有(B)R(A).R m ==因此方程组有唯一解12(a ,a ,,a )x m b =即向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一. 5.向量组线性相关性的判定方法 5.1定义法给定向量组123:,,,,,m A a a a a 如果存在不全为零的数123,,,,,m k k k k 使得11220m m k a k a k a +++=成立，则称向量组A 是线性相关的.否则，如果不存在不全为零的数123,,,,,m k k k k 使得11220m m k a k a k a +++=成立，也就是说，只有当123,,,,m k k k k 全部为0时，11220m m k a k a k a +++=才成立，则称向量组A 是线性无关的.例5 设向量组123,,a a a 线性无关，判断向量组112223331,,b a a b a a b a a =+=+=+的线性相关性.解 设一组数123,,,k k k 使1122330,k b k b k b ++=则有 112223331()()()0,k a a k a a k a a +++++= 即131122233()()()0.k k a k k a k k a +++++=因为向量组123,,a a a 线性无关，所以1312230,0,0.k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 该方程组的系数行列式20,D =≠故方程组只有零解1230,k k k ===所以向量组123,,b b b 线性无关.例6 判断向量组)()()()(12341,0,1,b 1,1,1,b 3,1,1,b 5,3,1TTTTb =-==-=的线性相关性. 解 设一组数1234,,,,k k k k 使112233440,k b k b k b k b +++=比较上式两端向量的对应分量，可得齐次线性方程组12342341234350,30,0.k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪++=⎨⎪-+-+=⎩该方程组的一个非零解为12342,3,0,1,k k k k ====-故向量组1234,,,b b b b 线性相关. 5.2 利用向量组内向量之间的线性关系判定 定理3 向量组123:,,,,m A a a a a 线性相关的充要条件是向量组A 中至少有一个向量可以由其余1m -个向量线性表示. 定理4 向量组12,,,m a a a 线性无关，而12,,,,m a a a β线性相关β⇒可由12,,,m a a a 线性表示且表达方式唯一. 定理 5 若向量组12,,,m a a a 有一部分向量组线性相关⇒向量组12,,,m a a a 线性相关.与此等价的一个说法为：向量组12,,,m a a a 线性无关⇒向量组12,,,m a a a 的任一部分向量组线性无关.例7 已知123,,ααα线性无关，234,,ααα线性相关，问：（1）4α能否由123,,ααα线性表示？ （2）1α能否由234,,ααα线性表示？解 （1）由123,,ααα线性无关23,αα⇒线性无关，又由234,,ααα线性相关4α⇒能由23,αα线性表示且表达方式唯一，所以存在数23,k k 使得42233410k kk k ααααααα=+⇔=++，故4α能由123,,ααα线性表示. （2）反证法.假设1α能由234,,ααα表示，则存在数123,,λλλ，使得112233,αλαλαλα=++又由（1）4α能由23,αα线性表示，所以1α能由23,αα线性表示，所以123,,ααα线性相关，与已知矛盾，故1α不能由234,,ααα线性表示. 5.3 利用向量组的秩进行判定向量组的秩是指向量组中任一个极大无关组所含的向量个数.设向量组为12,,,,m ααα其秩记为12(,,,)m R ααα，由极大无关组的定义和秩的定义可得：若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的.例8 判断向量组123(2,2,1,1,4),(2,1,2,0,3),(1,2,2,4,2)T T T ααα=-=-=--的线性相关性. 解 构造35⨯矩阵并作初等行变换可见3rankA =，故123,,ααα线性无关. 5.4 利用反证法进行判定在有些题目中，直接证明结论有时候比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知定义、定理、公理相矛盾的结果，从而结论的反面不成立，则结论成立.例9 设向量组12,,,m ααα中任一向量i α不是它前面1i -个向量的线性组合，且0i α≠，证明向量组12,,,m ααα线性无关.证明 （反证法）假设向量组12,,,m ααα线性相关，则存在不全为零的数12,,,m k k k 使得：11220m m k k k ααα+++=， (1)由此可知0m k ≠，由上式可得1122111()m m m mk k k k αααα--=-+++即m α可以由它前面1m -个向量线性表示，这与题设矛盾，因此0m k =，于是(1)式转化为1122110m m k k k ααα--+++=.类似于上面的证明可得1220,m m k k k --====(1)式转化为110k α=.但10α≠，所以10k =这与12,,,m k k k 不全为零的假设相矛盾，因此向量组线性无关.例10 设A 为n 阶矩阵，α为n 维列向量，若0A α≠，但20A α=. 证明：向量组,A αα线性无关. 证明：用反证法.假设向量组,A αα线性相关，由于0A α≠，从而0α≠，则A α可由α线性表出，设为(0)A k k αα=≠否则0α=，于是22()()0A A A A k kA k ααααα====≠，这与已知20A α=矛盾，因此向量组,A αα线性无关. 例11 设12,,,n ααα是一组n 维向量，已知单位坐标向量12,,,n εεε可被它们线性表出，证明：12,,,n ααα线性无关.证明：法1 （反证法）若12,,,n ααα线性相关，则至少有一i α可由其他j α线性表示（不妨设n α可由121,,,n ααα-线性表示 ）.由题设，12,,,n εεε可由12,,,n ααα线性表示，从而可由121,,,n ααα-线性表示，而任一n 维向量均可由12,,,n εεε线性表示，因而也可由121,,,n ααα-线性表示.由此得全体n 维向量构成的向量集合n R 的秩小于n ，这与 nR 的秩等于n 矛盾，故12,,,n ααα线性无关.法 2 设12,,,n ααα的秩为r ，则,r n ≤而12,,,n εεε的秩为.n 由题设，12,,,n εεε可由12,,,n ααα线性表出，因此n r ≤，故.r n =5.5 利用齐次线性方程组的解进行判定在应用定义法解一个齐次线性方程组，需由该方程组是否有非零解来判定向量组的线性相关性.即应用定义法的同时就应用了齐次线性方程组的解进行了判定.对于各分量都给出的向量组12,,,m ααα，若以12[,,,]m A ααα=为系数矩阵的齐次线性方程组0AX =只有零解向量，则此向量组12:,,,m A ααα是线性相关的.例12 证明向量组123(2,1,0,5),(7,5,4,1),(3,7,4,11)T T T ααα==--=--线性相关.证明 ：以123,,ααα为系数向量的齐次线性方程组是 1122330,x x x ααα++= 即1231232312327305704405110x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎪⎨+=⎪⎪--=⎩ 利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵A 化为行阶梯型矩阵，由行阶梯型矩阵可知，()23,R A =<即齐次线性方程组有非零解，所以向量组123,,ααα线性相关.例13 12(,,,),1,2,,.i i i in a a a i n α==证明：如果0ij a ≠，那么12,,,n ααα线性无关.证明：设11220,n n k k k ααα+++=得到线性方程组111212112122221122000n n n n n n nn n a k a k a k a k a k a k a k a k a k +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩由于系数行列式的转置行列式0ij a ≠，故齐次线性方程组只有零解，从而12,,,n ααα线性无关.5.6 利用矩阵的秩进行判定设向量组12:,,,m A ααα是由m 个n 维列向量所组成的向量组，则向量组A 的线性相关性可由向量组A 所构成的矩阵12(,,,)m A ααα=的秩的大小来进行判定.即 （1） 当()R A m =时，则向量组12:,,,m A ααα是线性无关的. （2） 当()R A m <时，则向量组12:,,,m A ααα是线性相关的.例14 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,),T T T t ααα=== 问当t 为何值时，向量组123,,ααα线性相关，并将3α表示为1α和2α的线性组合. 解：利用矩阵的秩有[]123111111111,,12301201213021005A tt t ααα==→→--可见，当5t =时，向量组123,,ααα线性相关，并且有111101012012,000000A =→所以3122ααα=-+.利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同，但实质上是一样的，都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵，从而求出向量组的秩，即系数矩阵的秩，然后再作出判定.例15 断向量组123(2,1,3,1),(3,1,2,0),(1,3,4,2)ααα=-=-=-的线性相关性. 解：以123,,ααα为行向量构成矩阵A ，并进行初等行变换化为行阶梯形2131134213421342312031200101060101061342213105530000A ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则()23R A =<向量的个数，故向量组线性相关.例16 向量组1234,,,αααα线性无关，则下列线性无关的向量组是（）12233441122334411223344112233441(),,,;(),,,;(),,,;(),,,.A B C D αααααααααααααααααααααααααααααααα+++++++-----++--分析 对于抽象给出的向量组，判断或证明其线性相关与线性无关常采用以下方法： （1）定义法 先设11220,s s k k k ααα+++=然后对其作恒等变形，即用某个矩阵同乘该式，或对该式拆项重新组合等，究竟用什么方法应当从已知条件去寻求信息.通过一次或多次恒等变形来分析12,,,s k k k 能够不全为零还是必须全是0，从而得知12,,,s ααα是线性相关还是线性无关.（2）利用矩阵的秩. 要论证12,,,s ααα线性相关或线性无关，可将其构造成矩阵A ，利用rankA s <或rankA s =来说明.（3）利用有关结论，特别是等价向量组有相同秩的结论. （4）反证法.解 法1 观察可知12233441()()()()0αααααααα+-+++-+=，()A 线性相关. 12233441()()()()0αααααααα-+-+-+-=，()C 线性相关；122334()()()()0αααααααα+-++-+-=，()D 线性相关. 由排除法可知应选()B .法2 对()B ，设112223334441()()()()0k k k k αααααααα++++++-=，拆项重组为 141122233344()()()()0k k k k k k k k αααα-++++++=由1234,,,αααα线性无关知 141223340000k k k k k k k k -=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ ，由于系数行列式100111002,01100011-=所以方程组只有零解12340,k k k k ====从而()B 线性无关.用此法可知(),(),()A C D 均线性相关. 5.7 利用行列式的值进行判定 若向量组12:,,,m A ααα是由m 个n 维列向量所组成的向量组，且向量组A 所构成的矩阵12(,,,)m A ααα=，即A 为m 阶方阵，则（1） 当0A =时，则向量组12:,,,m A ααα是线性相关的. （2） 当0A ≠时，则向量组12:,,,m A ααα是线性无关的.若向量组12:,,,m A ααα的个数m 与维数n 不同时，则（1） 当m n >时，则向量组12:,,,m A ααα是线性相关的.（2） 当m n =时，转化为上述来进行判定，即选取m 个向量组成的m 维向量组，若此m 维向量组是线性相关的，则添加分量后，得到的向量组也是线性相关的. 例17 已知123(1,1,1),(0,2,5),(2,4,7)ααα===试讨论123,,ααα的线性相关性. 证明：令123(,,)A ααα=则1021240157A ==，所以123,,ααα线性相关.行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解，然后再对向量组的线性相关性作出判定，所以能应用行列式值进行判定的向量组，也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定. 例18 已知向量组123:,,A ααα是线性无关的，且有112223331,,b b b αααααα=+=+=+，证明向量组123,,b b b 线性无关.证明：设有123,,,x x x 使得1122330x b x b x b ++=即 112223331()()()0x x x αααααα+++++= 整理为 131122233()()()0x x x x x x ααα+++++=因123,,ααα是线性无关的，所以131223000x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩由于此方程组的系数行列式10111020011=≠故方程组只有零解1230x x x ===，所以向量组123,,b b b 线性无关.例19 已知向量组1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,9)t t αααα===-+=+线性相关，试求t 的值.分析 对于具体给出的向量组，判断其线性相关与线性无关常采用以下方法：（1） 先由定义写出11220s s x x x ααα+++=，再根据向量组相当写出齐次线性方程组；若该齐次线性方程组有非零解（即无穷多解），则向量组线性相关；若该齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关.（2） 排成矩阵12(,,,)s A ααα=（列向量时）或12s A ααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（行向量时），求A 的秩；若rankA s <时，向量组线性相关；若rankA s =时，向量组线性无关. （3） 对于n 个n 维向量，可同上将其排成矩阵A ，用0A =是否成立来判断12,,,n ααα是否线性相关.（4） 利用线性相关的有关结论，如“部分相关，则整体相关”等来判定. 解 1t =-或2-.法1 123410231023102311350112011211210120010*********002A t t t t t t αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪==→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--+ ⎪ ⎪⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1t =-或2t =-时，123434,,,,rankA αααα=<线性相关.法210231135(1)(2)11211249t t t t =++-++ 1t =-或2t =-时行列式为0.6.结论通过以上讨论，我们了解到向量组的线性相关与线性无关的判定较难理解.实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了向量组的线性相关的判定，线性无关的判定也就没有问题了.由以上可以看出，在熟练地理解和掌握了向量组线性相关的定义、定理的基础上，灵活地应用上述几种方法，证明向量组线性相关与线性无关的难点即可获得突破.参考文献[1] 王鄂芳,石生明.高等代数[M].高等教育出版社,2003.[2] 徐仲,陆全.高等代数[M].西北工业大学出版社,2009.[3]蓝以中.高等代数简明教程[M].北京大学出版社，2002.[4]肖艾平.向量组线性相关性的几种判定方法[J].伊犁师范学院学报（自然科学版），3（2008）:58-59[5]罗秀芹，董福安，郑铁军，关于向量组的线性相关性的学习探讨[J].高等代数研究，9（2005）：18-19[6]杨燕新，王文斌.关于向量组线性相关的几种判定[J].山西农业大学学报（自然科学版），3（2005）[7]黄娟霞.关于向量组线性相关性的初步探讨[J].广东石油化工学院学报，2（2012）:68-69[8]董秀明.判断向量组的线性相关性与无关性[J].考试周刊，33（2013）:57-58[9]牛少彰，刘吉佑，线性代数[M].北京：北京邮电大学出版社，2004.[10]钱吉林，高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002.[11]杨子胥，高等代数习题集（上）（修订版）[M].济南：山东科学技术出版社，2001[12]钱志强，线性代数教与学参考[M].北京：中国致公出版社，2002.Methods to determine the correlation between the linear vector groupHou xuling(School of Mathematics and Statistics, Anyang Normal University,Anyang,Henan,455002)Abstract:Correlation between linear vector is a cornerstone in linear algebra, in which on the basis of derivation and derived from our many other theories. So skillfully master the method to determine the linear dependence of vector group, so that we can have a better understanding of other theoretical knowledge. In this paper, the linear relationship between the homogeneous solution of linear equations, the matrix rank, determinant between vectors in vector value and known conclusions knowledge in vector group by determining the linear correlation, and then sum up some methods of determination of linear vector correlationKey words:Vector group The linear correlation Linear independence Judging method。

第四章 向量组的线性相关性§1 n 维向量概念一、向量的概念定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数i a 称为第i 个分量.注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式()12,,,n a a a a =,出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-.解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-(31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-(0,1,2)T =定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。

§2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数.定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ,使得1122m m a a a b λλλ=+++则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.注1任一个n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示:1122n n a a a a e e e =+++ .注2向量b 可由向量组A :12,,,n a a a 线性表示（充要条件）⇔方程组1122n n a a a x x x b +++=有解m n A x b ⨯⇔=有解()(,)R A R A b ⇔=注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量β由向量12,,,n a a a 线性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。

判断向量组线性相关的方法向量是线性代数中的重要概念，而判断向量组是否线性相关也是线性代数中的基本问题。

在实际问题中，我们经常需要判断给定的向量组是否线性相关，这对于解决线性方程组、矩阵的秩、向量空间的基等问题都具有重要意义。

本文将介绍判断向量组线性相关的几种常用方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。

方法一，线性组合的定义。

首先，我们需要了解线性组合的概念。

对于给定的向量组${\alpha_1,\alpha_2, ..., \alpha_n}$，如果存在一组实数$k_1, k_2, ..., k_n$使得$k_1\alpha_1 +k_2\alpha_2 + ... + k_n\alpha_n = 0$且不全为零，则称向量组${\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n}$线性相关；如果只有当$k_1 = k_2 = ... = k_n = 0$时才有$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_n\alpha_n = 0$，则称向量组${\alpha_1, \alpha_2, ...,\alpha_n}$线性无关。

方法二，行列式的方法。

判断向量组线性相关的另一种常用方法是使用行列式。

对于给定的向量组${\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n}$，我们可以将其排列成一个矩阵$A = (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$，然后计算矩阵$A$的行列式$|A|$。

如果$|A| = 0$，则向量组${\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n}$线性相关；如果$|A| \neq 0$，则向量组${\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n}$线性无关。

方法三，秩的方法。

判断向量组线性相关的第三种方法是使用矩阵的秩。

对于给定的向量组${\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n}$，我们可以将其排列成一个矩阵$A = (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$，然后计算矩阵$A$的秩$r$。

向量组的线性相关性的判定摘 要：向量组的线性相关性是线性代数中的一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其它许多理论.本文利用线性相关性的定义，行列式的值，矩阵的秩，齐次线性方程组的解，弗朗斯基判别法等知识对向量组的线性相关性进行了判定，并比较了几种不同判定方法的适用条件.关键词：向量组；线性相关；行列式引言向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用.线性相关性这个概念在许多数学专业课程中都有体现，如微分几何，高等代数和偏微分方程等等.它是线性代数理论的基本概念，它与向量空间(包括基，维数），子空间等概念有密切关系，同时在微分几何以及偏微分方程中都有广泛的应用.因此，掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义，也是解决其它问题的重要理论依据.向量组的线性相关与线性无关判定方法是非常灵活的.本文参考文献[2]介绍了线性相关的定义及其性质，并给出了证明.文献[1]、[3]、[4]、[5]则是介绍了关于向量组线性相关判定的几种方法，给出了证明并举出了几个例子.本文从线性相关性的定义出发，分别运用了定义法、线性关系、向量空间的性质、矩阵的秩、行列式的值、反证法、线性变换的性质等几种方法对向量组的线性相关性进行了判定.如果向量组是函数，那么可用弗朗斯基判别法判定.特别是反证法，线性变换的性质，弗朗斯基判别法运用于一些复杂和特殊的题目，是比较方便的.1.向量组线性相关性的相关定义及性质定义 1.1]1[ 定义在P 上的线性空间V ，对于给定的一组向量12,,,n x x x ,如果存在n 个不全为0的数12,,,n λλλ，使得11220n n x x x λλλ+++=.那么称12,,,n x x x 是线性相关的.否则称12,,,n x x x 是线性无关的.性质1.1 若12,,,n x x x 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示.证明 )⇒若这n 个向量线性相关，那么11220n n x x x λλλ+++=，其中i λ不全为0，不妨设0i λ≠，那么可解得11ni n iix x x λλλλ=---. 所以该结论是成立的.)⇐如果其中一个向量可由其余向量线性表示，那么这n 个向量是线性相关的.这是因为如果设11221111i i i i i n n x k x k x k x k x k x --++=+++++，那么移项得11221111()0i i i i n n i k x k x k x k x k x x --+++++++++-=.显然，i x 的系数为-1，那么由线性相关的定义知，这n 个向量是线性相关的. 性质1.2 含有零向量的向量组必是线性相关的.性质1.3 单个向量线性相关的充要条件是这个向量是零向量. 性质1.4 若向量组12,,,n ααα线性无关，12,,,,n αααβ线性相关，那么β可由12,,,n ααα线性表示.性质1.5 如果向量组12,,,m βββ的部分组 线性相关，那么12,,,n βββ也一定是线性相关的.即部分组线性相关，则整体线性相关.向量组的线性相关与线性无关的概念也可应用于线性方程组.当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，那么称方程组是线性相关的.反之，它们是线性无关的.2.向量组线性相关性的判定方法2.1 定义法定义法是判定向量组的线性相关性的最基本的方法.对给定的n 个向量12,,,n x x x ，只需令11220n n x x x λλλ+++=.根据题中的条件去求12,,,n λλλ即可.当12,,,n λλλ不全为0时，12,,,n x x x 是线性相关的.当12,,,n λλλ全为0时，12,,,n x x x 是线性无关的.例1 设123,,ααα线性无关，证明122331,,αααααα+++也线性无关. 证明 设对于任意的123,,k k k ，有112223331()()()0k k k αααααα+++++=.整理得131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=.由于123,,ααα线性无关，得 解得所以122331,,αααααα+++也线性无关.例2 设21,1,1[]n x x P x ++∈，判断它们的线性相关性. 解 设123,,k k k P ∈，令2123(1)(1)0k k x k x ++++=，整理得212323()0k k k k x k x ++++=,所以有 解得1230k k k ===.从而21,1,1x x ++是线性无关的. 2.2 利用向量空间的性质进行判定利用向量组的线性相关性的性质也可以判定很多题目.例3 判断1231010,2,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的相关性.证明 由题意可得31212ααα=+，那么由性质1.1知，123,,ααα是线性相关的.这种判定方法适用于具体的题目，一般不用于理论分析. 定理2.2.2 n 维向量空间中任意1n +个向量是线性相关的. 例4 设V 是P 上的线性空间，σ是V 上的线性变换.证明22,,,n σσσ是线性相关的.证明 设()L V 是V 上所有的线性变换组成的集合，()L V 关于线性变换的加法和数乘运算构成一个向量空间.而()L V 的维数为2n ，又因为22,,,()n L V σσσ∈，所以由定理22,,,n σσσ从上面的例题可以看出，运用线性相关性的性质判断相关性是比较方便的，因此熟练地掌握线性相关性的性质显得尤其重要. 2.3 利用齐次线性方程组的解进行判定在应用定义法解一个齐次线性方程组时，需由该方程组的解去判定这个向量组的相关性.即用定义法的同时也应用了齐次线性方程组的解进行了判定.一般地，要判断一个向量组 是否线性相关就是看方程11220n n x x x ααα+++= （1）有无非零解.从这里可以看出，如果向量组线性无关，那么在每一个向量上添加一个分量得到的1n +维的向量组121(,,,,)i i i in in a a a a β+=也是线性无关的.把（1）写出来就是1112121121222211220,0,0.n n n n n n n nn x a x a x a x a x a x a x a x a x a +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （2）,因之，（1）线性相关的充要条件是（2）有非零解[2].因此具体判断一个向量组是线性还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.例5 设123(1,1,1),(2,1,2),(1,2,1)x x x =-=-=--,试判断它们是否线性相关. 解 令1122330k x k x k x ++=.即 解得故123,,x x x 是线性无关的.2.4 利用矩阵的秩判定向量组的线性相关性定理2.4.1 设向量组12,,,m ααα是由m 个n 维列向量所组成的向量组，则向量组12,,,m ααα的线性相关性可由该向量组所构成的矩阵的秩来决定[3]. （1）若()R A m =, 12,,,m ααα是无关的;（2）若()R A m <，那么12,,,m ααα就是相关的.定理 2.4.2[4] 设B 是阶梯型矩阵，矩阵A 经过一系列的行消法变换之后得到B ，即12...T T T T m A B ααα⎛⎫⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.那么n 元向量组12,,,m ααα线性相关的充要条件是矩阵B 中出现零行..推论[6] 向量组12,,,m ααα线性无关的充要条件是矩阵B 中不出现零行.对矩阵T A 进行初等行变换化为阶梯型矩阵B 的过程，实质上是对12,,,m ααα进行行向量的线性运算.如果B 中出现零行，那么12,,,m ααα中一定有某个向量能被其余的1m -个向量线性表示，即12,,,m ααα线性相关.相反地，若B 中无零行，那么可知12,,,m ααα是线性无关的.例 6 判断向量组123(1,3,4,6,2),(2,4,5,3,2),(4,6,7,8,3)βββ=-=-=-的相关性.解 将123,,βββ以行排成矩阵，且经过一系列行消法变换，即1231346213462245320229246783003111A βββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由于矩阵A 化为阶梯型之后没有出现零行，所以它们线性无关.例7 设124(2,1,2,2,4),(1,1,1,0,2),(0,1,2,1,1),(1,1,1,1,1),(1,2,1,1,1)ααααα=-=-=-=----=３５，试判断它们的线性相关性并求它们的一个极大无关组.解 将,ααααα１２34５，，，写成列向量，拼成一个矩阵，并进行初等行变换，将此矩阵化为阶梯型.所以,ααααα１２34５，，，是线性相关的，从最后一个矩阵可以看出，123,,ααα为向量组的一个极大无关组.本方法把对向量组相关性的判别方法转化为矩阵的初等行变换，简单易懂.但该方法只适用于对n P 中的向量组进行判定，有很大的局限性. 2.5 利用行列式的值来判定向量组的线性相关性定理2.5.1 如果向量组12,,,n ααα是由n 个n 维列向量所组成的向量组，且向量组所构成的矩阵12,,(),n A ααα=，也就是说，A 为n 阶方阵，那么 （1)若0A =，则向量组12,,,n ααα是线性相关的；（2)若0A ≠，则向量组12,,,n ααα是线性无关的.例8 已知1231211,3,4142ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,试讨论它们的线性相关性.证明 由于1210135005==--，所以123,,ααα线性无关.行列式的值的判定性质实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解，然后再对向量组的线性相关性作出判定.但是该方法的局限性在于只有符合向量组的个数和单个向量的分量个数相等的条件时才用此法. 2.6 反证法在有些题目中，直接的给出证明结论往往比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知的定义，定理，公里相悖的结果，从而说明原结论成立.例9 设向量组12,,,n ααα中任一向量不是它前面向量的线性组合，且10α≠，证明向量组12,,,n ααα是线性无关的.证明 如果此向量组线性相关，则存在不全为0的n 个数，使得11220n n k k k ααα+++=.假设0n k ≠,那么由上式可得112121n n n n nnk k kk k k αααα--=----. 即可由它前面1n -个向量线性表示，.故与题设矛盾，所以 且1122110n n k k k ααα--+++=.同理可得1220n n k k k --====，所以有110k α=.由于10α≠，所以10k =，即120n k k k ====.这与i k 不全为0相矛盾.所以该向量组是线性无关的. 2.7 利用线性变换的性质进行判定引理 2.7.1 设V 是数域P 上的线性空间，σ是V 上的一个线性变换，12,,,n V ααα∈，若12,,,n ααα线性相关，则12(),(),,()n σασασα也是线性相关的.证明 由于12,,,n ααα线性相关，那么存在不全为0的数12,,,n k k k 使得11220n n k k k ααα+++=.由于σ是V 上的线性变换，那么有1122()0n n k k k σααα+++=.即1122()()()0n n k k k σασασα+++=.因此，12(),(),,()n σασασα是线性相关的.但是该定理反过来不一定成立.即12(),(),,()n σασασα线性相关，12,,,n ααα并不一定也是线性相关的.若σ为零变换，假设12,,,n ααα是线性无关的，零变换把12,,,n ααα全部变成零向量，它们是线性相关的，从而满足该条件，但是12,,,n ααα是线性无关的.推论 设V 是数域P 上的线性空间，σ是V 上的一个线性变换，若12(),(),,()n σασασα是线性无关的，那么12,,,n ααα也是线性无关的.定理2.7.1 设V 是数域P 上的线性空间，σ是V 上的一个线性变换，且σ是V 中可逆的线性变换,线性空间V 中的向量组12,,,n ααα线性相关的充要条件是它们的象12(),(),,()n σασασα线性相关.证明 )⇒若12,,,n ααα线性相关，则存在不全为0的数12,,n k k k ，使得11220n n k k k ααα+++=.那么1221)))0(((n n k k k σαασσα+++=.所以12),),(,)((n σσσααα是线性相关的.)⇐若12),),(,)((n σσσααα线性相关，则存在不全为0的数12,,n k k k ，使得1221)))0(((n n k k k σαασσα+++=，由于σ是可逆的，那么有1122()0n n k k k σααα+++=，从而11220n n k k k ααα+++=.所以12,,,n ααα也是线性相关的.综上所述，该定理是成立的. 2.8 运用弗朗斯基判别法进行判定如果向量组是由函数组成的话该怎么判定呢？而弗朗斯基判别法主要是判定多项式的相关性的. 定理 设(),(),(),()f x g x h x w x 是n 个1n -次可导的函数，若''''(1)(1)(1)(1)()()()...()()()()...()0...............()()()...()n n n n f x g x h x w x f x g x h x w x f x g x h x w x ----≠，则(),(),(),...()f x g x h x w x 就是线性无关的.例10 判断1,cos ,sin x x 的相关性.解 可以用弗朗斯基判别法进行判别.具体判断如下; 因为1cos sin 0sin cos 100cos sin x xxx x x-=-≠--，所以它们是线性无关的.运用弗朗斯基判别法的一个缺点就是所要判定的函数必须具有高阶的导数才能判定，缺少了这个条件是不能判定的. 结束语本文主要对向量组线性相关性的定义以及性质进行了分析，并且给出了一些判定方法，由于向量组的线性相关性是一个基础和重点问题，仅限于这些讨论是远远不够的，还有待我们作进一步的研究.参考文献[1]杨燕新，王文斌.关于向量组线性相关的几种判定[J].山西农业大学学报， 2005（8151）：292-294.[2]罗秀芹，董福安，郑铁军.关于向量组的线性相关性的学习探讨[J].高等数学研究，2005（9）：18-19.[3]李先富，胡劲松.判断向量组线性相关性的另一种方法[J].四川理工学院学报（自然科学版），2005（9）：94-95.[4]肖艾平.向量组线性相关性的几种判定方法[J].伊犁师范学报（自然科学版），2008（3）：58-59.[5]栾召平.证明向量组线性相关性的几种方法[J].山东电大学报，2002（2）：61-62 [6]张文彬，余建坤.利用初等变换求极大线性无关组[J].云南民族学院学报（自然科学版），2003（1）：12-15.[7]同济大学应用数学系.线性代数[J].北京：高等教育出版社，2004.89：[8]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].（第2版）北京：高等教育出版社，1988,271：[9]王洪林，王春梅.相同的线性相关性在线性代数中的应用[J].河北工程技术高等专科学校学报，2001（1）：43-45.[10]彭立新，将熟练.单参变量向量组线性相关性的一个判定条件[J].荆门职业技术学院学报，2009（1）：92-96.。

向量组线性相关按定义方式的判定：向量组s ααα,,,21L 线性相关的充要条件是：存在一组不全为零的数s k k k ,,,21L 使1122s s k k k o ααα+++=L ．向量组线性无关按定义方式的判定：向量组s ααα,,,21L 线性无关的充要条件是：对于任意一组数s k k k ,,,21L 只要1122s s k k k o ααα+++=L ，则必021====s k k k L ．对于一个向量线性关系的判定：一个向量α线性相关o α⇔=；一个向量α线性无关o α⇔≠．命题3. 1：若向量组有一个部分组线性相关，则它线性相关．证明：不妨设s r αααα,,,,,21L L 的部分组r ααα,,,21L 线性相关，由定义，有不全为零的数r k k k ,,,21L 使 1122r r k k k o ααα+++=L ．于是有1122100r r r s k k k o ααααα+++++++=L L而0,,0,,,,21L L r k k k 仍是一组不全为零的数，故12,,,s αααL 线性相关． □ 推论：(1) 含有零向量的向量组必线性相关；(2) 线性无关向量组的任一部分组也线性无关．定理 3. 2 向量组s ααα,,,21L （2≥s ）线性相关的充分必要条件是其中有一个向量可被其余向量线性表出．证明：必要性．设s ααα,,,21L 线性相关，则有不全为零的一组数s k k k ,,,21L 使1122s s k k k o ααα++=L不妨设 01≠k ，于是s s k k k k ααα)()(12121−++−=L ． 充分性. 不妨设1α可被其它向量线性表出，即有一组数s k k k ,,,32L 使s s k k k αααα+++=L 33221于是，122(1)s s k k o ααα−+++=L ，这里()1−，2k ，s k ,L 不全为零，因而向量组s ααα,,,21L 线性相关． □ 定理3. 3 设向量组r ααα,,,21L 线性无关，βααα,,,,21r L 线性相关，则β可被r ααα,,,21L 线性表出，且表出系数惟一．证明: 存在一组不全为零的数l k k k r ,,,,21L 使得1122r r k k k l o αααβ++++=L若0=l ，则1122r r k k k o ααα+++=L ⇒021====r k k k L 与这组数不全为零相矛盾．故0≠l ，于是有1212()()()r r kk k l l lβααα=−+−++−L ． 表出系数惟一性的证明请读者完成． □设有向量组：()n a a a 112111,,,L =α，()n a a a 222212,,,L =α，K ，()12,,,s s s sn a a a α=L在每一个向量的后面再添加上一维分量，得到如下新的向量组：()()111111211:,,,,,n b b βαααα==L ，()()222212222:,,,,,n b b βαααα==L ，K ，()()12:,,,,,s s s s s sn s b b βαααα==L向量组s βββ,,,21L 叫做向量组s ααα,,,21L 的加长向量组．这里是添加了一维的情况，也可以添加若干维，并且新添加的分量也不仅仅限于最后．可以在第1维的前面加长，也可以在第1维与第2维之间加长等等，所有这些通过添加分量所得到的新向量组都叫做原向量组的加长向量组． 命题3. 4 线性无关向量组的加长向量组也是线性无关．证明：只证在每一向量的最后加长1维的情况，其它加长情况的证明是一样的．设s ααα,,,21L 线性无关，其加长向量组为()()()s s s b b b ,,,,,,222111αβαβαβ===L ．考虑线性组合1122s s x x x o βββ+++=L即()()()11112222,,,s s s s x x b x x b x x b oααα+++=L ，亦即 11(,)s si i i i i i x x b o α===∑∑，从而有1122s s x x x o ααα+++=L 由于s ααα,,,21L 线性无关，故 021====s x x x L ，因而12,,,s βββL 线性无关．。

线性代数3.3向量组线性相关性的判别定理线性代数是数学中的一个分支，它研究向量空间和线性映射等代数结构的性质和规律。

在线性代数中，向量组的线性相关性是一项基本概念。

本文将介绍向量组线性相关性的判别定理。

在数学中，如果存在一组非零向量$\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n$以及一组不全为零的标量$k_1,k_2,\cdots,k_n$，使得向量组的线性相关性判别定理是指，存在一个简单的方法，可以判断一个向量组是否是线性相关的。

推论：零向量不参与线性相关性的判断但是，如果向量组中包含了零向量，那么零向量不参与线性相关性的判断。

因为任何向量与零向量的线性组合都等于零向量，所以如果向量组中包含了零向量，只有当其他向量出现线性相关性时，才能称向量组是线性相关的。

证明：因为$k_1,k_2,\cdots,k_n$中至少有一个不为零，不妨设$k_1$不为零。

则有因此，向量$\boldsymbol{v}_1$可以表示为其余向量的线性组合。

$$\boldsymbol{v}_i=k_1\boldsymbol{v}_1+k_2\boldsymbol{v}_2+\cdots+k_{i-1}\bold symbol{v}_{i-1}+k_{i+1}\boldsymbol{v}_{i+1}+\cdots+k_n\boldsymbol{v}_n$$将上式代入得到总结向量组的线性相关性是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的秩、行列式、特征值等有密切的关联。

在实际应用中，判断向量组的线性相关性是很有用的，例如在计算机图形学、信号处理、机器学习等领域中，经常需要对向量组进行操作和分析。

通过本文所介绍的向量组线性相关性的判别定理，我们可以更方便地应用向量空间理论解决实际问题。

向量线性相关判断方法总结向量线性相关判断方法总结向量的相关知识，是线性代数中较为抽象的部分，向量线性相关与线性无关的判定方法多，性质多，定理多，需要大家注重总结、认真梳理。

下面是小编为你带来的向量线性相关判断方法总结，欢迎阅读。

向量（数学用语）在数学中，几何向量（也称为欧几里得向量，通常简称向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。

与之对应的只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中称标量）向量可以形象化地表示为带箭头的线段。

箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。

向量的记法：印刷体记作粗体的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头→。

[1]如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。

给空间设一直角坐标系，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

而在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。

许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的.力等等。

与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。

一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。

此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。

因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。

不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

向量线性相关和线性无关的判断。

抽象向量组线性相关性的判定与证
明
抽象向量组线性相关性的判定与证明是一个非常重要的数学问题，它可以帮助我们在多维空间中找到特征和关系。

它能够有效地应用于多种不同类型的数据分析，包括图像处理、信号处理和数据挖掘。

抽象向量组线性相关性的判定与证明涉及许多相关的数学原理和方法，包括线性代数、矩阵分解、优化理论和凸优化等。

判定两个向量组之间是否存在线性关系的基本思想就是通过比较它们之间的“相关系数”来确定。

一般来说，判断两个向量组之间是否存在线性关系，要先将它们投影到一个相同的基础向量空间上，然后计算这两个向量组的“相关系数”。

如果相关系数的大小满足一定的条件，则可以判断出它们之间存在线性关系。

抽象向量组线性相关性的证明，需要借助相关矩阵的性质，即具有单位特征值的对称正定矩阵也是一个半正定矩阵。

在这种情况下，相关矩阵的特征值必须大于等于0，而且特征向量必须正交，这样才能保证两个向量组之间存在线性关系。

此外，还可以使用线性最小二乘法来求解向量组之间的线性关系。

该方法可以用来拟合多元线性函数，以最小化平方差，从而求解出最佳拟合参数。

通过对比拟合参数的大小，可以得出线性关系的判定结果。

最后，抽象向量组线性相关性的证明还可以通过引入Hilbert-Schmidt秩定理来完成。

Hilbert-Schmidt秩定理可以用来证明任意矩阵的特征值和特征向量的有序性，这是抽象向量组线性相关性的证明的重要准则之一。

总之，抽象向量组线性相关性的判定与证明是一个复杂的问题，涉及到许多数学原理和方法，但其正确的判断和证明对于研究多维空间中特征和关系具有重要的意义。