2.3 线性相关和线性无关

线性相关与线性无关线性相关和线性无关是线性代数中重要的概念，它们描述了向量之间的关系以及它们在空间中的位置和方向。

在本文中，我们将探讨线性相关和线性无关的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。

1. 定义线性相关是指存在一组非全零系数，使得这组向量的线性组合等于零向量。

换句话说，如果存在不全为零的常数c1、c2、…、cn，使得c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0，则称向量组{v1, v2, …, vn}是线性相关的。

而线性无关则是指不存在一组非全零系数，使得这组向量的线性组合等于零向量。

简而言之，如果c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0只有当c1= c2 = … = cn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, …, vn}是线性无关的。

2. 性质线性相关和线性无关有一些重要的性质。

2.1 线性相关性的传递性如果向量组{v1, v2, …, vn}中的某个向量可以由其余向量线性表示，那么这个向量组是线性相关的。

具体而言，如果存在c1、c2、…、cn-1，使得vn = c1v1 + c2v2 + … + cn-1vn-1，则这个向量组是线性相关的。

2.2 仅有一个向量的向量组是线性无关的只含一个向量的向量组肯定是线性无关的。

因为要使c1v1 = 0成立，必须令c1 = 0。

2.3 子集的线性相关性如果向量组{v1, v2, …, vn}是线性相关的，那么它的任意子集也是线性相关的。

这是因为如果向量组中的向量可以线性表示成零向量，那么删除其中的向量后，仍然可以通过相同的系数得到零向量。

3. 应用线性相关和线性无关在实际问题中具有广泛的应用。

3.1 线性方程组的解的个数对于一个包含n个未知数和m个线性方程的线性方程组，如果系数矩阵的秩等于扩展矩阵的秩，那么方程组的解存在且唯一。

换句话说，如果方程组的系数向量是线性无关的，那么方程组有唯一解。

3.2 判断向量空间的维数对于一个向量空间，其中向量组的线性无关的最大个数称为该向量空间的维数。

高中数学中的向量线性相关与线性无关在高中数学学习中，向量是一个非常重要的概念。

而在向量的研究中，线性相关与线性无关是一个基础而又关键的概念。

本文将探讨高中数学中的向量线性相关与线性无关的概念及其应用。

一、向量的线性相关与线性无关的定义在向量的研究中，我们经常会遇到多个向量同时出现的情况。

而这些向量之间的关系可以分为线性相关和线性无关两种情况。

1. 线性相关如果存在一组不全为零的实数$k_1,k_2,…,k_n$，使得向量$v_1,v_2,…,v_n$满足以下关系：$k_1v_1+k_2v_2+…+k_nv_n=0$其中，$0$表示零向量。

那么我们称向量$v_1,v_2,…,v_n$线性相关。

2. 线性无关如果不存在一组不全为零的实数$k_1,k_2,…,k_n$，使得向量$v_1,v_2,…,v_n$满足以上关系，那么我们称向量$v_1,v_2,…,v_n$线性无关。

二、线性相关与线性无关的几何意义线性相关与线性无关的概念在几何上有着重要的意义。

我们以二维向量为例进行说明。

假设有两个非零向量$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$，我们可以将它们画在二维平面上。

如果这两个向量共线，即它们的方向相同或相反，那么它们是线性相关的。

反之，如果这两个向量不共线，即它们的方向不同，那么它们是线性无关的。

同样地，对于三维向量，我们可以将它们画在三维空间中。

如果多个向量共面，那么它们是线性相关的。

反之，如果多个向量不共面，那么它们是线性无关的。

三、线性相关与线性无关的应用线性相关与线性无关的概念在向量的运算中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 向量的线性组合线性相关的向量可以通过调整系数的大小，通过线性组合的方式得到零向量。

而线性无关的向量则不能通过线性组合得到零向量。

2. 坐标系的建立在坐标系的建立中，我们通常会选择线性无关的向量作为坐标轴。

这样可以保证坐标系的唯一性和准确性。

3. 向量的基与维数如果向量组中的向量线性无关，并且能够通过线性组合得到其他向量，那么我们称这组向量为基。

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§3.2性质定理总结：
一、线性相关的判别：
1、m ααα ,,21线性相关⇔存在不全为零的数m k k k ,,,21 ，使得1122m m k k k .ααα++=0
2、1α线性相关⇔1α=0.
3、12,αα线性相关⇔1α与2α的对应分量成比例.
4、α,1
5、n
6、α789、m 1、α23m ααα ,,2112m m 21示，且表示法唯一.
四、线性无关的性质：
1、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，且向量组Ⅰ线性无关，则Ⅰ的元素个数≤Ⅱ的元素个数.
2、等价线性无关向量组的向量个数相同.
五、向量组的秩的性质：
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1、矩阵A的秩等于A的行（列）向量组的秩.
A的不等于零的子式对应于A的行（列）向量组的线性无关组；
A的行（列）向量组的线性无关组对应于A的不等于零的子式.
2、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，则Ⅰ的秩≤Ⅱ的秩.
3、等价向量组的秩相同.。

线性相关性与线性无关性线性相关性和线性无关性是线性代数中的两个基本概念，它们在向量空间和矩阵运算中有着重要的应用。

本文将介绍线性相关性和线性无关性的概念、判定条件以及相关性质。

一、线性相关性的概念和判定条件1. 线性相关性的概念线性相关性是指在向量空间中存在一种非零的线性组合，使得线性组合的系数不全为零。

换句话说，若存在一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，存在不全为零的实数k₁, k₂, ..., kₙ，使得k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₙxₙ = 0，则称这组向量线性相关。

2. 线性相关性的判定条件线性相关性的判定条件是通过求解线性方程组来完成的。

对于一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，构造一个齐次线性方程组Ax = 0，其中A = [x₁, x₂, ..., xₙ]表示向量组，x表示向量。

若齐次线性方程组有非零解，则这组向量线性相关；若齐次线性方程组只有零解，则这组向量线性无关。

二、线性无关性的概念和判定条件1. 线性无关性的概念线性无关性是指在向量空间中不存在非零的线性组合使得线性组合的系数全为零。

换句话说，若存在一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，当且仅当线性组合的系数全为零时，才有k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₙxₙ = 0，则称这组向量线性无关。

2. 线性无关性的判定条件线性无关性的判定条件是通过构造一个齐次线性方程组来完成的。

对于一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，构造一个齐次线性方程组Ax = 0，其中A = [x₁, x₂, ..., xₙ]表示向量组，x表示向量。

若齐次线性方程组只有零解，则这组向量线性无关；若齐次线性方程组有非零解，则这组向量线性相关。

三、线性相关性和线性无关性的性质1. 线性相关性和线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。

当一组向量线性相关时，它们线性无关；当一组向量线性无关时，它们线性相关。

2023大学线性代数课后答案大学线性代数内容简介第一章矩阵与行列式1.0 预备知识1.0.1 集合1.0.2 数集1.0.3 数域1.0.4 求和号1.1 线性型和矩阵概念的引入1.1.1 矩阵的定义1.1.2 常用矩阵1.2 矩阵的运算1.2.1 矩阵的线性运算1.2.2 矩阵的乘法1.2.3 方阵的幂与方阵多项式1.3 方阵的行列式1.3.1 行列式的递归定义1.3.2 排列1.3.3 行列式的等价定义1.4 行列式的'基本性质1.4.1 转置行列式1.4.2 行线性性1.4.3 行列式的初等变换1.5 Laplace定理1.5.1 子式余子式代数余子式1.5.2 Laplace定理1.5.3 行列式的按行展开与按列展开 1.5.4 方阵乘积的行列式1.6 行列式的计算1.6.1 三角化1.6.2 降阶法与镶边法1.6.3 归纳与递推1.7 可逆矩阵1.7.1 可逆矩阵1.7.2 矩阵可逆的条件1.7.3 逆矩阵的求法1.8 分块矩阵1.8.1 矩阵的分块1.8.2 分块矩阵的运算1.8.3 分块对角矩阵习题一第二章线性方程组理论2.1 解线性方程组的消元法2.1.1 线性方程组的矩阵形式2.1.2 线性方程组的初等变换2.1.3 梯矩阵和简化梯矩阵2. 2向量空间Kn2.2.1 向量空间Kn及其运算性质2.2.2 子空间2.3 向量组的秩2.3.1 线性组合、线性方程组的向量形式 2.3.2 线性相关与线性无关2.3.3 极大线性无关组、向量组的秩2.4 矩阵的相抵标准形2.4.1 初等矩阵和矩阵的初等变换2.4.2 矩阵的秩2.5 Cramer法则2.5.1 Cramer法则2.5.2 求逆矩阵的初等变换法2.5.3 矩阵方程2.6 线性方程组解的结构2.6.1 线性方程组相容性判别准则2.6.2 齐次线性方程组的解空间2.6.3 非齐次线性方程组解的结构2.7 分块矩阵的初等变换2.7.1 分块矩阵的初等变换2.7.2 分块初等矩阵2.7.3 行列式和矩阵计算中的分块技巧习题二第三章相似矩阵3.1 方阵的特征值与特征向量3.1.1 方阵的特征值与特征向量3.1.2 特征值与特征向量的求法3.1.3 特征向量的性质3.2.1 矩阵相似的概念3.2.2 相似矩阵的性质3.3 矩阵相似于对角矩阵的条件3.3.1 矩阵相似于对角矩阵的条件3.3.2 特征值的代数重数和几何重数3.3.3 矩阵Jordan标准形3.4 方阵的最小多项式3.4.1 方阵的化零多项式3.4.2 最小多项式3.4.3 最小多项式与方阵相似于对角矩阵的条件 3.5 相似标准形的若干简单应用3.5.1 行列式求值与方阵求幂3.5.2 求与给定方阵可交换的方阵习题三第四章二次型与对称矩阵4.1 二次型及其标准形4.1.1 二次型及其矩阵表示4.1.2 二次型的标准形4.1.3 实对称矩阵的合同标准形4.2 惯性定理与二次型分类4.2.1 惯性定理4.2.2 二次型的分类4.3 正定二次型4.3.1 正定二次型4.3.2 二次型正定性判别法4.4 正交向量组与正交矩阵4.4.1 向量的内积4.4.2 正交向量组4.4.3 正交矩阵4.5 实对称矩阵的正交相似标准形4.5.1 实对称矩阵的特征值和特征向量 4.5.2 实对称矩阵的正交相似标准形 4.5.3 用正交替换化二次型为标准形习题四第五章线性空间与线性变换5.1 线性空间的概念5.1.1 线性空间的定义5.1.2 线性空间的简单性质5.1.3 线性子空间5.2 线性空间的同构5.2.1 基底，维数与坐标5.2.2 基变换与坐标变换5.2.3 线性空间的同构5.3 欧氏空间5.3.1 欧氏空间的定义与基本性质5.3.2 标准正交基5.3.3 欧氏空间的同构5.4 线性变换5.4.1 线性变换的概念与运算5.4.2 线性变换的性质5.5 线性变换的矩阵5.5.1 线性变换在给定基下的矩阵5.5.2 线性变换在不同基下矩阵间的关系习题五索引参考文献大学线性代数目录《大学数学线性代数》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材“大学数学”系列教材之一，秉承上海交通大学数学基础课程“基础厚、要求严、重实践”的特点编写而成。

线性相关性与线性无关性线性相关性和线性无关性是线性代数中重要的概念，用于描述向量之间的关系。

本文将介绍线性相关性和线性无关性的定义、性质以及它们在矩阵和向量运算中的应用。

一、线性相关性的定义在向量空间中，如果存在一组非零向量，其中至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合，那么我们称这组向量是线性相关的。

换言之，如果存在实数$c_1, c_2, ..., c_n$，使得$c_1\mathbf{v_1} +c_2\mathbf{v_2} + ... + c_n\mathbf{v_n} = \mathbf{0}$，其中$\mathbf{v_i}$是向量集合中的向量，且至少存在一个$c_i$不为零，则这组向量是线性相关的。

二、线性无关性的定义与线性相关性相反，如果一组向量中的任意一个向量都不能表示为其他向量的线性组合，那么我们称这组向量是线性无关的。

换言之，如果仅当$c_1 = c_2 = ... = c_n = 0$时，$c_1\mathbf{v_1} +c_2\mathbf{v_2} + ... + c_n\mathbf{v_n} = \mathbf{0}$，其中$\mathbf{v_i}$是向量集合中的向量，则这组向量是线性无关的。

三、线性相关性与线性无关性的性质1. 若向量组中有一个零向量，则向量组线性相关。

2. 若向量组中的向量个数少于向量的维数，则向量组线性相关。

3. 若向量组中的向量个数多于向量的维数，则向量组线性无关。

4. 若向量组中的向量组成的矩阵的行数大于列数，则向量组线性相关。

5. 若向量组中的向量组成的矩阵的行数小于列数，则向量组线性无关。

四、线性相关性与线性无关性的应用线性相关性和线性无关性在矩阵和向量运算中有广泛的应用。

1. 判断向量组的线性相关性与线性无关性可以通过求解线性方程组$c_1\mathbf{v_1} + c_2\mathbf{v_2} + ... + c_n\mathbf{v_n} = \mathbf{0}$，其中$\mathbf{v_i}$是向量集合中的向量，判断一组向量的线性相关性或线性无关性。

向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合;备注1按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭;这样的表示是有好处的; 2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈,如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得 则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示;1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式,即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭;因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解,而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅; 3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示;如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组是等价的;向量组等价的性质：1 自反性 任何一个向量组都与自身等价;2 对称性 若向量组I 与II 等价,则向量组II 也与I 等价;3 传递性 若向量组I 与II 等价,向量组II 与III 等价,则向量组I 与III 等价; 证明：自反性与对称性直接从定义得出;至于传递性,简单计算即可得到; 设向量组I 为12,,,r a a a ⋅⋅⋅,向量组II 为12,,,s b b b ⋅⋅⋅,向量组III 为12,,,t c c c ⋅⋅⋅;向量组II 可由III 线性表示,假设1tj kj k k b y c ==∑,1,2,,j s =⋅⋅⋅;向量组I 可由向量组II 线性表示,假设1si ji j j a x b ==∑,1,2,,i r =⋅⋅⋅;因此,11111()s s t t si ji j ji kj k kj ji k j j k k j a x b x y c y x c ========∑∑∑∑∑,1,2,,i r =⋅⋅⋅因此,向量组I 可由向量组III 线性表示;向量组II 可由I 线性表示,III 可由II 线性表示,按照上述办法再做一次,同样可得出,向量组III 可由I 线性表示;因此,向量组I 与III 等价;结论成立 4.线性相关与线性无关设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,如果存在不全为零的数12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得 则称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关,否则,称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关;按照线性表示的矩阵记法,12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关即齐次线性方程组 有非零解,当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅<;12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关,即 只有零解,当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅=;特别的,若t n =,则12,,,n n a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关当且仅当12(,,,)n r a a a n ⋅⋅⋅=,当且仅当12(,,,)n a a a ⋅⋅⋅可逆,当且仅当12(,,,)0n a a a ⋅⋅⋅≠;例1. 单独一个向量n a R ∈线性相关即0a =,线性无关即0a ≠;因为,若a 线性相关,则存在数0k ≠,使得0ka =,于是0a =;而若0a =,由于10a a ⋅==,10≠因此,a 线性相关;例2. 两个向量,n a b R ∈线性相关即它们平行,即其对应分量成比例;因为,若,a b 线性相关,则存在不全为零的数12,k k ,使得120k a k b +=;12,k k 不全为零,不妨假设10k ≠,则21k a b k =-,故,a b 平行,即对应分量成比例;如果,a b 平行,不妨假设存在λ,使得a b λ=,则0a b λ-=,于是,a b 线性相关;例3.1000,1,0001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关,且任意1323x x x R x ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭都可以由其线性表示,且表示方法唯一;事实上,5.线性相关与无关的性质1 若一向量组中含有零向量,则其必然线性相关; 证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,其中有一个为零,不妨假设0t a =,则 因此,12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关;2 若一向量组线性相关,则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关；若一向量组线性无关,则其任意部分向量组仍然线性无关; 证明：设1212,,,,,,,n t s a a a R βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关;存在不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅,使得这样,12,,,t k k k ⋅⋅⋅不全为零,因此,1212,,,,,,,t s a a a βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅线性相关;后一个结论是前一个结论的逆否命题,因此也正确;3 若一个向量组线性无关,在其中每个向量相同位置之间增添元素,所得到的新向量组仍然线性无关; 证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈为一组线性无关的向量;不妨假设新的元素都增加在向量最后一个分量之后,成为1212,,,t t a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,12,,,t b b b ⋅⋅⋅是同维的列向量;令则11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=;由向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关,可以得到120t k k k ==⋅⋅⋅==;结论得证4 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示; 证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈为一组向量;必要性 若12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关,则存在一组不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅,使得12,,,t k k k ⋅⋅⋅不全为零,设0j k ≠,则充分性 若12,,,t a a a ⋅⋅⋅中某个向量可以表示成其余向量的线性组合,假设ja 可以表示成111,,,,,j j t a a a a -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅的线性组合,则存在一组数111,,,,,j j t k k k k -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅,使得 也就是但111,,,1,,,j j t k k k k -+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅不全为零,因此,12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关;备注2请准确理解其意思,是其中某一个向量可以由其余向量线性表示,而不是全部向量都可以;5 若12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关,n b R ∈,使得12,,,,t a a a b ⋅⋅⋅线性相关,则b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示,且表示方法唯一;证明：12,,,,t a a a b ⋅⋅⋅线性相关,因此,存在不全为零的数121,,,,t t k k k k +⋅⋅⋅,使得 10t k +≠,否则10t k +=,则11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=;由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关,我们就得到120t k k k ==⋅⋅⋅==,这样,121,,,,t t k k k k +⋅⋅⋅均为零,与其不全为零矛盾这样, 因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示;假设11221122t t t t b x a x a x a y a y a y a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+,则 由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关,有11220t t x y x y x y -=-=⋅⋅⋅=-=,即 因此,表示法唯一;备注3 刚才的证明过程告诉我们,如果向量b 可由线性无关向量组1,,t a a ⋅⋅⋅线性表示,则表示法唯一;事实上,向量b 可由线性无关向量组1,,t a a ⋅⋅⋅线性表示,即线性方程组1(,,)t a a x b ⋅⋅⋅=有解;而1,,t a a ⋅⋅⋅线性无关,即1(,,)t r a a t ⋅⋅⋅=;因此,若有解,当然解唯一,即表示法唯一;6 若线性无关向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则t s ≤; 证明：假设结论不成立,于是t s >;12,,,t a a a ⋅⋅⋅可由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示;假设112111112121121(,,,)s s s s x x a x b x b x b b b b x ⎛⎫ ⎪ ⎪=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭, 122221212222122(,,,)s s s s x x a x b x b x b b b b x ⎛⎫ ⎪ ⎪=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭, ……………………………………………………….12112212(,,,)t t t t t st s s st x x a x b x b x b b b b x ⎛⎫ ⎪ ⎪=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭, 任取12,,,t k k k ⋅⋅⋅,则由于111212122212t t s s st x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为一个s t ⨯阶矩阵,而t s >,因此,方程组必有非零解,设为12t k kk ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,于是11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=;因此,存在一组不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅,使得11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=;因此,向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关,这与向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关矛盾因此,t s ≤;7 若两线性无关向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则t s =; 证明：由性质6,t s ≤,s t ≤,因此,s t =;备注4等价的线性无关向量组所含向量个数一样;8 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,P 为n 阶可逆矩阵,则12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关当且仅当12,,,t Pa Pa Pa ⋅⋅⋅线性无关;b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示,当且仅当Pb 可由 12,,,t Pa Pa Pa ⋅⋅⋅线性表示;若可以线性表示,表示的系数不变;证明：由于P 可逆,因此 如此,结论得证 6.极大线性无关组定义1 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,如果存在部分向量组12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅,使得 1 12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性无关；2 12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示； 则称12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组;备注5 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为其极大线性无关组;按照定义,12,,,t a a a ⋅⋅⋅可由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示;但另一方面,12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅也显然可以由 12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示;因此,12,,,t a a a ⋅⋅⋅与12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅等价;也就是说,任何一个向量组都与其极大线性无关组等价;向量组的极大线性无关组可能不止一个,但都与原向量组等价,按照向量组等价的传递性,它们彼此之间是等价的,即可以相互线性表示;它们又都是线性无关的,因此,由之前的性质7,向量组的任意两个极大线性无关组含有相同的向量个数; 这是一个固定的参数,由向量组本身所决定,与其极大线性无关组的选取无关,我们称其为向量组的秩,即向量组的任何一个极大线性无关组所含的向量个数;备注6按照定义,向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关,充分必要条件即其秩为t ; 定义2设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,如果其中有r 个线性无关的向量12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅,但没有更多的线性无关向量,则称12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组,而r 为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的秩;备注7 定义2生动地体现了极大线性无关组的意义;一方面,有r 个线性无关的向量,体现了“无关性”,另一方面,没有更多的线性无关向量,又体现了“极大性”;备注8两个定义之间是等价的;一方面,如果12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性无关,且12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示,那么,12,,,t a a a ⋅⋅⋅就没有更多的线性无关向量,否则,假设有,设为12,,,s b b b ⋅⋅⋅,s r >;12,,,s b b b ⋅⋅⋅当然可以由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示,且还线性无关,按照性质6,s r ≤,这与假设矛盾另一方面,假设12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为12,,,t a a a ⋅⋅⋅中r 个线性无关向量,但没有更多的线性无关向量,任取12,,,t a a a ⋅⋅⋅中一个向量,记为b ,则12,,,,r i i i a a a b ⋅⋅⋅线性相关;按照性质5,b 可有12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示且表示方法唯一;备注9设向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅的秩为r ,则其极大线性无关向量组含有r 个向量;反过来,其中任何r 个线性无关向量所成的向量组也是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组;这从定义即可得到; 6.向量组的秩的矩阵的秩的关系称矩阵A 的列向量组的秩为A 的列秩,行向量组转置后所得到的列向量组的秩称为矩阵A 的行秩;定理1 任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩; 证明：设()m n ij A a R ⨯=∈,()r A r =;将其按列分块为12(,,,)n A a a a =⋅⋅⋅;存在m 阶可逆矩阵P ,使得PA 为行最简形,不妨设为100010,,,001000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关,且PA 中其余列向量都可以由其线性表示,因此, 100010,,,001000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为PA 的极大线性无关组,其个数为r ,因此,12,,,r a a a ⋅⋅⋅线性无关,且A 中其余列向量均可由其线性表示且表示的系数不变;因此,A 的列秩等于A 的秩;将A 按行分块,1T T m b A b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则12(,,,)T m A b b b =⋅⋅⋅,因此,按照前面的结论,A 的行秩为T A 的秩,而T A 的秩等于A 的秩;至此,结论证明完毕 备注10证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法; 7.扩充定理定理2 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,秩为r ,12,,,k i i i a a a ⋅⋅⋅为其中的k 个线性无关的向量,k r ≤,则能在其中加入12,,,t a a a ⋅⋅⋅中的()r k -个向量,使新向量组为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组;证明：如果k r =,则12,,,k i i i a a a ⋅⋅⋅已经是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组,无须再添加向量;如果k r <,则12,,,k i i i a a a ⋅⋅⋅不是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组,于是,12,,,t a a a ⋅⋅⋅必有元素不能由其线性表示,设为1k i a +,由性质5,向量组 121,,,,k k i i i i a a a a +⋅⋅⋅线性无关;如果1k r +=,则121,,,,k k i i i i a a a a +⋅⋅⋅已经是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组,无须再添加向量;如果1k r +<,则121,,,,k k i i i i a a a a +⋅⋅⋅不是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组,于是,12,,,t a a a ⋅⋅⋅必有元素不能由其线性表示,设为2k i a +,由性质5,向量组1212,,,,,k k k i i i i i a a a a a ++⋅⋅⋅线性无关;同样的过程一直进行下去,直到得到r 个线性无关的向量为止;备注11证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法;只是,这方法并不好实现;8.求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示求向量组12,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈的极大线性无关组,可以按照下面的办法来实现; 1 将12,,t a a a ⋅⋅⋅合在一起写成一个矩阵12(,,)t A a a a =⋅⋅⋅；2 将A 通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形,不妨设化得的行阶形为111211,11,2222,12,,1,000000000000r r n r r n rr r r r n b b b b b b b b b A B b b b +++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪→= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,0,1,2,,ii b i r ≠=⋅⋅⋅,()r r A = 3 在上半部分找出r 个线性无关的列向量,设为12,,,r j j j ⋅⋅⋅列,则12,,,r j j j ⋅⋅⋅为B 列向量组的极大线性线性无关组,也是A 列向量组的极大线性线性无关组,也就是12,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组;为了在上半部分寻找r 个线性无关向量,必须且仅须在上半部分寻找r 阶的非奇异子矩阵;r 阶非奇异子矩阵的列向量组线性无关;显而易见,上面矩阵第1到第r 列即向量组的一个极大线性无关组;其余情形同理;4 将其余向量组表示为极大线性无关组的线性组合;这时候得解方程组;我们将矩阵化为行最简形,则一步就很容易完成了;不妨设行最简形为 在B 中第1到第r 列为列向量组的极大线性无关组,而其余向量表示成其线性组合也非常容易,表示系数即对应的分量;于是,在A 中,第1到第r 列为列向量组的极大线性无关组,其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合,表示系数与B 中的一致;我们的理论依据是性质8;例4.设矩阵21112112144622436979A --⎛⎫⎪- ⎪=⎪--⎪-⎝⎭,求A 的列向量组的一个极大线性无关组,并把不属于极大线性无关组的列向量用极大线性无关组线性表示; 解答 记12345(,,,,)A a a a a a =,因此,A 的列向量的一个极大线性无关组为124,,a a a ,312a a a =--,4123433a a a a =+-;。

线性代数中的线性无关与线性相关线性代数是数学中一门重要的学科，它研究了向量空间和线性变换等概念。

而线性无关与线性相关则是线性代数中的基本概念之一，它们对于理解矩阵和向量的性质以及解决线性方程组等问题具有重要的作用。

一、线性无关线性无关是指若一个向量组中的向量不能用其他向量线性表示，则称该向量组线性无关。

具体来说，如果对于给定的向量组{v1, v2, ..., vn}，只有当线性组合a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0时，所有系数都为零才能使等式成立，那么这个向量组就是线性无关的。

判断一个向量组是否线性无关的充要条件是，该向量组的任意有限子集都是线性无关的。

线性无关的向量组具有以下重要性质：1. 构成向量组的向量个数不超过向量空间维数；2. 向量组的秩等于其向量的个数。

二、线性相关线性相关是指若一个向量组中的向量可以表示为其他向量的线性组合，则称该向量组线性相关。

换句话说，如果存在不全为零的系数a1, a2, ..., an，使得a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0成立，那么这个向量组就是线性相关的。

线性相关的向量组具有以下重要性质：1. 一个线性相关的向量组中至少存在一个向量可以通过其他向量的线性组合得到；2. 线性相关的向量组的秩小于其向量的个数。

三、线性无关与线性相关的关系线性无关和线性相关是线性代数中两个相对的概念。

它们之间具有以下关系：1. 若一个向量组是线性相关的，则这个向量组中的任意一个向量都可以被其他向量线性表示；2. 若一个向量组是线性无关的，则这个向量组中的任意一个向量都不能被其他向量线性表示。

通过判断一个向量组是线性相关还是线性无关，可以帮助我们理解多元线性方程组的性质和解的情况。

在研究线性代数问题时，我们通常要确定向量组的线性无关性，以决定方程组的解的唯一性和完备性。

四、线性无关与线性相关的应用线性无关与线性相关的概念在线性代数中有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1. 解决线性方程组：通过判断系数矩阵的秩是否满秩，可以判断线性方程组是否有解以及解的唯一性；2. 确定向量空间的基：一个向量空间的基就是线性无关的最大向量组，在计算中常常需要确定向量空间的基来进行问题的求解；3. 特征值和特征向量的计算：计算特征值和特征向量涉及到矩阵的可逆性和对角化，而线性无关与线性相关的概念可以帮助我们理解和计算特征值和特征向量。

线性相关与无关的判断方法线性代数是数学中的一个重要分支，它研究的是向量空间和线性映射的理论。

在线性代数中，线性相关和线性无关是两个非常重要的概念，它们对于理解向量空间中向量的性质和关系具有重要意义。

本文将介绍线性相关与无关的判断方法，帮助读者更好地理解这一概念。

首先，我们来了解一下什么是线性相关和线性无关。

在向量空间中，如果存在一组向量，其中的某个向量可以表示为其他向量的线性组合，那么这组向量就是线性相关的。

换句话说，如果存在一组不全为零的标量，使得这些向量的线性组合等于零向量，那么这组向量就是线性相关的。

相反，如果不存在这样的标量，使得线性组合等于零向量，那么这组向量就是线性无关的。

接下来，我们将介绍线性相关与无关的判断方法。

首先是线性相关的判断方法。

对于给定的向量组，我们可以将这些向量排成一个矩阵，然后对这个矩阵进行行列式的计算。

如果计算结果不为零，那么这组向量就是线性无关的；如果计算结果为零，那么这组向量就是线性相关的。

这是线性相关判断的一种常用方法，也是比较直观的方法。

其次，我们来介绍线性无关的判断方法。

对于给定的向量组，我们可以将这些向量排成一个矩阵，然后对这个矩阵进行行阶梯形矩阵的变换。

如果经过变换后，矩阵中的主元个数等于向量的个数，那么这组向量就是线性无关的；如果主元个数小于向量的个数，那么这组向量就是线性相关的。

这是线性无关判断的另一种常用方法，同样也是比较直观的方法。

在实际应用中，我们经常会遇到需要判断向量组的线性相关与无关性质的情况。

通过掌握上述的线性相关与无关的判断方法，我们可以更加准确地判断向量组的性质，从而在解决实际问题时能够更好地运用线性代数的知识。

总之，线性相关与无关的判断方法是线性代数中的重要内容，它对于理解向量空间中向量的性质和关系具有重要意义。

通过本文的介绍，相信读者对于线性相关与无关的判断方法有了更清晰的认识，希望能够对读者在学习和应用线性代数的过程中有所帮助。

线性相关线性无关
虽然表面上线性相关和线性无关看起来没有什么区别，但它们的却
有很大的区别。

那么，什么是线性相关和线性无关呢？
线性相关是指某些变量可以用线性函数来准确地解释它们之间的关系。

两个变量具有线性相关可以通过绘制它们之间的散点图来表示，
散点图将会形成一条连续的线，这条线表明变量之间具有线性相关。

线性无关是指某些变量不能用线性函数来准确地解释它们之间的关系。

两个变量具有线性无关可以通过绘制它们之间的散点图来表示，
散点图将不会形成一条连续的线，这表明变量之间没有线性关系。

要特别注意的是，当变量之间具有强烈的线性相关性时，这并不意
味着变量之间是线性结构，这只表明变量之间存在强烈的线性关系。

另一方面，变量之间具有线性无关性时，这并不意味着变量之间没有
任何关系，而是说变量之间确实存在一定程度的相关性，但是这些关
系并不是线性的，而可能是非线性关系。

总之，线性相关和线性无关是描述变量之间的关系的两种概念，它
们的区别在于：前者指的是变量之间的线性关系；后者指的是变量之
间的非线性关系。

在实际应用中，线性相关和线性无关的概念在许多领域，如统计学、数据科学、机器学习等，都有广泛的应用。

例如，在统计学中，线性
回归分析模型既可以用来衡量变量之间的线性关系，也可以用来衡量
变量之间的非线性关系。

另一方面，在机器学习和数据挖掘领域，非
线性模型，如神经网络或树回归模型，可以用来衡量变量之间的非线
性关系。

线性相关和线性无关都是常用的数学概念，了解它们的区别以及应用可以帮助我们更好地分析不同变量之间的关系，帮助我们更好地完成很多任务，如建模和预测等。