线性表示与线性相关

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线性表示与线性相关

所以向量 1，2，3 线性无关.
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第2讲线性表示及基与坐标
工程应用数学基础
二、基与维数定义4(基) 设 {1 ， 2，， n }是线性空间V 中的一组线性
无关向量组，若对V 中任意向量，存在一组数：
x1，x2，，xn
使得
x11 x22
xn n
称 V ( F ) 与 F (线性)同构
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第2讲线性表示及基与坐标
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四、过渡矩阵
设 , {1 , 2 , , n }
n 的两个基. { , , , } 是 V 1 2 n
1) 这两个基之间有什么关系? 2) 若已知向量在基
第2讲线性表示及基与坐标
工程应用数学基础
内容提纲
一. 线性表示二. 基与维数
三. 向量的坐标
四. 过渡矩阵
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第2讲线性表示及基与坐标
工程应用数学基础
一、线性表示定义1(线性表示) 设是线性空间V 中的向量，若存在V 中一组向量{1， 2，， n }，及一组数 k1，k2，，kn F ，
x11 x22
记
xn n
T
x [ x1 ，x2，，xn ]
称 x 为向量在基 {1 ， 2，， n } 下的坐标 .
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第2讲线性表示及基与坐标
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证明
三、向量的坐标， 2，， n } 是线性空间Vn 中的基因为{1
所以对Vn 中任意向量，由基的定义知，向量能被线性表示
1，2，，n
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线性代数第三章线性方程组与向量的线性相关性

例1 判断下列线性方程组是否有解,若有解,求
出全部解.
x1 3 x 2 3 x 3 2 （） 3 x1 x 2 2 x 3 3 1 4x 2x x 2 2 3 1 x1 x 2 x 3 3 x 4 2 （） x1 x 2 x 3 5 x4 4 2 4 x 4 x x 1 1 2 3
（c1 、c 2 为任意常数）
例2 解线性方程组
解：
1 1 3 2 1 2 1 2 1 1 6 3 1 2 3 0 1 0 0 0 1 1 2 0 1 2 3 1 1 1 0 2
x1 x2 x3 1 x1 2 x2 x3 2 3 x1 x2 6 x3 3 2 x 2 x 3x 0 1 2 3
行有解 B ( A b ) 行阶梯形矩阵行最简形矩阵行
行最简形矩阵非零行（r 行）的第一非零元取为固定未知量，剩余的未知量取为自由未知量，令为 c1 , c 2 , c n r ，代回行最简形矩阵所表示的方程组求出固定未知量，从而得到通解）
R ( 1 , 2 , n ) ( ) R ( 1 , 2 , n , )
例7
判断能否由余下向量线性表？若能，给出表示式出 .
T T T T
(1) (1,1,1) , 1 (0,1,1) , 2 (1,1,0) , 3 (1,0,2) ( 2) ( 2,2,0) , 1 ( 1,1,1) , 2 (1,1,2)
x1 1 1 x2 1 0 c1 c2 c11 c2 2 x 0 4 3 0 1 x 4 （c1 、c2为任意常数）

线性代数向量组的线性相关性习题课讲解

否则，称向量组α1 , α2 ,, αs线性无关（即只有k1 k2 ks 0才能使得上式成立）。
判断n维向量组 α1 , α2 ,, αs线性相关性的方法：
1、比较矩阵A α1, α2 ,, αs 秩与向量个数s。求出α1, α2 ,, αs 的秩 r,
（1）若 r s ，则向量组α1, α2 ,, αs线性相关。（2）若 r s ，则向量组α1, α2 ,, αs线性无关。
Ax 0的一组基础解系，则Ax b的通解可表示为
定理：向量组α1 , α2 ,, α（s s 2）线性相关的充要条件是：向量组中至少有一个可由其余向量线性表示。
定理：设向量组α1 , α2 ,, αs线性无关，而向量组α1 , α2 ,, αs , β线性相关，则向量β可由向量组α1 , α2 ,, αs表示，且表示式唯一。
定理：若向量组α1 , α2 ,, αs线性相关，则向量组α1 , α2 ,, αs , αs1 ,, αt 线性相关；反之，若向量组α1 , α2 ,, αs , αs1 ,, αt 线性无关，则向量组α1 , α2 ,, αs线性无关。
α a1, a2 ,, an ，β b1,b2,,bn ，k R
α β a1 b1, a2 b2 ,, an bn ，负向量 α a1,a2,,an ， α β α ( β) a1 b1, a2 b2 ,, an bn ，
kα ka1, ka2,, kan 。
则称ξ1, ξ2 ,, ξs是Ax 0的一组基础解系。
定理：如果n元齐次线性方程组Ax 0的系数矩阵A的秩R( A) r，
（1）若 r n，则Ax 0只有零解；
（2）若
r
n，则Ax
0有非零解，基础解系由n

《线性相关关系》课件

04
CATALOGUE
多元线性回归分析
多元线性回归模型
定义
多元线性回归模型是用来描述因变量与两个或两个以上的自变量之间的线性关系的模型。
公式
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε
假设
误差项 ε 满足独立同分布，且均值为0，方差恒定。
最小二乘法估计参数
线性相关关系强调的是变量之间的关联程度和变化趋势，而不是确定性的数学关系；函数关系则强调变量之间的确定性和规律性。在线性相关关系中，两个变量的值可以相互影响，而在函数关系中，一个变量的值是由另一个变量的值确定的。
在某些情况下，线性相关关系可以转化为函数关系，例如通过最小二乘法拟合直线。但是，线性相关关系更广泛，它可以包括非线性的情况，即两个变量之间存在曲线或其他非线性关系。
模型检验
在建立回归模型后，需要对模型进行检验，以确保其有效性。常见的检验包括残差分析、回归系数检验和整体模型显著性检验等。
预测
使用回归模型可以对未来的数据进行预测。通过将自变量代入模型中，可以计算出对应的因变量的预测值。
注意事项
在使用回归模型进行预测时，需要考虑模型的适用范围和局限性，以及数据的变化趋势和异常值对预测结果的影响。
变量进行变换等。
05
CATALOGUE
线性相关关系的应用实例
经济学中的线性相关关系分析
总结词
在经济学中，线性相关关系被广泛应用于市场分析、经济预测和政策制定等方面。
详细描述
经济学家通过研究不同经济指标之间的线性相关关系，可以深入了解经济运行规律，预测未来经济趋势，为政策制定提供科学依据。例如，研究国内生产总值（GDP）与失业率之间的关系，可以分析经济周期和政策效果。

空间向量的线性相关性

空间向量的线性相关性在线性代数中，空间向量的线性相关性是一个基本概念，它描述了多个向量之间是否存在线性关系。

了解空间向量的线性相关性对于理解向量空间的性质以及相关问题的研究具有重要意义。

本文将从理论和实际应用两个方面来探讨空间向量的线性相关性。

一、空间向量的线性相关性的定义和表示空间向量的线性相关性是指在一个向量集合中，是否存在不全为零的系数，使得这些向量的线性组合等于零向量。

如果存在这样的非零系数，那么这些向量就被称为线性相关的，否则它们被称为线性无关的。

在向量集合中，假设有n个向量，分别为其中，向量是维向量，是维向量。

若存在一组不全为零的实数使得向量方程组有解，那么向量组是线性相关的；否则，向量组是线性无关的。

线性相关与线性无关的概念可用矩阵的行列式来形式化表示。

设向量组中的向量均为维向量，可以将这些向量按列排成一个矩阵，则矩阵为若行列式等于零，则向量组线性相关；否则，向量组线性无关。

二、线性相关性的几何意义在几何空间中，空间向量的线性相关性也有一定的几何意义。

具体而言，假设向量集合中的向量个数为，若向量组中至少存在一个向量可以表示为其他向量的线性组合，则这些向量是线性相关的。

换言之，可以找到一条直线或一个平面将这些向量围起来。

相反，如果向量组中的所有向量都不能表示为其他向量的线性组合，那么这些向量就是线性无关的。

这意味着在几何空间中，这些向量没有共线或共面的关系，它们是空间中独立的。

三、空间向量的线性相关性与线性无关性之间的关系线性相关与线性无关是两个相对的概念，它们之间存在着明确的关系。

具体而言，对于一个向量组，如果它们是线性无关的，那么它们一定是线性相关的。

但是反过来不一定成立，即线性相关的向量组不一定是线性无关的。

在线性代数中，我们可以通过计算向量组的秩来确定它们的线性相关性。

若向量组的秩等于向量的个数，那么向量组是线性无关的；若秩小于，则向量组是线性相关的。

四、空间向量的线性相关性的应用空间向量的线性相关性在实际问题中有广泛的应用。

第20节线性相关与线性表示关系

证：设向量组α1,α2 ,⋯,αs中有r个(r ≤ s) 向量的部分组线性相关，不妨设 α1,α2,⋯,αr 线性相关，则存在不全为0的数 k1, k2 ,⋯, kr使
k1α1 + k2α2 + ⋯ + krαr = 0 成立.因而存在一组不全为0的数 k1, k2 ,⋯, kr , 0,0,⋯, 0
判别向量线性相关、线性无关的方法 (1) 定义法令 k1α1 + k2α2 + ⋯ + ksαs = 0, 解出 k1 , k2 ,⋯, ks . 1) 如果 k1 = k2 = ⋯ = ks = 0,
则α1,α2 ,⋯,αs是线性无关的. 2) 如果k1, k2 ,⋯, ks至少有一个不为0(不全为0),
—— 线性相关与线性无关
对于向量组 α1,α2 ,⋯,αs，如果存在一组不全为零的数 k1, k2 ,⋯, ks 使关系式
k1α1 + k2α2 + ⋯ + ksαs = 0 成立，则称向量组 α1,α2 ,⋯,αs 线性相关；如果当且仅当 k1 = k2 = ⋯ = ks = 0时，才能使关系式 k1α1 + k2α2 + ⋯ + ksαs = 0 成立，则称向量组 α1,α2 ,⋯,αs 线性无关；
则α1,α2 ,⋯,αs是线性相关的.
(2) 求秩法
<定理1> 对于 m维列向量组 α1,α2,⋯,αn，其中
a1 j
α
j
=
a2 j ⋮
,(
j
=
1, 2,⋯, n),
amj
则α1,α2,⋯,αn 线性相关的充分必要条件是：以
α1,α2,⋯,αn 为列向量的矩阵的秩小于向量的个数 n.

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结线性代数知识点总结篇1第一章行列式知识点1：行列式、逆序数知识点2：余子式、代数余子式知识点3：行列式的性质知识点4：行列式按一行（列）展开公式知识点5：计算行列式的方法知识点6：克拉默法则第二章矩阵知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律知识点8：矩阵的乘法运算及运算律知识点9：计算方阵的幂知识点10：转置矩阵及运算律知识点11：伴随矩阵及其性质知识点12：逆矩阵及运算律知识点13：矩阵可逆的判断知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解知识点16：初等变换的概念及其应用知识点17：初等方阵的概念知识点18：初等变换与初等方阵的关系知识点19：等价矩阵的概念与判断知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式知识点21：矩阵的秩的概念与判断知识点22：矩阵的秩的性质与定理知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例第三章向量知识点25：向量的概念及运算知识点26：向量的线性组合与线性表示知识点27：向量组之间的线性表示及等价知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念知识点29：线性表示与线性相关性的关系知识点30：线性相关性的判别法知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系知识点33：求向量组的最大无关组知识点34：有关向量组的定理的综合运用知识点35：内积的概念及性质知识点36：正交向量组、正交阵及其性质知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法知识点38：向量空间（数一）知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）知识点40：基变换下的坐标变换（数一）第四章线性方程组知识点41：齐次线性方程组解的性质与结构知识点42：非齐次方程组解的性质及结构知识点43：非齐次线性线性方程组解的各种情形知识点44：用初等行变换求解线性方程组知识点45：线性方程组的公共解、同解知识点46：方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系知识点47：方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例第五章矩阵的特征值与特征向量知识点48：特征值与特征向量的概念与性质知识点49：特征值和特征向量的求解知识点50：相似矩阵的概念及性质知识点51：矩阵的相似对角化知识点52：实对称矩阵的相似对角化.知识点53：利用相似对角化求矩阵和矩阵的幂第六章二次型知识点54：二次型及其矩阵表示知识点55：矩阵的合同知识点56 : 矩阵的等价、相似与合同的关系知识点57：二次型的标准形知识点58：用正交变换化二次型为标准形知识点59：用配方法化二次型为标准形知识点60：正定二次型的概念及判断线性代数知识点总结篇2行列式一、行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

3.3 线性相关性

m维列向量线性无关的充要条件是，以 α 1 , α 2 , ⋯ , α n 维列向量线性无关充要条件是维列向量线性无关的为列向量的矩阵的秩等于向量的个数n。为列向量的矩阵的秩等于向量的个数。对于行向量组显然也成立。对于行向量组显然也成立。
推论1 推论设n 个n 维向量α j = ( a1 j , a 2 j , ⋯ , a nj )( j = 1,2, ⋯ , n)，则向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α n a11 a12 ⋯ a1n
例2
零向量是任何一组向量的线性组合。零向量是任何一组向量的线性组合。因为 0 = 0α1 + 0α2 +…+ 0αs.
例3
向量组α 中的任一向量α 向量组 1,α2,…,αs中的任一向量 j (1≤j≤s) 都是此向量组的线性组合。都是此向量组的线性组合。因为α 因为 j = 0α1 + 0α2 +…+1αj + … + 0αs.
判断向量β 例4 判断向量 1=(4,3,-1,11)与β2=(4,3,0,11) 与是否各为向量组α 与是否各为向量组 1=(1,2,-1,5)与 α2=(2,-1,1,1)的线性组合，若是，写出表达式。的线性组合，的线性组合若是，写出表达式。对矩阵(α 解：设k1α1+k2α2=β1，对矩阵 1T, α2T, β1 T) 施以初等行变换
2 4 1 2 4 1 1 2 − 1 3 0 − 5 − 5 0 → − 1 1 − 1 → 0 3 3 0 5 0 − 9 − 9 0 1 11 0 2 1 1 0 0 0 0
除零解x 除零解 1=x2=0外，还有非零解，如x1=2, x2=3。外还有非零解，。

《线性代数》向量组的线性相关与线性无关

a11 a21
an1
即行列式 D = a12 a22
an2 = 0 ?
核心问题！
a1n a2n
ann
④若方程组(2)有非零解，则a1,a2,,an线性相关；否则,线性无关.
特殊方法（举例）
亦即
例7. 证明下列单位向量组线性无关.
1
0
0
0
α1
=
0
,
0
α2
=
1
,
0
α3
=
0 1
,
α4
=
k1，k2，，kn，使
k1a1+k2a2+ + knan=o 成立 .
由向量的运算性质可得
k1a1+k2a2+ +kn an=o，即
a11 a21
an1 0
k1
a12 ...
+
k2
a22 ...
+
...
+
kn
an2 ...
=
0 ...
a1n a2n
故
β
=
(-
l1 l
)α 1
+
(-
l2 l
)α 2
+
+
(-
lm l
)α m
，
即b可由向量组a1，a2，，am线性表示.
定理2 设向量组 a1，a2，，am ，b 线性相关，而a1，a2，，am线性无关，则b 可由a1，a2，，am线性表示，且表
示式是惟一的.
证明：再证表示法惟一.
设b可表示成以下两种形式，
结论： 1.含有零向量的向量组一定线性相关.

3线性代数线性相关性判定定理

01 2 2 3 0
所以线性相关
但 1 不能写成其余向量的线性组合
例3 假定能用 1 , 2 , , m 表示为 k11 k2 2 km m
问向量组 1 , 2 , , m , 是否线性相关？
由定理1知 1 , 2 , , m , 线性相关
例8 设向量组 1 , 2 , 3 线性相关，向量组 2 , 3 , 4 线性无关，问
1能否由 2 , 3 线性表示？证明你的结论
解能
因为 2 , 3 , 4 线性无关，整体无关则部分无关
所以 2 , 3 线性无关而 1 , 2 , 3 线性相关由定理2， 1可唯一的由 2 , 3 线性表示
k2 k3 km 1 2 3 m . k1 k1 k1 即 1 能由其余向量线性表示.
定理1的逆否命题向量组 1 , 2 ,,（当 m 2 时）线性无关 m 的充分必要条件是 1 , 2 , , m中任何一个向量都不能由其余 m 1个向量线性表示．
两式相减有 1 1 1 2 2 2 r r r 0 ∵Ａ线性无关， 1 1 0, 2 2 0,r r 0
1 1 , 2 2 ,r r 即表达式唯一.
定理2的逆否命题设向量组A： 1 , 2 , , r 线性无关，而向量β不能由向量组A线性表示，则向量组B：1 , 2 , , r , 线性无关。
推论4 如果在m × n型矩阵A中有一个r阶子式
D0
，则含有D的r个行向量和r个列向量都线
性无关；如果A中所有r阶子式全等于零，则A的任意r个行向量及任意r个列向量都线性相关。

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证明向量线性无关的主要方法
x11 x22
xn 0
， 2，， n } 线性相关的充要条件是： 2) {1 {1 ， 2，， n }中某个向量能被其余的向量线性表示；
3) 单个零向量线性相关，单个非零向量线性无关；
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第2讲线性表示及基与坐标
工程应用数学基础
( x1 x2 x3 )1 ( x2 x3 )2 x33 ，x2 1 ，x3 3 即有 x1 1
1 1 x 所求坐标为 3
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第2讲线性表示及基与坐标例 5 记
工程应用数学基础
a1 V a3
x1，x2，，xn
均有
x11 x22
线性无关.
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xn n O
， 2，， n } 则称向量组 {1
第2讲线性表示及基与坐标
工程应用数学基础
注：
一、线性表示
xnn O
， 2，， n } 线性无关的充要条件是： 1) {1
x1 x2
是实线性空间一个基
1} 是
事实上，对任意的实数 x1, x2
x1 1 x2 i 0 x1 x2 0
即{1 ， i
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1} 线性无关
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工程应用数学基础
二、基与维数
另外对
a bi，a，b 上任意向量：
1} 是
一个基，即是2维的线性空间.
注：
一、线性表示
， 2，， n }线性无关，则其部分向量组成的 4) 若 {1
向量组也是线性无关；
5) 若向量组{1， 2，， n } 中部分向量组成的向量组
{i1，i2，，im }
线性相关，则原向量组
{1， 2，， n }
也线性相关
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， 2，， n }为V的则称向量组 {1
基，称V 为n 维线性空间，记为Vn，线性空间V 的维数记为 dim(V) n .
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二、基与维数
例 2 证明: 1) 当数域 F 为实数域，线性空间 2) 当数域 F 为复数域，线性空间证明 1) 当数域 F 为实数域，则可知， {1 ， i 是2维的；是1维的.
x11 x22
记
xn n
T
x [ x1 ，x2，，xn ]
称 x 为向量在基 {1 ， 2，， n } 下的坐标 .
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第2讲线性表示及基与坐标
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证明
三、向量的坐标， 2，， n } 是线性空间Vn 中的基因为{1
1 即有 4
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3 2
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存在 V ( F ) F 的一一映射
n n
x1 n n V ( F ) x F xn
若
n
x，
n
y ，则有
k kx
x y
三、向量的坐标
例 4 设线性空间V 的基
{1，2，3 }
2 1 2 ， 3 1 2 3 令 1 1，
求向量 1 22 33 在基 {1，2，3 }下的坐标. 解设向量 1 22 33 在基 {1，2，3 }下的坐标为
图片
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第一篇：矩阵理论第 2 讲：线性表示及基与坐标主讲：国防科技大学杨文强副教授
第2讲线性表示及基与坐标
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内容提纲
一. 线性表示二. 基与维数
三. 向量的坐标
四. 过渡矩阵
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一、线性表示定义1(线性表示) 设是线性空间V 中的向量，若存在V 中一组向量{1， 2，， n }，及一组数 k1，k2，，kn F ，
a2 V 的充要条件是满足下方程组： a4
a1 a2 a3 a4 0
a1 a 2 0 1 1 1 1 a3 a4
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第2讲线性表示及基与坐标其系数矩阵的秩为1，求得其基础解系为
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1 1 0 1 1 1 A1 ，A2 ，A3 0 0 1 0 1 1
所以对Vn 中任意向量，由基的定义知，向量能被线性表示
1，2，，n
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三、向量的坐标
下证唯一性：
，y2，，yn ，x2，，xn 与 y1 若存在两组数： x1
使得 x11 x2 2
xn n yn n
均能被向量 1，i 线性表示
所以 {1 ， i
2) 当数域 F 为复数域，则易知， {1}是一个基
是复线性空间
即
是1维的.
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三、向量的坐标定理1 设 {1，2，，n } 是线性空间Vn 中的基，则对Vn 中
任意向量，有唯一的线性表示：
所以向量 1，2，3 线性无关.
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二、基与维数定义4(基) 设 {1 ， 2，， n }是线性空间V 中的一组线性
无关向量组，若对V 中任意向量，存在一组数：
x1，x2，，xn
使得
x11 x22
xn n
2
2 p ( t ) 2 t t 1在基下的坐标求多项式
解
设 p(t ) 2t t 1在基
2
{t 1 ，t 2，t } 下的坐标为
2
x1 ，x2，x3
则有
2t t 1 x1(t 1) x2 (t 2) x3t
2
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2
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a2 a4
22
a1 a2 a3 a4 0
1) 证明V是线性空间； 2) 求V 的维数与一个基；
1 3) 求向量 4
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3 在基下的坐标. 2
第2讲线性表示及基与坐标 1) 易验证V是一线性空间.
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a1 2) 因为 a3
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工程应用数学基础
一、线性表示
则有
x11 x2 (1 2 ) x3 (1 2 3 ) O
即有
( x1 x2 x3 )1 ( x2 x3 )2 x33 O
由 {1， 2，3} 是线性无关向量组，得到
x1 x2 x3 0
写成矩阵形式:

P
p11 p 21 ,n} pn1
p12 p22 pn 2
p1n p2 n pnn
=
的过渡矩阵(变换矩阵).
称矩阵P为基
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到基
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四、过渡矩阵
过渡矩阵的性质： 1) 过渡矩阵 P 是满秩矩阵； 2) 若P 是基
由此得到方程组： 1 x1
3 x x x 1 2 3 x2 x3 4 x3 2
x3
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第2讲线性表示及基与坐标
工程应用数学基础
1 解得 4
1 3 2 在基下的坐标 2 2 1 2 2
工程应用数学基础
一、线性表示
例 1 设 {1，2，3 } 是线性空间 V 中的线性无关向量组
2 1 2 ， 3 1 2 3 令 1 1，
3 线性无关. 证明向量 1，2，
证明设数 x1，x2，x3 使得
x11 x2 2 x3 3 O
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称 V ( F ) 与 F (线性)同构
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第2讲线性表示及基与坐标
工程应用数学基础
四、过渡矩阵
设 , {1 , 2 , , n }
n 的两个基. { , , , } 是 V 1 2 n
1) 这两个基之间有什么关系? 2) 若已知向量在基
下的坐标为x，
那么向量在基
下的坐标是多少?
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第2讲线性表示及基与坐标
工程应用数学基础
四、过渡矩阵
设 , {1 , 2 , , n }
中每个向量 n 的两个基. { , , , } 是 V 1 2 n
对基
i，可以求出其在基
所以V的维数为3，一个基为
1 1 0 1 1 1 = A1 ，A2 ，A3 0 0 1 0 1 1
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第2讲线性表示及基与坐标
工程应用数学基础
1 3) 设 4
3 在基下的坐标为 x1，x2，x3，则有 2 1 3 4 2 x1 A1 x2 A2 x3 A3
( xn yn )n O
y11 y2 2
则有
( x1 y1)1 ( x2 y2 )2
故有
x1 y1，x2 y2，，xn yn
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第2讲线性表示及基与坐，2，，n } 下的坐标为设 Vn 在基

线性表示与线性相关

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