第8章 多元函数微积分

微积分练习册[第八章］多元函数微分学习题8—1 多元函数的基本概念1。

填空题:(1）若yx xy y x y x f tan ),(22-+=,则___________),(=ty tx f (2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x-== （3）若)0()(22 y yy x x y f +=，则__________)(=x f （4）若22),(y x x yy x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________（7）函数xy z arcsin =的定义域是________________ (8）函数xy x y z 2222-+=的间断点是_______________ 2。

求下列极限：(1）xy xy y x 42lim0+-→→班级： 姓名： 学号：(2) x xy y x sin lim0→→（3) 22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→微积分练习册[第八章］ 多元函数微分学3.证明0lim 22)0,0(),(=+→y x xy y x4。

证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x y x y x 不存在班级： 姓名: 学号：5。

函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0)处是否连续？为什么？微积分练习册[第八章] 多元函数微分学习题 8—2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题（1）设y x z tan ln =，则__________________,=∂∂=∂∂yz x z ; （2）设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂y z x z ； （3)设zy x u =,则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ；（4）设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x z yz x z (5）设z yx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x 2。

微积分第八章多元函数笔记微积分第八章多元函数是在一元函数的基础上拓展而来的，主要涉及多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分、多元函数的微分、多元函数的导数以及拉格朗日乘数法等内容。

本文将重点探讨多元函数的微分和拉格朗日乘数法，并尝试用卷积的角度解释其中的概念。

一、多元函数的微分多元函数的微分是一种线性近似，它描述了函数在其中一点附近的变化情况。

多元函数的微分可以通过偏导数来求解。

对于二元函数f(x,y)，在点(x0,y0)处可以定义偏微分算子∂=∂/∂x和∂/∂y，其定义为：∂f/∂x=f_x(x0,y0)=(f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0))/Δx∂f/∂y=f_y(x0,y0)=(f(x0,y0+Δy)-f(x0,y0))/Δy其中Δx和Δy分别表示变量x和y的增量。

∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f在点(x0,y0)处对变量x和y的变化率。

考虑函数f(x,y)的微分形式，可以表示为：df=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy其中dx和dy分别表示x和y的增量。

df表示函数f在点(x0,y0)处的全增量。

可以将df看作是函数f的线性近似，其包含了对x和y的变化的线性度量。

二、卷积的思维解释卷积是一种线性运算，它用来描述信号经过系统处理后的结果。

在微积分中，可以将多元函数的微分看作是函数f和无穷小增量dx、dy的卷积操作。

其中，函数f可以看作是输入信号，dx和dy可以看作是脉冲响应。

通过卷积运算，可以得到函数f在(dx,dy)范围内的局部增量。

具体来说，可以将函数f(x,y)表示为一个二维矩阵，矩阵的每个元素对应函数f在不同点的值。

将增量dx、dy表示为一个二维矩阵，矩阵的大小与函数f相同，每个元素都是一个脉冲。

通过卷积运算，将函数f和增量dx、dy进行卷积，可以得到函数f在(dx,dy)范围内的局部增量。

三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种用于求解约束条件下的极值问题的方法。

多元函数的微积分多元函数微积分指的是对多元函数进行求导和积分的过程。

多元函数是含有多个自变量的函数，通常表示为f(x1, x2, ..., xn)。

在多元函数的微积分中，我们可以将每个自变量分别进行求导，得到偏导数。

偏导数告诉我们函数在一些自变量上的变化率。

此外，我们还可以对多元函数进行积分来计算函数在一定范围内的总量。

一、多元函数的偏导数1.偏导数的定义偏导数是多元函数对一些自变量的求导结果。

记多元函数f(x1,x2, ..., xn)，则f对第i个自变量的偏导数定义为：∂f/∂xi = lim(h→0) (f(x1, x2, ..., xi + h, ..., xn) - f(x1,x2, ..., xi, ..., xn)) / h表示在其他自变量保持不变的条件下，f关于xi的变化率。

2.偏导数的计算对于多元函数的偏导数的计算，可以按照和一元函数求导的规则类似的方法进行。

对于每个自变量求导时，将其他自变量视为常数。

例如，对于二元函数f(x,y)=x^2+y^2，我们可以分别对x和y求偏导数。

对x求偏导数时，将y视为常数，得到∂f/∂x=2x。

对y求偏导数时，将x视为常数，得到∂f/∂y=2y。

3.偏导数的性质偏导数具有一些重要的性质。

例如，对于二阶连续可微函数，偏导数的次序可以交换，即：∂^2f/(∂x∂y)=∂^2f/(∂y∂x)这是因为二阶偏导数的定义中，先对x求导后对y求导与先对y求导后对x求导的结果是相等的。

二、多元函数的积分1.多元函数的积分概念2.定积分的计算对于多元函数的定积分，我们需要确定积分的区域或曲面，并进行适当的参数化和积分限的确定。

计算定积分时，可以按照类似于一元函数的积分法进行。

例如，对于二元函数f(x,y)，我们可以通过对x或y的积分将其化简为一元函数的积分。

例如，对于三元函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2，在三维空间中表示一个球体。

我们可以计算球体的体积，即球体上的函数f(x,y,z)在整个球体上的积分。

.去心邻域的概念也可搬过来。

中去心邻域的定义空间nR0 ) ,3 ,2 ( 0为实数，则称集合，设>=∈δ⋯n R X n}),d(0 | {),U(00δδ<<=X X X X),(U ˆ 00。

去心邻域，记为的中点为δδX X R n2. 开集、闭集、有界集、无界集聚点OEE 中的有界集2R) U(O,E r ⊂无界集},|),{(E +∞<<∞−≤≤=y b x a y x单连通集分为连通集复连通集单连通 复连通不连通区域是连通开集. 区域是连通开集.区域 Ω 的内点及边界点都是它的聚点. 区域 Ω 的内点及边界点都是它的聚点., 则称为一连通开集若非空集nR ⊂Ω. 中的区域为nR Ω注意：集合的聚点不一定属于集合.二元函数 的图形),(y x f z = 设函数的定义域为，对于任意取定的y x P ∈),(，对应的函数值为,(yx f z =，这样，以为横坐标、为纵坐标、为竖坐标在空间就确定一点，当取遍上一切点时，得一个空间点集，这个点集称为二元函数的图形.（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.xyzoxyz sin =例如,图形如右图.2222az y x =++例如,如右图，为球面.}.),{(222a y x y x D ≤+=222yx a z −−=.222y x a z −−−=单值分支:三. 多元函数的极限及极限的运算xxyay =ε+=a y ε−=a y ()..()a)(x f .x O)(x f y =P),(U ˆ0δx ),U(εa 0x x →.xxyay =ε+=a y ε−=a y ()..()a)(x f .x O)(x f y =P),(U ˆ0δx ),U(εa 0x x →.),(U ˆ0δx x ∈xxyay =ε+=a y ε−=a y ()..()a )(x f .x O)(x f y =P),(U ˆ0δx ),U(εa 0x x →.),(U ˆ0δx x ∈),U()(εa x f ∈二元函数极限的定义该例还说明一个问题对此你有什么想法 ?对此你有什么想法 ?,2x k y =虽然沿无穷多个方向：,, )0,0(),( 函数均有极限时当→y x . ),( lim 00不存在但函数的极限y x f y x →→“无穷多个方向”不等于“任意方向”.可利用方向性来判别多元函数的极限不存在.。