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高等数学多元函数微积分多元函数微积分是高等数学中的一个重要分支。
它研究在多变量空间中的单变元函数的微分和积分问题。
这对学习曲面、平面的渐变、凹凸和分界、曲面的体积、局部极值等问题具有重要意义。
一、基本概念1. 超曲面：一般讲，超曲面就是在n维空间中的一类曲面，它们由至少n+1个函数组成。
它是由n维变量组成的，因而可以容纳n维量空间中所有的事物，从而形成一个多维结构。
2. 多元函数微分：多元函数微分就是对在多元空间内变量中的一个函数进行微分的一类函数，它可以应用于求解曲面的斜率，曲面的凹凸和分界，比如计算椭圆曲线、抛物曲线等的曲率和斜率等问题。
3. 多元函数积分：多元函数积分是指在多元空间中的一个函数的积分运算，它可以用于计算曲面的体积，曲面的拉伸与缩小等问题，它也可以用于计算曲面的累积，例如计算三维抛物面、回旋曲线等曲率积分的体积等。
二、求解方法1. 黎曼微积分法：黎曼微积分法是指在进行多元函数微积分时，识别出包含所求函数的一组导函数，然后根据黎曼公式将这些导函数求和，不断缩小未知函数的范围，最终确定出未知函数的表达式的一类方法。
2. 光滑函数的变换法：光滑函数的变换法指的是在进行多变量函数积分时，先将所给函数进行光滑变换，然后根据变换法则和对称性，极限性和旋转对称性等等属性，运用变换法，不断将多变量函数转化为单变量函数，最后将单变量函数进行积分。
三、应用1. 力学中的应用：多元函数微积分在力学中有着重要的作用，通过多元函数微积分，可以研究分析物体的运动轨迹，甚至可以预测未来的物体的状态。
2. 热物理学的应用：多元函数微积分可以用来研究热物理学中各种复杂多变量的函数，如热力学量在温度和压力变化时的变化情况，揭示物质性质在热状态时的性质变化，以及热流、热量变化的关系等。
3. 数学建模的应用：多元函数微积分也可以用来进行数学建模，如多元微积分可以用来描述一个普通一般问题的结构特性，如一个多边形的周长、三角形的体积、四棱锥的表面积等。
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：A (2，1,-6)，B (0，2，0)，C (-3，0,5)，D (1，-1，-7).解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。
2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z =11，故所求的点为M (0，0，149). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得21214M M =，2213236,6M M M M ==所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为1235y x z++=-。
高等数学教材第七章答案第七章：多元函数微分学1. 习题一答案：1.1 题目：求函数 $z = 2x^3 + 3y^2 - 6xy$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
解答：首先计算 $\frac{\partial z}{\partial x}$。
根据偏导数的定义，我们将 $y$ 视为常数，对 $z$ 对 $x$ 进行求偏导数：$$\frac{\partial z}{\partial x} = 6x^2 - 6y$$接下来计算 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
同样，我们将 $x$ 视为常数，对 $z$ 对 $y$ 进行求偏导数：$$\frac{\partial z}{\partial y} = 6y - 6x$$所以，函数 $z = 2x^3 + 3y^2 - 6xy$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数为$\frac{\partial z}{\partial x} = 6x^2 - 6y$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} = 6y - 6x$。
1.2 题目：计算函数 $f(x, y) = x^3 + y^3$ 在点 $(1, 1)$ 处的全微分。
解答：根据全微分的定义，我们有：$$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$$首先计算 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$。
对 $f(x, y) = x^3 + y^3$ 分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数：$$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =3y^2$$代入点 $(1, 1)$，得到 $\frac{\partial f}{\partial x} = 3$ 和$\frac{\partial f}{\partial y} = 3$。
第七章 多元函数微分学一、内容分析与教学建议（一） 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方 面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。
在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。
（二） 多元函数、极限、连续先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点0P P →方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。
在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。
（三） 偏导数与全微分1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。
2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断),(y x f z =可微，即求极限[]ρyy x z x y x z z y x y x ∆+∆-∆→∆→∆),(),(lim 0是否为0。
3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。
（四） 复合函数求偏导1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(v u f z =，)(x u ϕ=，)(x v ϕ=从中让学生理解口诀的含义。
2、通过例题说明各种公式，具体方法及符号正确运用；3、通过教材中典型例题，细致讲解复合函数高阶偏导数的求法，这是个难点，并注意① 求导时，注意分析函数的各种关系；② 讲透符号1f '，12f ''等之涵义。
（五） 隐函数求偏导1、结合简单例子，讲解方程与函数之关系；2、对于0),(=y x F 确定的隐函数存在定理，讲清三个条件和三个结论，再拓广介绍其它两种常见情形，其偏导数公式的证明，可只证部分结论；3、用例题说明隐函数求偏导数之三种方法，公式法、复合函数法（直接法）、微分法，要让学生理解三种方法中各种变量之相互关系。
（六） 方向导数与梯度从偏导数的概念拓广到方向导数概念，并指出与偏导数之关系，其次可通过具体应用实例引入梯度之概念，可画图指出梯度与方向导数之关系，此外，顺便介绍等高线、梯度场、势场等知识加深对梯度概论的理解。
（七） 多元函数微分学应用 1、几何应用：（a ） 通过割线及到切线概念，从而得到切线方程；（b ） 曲面∑上任一点M 处的任何曲线，若M 处切线均在一个平面上，从而引入切平面与法线概念，并导出切平面与法线方程，举例说明它们的应用；（c ） 可让学生复习有关空间解析几何直线与平面有关内容。
2、极值① 与一元函数类比，讲述二元函数极值的必要和充分条件； ② 求极值问题一般分为两种情况：a 无条件条件; b 条件极值。
从无条件极值到条件极值，自然地引入到“拉格朗日乘数法”，讲解时注意此方法的基本思想、方法及步骤，另外还可优化结合起来讲解。
二、补充例题例1.设),(y x f u =，()0,,2=z e x yϕ，x y sin =，其中ϕ都具有一阶连续偏导数，且0≠∂∂z ϕ，求dxdu. 解： 分别求偏导数得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==⋅'+⋅'+⋅'++=)3(cos )2(02)1(321x dx dydx dz dx dy e x dx dz f dx dy f f dx dyy z y x ϕϕϕ (3)代入（2）3231cos 2ϕϕϕϕ''⋅-''-=y e x x dx dy(3)代入（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''⋅-''-++=3231cos 2cos ϕϕϕϕy y y x e x x f x f f dx dy ()2sin 13cos 2cos ϕϕϕ'+''-+=x e x f x f f x zy x 例2.设),(y x z 是由方程0),(=-yz x y f ，确定的隐函数，其中f 有二阶连续偏导数，求22xz∂∂. 解： 方程两边对x 求偏导0)1(21=∂∂⋅'+-'xzyf f ，21f y f x z ''=∂∂ ()22222112121122)1()1(f y x z y f y f y f f y x z y f f x z '⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅''+-''⋅'-'⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅''+-''=∂∂ 代入上式并整理得：()()()3222213211122222f y f f f f f f f x z ''''-'''+'''-=∂∂ 例3.设直线L ： ⎩⎨⎧=--+=++030y ay x b y x 在平面π上，而平面π与曲面22y x z +=相切于点)5.2,1(-，求a ，b 的值.解： 在点)5.2,1(-处曲面法向量]1.4,2[--=n ，于是切平面方程为： 0)5()2(4)1(2=--+--z y x即 0542=---z y x由L ： ⎩⎨⎧--+-=--=⇒⎩⎨⎧=--+=++)(3030b x a x z bx y y ay x b y x053442≡-+++-++∴ab ax x b x x 因而有： 05=+a 024=-+ab b 5-=a 2-=b例4.已知椭球面2222a yz xy z y x =++++，)0(>a ，①求椭球面上z 坐标为最大与最小点；②求椭球面的xOy 面上投影区域的边界曲线.解： 由于椭球面是一封闭曲面，因此椭球面上z 坐标最大与最小点一定存在，且此二点处z 值就是椭球面方程所确定隐函数),(y x z z =的最大值与最小值. 椭球面方程两边分别对x 及y 求偏导：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂++∂∂+=∂∂++∂∂+022022z y z y x y z z y x z y y x z z x 令0=∂∂xz，0=∂∂y z ，⎩⎨⎧=++=+0202z x y y x 解得：x y 2-=，x z 3=，代入椭球的方程得到ba x ±=故得两点 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-b a b a b aP 3,2,1，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b a b a b a P 3,2,2 由于椭球面确定存在z 坐标最大与最小的点，因此点1P 与2P 为所求.② 设S 是椭球面对于xOy 面投影柱面S 与椭球面切于曲线C ，则C 在上，两曲面的法向量相同都为[]y z z x y y x n ++++=2,2,2由⊥，0=⋅，即 02=+y z因此曲线C 满足 ⎩⎨⎧=+=++++02222y yz a yz xy z y x消去z 即S 的方程 22243a xy y x =++故投影区域的边界曲线为：⎪⎩⎪⎨⎧==++043222z axy y x 例5.设生产某种产品必须投入两种要素1x 和2x 分别为两要素的投入量，Q 为产出量，若生产函数为βα212x x Q =，其中α，β为正常数1=+βα，假设两种要素的价格分别为1p ，2p ，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少要可以使得投入总费用最小？解： 需要在产出量12221=βαx x 的条件下，求总费用2211x p x p +的最小值，为此作拉格朗日函数 )212()(21221121βαλx x x p x p x x F -++=，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-='=-='--)3(122)2(02)1(02212122111121βββαααλβλαx x x x p F x x p F x x 由（1），（2）得：2121x x p p αβ=故2121x p p x βα=，代入（3），ααβ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2126p p x 因此 ββα⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1216p p x由于此实际问题存在最小值，且驻点唯一，故当ββα⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1216p p x ，ααβ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2126p p x 时，投入总费用最少.例6.设⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xy f x z ,3，其中f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2，22y z ∂∂.解：2214f x f x yz'+'=∂∂ 22y z ∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+''+⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+''=222121211411f x f x x f x f x x 221231152f x f x f x ''+''+''=yx z∂∂∂22124f x f x '+'=22114f y f x ''-''+ 例7.设)(x y y =，)(x z z =是由方程)(y x xf z +=和0),,(=z y x F 所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dxdz . 解： 分别在方程的两边对x 求导得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='+'+''⎪⎭⎫ ⎝⎛++=01dx dz F dx dy F F f dx dy x f dx dz y y x 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-='+''+=+'-x y y F dx dz F dxdy F f x f dxdz dx dy f ，z y x y F f x F F f x F f x f dx dz ''+'''-''+=)(例8 求下列极限① 221)ln(limyx e x y y x ++→→ ② 11lim0-+++→→y x y x y x③ yx x y x x +→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+211lim 0 ④ 222lim x y x y x xy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+∞→ 解： ① 原式2ln lim )ln(lim 220101=++=→→→→yx e x y x y y x②令t y x =+，当0→x ，00→⇒→t y原式()211lim 11lim=++=-+=→→t t t t t③原式e x yx x x y x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+→∞→211lim 0④+∞→x ，+∞→y ，不妨设0>x ，0>y ，则21022≤+<yx xy 得：2221022x x y x xy ⎪⎭⎫⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+<，由于+∞→x lim0212=⎪⎭⎫ ⎝⎛x所以原式0=例9 设ϕ，ψ都是有连续的二阶偏导数[]⎰+-+-++=axy axy dt t a ax y ax y z )(21)()(21ψϕϕ试求：22222yz a x z ∂∂-∂∂. 解：[][])()(21)()(2ax y ax y ax y ax y a x z -+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ =∂∂22xz [][])()(2)()(22ax y ax y a ax y ax y a -'-+'+-''++''ψψϕϕ[][])()(21)()(21ax y ax y aax y ax y y z --++-'+'=∂∂ψψϕϕ =∂∂22y z [][])()(21)()(21ax y ax y aax y ax y -'-+'+-''++''ψψϕϕ 022222=∂∂-∂∂yz a x z 例10 设函数),(y x f z =在点)1,1(处可微，且1)1,1(=f ，2)1,1(=∂∂xf，3)1,1(=∂∂yf ，)),(,()(x x f x f x =ϕ，求13)(=x x dxd ϕ.解： 1)1,1())1,1(,1()1(===f f f ϕ1213)()(3)(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x x dx x d x x dxd ϕϕϕ[]121212)),(),())(,(,()),(,()(3='+''+'=x x x f x x f x x f x f x x f x f x ϕ++⋅⋅=3=1)]32(32[51三、补充练习1、证明2222200)(lim y x y x y x y x -+→→不存在.2、设vue z =而22y x u +=，xy y x v 22+=求x z ∂∂，yz∂∂及dz .⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=+-=∂∂+-=∂∂++dyy z dx x z dz e xy xy x y yz e yx y x y x x z xyy x xyyx 22222244224422 3、设⎪⎭⎫⎝⎛⋅=xy x y f x z 2，其中f 是具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2.⎪⎭⎫ ⎝⎛''+''-'+'223112213f y x f x y f x f 4、设()22y x f z -=，其中f 是具有二阶连续偏导数，求22xz∂∂.()()()2222242y x f x y xf -''+-'5、设0=-xyz e z，求yx z∂∂∂2.()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--31z xy z 6、设v e x ucos =，v e y usin =，uv z =求x z ∂∂和yz ∂∂. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂-=∂∂--)cos sin (),sin cos (v u v v e y zv u v v e x z u u7、求曲面932222=++z y x 上平行于平面01232=++-z y x 的切平面方程.)09232(=++-z y x8、考察函数xy y x f =),(在点)0,0(处是否连续？偏导数是否存在？是否可微？（连续，0)0,0(=x f ，0)0,0(=y f ，不可微）9、求函数22324y xy x x z -+-=的极值.()0,0(极大值点0)0,0(=f )10、求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛===高宽长32a。
