结构动力学变分原理

有限元与变分原理有限元方法和变分原理是结构力学和计算力学中常用的数值计算方法和理论基础。

本文将从概念、原理、应用和发展等方面介绍有限元方法和变分原理的相关知识。

一、有限元方法有限元方法是一种将连续物体离散化为有限个小区域的数值计算方法。

它将连续的物理问题转化为离散的代数问题，并通过求解代数方程组来获得物理问题的数值解。

有限元方法的基本思想是将复杂的连续介质分割成有限个简单的子域，即有限元，并在每个有限元上建立代数模型。

在建立完整的模型后，根据物理方程和边界条件，通过求解代数方程组，得到所求解的物理量。

有限元方法的优点在于能够处理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种材料和结构力学问题。

二、变分原理变分原理是解决物理问题的一种重要数学工具。

它通过构造一个泛函，将物理问题转化为极值问题，通过求解泛函的极值问题来得到物理问题的解。

在结构力学和计算力学中，常用的变分原理包括极大势能原理、最小势能原理和最小总势原理。

这些变分原理的基本思想是，在满足一定边界条件的前提下，通过对位移场进行变分，使得系统的势能或总势能取得极值，从而得到系统的平衡位置和应力分布。

三、有限元方法与变分原理的应用有限元方法和变分原理在结构力学和计算力学中得到了广泛的应用。

它们可以用于求解各种结构的静力学、动力学和热力学问题。

在工程实践中，有限元方法常用于求解杆件、梁、板、壳和体等不同类型的结构。

通过将结构分割成有限个小单元，建立有限元模型，并利用变分原理进行求解，可以得到结构的应力、位移、变形等物理量的分布情况，从而评估结构的可靠性和安全性。

有限元方法还可以用于优化设计和参数优化，以满足结构的性能要求。

四、有限元方法与变分原理的发展有限元方法和变分原理的发展已经有几十年的历史。

随着计算机技术的进步和计算软件的不断发展，有限元方法已经成为结构力学和计算力学研究和工程实践中不可或缺的工具。

目前，有限元方法已经广泛应用于航空航天、汽车、船舶、建筑、能源等领域。

§9 变分原理9.1 弹性变形体的功能原理学习要点：本节讨论弹性体的功能原理。

能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。

而功能关系是能量原理的基础。

首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．态，二者彼此独立而且无任何关系。

．．．．．．．．．．．．．．．．建立弹性体的功能关系。

功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。

9.1.1 静力可能的应力：假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。

表面积为S 可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为Su；另外一部分是表面积的面力给定，称为Sσ。

显然S=S u+Sσ假设有一组应力分量σij在弹性体内部满足平衡微分方程在面力已知的边界Sσ，满足面力边界条件这一组应力分量称为静力可能的应力。

静力可能的应力未必是真实的应力，．．．．．．．．．．．．．．．．因为真实的应力还．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．必须满足应力表达的变形协调方程．．．．．．．．．．．．．．．，但是真实的应力分量必然是静力可能的应力。

．．．．．．．．．为了区别于真实的应力分量，我们用表示静力可能的应力分量。

9.1.2 几何可能的位移：假设有一组位移分量u i和与其对应的应变分量εij，它们在弹性体内部满足几何方程在位移已知的边界S u上，满足位移边界条件这一组位移称为几何可能的位移。

几何可能的位移未必是真实的位移，因为真实的位移还必须在弹性体内部满足位移表示的平衡微分方程．．．．．．．．．．；在面力已知的边界．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

但是，真实的位移必然是．．．S．σ．上，必须满足以位移表示的面力边界条件几何可能的。

分析力学5动力学变分原理（5）西安电子科技大学郭空明qq:717004648Email：kmguo@4.1泛函与变分原理（1）4.2哈密顿原理（2）4.3连续系统的微振动（1）4.4欧拉-拉格朗日方程（1）力学的变分原理：提供一种准则，将真实的运动（满足动力学方程）从所有可能的运动中甄别出来。

具有更高的概括性和普适性。

4.1泛函和变分原理弹簧的应变能（势能）21U x k x=数值数值()2弹簧的应变能只依赖于一点的位移x ，是自变量为x 的函数。

y =f(x)当自变量x 有一增量：函数y 也有一增量：10Δy =y -y 10Δx =x -x 函数的微分Differential of a function10=f(x )-f(x )Δy =f (x)Δx'dy 与dx ，分别称为自变量x 与函数y 的微分。

dy =f (x)dx'——微分问题泛函的变分variation of functional()U U y x 函数y 有一微小变化：1y y y 泛函U 也有一增量：y1()()U U y x U y x U函数的增量δy 、泛函的增量δU 等称为变分。

研究函数的变化与泛函的增量之间的关系称为变分问题。

变分问题例子：最速下降问题质点受重力作用从A 到B 沿曲线路径自由下滑，不考虑摩擦力，求质点下降最快的路径。

1'201()2x y T y dx gy +=⎰用泛函的极值问题表示的原理称为变分原理。

普通的动力学原理直接研究真实的状态，然后得到状态所应满足的方程。

而变分原理则不然，它不是专注于实际的状态，而是考察约束所容许的一切可能的状态，根据真实状态所满足的变分条件（如：真实位移使势能取极值，势能变分为零），进而得到真实状态所应满足的方程。

{F}真实变形曲线4.2哈密顿原理：a)作用：提出了质点系的真实运动与在质点系真实运动邻近，且为约束所能允许的可能运动的区分准则。

变分原理及其应用在物理学和工程学中，变分原理被广泛应用于探究自然界和工程问题中涉及的基本定律和最优解。

变分法是一种将问题转化为“寻找使某个变量极小或极大”的数学方法，通过求解变分以获得问题的解决方案。

变分原理基础变分原理最早由伯努利家族的哥哥丹尼尔·伯努利在18世纪提出，也是最早应用变分法的学者之一。

变分原理的基本思想是将一个问题的求解转化为求解特定的函数。

例如，对于固体力学问题，我们希望求解固体的应力分布，也就是求解固体中任意两点间的内应力。

这种情况下，通过变分法，我们可以将问题简化为求解某个应变能的变分，从而推导出最小能量原理。

变分的意义在于确定使所求函数取得最值的“变量”，通过对变量的操作来得到一组动态的函数。

变分也可以被看作一种一阶微分运算。

具有不同但至关重要的现实意义的两个经典例子是勒让德原理和哈密顿-雅可比原理。

勒让德原理勒让德原理是力学的一个基本原理。

勒让德原理的本质是最小化能量的原理（最小作用量原理），它体现了自然界中存在的最小基本作用量。

对于力学问题，勒让德原理是在保证物理系统动力学表现为微扰线性的情况下，以引入变分运算来表述一个完整的力学原理。

在使用勒让德原理进行力学系统建模时，我们需要：首先确定系统的能量，系统数学表示为拉格朗日量；其次，使用变分法求解系统拉格朗日量的变分，从而确定系统遵循的运动方程；最后，利用运动方程分析系统的行为。

哈密顿-雅可比原理哈密顿-雅可比原理是关于机械运动理论的一个基本原理。

该原理强调机械作用与物质粒子的动力学特性和几何特性之间的紧密联系。

在哈密顿-雅可比原理之中，能量被视为基本概念，被公认为是一个机械运动的根本特性，机械运动使能量的变化具有一个特定的意义，这一变化往往是非线性的。

应用实例通过变分原理的应用，人们已经在许多物理学和工程学的领域中发现了许多有趣的现象。

以下是一些具体细节：建筑工程建筑工程中可以使用变分方法来寻求最小表面积问题的解决方案。