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能量原理与变分法

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能量转化的原理和计算知识点总结

能量转化的原理和计算知识点总结

能量转化的原理和计算知识点总结能量在我们的生活中起着至关重要的作用，它不断地转化和传递，给予我们生活所需的动力和热量。

了解能量转化的原理以及相关的计算知识点，可以帮助我们更好地理解和应用能量在日常生活和科学研究中的重要性。

下面将对能量转化的原理和计算知识点进行总结。

一、能量转化的原理1. 能量守恒定律能量守恒定律是能量转化的基本原理之一。

根据能量守恒定律，能量在一个封闭系统中不能被创造或者消失，只能从一种形式转化为另一种形式。

例如，当物体从静止状态下滑落时，其势能不断转化为动能，从而使物体具有运动能力。

能量守恒定律的应用帮助我们分析和解决各种能量转化过程中的问题。

2. 能量转化的形式能量可以以多种不同的形式存在和转化。

常见的能量形式包括：机械能（动能和势能）、热能、光能、电能、化学能等。

不同形式的能量之间可以相互转化。

例如，太阳光中的光能可以通过光伏电池转化为电能，人体中食物中的化学能可以转化为身体的机械能和热能。

3. 能量转化过程中的损耗在能量转化过程中，总是会存在能量的损耗。

能量的损耗主要是由于摩擦力、空气阻力、热量的散失等因素引起的。

这意味着在能量转化过程中，一部分能量总是会转化为无用的形式，无法再继续利用。

能量转化过程中的损耗是我们需要考虑和减少的问题。

二、能量的计算知识点1. 动能的计算动能是物体由于运动而具备的能量。

其计算公式为：动能 = 1/2 ×质量 ×速度²。

其中，质量的单位为千克，速度的单位为米/秒。

通过动能的计算，我们可以评估物体的运动状态以及所具有的能量大小。

2. 势能的计算势能是物体由于位置或状态而具备的能量。

常见的势能有重力势能和弹性势能。

重力势能的计算公式为：重力势能 = 质量 ×重力加速度×高度。

弹性势能的计算公式为：弹性势能 = 1/2 ×弹性常数 ×形变²。

通过势能的计算，我们可以理解物体在不同位置或状态下所具有的能量大小。

第11章 能量原理与变分法

第11章 能量原理与变分法

将（11-4）及式（c）代入，得
U x u y v z w yz w v y z z x y （d） zx u w xy v u dxdydz x y z x 对每一项进行分部积分，并应用奥斯特洛格拉斯公式，可得 x u d x d y d z u d x d y d z x x x x x udxdydz x l x udS udxdydz x
U1 U1 U1 x， y， z x y z 11 2 U1 U1 U1 yz， zx， xy yz zx xy 弹性体的比能对于任一应力分量的改变率，等于相应的形变分量。
第十一章 能量原理与变分法 来自
§11.1 §11.2 §11.3 §11.4 §11.5 §11.6 §11.7 §11.8 §11.9 §11.10
弹性体的形变势能 位移变分方程 位移变分法 位移变分法应用于平面问题 应力变分方程 应力变分法 应力变分法应用于平面问题 应力变分法应用于扭转问题 解答的唯一性 功的互等定理
x x y y z z yz yz zx zx xy xy dxdydz
代入位移变分方程（11-6）式
X u Y v Z w dxdydz X u Y v Z w dS dxdydz
实际存在的位移，满足位移边界条件、用位移分量表示的平衡微 分方程和应力边界条件、位移变分方程。位移变分方程可以代替平 衡微分方程和应力边界条件。
4. 伽辽金变分方程 根据几何方程，形变分量的变分为

能量原理及其变分法

能量原理及其变分法
U Xu Yv Zw ds Xu Yv Zw dV ]
S V


于是
进一步证明可知， 2P 2U 2W 0
对于稳定平衡状态，总势能为极小值。
P 0
第四章 能量原理及其变分法
于是得出最小势能原理：
第四章 能量原理及其变分法
在整个变形体内，各微元体满足
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
y dy __ Y
xy
xy dy y 2
x
在变形体边界处，各微元体满足
xl xy m X 0 xy l y m Y 0
o
x dx y dy ds __ x 2 dx X y y 2 xy dx xy x 2 yx y dy dy yx y dy y y x x dx x Y x xy X
xy yx
xy
dx
§ 4-3 最小势能原理
按照能量守恒定律，应变能的增加，即总虚应变能或应变
能的变分δ U，应等于外力的总虚功δ W，即 U W 其中，外力总虚功为实际的体积力和表面力在相应的虚位移 上所做的功，即 W X u Y v Z w ds X u Y v Z w dV
X u Y v ds X u Y v dV
x
x
y y xy xy dV
S
V
V
第四章 能量原理及其变分法
所以
x xy xy y X u Y v dV x y y x V

能量原理与变分法

能量原理与变分法

最小势能原理
• 内力虚功
物体是弹性的，则单位体积内的内力虚功
对于整个弹性体
内力虚功＝应变能因虚位移而引起的改变
• 外力虚功
如果作用的外力是保守力，大小和方向都不变，只是作用点的位置改变
外力虚功＝外力势能因虚位移而引起的改变
将上述结果代入虚功原理，得位移变分原理
称为弹性体的总势能，它是应变能与外力势能之和
变形可能态
➢ 在物体内位移与应变满足几何方程
➢ 在位移边界Su上，满足位移边界条件
ud=
vd=
wd=
变形协调
静力可能状态（s）和变形可能状态（d）是同一物体的两种不同的 受力状态和变形状态，两者可以彼此完全独立而没有任何关系
静力可能状态的应力所给出的变形一般不满足变形协调 变形可能状态给出的应力一般不满足平衡微分方程
使用位移法求解，应力、应变等都通过几何方程和物理方程看作是 位移的函数。
若位移及与之相应的应力与应变满足： （1）单值连续（由它给出的应变满足变形协调条件）， （2）位移边界条件， （3）平衡微分方程， （4）静力边界条件， 则该位移就是问题的解，即为真实位移。
仅满足前两个条件的位移场是变形可能的位移场，而后两个条件等价于虚位移 原理。 故 求解弹性力学问题又可叙述为： (1)在所有变形可能的位移场中，寻找所给出的应力能满足虚位移原理的位移场 。 或者 (2) 真实的位移场除必须是变形可能的位移外，它所给出的应力还应满足虚位 移原理。
➢ 从弹性体的真实状态出发产生虚位移，所引起的总势能变分应为零， 即在真实状态总势能取极值。
➢ 对于处于稳定平衡的真实状态，应是取最小值， ➢ 最小势能原理：在所有变形可能的位移中，使总势能达到最小值的位
移，就是真实的位移。

弹塑性力学能量原理与变分法

弹塑性力学能量原理与变分法

U = U ( y ( x) ) = y1 − y = δy
U max
δU = 0
1
函数 y 也有一增量： Δy 泛函 U 也有一增量：
（2）球下落问题 球从位置1下 落至位置2，所需 时间为T，
ΔU = U [ y1 ( x)] − U [ y ( x)] = δU
f ( x)
函数的增量δy 、泛函的增量 δU 等 称为变分。 研究自变函数的增量与泛函的增量 间关 系称为变分问题。 当
[
]
（e）
Vε = ∫∫∫ vε dxdydz
2 2 = 1 ∫∫∫ (σ x +σ y + σ z2 ) − 2 μ (σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x ) 2E 2 2 2 + 2(1 + μ )(τ yz + τ zx + τ xy ) dxdydz
[
]
（11-1） 将式（e）分别对6 个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：
（a）以位移为基本未知量， 得到最小势（位）能原理等。—— 位移法 （b）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。 —— 力法
（c）同时以位移、应力、应变为未知量， 得到 广义（约束）变分原理。 求解方法： —— 混合法 里兹（Ritz）法，伽辽金（Galerkin ）法， 加权残值（ 余量）法等。 —— 有限单元法、边界元法、离散元法 等数值解法的理论基础。
§11-1 弹性体的形变势能
1. 形变势能的一般表达式
单向拉伸： 外力所做的功： P P l0
W = 1 PΔl 2
O
由于在静载（缓慢加载）条件下， 其它能量损失很小，所外力功全部转化 杆件的形变势能（变形能） Vε ：

变分法(能量原理)

变分法(能量原理)
x

y
y

yz
z
) v ( zx
x

zy
y

z
z
)
w

dV

( xl xym xzn) u ( yxl ym yzn) v ( zxl zym zn) w dS
S
(Px u Py v Pz w) dS
S

V
(
x x

xy y

xz z

X ) u ( yx x

y y

yz z
Y ) v ( zx x

zy y

z z

Z
)
w

A1

B1

B1

0
A1

0


0
B1
Eab
2(1
2
)
(
A1

B1
)

q1ab

Eab
2(1
2
)
(
B1

A1
)

q2
ab

A1


q1

E
q2

B1Βιβλιοθήκη q2E
q1

u


q1
q2
E
x
v
V
S
( X u Y v Z w)dV (Px u Py v Pz w)dS
V
S
由于虚位移而产生的虚变形能为：

5.能量法1(变分法)ppt9.tmp


=
4
s 3
U c
w&bx ,bx ,bx,xn
=
4 3
sb0
h0v0
w&
bx
,bx
,bx,
xn
4 3
σ
s
vRbn
hn
w&
bx
,bx
,bx,
xn
F bx
d dx
F bx
d2 dx2
F 0 bx
6.里兹法 bxx
b0
a1
x
3b0a2 l2
2a1 l
x 2
a1 l2
2b0a2 l2
x 3
x2 y2 h4
1
1 3
x2 l2
2
4a2
x2 y2 l4
1
y2 h2
2
24a2
x2 y2 l2h2
1
1 3
x2 l2
1
y2 h2
简化计算
平面变形压缩
x y ,
m
2
3
2 3
3
a
0.416m l h
0.213
0.648
l2 h2
0.026
h2 l2
（5.14)
z
只宽展II:
vxII = vx0 ,
v y II
- hxvx0 hx
y,
vzII =
hxvx0 hx
z
z
加权: hx
vx
=
avx
+ 1 -
a
vxΙΙ
=
1
a
1
h0 hx
vx0
y
vy
=

变分基本知识及变分法

第一章 变分原理与变分法1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。

变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。

Examples :① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）；③CB AC EB AE +>+Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。

二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→⊂r J )(|}Examples :① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 数域‖A ‖1 = ∑=ni ij ja 1max ；∑=∞=nj ij ia A 1max；21)(1122∑∑===n j ni ij a A② 函数的积分： 函数空间数域 D ⊂=⎰n ba n f dxx f J )(Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。

Discussion ：① 判定下列那些是泛函：)(max x f f b x a <<=；x y x f ∂∂),(； 3x+5y=2； ⎰+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。

物理问题中的泛函举例① 弹性地基梁的系统势能i. 梁的弯曲应变能： ⎰=∏l b dx dxw d EJ 0222)(21ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ⎰=∏0221 iii. 外力位能： ⎰-=∏l l qwdx 0iv. 系统总的势能：000;})({221222021===-+=∏⎰dxdww x dx qw kw dxw d EJ l泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。

变分基本知识及变分法

第一章 变分原理与变分法1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。

变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。

Examples :① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）；③CB AC EB AE +>+Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。

二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→⊂r J )(|}Examples :① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 数域‖A ‖1 = ∑=ni ij ja 1max ；∑=∞=nj ij ia A 1max；21)(1122∑∑===n j ni ij a A② 函数的积分： 函数空间数域 D ⊂=⎰n ba n f dxx f J )(Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。

Discussion ：① 判定下列那些是泛函：)(max x f f b x a <<=；x y x f ∂∂),(； 3x+5y=2； ⎰+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。

物理问题中的泛函举例① 弹性地基梁的系统势能i. 梁的弯曲应变能： ⎰=∏l b dx dxw d EJ 0222)(21ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ⎰=∏0221 iii. 外力位能： ⎰-=∏l l qwdx 0iv. 系统总的势能：000;})({221222021===-+=∏⎰dxdww x dx qw kw dxw d EJ l泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。

5.能量法1(变分法)ppt9.tmp


bx+dbx
b0
bx x
dx
vz
z = hx
vz ′ = vx hx → vx
z = hx
dhx dz ′ = hx = = dx dx
z vx hx dx
hx + dhx
流线微分方程
4 应变速率场
bx hx ′ ′ ′ ′ ∂vx U bx hx ɺ εx = =− + = −v x + ∂x cbx hx bx hx bx hx ∂v v v ∂v ɺ ɺ ′ ε y = y = x bx ε z = z = x hx' ∂y bx ∂z hx Uz 1 ∂v ∂v ɺ ε xz = z + x = 2 ∂x ∂z 2chx bx h′′ h′ b′ x− x x hx hx bx 2 hx ′ − 2 hx 2 bx ′ − 2 bx
2 小林速度场
U 1 vx = c hx bx
小林取
y z
φ = cbx(5.65) Nhomakorabea′ bx U 1 db x y = vx vy = bx c h x b x dx b x ′ hx U 1 dh x z vz = = vx c h x b x dx h x hx
ε xz = ε zy = 0
体积不变条件确定 a0
⑶ a 和工件外形的确定
∆h ∆h ⋅ l = ∫ u x dy → a0 = =ε 0 x =l h
h
ϕ =σs ∫
l
0 0
∫
h
ε dxdy + m
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1 M e 2
Ml M Me , EI z
土木工程与力学学院 · 罗文波
7
弹塑性力学
组合变形情况下杆件的变形能： 在所截取的微段内，可 以认为内力为常量。轴 力、剪力、弯矩、扭矩 对微段来说是处于外力 位置。所以
d U dW
整个杆的变形能
1 1 1 1 FN d( l ) M d T d kFQ d 2 2 2 2 2 2 FN d x M 2 d x T 2 d x kFQ d x 2 EA 2 EI z 2GI p 2GA
土木工程与力学学院 · 罗文波
3
弹塑性力学
变形能的计算：
F1、F2 Fn 如果弹性体上作用几个广义力（包括力偶）， 1、 2 n ，那么 产生相应的广义位移（包括角位移）
非线性弹性体的变形能：
U W 0 Fi d i
i 1 n i
线性弹性体的变形能：
1 1 1 U W F1 1 F2 2 Fn n 2 2 2
弹塑性力学
能量原理与变分法
土木工程与力学学院 · 罗文波
弹塑性力学
§12-1 外力功 变形能
外力功：弹性体在外力作用下发生变形，于是外力的作用 点将沿外力的作用方向产生位移（相应位移）。外力在相 应位移上所作的功称为外力功。 变形能：在外力作功的同时，弹性体因变形而具有了作功 的能力，即弹性体因变形而储存了能量。这种能量称为变 形能。 外力功和变形能的关系：若外力从零平缓地增加到最终值， 则变形中的弹性体每一瞬时都处于平衡状态，故其动能和 其它能量损失不计，于是认为全部外力共都转变成变形能。 即： W U 能量法：利用外力功和变形能的概念，建立分析变形、位 移、内力的原理和方法，称为能量法。
克拉比隆（ Clapeyron ）原理：弹性体的变形能等于广义力与其 相应广义位移乘积之半的总和。
4
土木工程与力学学院 · 罗文波
弹塑性力学
例：现有a，b，c三根杆，已知其长度l 和刚度EA 相等， 求：各杆的变形能。
(a)
(b)
(c)
U a U b U c ?
特性1：计算U时不 能用叠加原理。
1 2
P1
P1
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弹塑性力学
(a)
(b)
(c)
2 (P P ) l 1 2 Uc 2 EA
P1
P2
P1 P2
2 2 P l P l 1 2l 1 2 PP 2 EA 2 EA EA
P 1 1l P1l1 l 先加 P 1 对于 1 2 EA 1 P l 杆C 再加P P2 l2 2 l 2 2 2 EA P l
1 2
1 1 Uc P P2 l2 P 1l1 1l2 2 2 2 P P22l PP l 1 l 1 2 2 EA 2 EA EA
特性2：U 只与载荷的最终数值有关； 与加载方式无关。
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6
弹塑性力学
杆件在基本变形情况下的变形能： 位移与力的 变形形式 外力功 关系
P2 P2 N a P1 N b P2 N c P1 P2 2 2 2 P l P l ( P P ) l 2 1 2 1 U Uc Ua b 2 EA 2 EA 2 EA P 1 1l 1 1 P1l1 l1 对于 先加 P 1 Uc P P2 l2 P 2 EA 1l1 1l2 2 2 1 P2l 杆C 再加P P2 l2 l Ua Ub P 2 2 2 1l2 EA P l
在静力边界上满足静力边界条件
s s s l m z yx zx n X s s s zy l y m zy n Y s s s l m xz yz zn Z
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2
弹塑性力学
§12-2 外力功和变形能的计算
外力功的计算：
F
F
在线弹性范围内:
W F 2
F
——广义力 ——广义位移
F
F1
o



梁为非弹性体时：
M2
A
1
2
B
W 0 F1 d 0 M 2 d
1
1
梁为弹性体时：
1 1 W F1 1 M 2 2 2 2

积分方程（能量的变分为零）

变分法
变分法与微分方程的描述，两者可以转化 变分法是有限元方法的基础
土木工程与力学学院 · 罗文波
10
弹塑性力学
静力可能状态
物体Q，在内部受体力(X，Y，Z)作用， 在静力边界S上受面力( X ， Y， Z )作用
外力与内力(应力） 处处（物体内和边界上） 满足平衡。
(X,Y,Z)
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11
弹塑性力学
在物体内满足平衡微分方程
s s s yx x zx X 0 x y z
s sy s xy zy Y 0 x y z syz s s xz z Z 0 x y z
2 2 kFQ dx FN dx M2d x T2d x U l l l l 2 EA 2 EI z 2GI p 2GA
注意：对以抗弯为主的杆件及杆系，因轴力和剪力远小于 弯矩对变形的影响，所以在计算这类杆件的变形时 通常不计轴力和剪力的影响。
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8
弹塑性力学
思考：变形能的计算能不能用叠加原理
M M1 M 2
M1
M 1 dx U1 2 EI
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M2
M 2 dx U2 2 EI
2
U
?U
1
U2
土木工程与力学学院 · 罗文波
9
弹塑性力学
能量原理与变分法
材料质点（微单元体）

静力平衡
变形几何 物理关系

偏微分方程
整个变形体的能量
1 W Fl 2
1 W F 2 1 M e 2
F l FN F , l N EA
变形能
2 FN l U 2 EA
FQ F ,
FQ l GA
U
2 FQ l
2GA
W
Tl T Me , GI p
T 2l U 2GI p
M 2l U 2 EI z
W