变分原理
变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律，或称最小作用原理。
例如：实际上光的传播遵循最小能量原理：
在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
一、举一个例子（泛函）
变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论。
在理论上和实践上均需要放宽解的条件。因此，引入弱解以及边值问题的弱的形式即变分形式。在讨论二阶椭圆边值问题时的Lax-Milgram 定理。
Poisson 方程的Neumann 问题
设Ω是单连通域，考察Poisson 方程的Neumann 问题
(N) ???
?
???
=??=?-Γ,g n u f u u ，在Ω内，，使得求函数
这里)(),(2/12Γ∈Ω∈-H g L f ，且满足
01
,=+Γ
Ω
?
g f d x
其中的对偶积表示)()(,2/12/1Γ?Γ??-ΓH H .
问题（N ）的解，虽然是不唯一的，但是，若把问题（N ）局限于商空间)(V 1Ω=H 内求解，且赋予商范数
ΩΩ∈Ω=,1)
(/)(1
1i n f ?v v
H v R
H ,V v ∈? 可以得到唯一解。实际上，由定理5.8推出R
H v
/)(1?Ω等价于半范Ω→,1?v v
. 定义双线性泛函R V V →?:
V v u v v u u v u v u B ∈∈∈???=?,?,?,?),,()?,?（ 和线性泛函
V v v
v u g fdx v
l ∈∈?+→Γ
Ω??,?,,?:. 其右端与v v ?∈无关。因此v ?中的元素仅仅相差一个任意常数，同时，可以判定'V l ∈，实际上
,,2/1,2/1,0,0)?(ΓΓ
-Ω
Ω
+≤v g
v
f v
l
利用范数)(2/1ΓH 定义，有
v
v v g
f v l ?,
)()?(,1,2/1,0∈?+≤ΓΓ
-Ω
， 从而 Γ
-Ω
+≤,2/1,0'
g
f
l
V
由范数等价性定理，可得
V V
v
u c v u v u
B ??)?,?(,1,1≤≤ΩΩ 2
2
,1?)?,?(V u u u u
B γ≥=Ω 也就是，双线性形式)?,?(v u
B 在R H V /)(1Ω=上是对称、连续和强制的。根据Lax-Milgram 定理，问题（N ）的变分问题：
???∈?=∈V
v v v u V u
N ?,?,)?,?B ?)('
（使得求
存在唯一的解V u
∈?，且有 V V l u
γ≤?. 利用商范数等价性定理则有，存在常数0>c ，使得 )(,2/1,0,1Γ
-Ω
Ω+≤g
f
c u .
问题）'(N 存在唯一解V u
∈?，并且对每个u u ?∈，它连续依赖于问题()N 的定解条件。且上式成立.
进一步可以证明，如果Γ充分光滑，)(2Ω∈-m H f ，,2),(2/3≥Γ∈-m H g m 那
么R H u
m /)(?Ω∈，且 (
)Γ
-Ω
-Ω+≤,2/3,2,m m m g
f c u ， u u ?∈?。
二、基本运算法则
自变函数的变分)(x y δ是x 的函数，于是可以用x 求导数
[]??
?
???=-=-=dx x dy x y x y dx x dy dx x dy x y dx d i i )()()()()()(''δδ 即
[]??
????=dx x dy x y dx d )()(δδ 因此，变分δ和导数dx
d
的运算可换，变分的导数等于导数的变分。 同理有：
[])()(''''x y x y δ
δ= [])()(x y x y n n δ
δ=
其它的运算规则如下：
()2121)1(∏+∏=∏+∏δδδ ()211221)2(∏∏+∏∏=∏∏δδδ
()()()22211221//3∏∏∏-∏∏=∏∏δδδ
()
∏∏=∏-δδ14n n n
()()n n y y δδ=)(5 ()
??∏=∏2
1
21
6x x x x dx
dx δδ
三、 变分原理（线性和自然变分原理）
1.线性、自伴随微分算子
如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则
不仅可以建立它的等效积分形式，并可以利用加权余量法求其近似解； 还可建立与之相等的变分原理，基于它的另一种近似求解方法---Ritz 法。 线性、自伴随微分方程的定义： 微分方程()0=+b u L Ωin
L 为微分算子
若L 具有性质：()()()2121u L u L u u L βαβα+=+ 则称L 为线性微分算子。
若()?Ω
Ωvd u L L 内积后，求积；（其中v 为任意函数）
对上式分部积分，直至u 的导数消失，得：
()()??Ω
Ω
+Ω=Ωv u t b d v uL vd u L ,..)(*
（其中()v u t b ,..为边界项）
称*L 为L 的伴随算子
若L L =*则称算子是自伴随。 2.泛函的构造
Ω∈?x ()()0=+≡f u L u A Γ∈?x ()0=u B
利用Galertkin （伽辽金）格式
()()()0u =Γ+Ω+??Γ
Ω
d u B u d f L u T T δδ
因为算子是线性、自伴随的，所以：
()()()Ω??
????+=??Ω
d u L u u L u u L u T
T T δδδ2
12
1
简单分解 ()Ω???
???+=??ΩΩd u L u u L u u L u T T T )(21)(21δδδ
分部积分 ),.(.)(21)(21u u t b d u L u u L u T T δδδ+Ω???
???+=?Ω
线性算子性质 ),..(.)(21)(21u u t b d u L u u L u T T δ
δδ+Ω???
??
?+=?Ω 微分的计算性质),.(.)(21
u u t b d u L u T δδ+Ω=?Ω
微分方程的等效积分形式：
()()()0T =Γ-Ω+??Ω
Γ
d u B u d f u L u T
δδ
()()0=Γ-Ω+Ω???Γ
Ω
Ω
d u B u fd u d u L u T T T δδδ
整理得到：0=∏δ
原问题的泛函()()u t b fd u u L u T T ..21+???
???Ω+=∏?Ω
变分原理是针对以下积分形式定义的标量泛函而言，
()Γ???
?
??????+Ω??? ???????=∏??ΓΩd x u u E d x u u F u ,,,,
对于未知场函数u ，任意一个微小的变化u δ，使)(u ∏取驻值的u 即为问题的控制方程及边界条件的解。
原问题微分方程和边界条件的等效积分的Galerkin 提法等效于泛函取驻值。
反之泛函取驻值则等效于微分方程和边界条件。
这里泛函可以通过等效积分的Galerkin 提法得到。这种变分原理称为自然变分原理。
例如，弹性力学中的最小位能原理、粘性流体中最小能力耗散原理，称为自然变分原理。
例如，最小位能原理 体系的总位能：
应变能：Ω=Ω??Ω
Ωd Ud T σε21
外力势能：Γ-Ω-??Γ
Ω
d T u u T T
势能泛函：Γ-Ω-Ω=∏???Γ
ΩΩd T u d f u d u T T T σε21
)(
最小位能原理
真实位移u 是体系总位能取极小值，即：()0=∏u δ 其中：
()Lu u =ε D L u D ==εσ
近似解 []
a N N N Na a N u u n n
i i i ??????===≈∑=211
n n a N a N a N +???????++=2211
其中：???
?
??????????=??????n a a a 1 n a a ??????1待定参数向量（未知）
N N N ??????1 试探函数矩阵（事先选定）
对三维问题：????
?
???
??=i i i i N N N N 000
00
泛函：
()ds T N a fdV N a DLNdVa LN a S T T V T T T V
T
???--=∏σ
21
变分：02211=?∏
?+??????+?∏?+?∏?=
∏n n
a a a a a a δδδδ n a a a δδδ??????21,相互对立
所以，01=?∏?a ， 02=?∏?a ， ?????? 0=?∏
?n a 或 0=?∏?a 由：0=?∏
?a
得到矩阵形式 F Ka = 其中()DLNdV LN K T
V ?= ds T N dV f N F S T
V
T ??+=σ
共有3Xn 个方程
若n N N ?????1为完备的函数系列 则，∞→n 时，u
收敛于精确解， 若n 为有限项，则u 为近似解。
上述方法为Ritz 法
Ritz （里兹）法------基于变分原理的近似解法 1. 求解步骤：
1） 假设近似解：i n
i i a N u u ∑==≈1
i a 为待定参数，满足强制边界条件。
2） 将u 代入
()u
∏ 泛函)(u ∏的极值问题（求函数u ），转化为求多元（n a a ??????1）函数的极值问题。
()0=?∏?i a u ? i i i F a K = 3） 求解线性代数方程组
? i a ? u 的近似解
2. 解的收敛性
1） 连续性要求i N 满足1-m C 阶连续性 2） 完备性要求i N 取自完备的函数序列
关于强制边界条件与自然边界条件 若微分算子是线性自伴随的，
Galerkin 法的等效积分形式 → 问题泛函 → 近似场函数u
应满足
强制边界条件
假如微分算子是2m 阶
0至m-1阶导的边界条件称为强制边界条件 m 至2m-1阶导的边界条件称为自然边界条件 未知场函数无需事先满足自然边界条件
关于解的下限性
u u u δ+= ， δεεε+= ， δσσσ+=
()TdS u fdV u dV D u S T V T V
T p ???--=∏σ
εε
21
()()()()T d S u u f d V
u u dV D T S T V T V
???+-+-++=σ
δδδεεδεε21
()()
P
P P V
T V S T V T T u v S T V T T P dV
D TdS u fdV u dV D TdS u fdV u dV D u ∏∏∏???????+--+--=∏2
2121
δδδεδεδδδεεεεσσ ()()u u p P P ∏≥∏→>∏ 02
δ
所以真解是泛函取最小极值。 最小余能原理：
真解使得系统的总余能最小。 考虑平衡方程：
()()()0
0===Γ
∈?=+≡Ω∈?T n u B x f L u A x T σσ
其中：????
????
?
?=x z y
z x y z
y x
n n n n n n n n n n 000
000
000
系统的总余能
应变余能：Ω=Ω=??ΩΩ
d C d W U kl ij ijkl σσσσ21
余势能：dS p u i S i u
?-
余能泛函：()dS p u d C S
i i kl ij ijkl C ??-Ω=∏Ωσσσ21
则有：
0=-Ω??Ω
dS u p d U
S i i ij ij δεδσ
即，所有可能应力中，真解使系统的余能取极小值。
最小势能原理解的下限性：
设弹性体的应变能 Ω=?Ω
d W U εε εW 应变能密度
设弹性体的应变余能Ω=?Ω
d W U σσ σW 应变余能密度
并且： ij ij d W IJ εσεε?=0
?=ij
ij ij d W σσσε0
对弹性材料 2/ij ij W W εσσε==或ij ij W W εσσε=+ 同时我们已知
()()0=∏+∏ij C i p u σ
最终分析结果
Ω-=Ω-=∏??Ω
Ωd W d D kl ij ijkl p εεε21
()()u u p p
∏≥∏
Ω<Ω??Ω
Ωd D d D kl ij ijkl kl ij ijkl εεεε2121 、 ? 近似位移场总体偏小。
同样的分析得到：
由最小余能原理得到的近似应力场，总体偏大。
第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间数域 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1max ；21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A ② 函数的积分： 函数空间数域
D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?=∏0 221 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({2 2122202 1===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使 系统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B ,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x
1有限元变分原理 有限元是求解偏微分方程的数值方法，在数学上属于变分法范畴，是古典的 Ritz－Galerkin方法与分片多项式插值的结合。古典的Ritz－Galerkin方法的试函 数是求解域内的连续函数，有限元法的试函数是分片多项式。作为变分法的试函 数产生了很大区别：古典的Ritz－Galerkin方法的试函数要求域内的连续或平方 可积且满足位移边界条件，试函数定义在泛函分析的Hilbert空间，或称为内积 空间。有限元法的试函数要求在单元域内连续或平方可积，且不用考虑位移边界 条件，因为有限元是以节点位移参数为未知数，可以直接代入位移边界条件，但 是单元间出现了连续性条件，即所谓的平面和三维弹性问题的C0连续，和薄板 问题的C1连续等，相对古典的Ritz－Galerkin方法的试函数是一种广义函数。有 限元试函数定义在泛函分析的Sobolev空间，或称为广义导数空间。 2 分片检验 2.1分片检验 长期以来在有限元收敛理论中的分片检验成为关注的焦点，同时也是一个疑难症。分片检验所以倍受关注，是因为它不仅可以用于检验单元的收敛性还可以用于构造收敛单元，而且十分方便。分片检验的研究大致经历了如下三个里程。第一，1965年Irons提出了不协调元的分片检验条件(Patch Test) [1,2]，这是一个通过数值计算检验单元的收敛性的方法，可以通过对一小片有限元问题的数值计算检验单元的收敛性，也是有限元法中最实用的检验单元收敛性的方法，但是，作为一种数值检验的方法，在数学和力学原理上的提法都不够严密，而有限元的单元收敛性又是不能回避的问题。鉴于这个方法的有效性和实用性，人们一直对其开展系列的理论研究工作。1972年Strang首先给出分片检验的数学描述[3]，后来，这个条件被解释成对一个单元的约束条件，称之为单体条件[4]，这个条件使用很方便，可以做为单体的约束条件构造单元函数，但是，对这个分片检验一直缺少严格的数学证明。第二，1980年Stummel 基于严格的数学理论，建立了不协调元收敛的充分必要条件-广义分片检验[5]，并且，通过举反例证明Irons的分片检验即不充分也不必要[6]。这个严格的理论是整体条件，而非单体条件，应用很困难，只限于用于少量单元的检验，而且需要有相当的泛函分析基础，对于大多数单元无法得到应用，更是无法用于指导构造不协调元，因此深入研究实用的不协调元收敛性条件是十分必要的。 此间，还推出了一些实用的充分条件，例如，F-E-M检验[7] 和IPT 检验[8]等，1995年建立了C0类非协调元收敛准则—强分片检验(SPT) [9]，1997年基于加权Sobolev 空间理论，建立了轴对称非协调元收敛准则—强分片检验(ASPT) [10]。但是，数学的严格理论(例如，广义分片检验)难以在力学中应用，实用的力学准则(例如，分
变分原理在物理学中的应用 [摘要]从变分法出发，简述了变分原理的建立和发展;并就变分原理在各个学科的应用予以列举，为变分原理的初学者作以引导。 [关键字] 变分法；变分原理；发展历程；应用。 引言 变分原理愈来愈引起重视。固体力学变分原理的发展最为成熟,流体力学变分原理近年来也获得突破, 电磁学、传热学等领域变分原理在不断应用和发展。这是因为变分原理与有限元结合起来使古典的变分原理焕发青春[1]。本文就变分原理的发展历程和变分原理在物理学中的应用予以概括, 以形成一个了解变分原理的脉络，为更好的应用变分原理打下基础。 1.变分原理发展简史 年份历史事件 1696年约翰·伯努利提出最速曲线问题开始出现 1733年欧拉首先详尽的阐述了这个问题. 他的《变分原理》(Elementa Calculi Variationum)寄予了这门科学这个名字。 1786年拉格朗日确定了变分法, 但在对极大和极小的区别不完全令人满意。 1810~1831年Vincenzo Brunacci, Carl Friedrich Gauss, Simeon Poisson，Mikhail Ostrogradsky和Carl Jacobi对于这两者的区别都曾做出过贡献。 1842年柯西Cauchy浓缩和修改了变分法，建立了一套严格的理论。 1849~1885年Strauch, Jellett, Otto Hesse, Alfred Clebsch和Carll写了一些其他有价值的论文和研究报告。 1872年Weierstrass系统建立了实分析和复分析的基础，基本上完成了分析的算术化。他关于这个理论的著名教材是划时代的, 并且他可能是第一个将变分法置于一个稳固而不容置疑的基础上的。 1900年希尔伯特(Hilbert)发表的第20和23个数学问题促进了变分思想更深远的发展。 20世纪初David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue和Jacques Hadamard 等人做出重要贡献。 20世纪30年代Marston Morse 将变分法应用在Morse理论中。
第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵数：线性算子（矩阵）空间 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1 max ；21 )(11 2 2 ∑∑===n j n i ij a A
② 函数的积分： 函数空间 数域 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?= ∏02 2 1 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({221222 021 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使得 有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x
§9 变分原理 9.1 弹性变形体的功能原理 学习要点： 本节讨论弹性体的功能原理。能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使 得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。而功能关系是能量原理的基础。 首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力 和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 态，二者彼此独立而且无任何关系。 ．．．．．．．．．．．．．．．． 建立弹性体的功能关系。功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。 9.1.1 静力可能的应力： 假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。 表面积为S 可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为Su；另外一部分是表面积的面力给定，称为Sσ。 +Sσ 显然S=S u 假设有一组应力分量σij在弹性体内部满足平衡微分方程
在面力已知的边界Sσ，满足面力边界条件 这一组应力分量称为静力可能的应力。静力可能的应力未必是真实的应力， ．．．．．．．．．．．．．．．． 因为真实的应力还 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．必须满足应力表达的变形协调方程 ．．．．．．．．．．．．．．．，但是真实的应力分量必然 是静力可能的应力。 ．．．．．．．．． 为了区别于真实的应力分量，我们用表示静力可能的应力分量。 9.1.2 几何可能的位移： 假设有一组位移分量u i和与其对应的应变分量εij，它们在弹性体内部满足几何方程 在位移已知的边界S u上，满足位移边界条件 这一组位移称为几何可能的位移。几何可能的位移未必是真实的位移，因 为真实的位移还必须在弹性体内部满足位移表示的平衡微分方程 ．．．． ．．．．．．；在面力已知 的边界 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．。但是，真实的位移必然是．．．S．σ．上，必须满足以位移表示的面力边界条件 几何可能的。 为了区别于真实的位移，用表示几何可能的位移。 几何可能的位移产生的应变分量记作。
第十一章弹性力学的变分原理知识点 静力可能的应力 弹性体的功能关系 功的互等定理 弹性体的总势能 虚应力 应变余能函数 应力变分方程 最小余能原理的近似解法扭转问题最小余能近似解有限元原理与变分原理有限元原理的基本概念有限元整体分析几何可能的位移 虚位移 虚功原理 最小势能原理 瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz)法 伽辽金(Гапёркин）法 最小余能原理 平面问题最小余能近似解 基于最小势能原理的近似计算方法基于最小余能原理的近似计算方法有限元单元分析 一、内容介绍 由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题，只能采用半逆解方法得到个别问题解答。一般问题的求解是十分困难的，甚至是不可能的。因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。 变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基本方程的定解问题，转换为求解泛函的极值或者驻值问题，这样就将基本方程由偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。变分原理不仅是弹性力学近似解法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。 本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理，并且应用变分原理求解弹
性力学问题。最后，将介绍有限元方法的基本概念。 本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习附录3或者查阅参考资料。 二、重点 1、几何可能的位移和静力可能的应力； 2、弹性体的虚功原理； 3、 最小势能原理及其应用；4、最小余能原理及其应用；5、有限元原理 的基本概念。 §11.1 弹性变形体的功能原理 学习思路: 本节讨论弹性体的功能原理。能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。而功能关系是能量原理的基础。 首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力 和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。 建立弹性体的功能关系。功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。 学习要点： 1、静力可能的应力； 2、几何可能的位移； 3、弹性体的功能关系； 4、真实应力和位移分量表达的功能关系。 1、静力可能的应力 假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。表面积为S可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为S u；另外一部分是表面积的面力给定，称为Sσ 。如图所示
变分原理 变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律，或称最小作用原理。 例如：实际上光的传播遵循最小能量原理： 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 一、举一个例子（泛函） 变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论。 在理论上和实践上均需要放宽解的条件。因此，引入弱解以及边值问题的弱的形式即变分形式。在讨论二阶椭圆边值问题时的Lax-Milgram 定理。 Poisson 方程的Neumann 问题 设Ω是单连通域，考察Poisson 方程的Neumann 问题 (N) ??? ? ??? =??=?-Γ,g n u f u u ，在Ω内，，使得求函数 这里)(),(2/12Γ∈Ω∈-H g L f ，且满足 01 ,=+Γ Ω ? g f d x 其中的对偶积表示)()(,2/12/1Γ?Γ??-ΓH H . 问题（N ）的解，虽然是不唯一的，但是，若把问题（N ）局限于商空间)(V 1Ω=H 内求解，且赋予商范数 ΩΩ∈Ω=,1) (/)(1 1i n f ?v v H v R H ,V v ∈? 可以得到唯一解。实际上，由定理5.8推出R H v /)(1?Ω等价于半范Ω→,1?v v . 定义双线性泛函R V V →?: V v u v v u u v u v u B ∈∈∈???=?,?,?,?),,()?,?（ 和线性泛函 V v v v u g fdx v l ∈∈?+→Γ Ω??,?,,?:. 其右端与v v ?∈无关。因此v ?中的元素仅仅相差一个任意常数，同时，可以判定'V l ∈，实际上 ,,2/1,2/1,0,0)?(ΓΓ -Ω Ω +≤v g v f v l
第一章 变分原理与变分法 1、1 关于变分原理与变分法(物质世界存在的基本守恒法则) 一、 大自然总就是以可能最好的方式安排一切,似乎存在着各种安排原理: 昼/夜,日/月,阴/阳,静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物:平衡体的最小能量原理,对称/相似原理; 对运动事物:能量守恒,动量(矩)守恒,熵增原理等。 变分原理就是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律,获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播; ② 光线入射角等于反射角,光线在反射中也就是光传播最短路径(Heron); ③ 光线折射遵循时间最短的途径 CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理; 在静力学中的稳定平衡本质上就是势能最小的原理。 二、变分法就是自然界变分原理的数学规划方法(求解约束方程系统极值的数学 方法),就是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义:数学空间(集合)上的元素(定义域)与一个实数域间(值域)间的(映 射)关系 特征描述法:{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数:线性算子(矩阵)空间 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ;∑=∞=n j ij i a A 1max ;21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A
② 函数的积分: 函数空间 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量就是集合中的元素(定义域);值域就是实数域。 Discussion : ① 判定下列那些就是泛函: )(max x f f b x a <<=; x y x f ??) ,(; 3x+5y=2; ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i 、 梁的弯曲应变能: ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii 、 弹性地基贮存的能量: dx kw l f ?= ∏02 2 1 iii 、 外力位能: ?-=∏l l qwdx 0 iv 、 系统总的势能: 00 0;})({221222 021 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法:有一种梁的挠度函数(与载荷无关),就会有一个对应的系统 势能。 泛函驻值提法:在满足位移边界条件的所有挠度函数中,找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题:已知空间两点A 与B ,A 高于B ,要求在两点间连接一条曲线,使得有 重物从A 沿此曲线自由下滑时,从A 到B 所需时间最短(忽略摩擦力)。 作法: i 、 通过A 与B 作一垂直于水平面的平面,取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知:x = 0,y = 0;x = a ,y = b ii 、 建立泛函: x
变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、大自然总是以可能最好的方式安排一切， 似乎存在着各种安排原理: 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理; 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律, 获称最小作用原理。 Exa mp les ① ② Summary:实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的 （映射）关系 第一章 光线最短路径传播； 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat ）； AE+ EB A AC +CB ③
特征描述法：{ J: X u D T R | J （ x ） = r € R } Exa mp les ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间— 数域 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个 w （x ）,使 i.梁的弯曲应变能： □b =-f' EJ (雪 2 P dx 2 ii.弹性地基贮存的能量： n f 1 J 2 =一 J kw dx 2 0 iii.外力位能： 口 l l =-0 qwdx iv.系统总的势能： )2dx 11 AII 1 = max 2 a j i4 ；|A L = max 2 a ij ； I A 2 仁 )12 ②函数的积分：函数空间i 数域 b J = a f n （X ）dX fn U D Note:泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussi on ： ①判定下列那些是泛函： c f (x y) --- '—-3x+5y=2; J 6(x-x 0) f (x)dx = f (x 0) f i=ma 少（x ）i ； ex ②试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 q(x) /■'■'I rmTrfT ① 弹性地基梁的系统势能 ■ d 丨 L l d 2 w 2 □卡E J( dxr) 2 Tkw - qW}dx; x = 0 d w = 0 dx x x = 0,固支；x =
第一章变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称 /相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律， 获称最小作用原理。 Examples: ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat ）； , Summary 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 、变分法是自然界变分原理的数学规划方法 （求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映 射）关系 特征描述法：{ J: X D R|J （x ） r R } Examples: ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 = 数域 ② 函数的积分：函数空间数域 n II A II 1 = max a ij j i 1 max a ij i j 1 n n A 2 ( a ij 产 j 1 i 1 AE EB AC CB
b J f n (X )dX f n D a Discussi on ： ① 判定下列那些是泛函: ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个 w （x ）,使 系统势能 泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B, A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从 A 到B 所需时间最短（忽略摩擦 力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。 B 点坐标（a, b ）, 设曲线为 y = y （x ）,并已知：x = 0, y = 0 ； x = a, y = b ii. 建立泛函： i.梁的弯曲应变能： 1 ' d 2 w 2 b o 0 EJ( 2 ) dx 2 0 dx ii.弹性地基贮存的能量： f — kw 2 dx 2 0 iii.外力位能： l I o qwdx iv.系统总的势能： 左Ej （d 丫）2 1 2 2 kw qw}dx; x 0 w 0削0 dx x = 0,固支；x = l, 自由 Note:泛函的自变量是集合中的元素（定义域） ;值域是实数域。 max f (x)； a x b f(X,y) ； 3x+5y=2; x (x x °)f(x)dx f(X o ) q(x) con sts E 、J x
第一章 变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ①光线最短路径传播； ②光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③光线折射遵循时间最短的途径（ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1max ；21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A
D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ①判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(；3x+5y=2；?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ②试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i.梁的弯曲应变能：?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii.弹性地基贮存的能量：dx kw l f ?=∏0 221 iii.外力位能：?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({2 2122202 1 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ②最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使得有重 物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii.建立泛函： 设P (x , y )是曲线上的点，P 点的速度由能量守恒定律求得： x
第七章能量原理及其应用 偏微分方程求解的困难 ——应力函数解法的限制 能量原理的应用 变分法 变分法数学基础
目录 §7.1基本概念 §7.2虚功原理 §7.3最小势能原理§7.4虚应力方程§7.5最小余能原理§7.6有限元概念
格林公式 §7.1基本概念 （密度） 外力功——变形体的能量关系变形能xz xz yz yz xy xy z z y y x x U U U U U U γτγτγτεσεσεσ??= ??=??=??= ??= ??= 000 ij ij U εσd d 0=xz xz yz yz xy xy z z y y x x γτγτγτεσεσεσ+++++d d d d d ＝
注意 线弹性问题的变形能 ) (2 1 0xz xz yz yz xy xy z z y y x x U γτγτγτεσεσεσ+++++=ij ij U εσ2 1 0=V U U V d 0???=
功－能关系 位移边界面力边界 V S u F V u F k ij s ij k i i k i i d d d s b ??? ?????=+εσ弹性体体积V ，表面积为S 。 位移给定表面S u 面力给定表面S σ 静力可能的应力与几何可能的位移 S =S u +S σ b ,=+i j ij F σj ij i n F σ=s )(21,,i j j i ij u u +=εi i u u =S u S σ s ij σ k i u k ij ε
§7.2虚功原理 弹性体处于平衡状态，对于满足变形连续条件的虚位移及其虚应变，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。 虚功原理 V S u F V u F V ij ij V S i i i i d d d s b ????????=+δεσ δδσ
《广义变分原理》课程报告 题目：变分原理与数值计算方法 年级：2013级工程力学 姓名：顾鑫 学号：130810040001 时间：2014年5月6日
变分原理与数值计算方法 河海大学2013级工程力学 摘要：本文从变分法的发展出发，阐释泛函理论中变分原理的定义，说明了由一般微分方程构造泛函的方法；具体分析了弹塑性理论中的各种变分原理，说明由变分原理建立有限元模型的方法；最后，详细阐释了以变分原理为基础的数值方法的建立与改进方法。 关键词：变分法、变分原理、泛函、弹塑性、有限元、数值方法的改进 1.变分法及变分原理 1.1.变分法 1687年，Newton在《自然哲学的数学原理》中提出第一个变分问题——定轴转动阻力最小的旋转曲面形状问题；1696年，Bernoulli提出了著名的最速降线问题；到18世纪，经过Euler，Lagrange等人的努力，逐渐形成变分法。 古典变分法的基本内容是确定泛函的极值和极值点，它为许多数学、物理、科技、工程问题提供了强有力地数学工具。现代理论证明，微分方程（组）中的变分法是把微分方程（组）化归为其对应泛函的临界点（即化为变分问题），以证明其解的存在性及解的个数。讨论对应泛函临界点的存在性及其个数的基本方法是Morse理论与极小极大理论（Minimax Theory）。 变分法有着深刻的物理背景，某种意义上，自然界一切物质运动均可以用某种形式的数理方程表示，一般数理方程又与一定的泛函相对应，所以一切物质运动规律都遵从“变分原理” 1.2.变分原理 泛函中定义的变分原理：设A为Hilbert空间H0上的自伴正算子(对称的正算子)，考虑H0上的非线性泛函 J(u)?