第一章 变分原理与变分法
1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）
一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：
昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；
对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。
变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples :
① 光线最短路径传播；
② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）；
③
CB AC EB AE +>+
Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理；
在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方
法），是计算泛函驻值的数学理论
数学上的泛函定义
定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间
的（映射）关系
特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→⊂r J )(|}
Examples :
① 矩阵数：线性算子（矩阵）空间
‖A ‖1 = ∑=n
i ij j
a 1
max ；∑=∞=n
j ij i
a A 1
max
；21
)(11
2
2
∑∑===n j n
i ij a A
② 函数的积分： 函数空间
数域 D ⊂=⎰n b
a n f dx
x f J )(
Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。
Discussion ：
① 判定下列那些是泛函：
)(max x f f b x a <<=；
x y x f ∂∂)
,(； 3x+5y=2； ⎰+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。
物理问题中的泛函举例
① 弹性地基梁的系统势能
i. 梁的弯曲应变能： ⎰=∏l b dx dx
w d EJ 02
22)(21
ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ⎰=
∏02
2
1 iii. 外力位能： ⎰-=∏l l qwdx 0
iv. 系统总的势能：
00
0;})({221222
021
===-+=∏⎰dx
dw w x dx qw kw dx
w d EJ l
泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系
统势能。
泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使系
统势能泛函取最小值。
② 最速降线问题
问题：已知空间两点A 和B,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使得
有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法：
i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函：
x
设P (x , y )是曲线上的点，P 点的速度由能量守恒定律求得：
gy v mgy mv 222
1=⇒=
命ds 为曲线弧长的微分，有：
dx gy y gy ds
dt gy v dt ds 2'1222+==⇒== 重物从A 点滑到B 点的总时间：
T =dx gy
y a
⎰
+0
22'1
泛函驻值提法：在0≤x ≤a 的区间找一个函数y (x )使其满足端点几何条件
并使T 取最小值。
③ 圆周问题
问题：在长度一定的闭曲线中，什么曲线所围成的面积最大。 作法：
i. 假设所考虑的曲线用参数形式表示： x = x (s ), y = y (s )
s 为参数。取s 1为曲线上的某一定点，则坐标表示x 1=x (s 1),y 1=y (s 1),因曲
线是封闭的，必存在一个s 2点使x 2 = x (s 2),y 2 = y (s 2)与点s 1(x 1,y 1)重合。 ii. 该封闭曲线的周长： L =ds ds dy ds dx s s ⎰+2
1
2
2)()(
该曲线所围成的面积：R = ⎰⎰
Ω
dxdy
iii. 转换R 的表达式 由Green 公式：
⎰
⎰⎰
+=∂∂-∂∂2
1)(s s Qdy Pdx dxdy y
P x Q Ω
取P =-2y ,Q =2x
, 则：
1=∂∂-∂∂y
P x Q ∴⎰
⎰
-=
-=
21
21
))(')('(2121s
s
s s
ds s yx s xy ydx xdy R
泛函驻值的提法：等周问题即是在满足端点条件x (s 1) = x (s 2), y (s 1) = y (s 2) 及周长一定
L s s ds
dy ds dx =+⎰
2
1
22
)()( 条件下，寻找一个曲线函数⎩⎨⎧)
()
(s y s x 使泛函
R 取驻值。 ④ Discussion
悬索线问题：已知空间中A ，B 两点及一条长度L>AB 的悬索，单位长的
质量为m 。假设绳索的长度是不变的，并忽略绳索的弯曲刚度，把此绳索的两端挂在A ，B 两点，求在平衡状态下绳索的形状。 要求：列出悬索线应满足的泛函式及泛函驻值提法。 提示：绳索在平衡状态下，其势能应为最小值。
1.2 变分法（泛函驻值的计算方法）
关于计算固体力学中的泛函、泛函极值的提法
① 这里所研究的泛函一般用积分显式表达，并不等于所有泛函都能用显式积分表达。
② 所要研究的泛函都可表示成在一定区间或一定区域的函数及其导数（或偏导数）的积分形式，即：
a. ⎰=b
a dx x x f x f x f F ));("),('),((1∏
b. ⎰⎰=
Ω
∏dxdy y x y x f y x f y x f F y x ),);,(),,(),,((2
c. 泛函中的可变化函数称为自变函数，或称宗量（argument ），x 或y 仅
是积分变量，是被积函数的定义域。（被积函数是复合函数概念的推广）
③ 要说清楚一个泛函的极值问题，应注意： a. 应把泛函本身讲清楚（即写出它的形式）； b. 还必须讲明白自变函数的性质，如： - 独立的自变函数的个数（导函数并不独立）； - 每个自变函数定义的区间/区域；
- 这些自变函数应满足的条件（如：边界条件及其受约束的条件等）。 c. 除了个别特殊情况外，一般情况下增加一个条件会使泛函极值及相应
的自变函数变化性质发生变化。如：极小值可能变大；极大值可能变
