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实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数. 与 z 共轭的复数记为 , z
若 z x iy, 则 z x iy.
一对共轭复数 z 和 z 在 复平面内的位置是关于 实轴对称的.
y
z x iy
x
o
z x iy
14
7. 复数的几何意义
复数 z x iy 可以用复平面上的向量 表示, OP
复变函数与积分变换
• 课程介绍 • 课时与内容
• 参考书
• 课程引入 • 复数
• 16世纪人们在解代数方程时单纯从形式上引 入了复数，后长期没有认识到其实际意义。 • 18世纪产生复变函数论。 • 19世纪复变函数论全面发展，并统治了十九 世纪的数学。 • 复变函数论的应用涉及面很广，不但在其他 学科得到了广泛的应用，而且数学领域本身 的许多分支也都应用了它的理论。它将继续 向前发展，并将得到更多应用。 • 复变函数的基础内容已成为理工科很多专业 的必修课程。
这种用于表示 复数的平面， 叫复平面
10
y
实数轴
x
o
x
4. 实部和虚部同时等于0当且仅当复数 z = 0.
复数 0对应复平面坐标原点.
x 0 z x iy 0 y 0
5. 无穷远点（）：无限远离原点的点 。 只有在复球面上才可找 到其对应的点。
对于复数来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意 义, 它的模规定为正无穷大.
7
4. 学习复变函数，建立数及变量的“二维思维”
很重要。
先推翻有关内容一维数的所有规则，再进行
审查过滤，重新建立二维数的有关规则。
8
第一章 1.1
复数与复变函数
复数的概念
观察下面的数: 3 - 4i , 2i , 6, 0
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z x iy
复数 实部
记为Re(z )虚数单位ຫໍສະໝຸດ 虚部记为Im(z )
1. 两复数的和:
z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ).
2. 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ).
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3. 两复数的商:
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i . 2 2 2 2 z2 x 2 y2 x 2 y2
之所以复数研究不用有序数组(x,y) 或矢量（向量）
研究代替，是因为复数有一个奇妙的虚数单位i。
不仅 i 2 1，而且
i 可以与实数在一起按同 样的法则进行运算 .
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一、复数的代数式运算
（一）分解运算（复数的四则运算定义）
(复数的代数分解运算相 当于实数的多项式运算 )
设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 ,
从 复 数 的 四 则 分 解 运定 义 ， 可 得 ： 算 1.交 换 律 ： 1 z 2 z 2 z 1 , z z1 z 2 z 2 z1 2.结 合 律 ： ( z z ) ( z z ) z z1 2 3 1 2 3
z1 ( z 2 z3 ) ( z1 z 2 ) z3 3.分 配 律 ： z1 ( z 2 z3 ) z1 z 2 z1 z3
即：设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 ,
x1 x 2 则 z1 z 2 y1 y 2
两复数相等当且仅当它们的模和幅角分别相等.
| z1 || z2 | z1 z2 Arg( z1 ) Arg( z2 )
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6. 共轭复数
2
π π 2 sin cos i sin (三角式) 2 2 2 2 sin e 2
π i 2
. (指数式)
π arg z . 2
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1.2 复数的运算及几何意义
复数（虚数）似乎不可理解，其实 x+yi <=> 平面上的点<=>有序数组(x,y) <=> 矢量或向量。
5
线上，只有 实变量： 对应动点的变化只在直 大小或左右位置变化。 实变量是单变量。 2. 复变量： 对应动点的变化在平面 上，可以向 四个方向变动，而且从 一点到另一点，还有 由两个实变量构成的 路径的不同。复变量是 复合变量。
6
二元实函数： z f ( x , y ) 是两个变量对应一个 变量，仍然是实数间的 对应。 二元实函数可以画图像 表示变量的对应关系。 3. 复变函数： u iv u( x , y ) iv ( x , y )是两个变量 到两个变量的对应，相 当于同时集成了两个二 元实函数u u( x , y )和v v ( x , y )，对应关系相当 复杂。 复变函数不能画图像表 示变量的对应关系。
例1 化简
( 2 3i ) 2 2i
4 9 12i (5 12i)(2 i) 2i (2 i)(2 i)
(2 3i) 2 解： 2i
10 12 29i 4 1
2 29i 5
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例2 将下列复数表示为x iy 的形式. 7 1 i i 1 i (1) ( 2) . ; 1 i i 1 i (1 i )2 (1 i )2 1 i i , 解 (1) 2 1 i (1 i )(1 i )
例3 解
计算共轭复数 x yi 与 x yi 的积.
( x yi )( x yi ) x 2 ( yi )2 x 2 y 2 .
z1 z2
z1
x
z1
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（3） 复数的辐角
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 以表示 , z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz .
说明
任何一个复数 z 0有无穷多个辐角,
那么 z 的全部辐角为
如果 1 是其中一个辐角 ,
Argz 1 2kπ ( k为任意整数).
5 5 故三角表示式为 z 4cos i sin , 6 6
20
指数表示式为 z 4e . ( 2) z sin i cos 显然 r z 1, 5 5 cos 3 , sin cos 10 5 2 5 sin 3 , cos sin 10 5 2 5 3 3 故三角表示式为 z cos i sin , 10 10 指数表示式为 z e
（1）复数的模(或绝对值)
向量的长度称为z 的模或绝对值,
记为 z r x y .
2 2
y y
（2） 复数模的性质 1） x z ,
r
o
Pz x iy
y z,
x
x
z x y . （直角三角形性质）
15
2) z z z z 2 .
2
两个共轭复数 z , z 的积是一个实数.
z re i 复数的指数表示式
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例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: (1) z 12 2i; ( 2) z sin i cos ; 5 5
解 (1) r z 12 4 4, 因为 z 在第三象限,
5 3 2 , 所以 arctan π arctan 6 3 12
2
前言
一、课时与内容安排（看课本目录）
二、参考书
三、课程介绍与引入
复变函数可看作高等数学的后续课程，其研究 的内容与高等数学相同（都是函数的极限连续微积 分等），不同的是换了一个数域（空间) 。 复变函数在复数域内研究函数。
3
为实数(实变函数)， 高等数学：函数的变量 y f ( x ), 其x , y为实数(实变量）。 或说，在实数域内研究 函数。 复变函数：函数的变量 为复数, w f ( z )， 其w , z为复数（复变量）。 或说，在复数域内研究 函数。
特殊地, 当 z 0 时, z 0, 辐角不确定（或无定义）.
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辐角主值的定义:
在 z ( 0) 的辐角中 把满足 π 0 π 的 0 , 称为 Argz 的主值, 记作 0 arg z . arctan y , x 0, z 0 辐角的主值 x π x 0, y 0, 2, arg z arctan y π , x 0, y 0, x x 0 , y 0. π, y 看课本p7例1.3 (其中 arctan )
2 x 2
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8.复数的三种表示
（1）复数的代数表示
z x iy
（2）复数的三角表示和指数表示
x r cos , 利用直角坐标与极坐标的关系 y r sin , 复数可以表示成
z r (cos i sin ) 复数的三角表示式
再利用欧拉公式 e i cos i sin , 复数可以表示成
4
欢迎进入二维世界！
的点。不同的 实数： 是一维数，对应数轴上 实数只有左右位置不同 ，位置不同就是大 小不同，所以，实数可 比较大小。 1. 的点。不同的 复数： 是二维数，对应平面上 数不仅有左右而且有前 后（上下）位置不同。 ，所以，复数不能直 正是由于复数的二维性 接比较大小。
3 i 10
5 i 6
.
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例2 把复数 z 1 cos i sin , 0 π 化为
三角表示式与指数表示 , 并求 z 的辐角的主值. 式
解 z 1 cos i sin 2 sin 2i sin cos 2 2 2 2 sin sin i cos 2 2 2
