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复变函数第一章节复数跟复变函数PPT课件

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复数与复变函数第一章-复数与复变函数PPT课件

复数与复变函数第一章-复数与复变函数PPT课件
xrcosq, yrsinq,
q q 复数z=x+yi 可表示为 z r (c o s is in),称为复
数z的三角表示式. 再利用Euler公式
eiqcosqisin q,
复数z=x+yi 又可表示为 z reiq , 称为复数的
指数表示式, 其中r=|z|, q=Argz.
例1.3 将 z 122i化为三角表示式与指数表示式.
5
解： 显然, r = | z | = 1, 又
sin
5
cos
2
5
cos 3 ,
10
cos
5
sin
2
5
sin 3
10
.
因此 zcos3isin3ei130
10
10
当 z 0时, ArgzArgz. 当 z reiq 时, z reiq .
共轭复数的几何性质
一对共轭复数z和 z 在 复平面的位置是关于 实轴对称的.
由此引出方根的概念。
二、复数的乘幂与方根
2. 复数的方根 复数求方根是复数乘幂的逆运算。
定义 设 z是给定的复数，n 是正整数，求所有满足 wn z的 复数 w ，称为把复数 z开 n 次方，或者称为求复数 z的 n 次方根，记作 wn z 或 wz1/n. 复数 z的 n 次方根一般是多值的。
二、复数的乘幂与方根
有时, 在进行说明后, 把主辐的角是定辐角义主为值满, 单足位是弧
>> x=sym('x','real');y=sy
0q2 的辐角, 这时上式仍然>成> 立x=3. ;y=4;z=x+y*i;
当z=0时, Argz没有意义, 即零>>向th量eta没=a有ng确le(z定)

复数及复变函数.ppt

复数及复变函数.ppt

对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应.
例如，设 z1 1, z2 i, 则 z1 z2 i,
Argz1 2n, (n 0, 1, 2,),
A故Arrgg3(zz21z22)2(m2πm2n),2kπ(m, (k02,k01,,,1只2,,须2),k,),m n 1.
1. 两复数的和:
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ).
2. 两复数的积:
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ).
3. 两复数的商:
z1 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
.
9
三、复数的共轭运算
6
2.复数: 对于任意两实数 x, y, 我们称 z x yi
或 z x iy 为复数. 其中 x, y 分别称为z 的实部和虚部, 记作 x Re(z), y Im( z). 当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i, 我们把它看作实数x.
y z x iy
y
(x, y)
面上的点( x, y) 表示.
o
x
x
14
2. 复数的模(或绝对值) 复数 z x iy 可以用复平面上的向量OP 表示,
向量的长度称为z 的模或绝对值,
记为 z r x2 y2 . 显然下列各式成立 x z, y z,
y
y
r
o
Pz x iy
x
x
复变函数与积分变换
教材:《复变函数与积分变换》
朱传喜 刘二根 主编 ,江西高校出版社
参考教材：1. 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室 编著,高等教育出版社 2. 《复变函数与拉普拉斯变换》,金忆丹编著,浙江大学出版 社 3. 《复变函数与积分变换》,马柏林等编 复旦大学出版社

《复数与复变函数》PPT课件

《复数与复变函数》PPT课件

例1 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还
是无界的,单连通的还是多连通的.
(1) Re(z2 ) 1; (2) arg z ; (3) 1 3;
3
z
(4) z 1 z 1 4; (5) z 1 z 1 1.
解 (1)当 z x iy 时,
Re(z2 ) x2 y2, Re(z2 ) 1 x2 y2 1, 无界的单连通域(如图).
y z
z
o
x
有界！
17
1.2.2 区域与Jordan曲线
定义1.5 区域: 如果平面点集D满足以下两个条件,则称它
为一个区域.
(1) D是一个开集； (2) D是连通的,就是说D中任何 两点都可以用完全属于D的一条
D
z2
z1
•
•
折线连结起来.
D加上D的边界称为闭域。记为D＝D+D
18
说明
不包含边界！
第一章 复数与复变函数
• 第一节 复数 • 第二节 复平面上的点集 • 第三节 复变函数 • 第四节 复球面与无穷远点
1
第一节 复数
• 1 复数域
形如 z x iy y x 的数，称为复数。其中实数 和
分别称为复数的实部和虚部，常记为
x Re z, y Im z
全体复数并引进四则运算后称为复数域
32
(3) 0 z 1 i 2,
以 (1 i) 为圆心, 2为半径 的去心圆盘, 是多连通域. (4) arg( z i) ,
4 以 i 为端点, 斜率为1的半射线 (不包括端点i ), 不是区域.
33
(5) 0 arg z i , zi 4
当 z x iy 时,
zi zi

复数及复变函数.ppt

复数及复变函数.ppt

z2 z1 — 点z1与z2之间的距离
由此得 :
z1
z2 z1 z2 z1 (三角不等式)
z2
z2 z1 z2 z1
o
x
8 October 2020 © 2009, Henan Polytechnic University
99
第一章复数及复变函数
2. 几何形式（向量表示）
z x iy 点P( x，y) OP { x, y}
可用向量OP表示z x iy .
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；
以正实轴 为始边, 以向量OP为终边的角的
弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
y
(z)
模 ：| z || OP | r
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(conjugate)
(1) (z1 z2 ) z1 z2
(z1z2 ) z1z2
(2) z z (4)z z 2 Re(z)
( z1 ) z1
z z 2i Im(z)
z2 z2
(3)z z
（R（e z））2 （Im（z））2
记作θ0=argz.
z=0时，辐角不确定（不定义）
计算
argz(z≠0) 的公式
arg
z
arctan y x
2
arctan
y x
x 0, y R
x 0, y 0
x 0, y 0 x 0, y 0
8 October 2020 © 2009, Henan Polytechnic University
CH1 复数及复变函数
1、复数及其代数运算 2、复数的表示方法 3、复数的乘幂与方根 4、区域 5、复变函数 6、复变函数的极限与连续性

第一章-复数与复变函数PPT优秀课件

第一章-复数与复变函数PPT优秀课件

• 乘法
z 1 z 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 1 y 2 y 1 x 2 )
• 除法
z1x1x2y1y2iy1x2x1y2
z 2021/62 /3
x2 2y2 2
x2 2y2 2
(z20 )
16
2. 复平面
一个复数 zxiy 本质上由一对 有序实数 (x, y) 唯一确定。可对应
2021/6/3
10
• 从20世纪30年代开始，我国数学家在单复 变和多复变函数方面，做过许多重要工作： 在四五十年代，华罗庚教授在调和分析、 复分析、微分方程等研究中，有广泛深入 的影响。在70年代，杨乐、张广厚教授在 单复变函数的值的分布和渐进值理论中得 到了首创性的重要成果。从80年代起，我 国数学工作者在数学的各领域中开展了富 有成果的研究工作。这些都受到国际数学 界的重视。建议大家多读一些数学史资料。
科的发展做出了贡献。
2021/6/3
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8
• 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很 多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上 有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应 有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复 变函数来解决的。
比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，
就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他 在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面 的问题上也做出了贡献。
（2） |z1z2| |z1| |z2|
（3） ||z1| |z2| ||z1 z2|
z z （4）点 1 与点 2 的距离为
d (z 1 ,z2 ) |z 1 z2|(x 1 x 2 )2 (y 1 y 2 )2
2021/6/3
19

复变函数第三版课件第一章

复变函数第三版课件第一章
3
二、复数的三角不等式
关于两个复数 z1与z2
的和与差的模，有下列不等式：
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 | (2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
(3) | z1 z2 || z1 | | z2 | (4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
§1.1 复数 §1.2 复数的表示
§1.1复数
(Complex number)
一、复数的概念 二、复数的四则运算
三、复平面
一. 复数的概念
对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。 其中 i 2 1 , i称为虚单位。
复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . 设复数 z1 x1 iy1 z2 x2 iy2 则z1 z2 x1 x2 , y1 y2 （表示的唯一性）
(3)z
z1 z2
x1x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
例如 (3 2i) (2 3i)
(z2 0)
复数的运算满足如下交换律、结合律、
分配律。
(1) z1 z2 z2 z1
z1z3 z2z1;
(2) (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) z1(z2z3 ) (z1z2 )z3;
n
n
当k 0,1,2,.n 1时， w有n个互不相同的值:
w
1
zn
n
r
i
e
2k
n
n r[cos(1 2k ) i sin( 1 2k )]
n
n
其中r=|z|,θ=argz.
k 0, 1, 2,, n 1

复变函数课件

第一章 复数与复平面
1. 复数域
目录
2. 复平面
3.复球面及无穷大
§1 复数及其几何表示
1、复数域
(1)复数的概念 形如 z x iy 的数称为复数 复数
或
z x yi
如果两个复数z1和z2的实部和虚部分别相等，那么 称这两个复数为相等。
x及y分别称为z的实部和虚部，分别记作 y Im z x Re z 及
o
r

1

z1

r1
2


r2
z2
x
结论：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
即先把 z1 按逆时针方向 旋转一个角 2 , 再把它的模扩大到 r2 倍, 就得到z1 z2 .
由除法定义，我们还有
z1 | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 ) z2 | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | (cos 2 Argz2 sin 2 Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | z1 | z1 | Arg z1 Argz Argz , 1 2 z z2 | z2 | 2

第一章复数与复变函数精品PPT课件


注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同； (2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数.
一、复数的概念
z x iy, i 1 为虚单位，x, y R
记 x Re z z的实部, y Im z z的虚部
z x iy
z的共轭复数
注意 : 复数不能比较大小.
9
二、复数的几种表示方法
2i
5 z z , arg z arg z 不包含z为负实轴及原点
x2 y1 x1 y2 x22 y22
(z2 0).
17
4. 共轭复数的运算
1
z1 z2
z1 z2 ；
z1z2
z1
z2
；
z1 z2
z1 z2
2 z z
3 zz Re z2 Im z2 z 2 z2
4 z z 2 Re z Re z z z
2
z z 2i Im z Im z z z
z2
0
z1z2 z2 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
r1 e i12 r2
即 z1 z1 ,
z2
z2
Arg
z1 z2
Arg z1
Arg z2
（指集合相等）
16
2、复数的四则运算 设 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , 则
,
z在I , IV 象限 x0
0
r
•z
x
arctan
y x
,
z在II、III 象限
, y 0, x 0
12
其中 arctan y .
2
x2

复变函数与积分变换第1章复数与复变函数精品PPT课件

（5）乘法对于加法的分配律 z1(z2z3)z1z2z1z3 复数运算的其它结果：
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6

数学物理方法课件-1 复数与复变函数


sin z sinx iy
sin x cosiy cosx sin iy
sin x ey e y cos x ey e y
2
2i
sin2 x ey e y 2 cos2 x ey e y 2
4
4
1 sin 2 x e2 y 2 e2 y cos2 x e2y 2 e2y 2
所有的无穷大复数（平面上无限远点）投影到唯一的北极 N。故我们为 方便，将无穷远点看作一个点。其模无穷大，幅角无意义。
§1.2 复变函数
1. 定义
zz0
邻域
以复数 z0 为圆心，以任意小实数 为半径
作一圆，则圆内所有点的集合称为z0的邻域.
内点
z0 和它的邻域都属于 E， 则 z0 为 E 的内点。
(2) 极坐标
x cos y sin
z x iy cos i sin 复数的极坐标表示
模 幅角, Argz x2 y2
arctg( y / x)
由于三角函数的周期性，复数的幅角不唯一，且 彼此相差2π的整数倍.
)
,
lim
zz0
g(z)
g ( z0 ),则
lim [ f (z) g(z)]
zz0
f (z0) g(z0)
lim
zz0
f (z)g(z)
f
(z0 )g(z0 )
lim f (z) f (z0 ) zz0 g(z) g(z0 )
(g(z0 ) 0)
§1.4 可导与可微
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数与复数运算 1. 复数的基本概念
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i2 1. 由该等式所定义的数称为虚数单位
i 1.
虚数单位为i=j=sqrt(-1), 其数
称形如 x+iy 或 x+yi 的表达式为复数，其中
x和y是任意两个实数. 把这里的x和y分别称为复
数 x+iy (或 x+yi )的实部和虚部 , 并记做
xRez, y求复Im 变z量. 的实部和虚部可用命令
力学》(1(71929)-1小82波5, 5分卷析本的)和应用领域十分广泛, 如信号分析和 2). 图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、 的ace星方云程假地有说广质. 泛勘以的探他应的与用名地. 字震命预报等等. ；我们不(知13道)的复，变是函无限数的与. 积分变换的计算可以使用为科学和
工程计算设计的软件 MATLAB基础
2. 结合律 ( z 1 z 2 ) z 3 z 1 ( z 2 z 3 ) ; z 1 ( z 2 z 3 ) ( z 1 z 2 ) z 3 .
3. 分配律 z 1 ( z 2 z 3 ) z 1 z 2 z 1 z 3 .
4. z1z2z1z2;
(4) 应用于计算绕流问题中的压力和力矩等. 最著名的例子是飞机机翼剖面压力 应用于计算渗流问题. 例如：大坝、钻井的浸润曲线.
(6) 应用于平面热传导问题、电(磁)场强度. 例如：热炉中温度的计算.
(8) 复变函数理论也是积分变换的重要基础.
积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力 工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理 和其他许多数学、物理和工程技术领域．
主要内容
本章引入复数的概念及表示式、复数 的运算、平面点集的概念.
§1.1 复数
1 复数的概念 2 复数的四则运算 3 复数的表示方法 4 乘幂与方根
1.1.1 复数的概念
由于解代数方程的需要, 人们引进了复数. 例如，简单的代数方程
x2 10 在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍 理论，引入等式
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数 §1.2 复平面点集 §1.3 扩充复平面及其球面表示
复变函数与积分变换及应用背景
M.Kline（莫里斯克莱恩 ）(1908-1992)
(《古今数学思想》(Mathematical Thought
froMm oArnrciiseKntlinteo(1M9o0d8e-r1n99T2i)m,es纽)的约作大者学,Co美u国rant数学 数学研史究家所)的指教出授: .从他技的术著观作点包来括看《,十数九学世: 纪确最定性的
当复数的虚部为零和、im实a部g()不来实为现零.(例即如y=0, x 0)
>> syms x y real;
时，复数 x+iy 等于 x+i0 为实数>x>,而z=x虚+y部*i不; 为零(即
y 0 )的复数称为虚数. 在虚数中>,>实Re部=r为eal零(z()即x=0,
y 0 )的称为纯虚数. 例如, 3+0i=3R是e =实数, 4+5i, -3i都
设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2是两个复an数s ,=如果x1=x2, y1=y2, 则称z1和z2相等, 记为z1=z2. x-i*y
注意 一般来说，复数不能比较大小.
1.1.2 复数的四则运算
复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2的加、减、乘、除 运算定义如下：
(1) 复数的和与差 z 1 z 2 ( x 1 x 2 ) i ( y 1 y 2 )
(2) 复数的乘积 z 1 z 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 2 y 1 x 1 y 2 )
(3) 复数的商
z z1 2x1 x x 22 2 y y1 22 y2ixx 2y 22 1 x y1 22 y2
z1 z2 z2 z2
复数运算的性质
1. 交换律 z1z2z2z1; z1z2z2z1.
x
是虚数, 而-3i是纯虚数.
>> Im=imag(z)
Im =
共轭复数
复数 x-iy 称为复数 x+iy 的共轭复数 (其中x, y
均为实数), 并记做 z .
复数的共轭可用conj()来
显然, z=x+iy 是 x-iy 的共轭复>>数sy,m即s x y real;
z z z.
>> z=x+y*i; >> conj(z)
函数理论证明了 代数基本定理 .
C
(2) 复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函 ( 数的积分. J. Hadama复r系d数n（次代数阿方程达马Ja）cqu说es:H实ad域am中ard两个 伟 真(等3)理问复之题变间的函的研数最究理短. 论路可在程复以数是域应必zn有通na用个1用zRn根过1.i于复em复变法流aan1n(域函z国1n体a8n数数.6 0函的5理学.1数青论平2家.8证年.-面(1z他明9时)平6在了3代.0行11当,08.从流91x76=而)和 异年动1习时证应物常,, 1理,17曾7
独特的创造是单复变函数的理论.这个新的数学
分支失统》治等了. 十九世纪,几乎象微积分的直接扩展
统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学分支,一直 被称为这个世纪的数学享受.它也被欢呼为抽象 科学中最和谐的理论之一.
(1) 代数方程 x210在实数范围内无解.
为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数
的概念, 从而建立了复变函数理论. Gauss应用复变
rre Simo(n10d)e Laplace变换应用于控制问题.
(1749.3.23-18在27.控3.5制) 问题中，传递函数是输入量的Laplace 国数学家变和换天与文输学家出.量曾的经Laplace变换之比.
任过Napoleon的内政部长.
界的任何(1事1情) Z,变他换都应感用兴于趣.离散控制系统.
Josep(h9) Fourier变换应用于频谱分析和信号处理等. (1768.3.21-1频83谱0.分5.1析6)是对各次谐波的频率、振幅、相位之 法国数学间家的和关物系理进学行家分.他析致. 力随于着计算机的发展，语音、图 问题, 象18等22年作出为版信名号著，《在热频的域分中的处理要方便得多. 一种在数学物理问题中有普遍意