复变函数第一章

z
复数 z 为平面上的一点， 从几何上来看，复数又是 此平面上的一个矢量。
x
z e
模
i
(ei cos i sin )
x y | z |
2 2
幅角 主值
Argz
(0 Argz 2 )
共轭 z* x iy ei
几何运算
加
两个复数的加法运算与相应的向量加法运算一致
乘
y
i1 i2 z1 re , z r e 1 2 2
z1z2 re 1
i1
r2e
i2
r1r2e
i (1 2 )
z1 z2 z1 z 2 1
x
| z1 z2 || z1 || z2 | Arg ( z1 z2 ) Arg ( z1 ) Arg ( z2 )
共轭复数： z x - iy
复数不能比较大小*
两个相等的复数
z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1
共轭复数的性质
z1 z1 1) z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2 , ( ) z2 z2 2) z z 3) z z [Re( z )]2 [Im( z )]2 4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z )
除
z2 z2 z1 z1

z2 | z2 || z || z1 | 1 Argz Arg ( z2 ) Arg ( z ) 2 1 z 1
z2 | z2 | | z | | z | 1 1 Arg ( z2 ) Argz Arg ( z ) 2 1 z 1
定理二： 两个复数商的模等于他们 模的商；两个复数商的辐 角等于他们辐角之差。
幂
n个相同复数z的乘机称为z的n次幂，记作
z zz
nzΒιβλιοθήκη 对于任何正整数n,有 z n r n ein
n
z n r n (cos n i sin n ) 注：若定义 1 z n z 则当n为负整数时上式也是成立的
zz zz 4) Re( z ) , Im( z ) 2 2i
z x yi
将函数f ( z ) x(1 1 1 ) iy (1 )写成关于z的解析表达式 2 2 2 2 x y x y
共轭法：
1 1 将x＝ （z+z), y （z-z), x 2 +y2 =zz代入，得 2 2i （z+z) 1 z-z 1 1 f(z)= (1 ) i (1 ) z+ 2 2i z zz zz
复数运算
代数运算：
有: z1 z2 （x1 x2）（ i y1 y2） z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i 2 2 2 2 z2 x2 y2 x2 y2 z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 ( ) i 2 i 2 2 2 2 2 2 2 z2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
复球面：
取一张复平面，做一个 与复平面切于原点的球 面 通过原点O做垂直于复 平面的直线与球面相交 于另一点N，我们称N为 北极，与北极N对应的O 称为南极，也可以用S 表示 x
N P y Z
S
复球面
球的南极与复数平面的原点相切。 球面上的点，除去北极N外，与复平面上的点存在一一 对应的关系，我们可以用球面上的点来表示复数。 平面上任意点A与球的北极由一条直线相连，直线与球 相交于A‘，由此，每一有限的复数投影到球上一点。 这个投影被称为测地投影，该球称为复数球。 所有的无穷大复数（平面上无限远点）投影到唯一的北 极N。故，无穷远点被看做一个点，其模无穷大（ ∞ ）， 其实部、虚部、幅角均无意义。 球面上除N外的点 N 复平面上的点 无穷远点 扩充复平面=复平面+无穷远点
1.复数及其运算
2.曲线的复数表示
3.区域（单、复连通） 4.复变函数（概念、极限、连续）
复数的基本概念
复数的基本概念 数的扩展： 正数 负数 实数 在实数范围内：方程ax 2 bx c 0 当 =b 2 4ac 0时，没有实根 扩大数域，引进复数
复数的概念
定义：形如z x iy的数称为复数，其中 x,y分别称为 z的实部和虚部，记作： x Re( z ), y Im( z ) 纯虚数： 实数： x 0, y 0 y0
1/ n
r1/ n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。
思考
i ? i ? i i ?
令 i x yi x2 y 2 0 1 x y 2 2 xy 1 1 1 i i 2 2 1 1 i i 2 2 i i 2
工程数学
任课老师： 黄 悦 助教： 张君 黄冬冬 厦门大学信息科学与技术学院 通信工程系
参考书 1.《数学物理方法》 梁昆淼编，高等教育出版 社，第二版或者第三版； 2.《数学物理方程》，谷超豪 李大潜等编，高 等教育出版社，2002；
考核方式 课程平时成绩占 20％ 期中考试成绩占 40％（方式：闭卷考 ） 期末考试成绩占 40％（方式：闭卷考 ）
r ,
n
n
2 k
n
n
w z r (cos
2 k
n
i sin
2 k
n
)
当k 0,1, 2,..., n 1时，得到n个相异的根：
w0 r1/ n cos i sin n n 2 k 2 k w1 r1/ n cos i sin n n ...... 2(n 1) 2(n 1) wn 1 r cos i sin n n 注：在几何上，可以看出这n个值就是以原点为中心，
z1 z1 z1 5 5i, z2 3 4i, 求 与 z2 z2
_ 1 3i z , 求 Re( z ), Im( z )与z z i 1 i
——
复数表示方式：
代数表示式 复球面
复平面的点
复数
指数表示式
向量
三角表示式
代数表示式
z x iy
n
棣莫弗公式： (cos i sin )n cos n i sin n
证明？
根
方程wn z有n个不同的根w，记作w n z
z r (cos i sin ); w (cos i sin )
w n z n r (cos
2 k
关于∞的若干规定 ∞的实部，虚部及幅角都无意义| ∞ |= +∞
b b 0 b b , 0 a a , , 0, a a ; a 0 , 0 , , 无意义 0
复数的几何表示
y


几何性质
辐角：Argz= arg z 2k 其中： arg z为辐角主值(- < arg z ) z 0 : argz不确定 y arctg ,当x 0, y任意； x ，当x 0, y 0； z 0 : arg z 2 y arctg ,当x 0, y 0； x ，当x 0, y 0。
向量、三角、指数表示式
y P z=x+iy
| = z| r
y
向量表示：z=op 模： |z|=r= x 2 y 2 辐角：Argz=
r sin
0
r cos

x
x
三角表示式：z r (cos i sin )
由欧拉公式：ei (cos i sin ) 指数表示式：z rei
3

i
1 3 1 3 1 3 ( i)(1 i) ( ） ( ）i 2 2 2 2 2 2 3 3 1 3 z3 i 2 2
同理：z z2 e
‘ 3 i 3
0
z1
z
' 3
x

( z2 z1 ) z3’
3 3 1 3 i 2 2
教材 1.复变函数 高等数学：实数-导数-积分-级数 复变函数：复数-导数-积分-级数－留数 2.积分变换 Fourier（傅立叶）变换、Laplace（拉普 拉斯）变换 3.数学物理方程与特殊函数 物理过程－数学问题－求解 ‘场论’
复变函数
复数与复变函数 解析函数
复变函数的积分
级数
留数
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
复平面的点
由于复数z x iy ( x, y), 所以复数全体与xoy平面的点的全体一一对应。
y
y
x轴为实轴，y轴为虚轴
P
z x iy 两轴所在的平面称为复平面或者z
r θ
平面 点z与复数z同义，也可用向量
OP

x
x
来表示。向量的长度称为z的模或 者绝对值，记为 | z | r x 2 y 2
2
0
2
定理一： 两个复数乘积的模等于他们 模的乘积；两个复数乘积的 辐角等于他们辐角的和。
例：已知正三角形的两个顶点，求第三个顶点
z1 1, z2 2 i, 求z3
| e | 1， arg(e )
3 3

i

i

3
y
z3 z2
z3 z2 e ( z2 z1 )