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第1章 复变函数

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《复变函数》第1章

《复变函数》第1章
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第3页
(3) 除法: z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) z ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 ) z 2 x2 iy2 x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质 z1 z1 i) z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z1 z 2 , ; z2 z2 ii) z z ; 2 2 iii) z z Re( z ) Im( z ) ; iv) z z 2 Re( z ) , z z 2 i Im( z ) .
3 1 5 . zz 2 2 2
2
2
2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第6页
§2 复数的几何意义
1. 复平面, 复数的其它表示法 (1) z = x + iy ↔ 点( x, y ) ( 几何表示法 ) (2) z = x + iy ↔ 向量OP ( 向量表示法 )
2
辐角: Arg z
( z 0 ) 无穷多个, 相差2kπ . y tan( Arg z ) x 辐角主值: 0 arg z 0 k = 0, ±1, ±2, …… Arg z arg z 2k 当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第8页
, y x | z |
y Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan x 的主值 y arc tan x 来确定: y arctan x x 0， — 在第一、四象限 2 x 0， 0 y arg z y 0 — — 二象限 y arctan x x 0， 0 — — 二象限 x 0， 0 y arctan y 其中 (图示) x 2 2 3 arg z . 例: z = －3 + 3i 2 4 4 (或 arg z arctan( 1) arctan 1 4

复变函数第一章

复变函数第一章

z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或

复变函数第一章1

复变函数第一章1
2 − 2i = 22 + (−2)2 = 2 2
Arg(2 − 2i) = arctan
； ，（ k ∈ Z ）；
π
− i 4
2 − 2i = 2 2(cos( − ) +i sin( − )) = 2 2e 4 4
π
−2 π + 2kπ = − + 2kπ 2 4
π
.
引进了复数的三角形式或指数形式，我们可得如 下结果：
z 1 ± z 2 = (x 1 ± x 2 ) + i ( y 1 ± y 2 ) ，
复数 z 1 = x 1 + iy 1 , z 2 = x 2 + iy 2 相加（减）的法则是： 结果仍是复数 . 这表明复数与复数相加（减）所得的复数可按实 部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）得 到． 复数的加法满足交换律和结合律，而且减法是 加法的逆运算．
y 显然复数 z 的辐角满足 tan θ = ，且任一非零 x
复数 z 有无穷多个辐角，以 arg z 表示其中的一 个特定值，并称满足条件：
− π < arg z ≤ π （1.3） 的一个为 Argz 的主值(或复数 z 的主辐角)，习惯 上仍记为 argz ．于是 θ = arg z + 2kπ（k ∈ Z ） （1.4）
n
(cosθ + i sinθ ) = cos nθ + i sin nθ （棣莫弗公式）
设 z ≠0，通常，我们把满足方程 w n = z ( n ≥ 2为整数) 的复数 w 称为复数 z 的 n 次方根，记为 w = n z
n iθ iϕ w w = Re z = re 记 ， ，将它们代入方程 = z 得

复变函数第一章

复变函数第一章
内点: N (z0 ) E
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n

复变函数第1章

复变函数第1章

于是
z1z2 r1 r2 z1 z2 ,
Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2. 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两 个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
应该注意的是 Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2 中的 加法是集合的加法运算：即将两个集合中所有的
元素相加构成的集合
(3 4) (4 3)i 7 1 i.
2
22
z1 7 1 i. z2 2 2
例 1.2 i1 i, i2 1, i3 i i2 i, i4 i 2 i 2 1, ……
i 4n 1, i4n1 i, i4n2 1, i4n3 i, i4n4 1.
例1.3 设z1, z2是两个复数, 证明
z1 z1 , z2 z2
Arg
z1 z2
Argz1
Argz2
.
两个复数商的模等于它们模的商差.
对给定的复数z, 方程wn=z的解w称为z的n次
方根, 记做
n
z
或
1
zn.
如果
z r(cosq i sinq ), w (cos i sin ),
y .
x
利用直角坐标与极坐标之间的关系
x r cosq , y r sinq ,
复数z=x+yi 可表示为 z r(cosq i sinq ), 称为复
数z的三角表示式. 再利用Euler公式
eiq cosq i sinq ,
复数z=x+yi 又可表示为 z reiq , 称为复数的
指数表示式, 其中r=|z|, q=Argz.
z1 z2 z1z2 2 Re z1 z2 .
证明 因为
z1 z2 z1 z2 z1z2 , 所以由运算规律7，有

复变函数第一章

复变函数第一章
6
例5 满足下列条件的点组成何种图形?是不是区 域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.
(1) I m ( z ) 0;
I m ( z ) 0 是实数轴,不是区域.
解
( 2) I m ( z ) ;
y

解 Im ( z )
是以 y , y 为界的带形单连通区 域.
第一章 复数与复变函数
1
一、重点与难点
重点：1. 复数运算和各种表示法
2. 复变函数以及映射的概念
难点：1. 复数方程表示曲线以及不等式表示区域
2. 映射的概念
2
二、内容提要
复 球 面
扩复 平 充面
曲线 与区域
极限 的计算 极限 连续性 判别定理
复数
代 数 运 算
乘 幂 与 方 根 复 数 表 示 法
于是 z 2i 9i
π π 2 kπ 2 kπ , k 0,1 3 cos 2 i sin 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 故 z1 2 2 i , z2 i . 2 2 2 2
2

3
x
o
2
3
x
8
例6 函数 w 1 z 将 z 平面上的下列曲线变成 w平 面上的什么曲线？ (1) x 2 y 2 9, (2) x 2.
解
(1)
因为 x y z 9
2 2 2
1 1 x iy 1 2 又 w 2 ( x iy ), z x iy x y 9
复变函数
几何表示法 向量表示法
三角及指数表示法
3
三、典型例题

《复变函数》第一章 复数与复变函数

《复变函数》第一章 复数与复变函数
( z ≠ 0)
的定义域, w 值的全体组成的集合称为函数 w = f ( z ) 的值域. 及 w = z +1
z 1
( z ≠ 1)
均为单值函数,w = n z
均为多值函数.
今后如无特别说明,所提到的函数均为单值函数.
设 w = f ( z ) 是定义在点集 则
容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律. 全体复数并引进上述运算后称为复数域,必须特别提出的是,在复数域 中,复数是不能比较大小的.
2.复平面
从上述复数的定义中可以看出,一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有 序实数 ( x, y ) 唯一确定.因此,如果我们把平面上的点 ( x, y )与复数 z = x + iy 对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系. 由于 x 轴上的点和 y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数,因而 通常称
对应相等,即 x1 = x2 且 y1 = y2 虚部为零的复数可看作实数,即x + ii0 = x ,
0 特别地, + ii0 = 0 ,因此,全体实数是全体复数的一部分.
实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数,复数 x + iy 为互为共轭复数,记为
( x + iy ) = x iy
和 x iy
2.区域与约当(Jordan)曲线
定义1.5 若非空点集 D 满足下列两个条件: (1) D 为开集. (2) D 中任意两点均可用全在 D 中的折线连接起来,则称 D 为区域 (图) 定义1.6 若 z0 为区域 D 的聚点且 z0 不是 D 的内点,则称 z0 为 D 的界点, D 的所有界点组成的点集称为 D 的边界,记为 D , 若 r > 0 ,使得 N r ( z0 ) ∩ D = ,则称 z 0 为 D 的外点 定义1.7 区域 D 加上它的边界 C 称为闭区域,记为 D = D + C

复变函数 第1章 复数与复变函数

复变函数 第1章 复数与复变函数
6
6
1 cos
2 k
6
i sin
2 k
6
( k 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 )
可求出6个根，它们是
z0 3 2 1 2 i, z 1 i, z2 3 2 1 2 i
z3
3 2

1 2
i,
z 4 i,
z5
3 2
0
}
为 z 0 的去心 —邻域，
开集 如果点集 D 的每一个点都是 D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称 D 为 闭集. 连通集 设是 D开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集. 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或 开区域. 闭区域 开区域 D 连同它的边界一起，称为 闭区域，记为 D .

1.3.2 单连通域与多（复）连通域

1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 t ， t 且 t t 的 t 1 与 t 2，使 z ( t ) z ( t ) ,则称此曲线C有重点， 无重点的连续曲线称为简单曲线或约当 （Jordan）曲线；除 z ( ) z ( ) 外无其它重 点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，
n
z z z
n个
若
z r （ cos i sin ，则有 )
z r （ cos i sin )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗（De Moivre） 公式
(cos i sin )
n
cos n i sin n
3
z 1 i 3 2 (c o s

复变函数第一章

复变函数第一章
1
28
7
一、复数及其代数运算
1、复数的概念 虚数单位:
方程 x 1 的解，记为：i ,我们称i为虚数单位。
2
对虚数单位的规定:
(1) i 2 1;
( 2) i 可以与实数在一起按同 样的法则进行 四则运算.
8
虚数单位的特性:
i 1 i;
4 2 2
i 2 1;
i 3 i i 2 i; i 5 i 4 i 1 i; i 7 i 4 i 3 i;
2




2
2
2


π i 2
. (指数式)
π arg z . 2
25
解法二：
r | z | (1 cos ) 2 sin 2 2 2 cos 4 sin 2 sin
2

2

2
(0 )


x 1 cos 0 2 sin cos sin 2 2 arg z arctan arctan 1 cos 2 2 sin 2 cos 2 arctan 2 2 sin 2
3 1 i (1 i ) 2 2
o
y
i 3

z3
z2 2 i
3
z1 1
x
z 3
3 3 1 3 3 3 1 3 所以 z3 i , z i. 3 2 2 2 2
32
例、证明三角形的内角 和为 .
证明： 设三角形的三个顶点分别 为 z1 , z2 , z3 ，三个内角分别为
12
复数运算所满足的算率：
（1） 交换率 z1 z2 z2 z1 （2） 结合率

复变函数论第1章

复变函数论第1章
实轴：x 轴 虚轴：y 轴 实轴上的点表示实数； 虚轴上的点表示纯虚数(除了原点外)
向量表示： Oz (由原点引向点z的向量)
向量表示方式建立了复数集C与平面向量 Oz 所成的集合的一一对应
复数z的模：向量 Oz 的长度，记为 |z| 或r .
2 2 r a b 0 z
Re z z ,
z1z2 r1ei1 r2ei2 r1r2ei (1 2 ) .
z1z2 rr 1 2 z1 z2
Arg( z1z2 ) Argz1 Argz2 .
复数相乘：模相乘，辐角相加 .
17
z1 w z1 wz2 z2
z1 w z2
z1 z1 | w | z2 z2
§1.2 复平面点集
1. 平面点集的几个概念 z0的邻域： D(z0, δ)={z: |z-z0|<δ}
z0的去心邻域： D(z0, δ)\{z0}={z: 0<|z-z0|<δ}
z0为点集E的内点：存在z0的邻域 D( z0 , ) E E为开集：如果点集E中的点全为内点. z0为E的边界点：z0的任意邻域内，既有 属于E中的点，
10
极坐标：(r, ） a = rcos, b = rsin, r = |z| 复数z的辐角：正实轴与从原点O到z 的射线的夹角，记为 Argz
主辐角（或辐角主值）：满足 π π 的辐角， 记为 = argz， 于是有Argz = argz+2k, k=0,±1,±2,…
2) ( z w) z w,
3) zw z w .
zw z w,
z z ( ) ( w 0). w w
4)
z z . w w

复变函数-第一章-复数与复变函数

复变函数-第一章-复数与复变函数

y
28
1 i
2
q

4
w0
r 2
q 2k
n i sin
w2
q 2k
n )
o
w3
x
wk n r (cos
16
例 2. 求
4
-1
解 : 1 cos i sin
4
1 cos
2k
4
i sin
2k
4
, (k 0,1,2,3).
z1

z2
z0 内点
P
D-区域
(6) 连通 D中任意两点可用一条全在D
中的曲线连接起来。
21
外点
z1

z2
z0 内点
P
(7) 区域
连通的开集.
D-区域
区域D与它的边界一起构成闭区域, 或闭域. D
22
(8) 有界区域 如果存在正数M，使得对于一切D中的点z， z M, 有 则称 D为有界区域,否则称为无界区域。 例如
设 w e , 由w z , 有 ne in re iq ,
i n
则 n r , n q 2k
(k为整数 ).
即 w = n z = n re
r (cos
n
i
θ + 2 kπ n
，
q 2k
n )
q 2k
n
i sin
(k为整数).
14
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
z. 共轭 x iy为x iy的共轭复数，记为
注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同； (2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数； (3)实部为0，虚部不为0，为纯虚数。

复变函数第一章

复变函数第一章

Re z 0表 示 右 半 复 平 面 , Im z 0表 示 下 半 复 平 面 .
复数z x iy可用平面上坐标为 ( x，y )的点P表示.
x轴 — 实 轴 y轴 — 虚 轴 此时， 平 面— 复 平 面 或 z平 面
点的表示：z x iy 复平面上的点 P( x，y )

数z与点z同义.
2. 向量表示法
z x iy 点P ( x，y ) OP { x , y }
z1 5 5i 7i 解: z2 3 4i 5
1 i 例2 : 求 1 i
4
1 i i 1 i
例3.证 明 若 z是 实 系 数 方 程 a n x n a n -1 x n 1 a1 x a 0 0 的 根, 则 z也 是 其 根 . (实 多 项 式 的 零 点 成 对 现 出)

当z落于一,四象限时，不变。


。 当z落于第三象限时，减 。
当z落于第二象限时，加
y arctan 2 x 2

由向量表示法知
z2 z1 — 点z1与z2之间的距离
由 此 得: z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1
y
(z)
z1
的集合称为点 z 0 的δ（去心）邻域 。
记为Ｕ(z0 ,δ) (U ( z0 , )) 即， U ( z0 , ) {z z z0 }


z0
(U ( z0 , ) { z 0 z z0 }) 设G是一平面上点集 内点 对任意z0属于G，若存在Ｕ(z 0 ,δ)， 使该邻 域内的所有点都属于G，则称z 0是G的内点。

第一章 复变函数解析

第一章 复变函数解析

lim lim f (z)
f (z z) f (z)
z0 z
z0
z
df 或f ' (z)
dz
由于复变函数中导数定义与实变函数的导数定
义相同,故实变函数中导数公式可应用到复变函数
情况.例如: d z n nz n1 , d e z e z ,
dz
dz
d sin z cos z, d cos z sin z
dz
dz
复合函数 d F () dF d
dz
d dz
1.复变函数可导的充要条件：
当f(z)满足(ⅰ).函数f(z)的实部u(x,y)和虚部v(x,y)的
偏导数
u , u , v , v x y x y
存在且连续.
(ⅱ)满足C-R 条件
u v x y u v (1) y x
(1)式为直角坐标形式. 极坐标形式：
由上式可看出加法满足交换律与结合律.
当定义了 –z 时,减法也自然有了.
(b)乘法 :z1z2=(x1x2-y1y2)+i( x1y2+x2y1) (4)
(c)除法:
z1 x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
z2
x22
y
2 2
对乘除法用指数形式运算方便.
z1z2=ρ1ρ
2e
n z n e n
其中k=0,1,2…..n-1
共有n个根,为z*=x-iy=ρe –iφ .. zz*= ρ2
(三)无限远点: 对复变数z=x+iy, 当ρ→∞时就是z趋于无 穷运点.引入复数球,使复数球的s极与复数平面的原点 相切,这时对于复数平面上的任意一点A,它与复数球的 N极以直线相联与复数球面交于面上一点A′ ,这样就建 立了复数平面上的点与复数球面上点之间的一一对应 关系.当A不管以什么方式趋于无穷大时,其对应的A′都 趋于N极,因此可把平面上无限远看成一点.

高等数学复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数

高等数学复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数

第一章 复数与复变函数第一节 复数1．复数域每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。

复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。

如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。

复数的四则运算定义为：)21()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222a ib a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。

2．复平面C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。

作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。

横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。

3．复数的模与辐角复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。

向量的长度称为复数的模，定(,)x y义为：||z向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Arg arctan 2y z i xπ=+（k Z ∈）。

复数的共轭定义为：z x iy =-；复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+；复数加法的几何表示：设1z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =；例1．1试用复数表示圆的方程：22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠）其中a,b,c,d 是实常数。

第一章 复变函数

第一章 复变函数
a ≡ ( a ,0) ≡ a (1,0)
(1, 0) 代表实数1，(0, 1) 称作虚单位，记作 i ，即
i = (0,1)
α = (a, b) = a(1,0) + b(0,1) = a + ib
基本运算法则
z1 = x1 + iy1
加减法法则： z1 ± z2 乘法法则：
z2 = x2 + iy2
n→∞
一个序列的极限必然是此序列的聚点，而且是唯一的聚点。
1.3 复变函数
定义 点集的内点
若以某一点为圆心做一个圆，只要半径足够小，使圆 内所有点属于该点集，称此点为点集的内点。
定义
区域
同时满足下列两个条件的点集。 （1）全部都由内点组成 （2）具有连通性——点集中任意两点都可以用一条 折线连接起来，这线上的点全都属于此点集。
称这一对有序实数 (a, b ) 定义了一个复数 α，记作
α = (a , b ) = a (1,0) + b(0,1)
a = Re α 为的实部，b = Im α 为的虚部。
两个复数相等指这两个复数的实部和虚部分别相等。 复数不能比较大小。
？ 实数↔复数
定义 实数集 R 是复数集 C 的一个子集。 实数 a（当然可以称作复数 α ）记为
= ( x1 ± x2 ) + i( y1 ± y2 )
z1 ⋅ z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = x1 x2 + x1iy2 + iy1 x2 + iy1iy2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i( x1 y2 + y1 x2 )
除法法则：
z1 x1 + iy1 ( x1 + iy1 )( x2 − iy2 ) = = z 2 x2 + iy2 ( x2 + iy 2 )( x2 − iy 2 ) ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + y1 x2 ) = 2 2 x2 + y 2 x2 y1 − y2 x1 x1 x2 + y1 y2 = +i 2 2 2 2 x2 + y 2 x2 + y 2

复变函数 第一章

复变函数 第一章
i
疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。
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复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着 广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平 面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域 的推广和发展。 自变量为复数的函数就是复变函数, 它是本课程的研究对 象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,第一章 将在原有的基础上作简要的复习和补充; 然后再介绍复平面上 的区域以及复变函数的极限与连续性的概念, 为进一步研究解 析函数理论和方法奠定必要的基础.
复数被Cardan引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪， 随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler
复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久
因此


arctan
5 i 5 5 z 4 cos( ) i sin( ) 4e 6 6 6
2) 显然, r = | z | = 1, 又
3 sin cos cos 5 5 10 2 3 cos sin sin . 5 5 10 2
z1 z2 z
z z
___________
1
z2
2
z1 z2
zz | z | z z 2 Re( z), z z 2i Im( z )
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例2：设 解：
z1 1, z2 i .

复变函数第1章 复数与复变函数

复变函数第1章 复数与复变函数
1、乘积
设 z1 r1(cos1 isin1) r1ei1 ,
z2 r2(cos2 isin2 ) r2ei2
则
z1z2 r1r 2 (cos1 isin1)(cos2 isin2 )
r1r 2[cos( 12 ) isin( 12 )] r1r 2 ei( 12 )
于是， z1z2 z1 z2 , Arg(z1z2 ) Arg(z1) Arg(z2 )
(7) 复变函数理论也是积分变换的重要基础.
积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力 工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理 和其他许多数学、物理和工程技术领域．
Josep(8h) Fourier 变换应用于频谱分析和信号处理等. (1768.3.21-1频83谱0.5分.1析6) 是对各次谐波的频率、振幅、相位之 法国数学间家的和关物系理进学行家分.他析致. 力随于着计算机的发展，语音、图 导问题, 象18等22作年出为版信名号著，《在热频的域分中的处理要方便得多.
1 i i
例1. 证明若z是实系数方程 an xn an-1xn1 a1x a0 0 的根,则z也是其根. (实系数方程的复根成对出现)
三、复平面及复数的几何表示y
设 z x iy P(x, y) OP x轴 实轴, y轴 虚轴
1. 模 、辐角 模：z r OP x2 y2 ; 则有
复 实数 ( y =0) 数 (C) 虚数 ( y 0)
纯虚数 ( x=0) 非纯虚数 (x 0 )
简单性质：
(1) 设 z1 x1iy1 , z2 x2 iy2,则 z1 z2 x1 x2且y1 y2
(2) z x iy 0 x 0且y 0
注意：一般说来，. 任意两个复数不能比较大小！

复变函数第一章讲义全

复变函数第一章讲义全

引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月。

复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。

1545年意大利数学物理学家H Cardan ⋅在所著《重要的艺术》一书中列出并解出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程(10)40x x -=的根。

他求出形式的根为5525(15)40--=。

但由于这只是单纯从形式上推广而引进，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的。

因而复数在历史上长期不能为人们所承受。

“虚数”这一名词就恰好反映了这一点。

直到十八世纪，J R D Alembert '⋅⋅，L Euler ⋅等人逐步说明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人们缍承受并理解了复数。

复数函数和理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕Cauchy 、Weierstrass 和Riemann 三人的工作进行的。

到本世纪，复数函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它学科与数学的其它分支中，复数函数论都有着重要应用。

第一章复数与复变函数教学重点：复变函数的极限和连续性 教学难点：复平面上点集的n 个概念教学基本要求：1、了解复数定义与其几何意义，熟练掌握复数运算 2、知道无穷远点邻域3、了解单连通区域与复连通区域4、理解复变函数、极限与连续§1复数 1、复数域形如z x iy =+或z x yi =+的数，称为复数，其中x 和y 均是实数，分别称为z 的实部和虚部，记作Re x z =，Im y z =；i =称为虚单位。

两个复数111z x iy =+，222z x iy =+，12z z =1212,x x y y⇔==. 虚部为零的复数可看作实数。

因此，全体实数是全体复数的一部分。

x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记为x iy x iy +=-或x iy x iy -=+.复数四则运算规定为：121212()()z z x x i y y ±=+±+1212121221()()z z x x y y i x y x y =-++ 1121212122222222222(0)z x x y y y x x y i z z x y x y +-=+≠++易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律。

复变函数第一章

复变函数第一章

区域:
连通的开集称为区域.
闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域,
记为D.
有界区域 如果一个区域可以被包含在一个以原点
为中心的圆里面,则称D为有界的. 即存在正数M, 使区域D的每个点z都满足|z|<M.

r r1 2 z0
如果在圆环域内去掉一个(或几个)点, 它仍然构成区域, 只是区域的边界由 两个圆周和一个(或几个)孤立的点所 构成
-n
r n cos(n ) i sin(n )
四 复数的方根
定义 如果 n z, 则称为z的n次根, 记作 = n z.
n 当z 0时，z有n个不同的根:
2k 2k k = z r cos i sin , n n k 0,1, 2,, n 1.
1) 集合G称为f (z)的定义集合(定义域);
2) G中所有z对应的全体值所组成的集合G , 称为函数值集合(值域).
3)
如果对z G，它仅有一个值与之
对应,则称函数f ( z )是单值函数;
如果z0 G，它有多个值与之对应, 则称函数f ( z )是多值函数.
2 复变函数与二元实函数的关系
n in
(n为整数)
1 定义 z,当 | z |n.则当n为负整数时上i式仍然成立. 特别地 r 1时,即z cos sin , 有: z 1n cos 0 i sin 0 n z (cos i sin n) (cos n i sin n ) 棣莫弗公式 z r n (cos n i sin n )

y
2z
2z相当与将z伸长2倍.

z 2 2i
x
o
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1 z z chz (e e ) 2
6、指数函数 7、对数函数
e e
z
xiy
e e e (cos y i sin y)
x iy x
ln z ln( z eiArgz ) ln | z | iArgz
1 sin z,cos z, shz, chz, e 具有周期性：
三角式运算：
Z1 Z2
=
1 (cos1 i sin 1 ) 2 (cos 2 i sin 2 )
1 = [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] 2
指数式运算：
Z1 Z2
1 i ( e = 2
1
= 1 e
i1
/ 2
e i 2
1、复变函数定义： 若在复数平面上存在一个点集E，对于E的每一点（每一个z 值），按照一定的规律，有一个或多个复数值 与之相对应， 则称 为z 的函数--复变函数,z 称为 的宗量。定义域为E， f ( z ), z E. 记作 1 2 y 2、定义域及相关的概念： （1）定义域： 解析函数的定义域是满足 一定条件的点集，称为区域。
a (m,n为整数， 0 an , b1 bn 为复常数）
3、根式函数
F ( z) z a
(a为复常数)
4、三角函数
1 sin z (e iz e iz ) 2i
1 iz cos z (e e iz ) 2
5、双曲函数
1 z shz (e e z ) 2
并且彼此相差2π的整数倍。约定用argz表示其中满足条件 0≤Argz<2π
的一个特定值，称为主值。于是有：Argz=argz+2kπ。
零的辐角没有意义。
3、复数的三种表示
1) 代数式
2) 三角式
z=x+iy
|Z|=
x cos
y sin
tg 1 ( )
y x
z (cos i sin )
3、注意将解出的结果进行讨论，予以其物理思考的解释。
第一篇
复变函数论
第一章
重点内容
复变函数
1、复数的三种表示及其相互转换；
2、Cauchy-Riemann方程的应用；
3、解析函数实部或虚部的求解方法。
§1、1
的和
复数与复数运算
z=x+iy
1、复数: 一个复数可以表为某个实数x和某个纯虚数iy
x和y分别称为该复数的实部与虚部，并记为Rez和Imz。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
学习时应注意的问题
一、对于复变函数部分，注意以下问题的学习： 1、注意对定理的理解与实际应用； 2、注意描述的数学内容与物理内容上的对应与联系。 二、对于数学物理方程部分，注意以下几点： 1、注意考虑物理系统中涉及到的物理定理、定律 以及偏微分方程 ； 2、注意研究将偏微分方程转化为常微分方程的方法或能 够利用以、已有的常微分方程知识进行求解的方法；
解:
z

1 3i 3i (1 i ) 3i 3 i i i 1 i (1 i )(1 i ) 2
3 1 i 2 2
Z)
3 1 3 1 3 1 5 Re( z ) , Im( z ) , zz ( i )( i ) 2 2 2 2 2 2 2
推论
z e
n
n in
n
z n e
i

n
给定一个 z ， z
n
2 有n个值，辐角相差 n
4）商
代数式运算：
Z1 Z2
= =
x1 iy1 x 2 iy 2
=
( x1 iy1 )(x2 iy 2 ) ( x2 iy 2 )(x 2 iy 2 )
x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i 2 2 2 2 x2 y2 x2 y2

4
i)
解:
2 i 1 2 i 1）sh(2 i ) (e 4 e 4 ) 4 2

1 [e 2 (cos i sin ) e 2 (cos i sin )] 2 4 4 4 4
1 2 2 2 2 [ e (1 i ) e (1 i )] 2 2 2
研究对象 研究物理问题中遇到的数学方程的求解方法
以及解这些方程需要的复变函数的基础知识。这些方程常常 是偏微分方程。
本教材包括的内容与学习方法
教学内容
复变函数的微分、积分 复变函数 规律 复变函数的性质及变换
二阶一维偏微分方程 数学物理方程 二阶二、三维偏微分方 程 二阶常微分和变常微分 方程
y
x y=-3
所以1-y=4， 即y=-3的直线。
5、复平面与复数球的关系
(1) s位于平面上的坐标原点。 (2) 复平面上的有限远点与球面上 N以外的点一一对应。 (3) 复平面上的无限远点对应于球 面上北极点N。 (4) 无限远点的模为无限大，其辐 角无明确意义。 N
A
A
s
§1.2
复变函数
一、复变函数的定义与定义域：
3) 指数式 由欧拉公式 e cos i sin
i
z e
i
4、复数的运算 z1 x1 iy1 1）和： 几何意义
z2 x2 iy2
z z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )
y
y
z2
z
z1
z1
x
x
和的意义 2）差：
z
z2
差的意义
z1 x1 iy1
z2 x2 iy2
z z2 z1 ( x2 x1 ) i ( y2 y1 )
3）积：
代数式运算
z1 z2 ( x1 iy1 )(x2 iy2 ) x1 x2 ix1 y2 ix2 y1 y1 y2
三角运算 z1 z2 1 (cos 1 i sin 1 ) 2 (cos 2 i sin 2 )
E
x
外点
z0及其邻域均不属于点集E，则称z0点为点集E的外点。
（4）边界点与边界线： 边界点
z0点的每个邻域内，既有属于点集E的点，也 有不属于E的点。z0点称为该点集E的边界点。 y 边界线 边界点的全体。
（5）区域与闭区域： 区域 是宗量z在复数平面上的取值范围，且满足 （1）全由内点组成； （2）具有连通性 记作B。
例1 将 z 12 2i 化为三角表示和指数表示. 解:
z 12 2i
x 2 y 2 12 4 4
y 2 3 tg ( ) x 3 12

5 6
(在第三象限)
5 5 i sin ) 6 6
三角式: 指数式:
z 4(cos
数学物理方法
宋晋湘
惠州学院 电子科学系 物理教研室
QQ：5925289；email：jxsong@
数学物理方法课程的起源与研究对象
起源 物理学是研究自然规律的学科，必然要遇到许多
实际物理问题。可定量解决实际物理问题就需要数学描述， 而在数学描述遇到的数学问题也是需解决的,这就派生出一 些数学方程，研究这些方程如何进行求解, 从而产生数学物 理方法这一课程 。
其中i称为虚数单位，i×i= -1。
y
2、复数的意义：
1）一个复数可以表示复平面上的一点。 2）一个复数对应复平面上的一个向量。 大小： z x 2 y 2 （向量长度）

( x, y )
x
方向：与x轴夹角 tg 1 ( ) （记作 Argz ）
y x
θ称为复数z的辐角。一个复数的辐角可以取无穷多个值，
2)
（便于除法）
5）共轭：
复数
代数式表示 三角式表示 指数式表示 z = x + iy
z （cos i sin )
共轭复数
z * x iy
z* （cos i sin )
z* e i
z ei
z* = z
* 2
（同一表示）
zz z ( x 2 y 2 )
例4
计算 i 的数值
i
解:
i [e
i
i[ 2 n ] i 2
] e
2 n 2
(n 0,1,2....)
例5 求下列方程所表示的曲线 (1) |z+i|=2 (2) |z-2i|=|z+2| (3) Im(i+ Z ) =4
例5 求下列方程所表示的曲线 (1) |z+i|=2 (2) |z-2i|=|z+2| (3) Im(i+ Z ) =4 解： （1）|z+i|=2 即是 y
三、复变函数的极限和连续性：
一个复变函数对应两个二元实变函数
f ( z) u( x, y) iv( x, y)
1、函数的极限定理（证明略） 定理1 设 f ( z) u( x, y) iv( x, y), A u0 iv0 , z0 x0 iy0
z1
E
z2
x
（2）邻域： 以复数z0为圆心，任意小正实数ε为半径作一圆，圆内 所有点的集合，称z0的邻域。 注 （a）任意小的正数为半径该圆面积可以无穷小. （b）圆内所有点不包括圆周上的点. （c）对一点而言有无穷多个邻域. （3）内点与外点： 内点
Z0
y
z0
z0
Z0
若z0及其邻域属于点集E ；则称 z0点为点集E的内点。 内点的定义，不只是对于z0一点而言。
1 2 2 2 2 [ e (1 i) e (1 i)] 2 2 2