余角与补角

《余角和补角》知识解析课标要求：1. 理解余角、补角、互余、互补等概念，在具体的现实情境中，认识一个角的余角与补角。

理解余角（补角）与互余（互补）的区别和联系，会求已知角的余角或补角.2.理解余角（补角）的性质，并能用它解决相关问题。

会用方程的思想方法求有关角的度数.3．理解互余（及互补）两角的等式表示方法，初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化.知识结构：内容解析：本节课主要学习余角、补角概念，余角、补角的性质，方位角. 余角和补角是在学习了角的度量及角的比较与运算的基础上，对角的数量关系作进一步探讨，在后面学习对顶角相等及平行线的判定和性质时即将用到，并为今后证明角的相等提供一种依据和方法.另外教材在此已开始对学生提出“简单说理”的要求，为以后推理证明题作准备.方位角的知识学生在小学就有所了解，但根据题意画出方位角以及运用方位角的知识确定点的位置是学生不熟悉的.方位角的知识在“解直角三角形”等内容有广泛的应用，并且为今后学习平面直角坐标系、极坐标等知识奠定基础.教学重点：1. 理解余角、补角的概念，会求已知角的余角或补角.2. 理解余角（补角）的性质，会用性质及建立方程的思想方法求有关角的度数. 教学难点：1.理解余角（补角）的性质，会用性质及建立方程的思想方法求有关角的度数.2. 理解互余（及互补）两角的等式表示方法.教法导引：现代教学论认为数学应加强学生的数学活动，如果能让学生在“做数学”的过程中获得知识和技能，掌握基本数学思想和规律，那将是课堂教学中最理想的境界，也是新课程改革的一个重要目标。

根据以上认识，我的教学思路是：老师的“教”体现在创设情境，激发兴趣，组织探索，引导发现。

学生的“学”体现在操作讨论，探索发现，归纳结论。

另外针对发展学生的逻辑推理能力，教学时注重让学生发表自己的见解，引导学生用数学语言表达自己的思考过程。

本节课主要采用“教师创设问题情境—学生自主探索与小组合作交流—概括明晰”的教学思路，把探索知识的主动权完全交给学生．通过问题情境的设置，激发学生的学习兴趣，营造师生间民主、和谐的学习氛围和每个学生平等参与学习的机会．这种合作学习的方式，使得全体学生都能在横向交流中各尽所能，取长补短，各有所获，共同发展．在教学中，要关注概念的实际背景与形成过程，采用直观导入的方法，借助直观形象，让学生能够理解概念并初步学会应用．并给学生提供探索和交流的空间，使数学活动不是单纯地依赖、模仿与记忆，而是一个生动活泼、积极主动和富有个性的过程，围绕本节课所学的知识，设置有现实意义的具有挑战性的问题，激发学生积极思考，引导学生自主探索与合作交流，既能在探索中获取知识，又能不断丰富数学活动的经验。

同角的余角和补角的关系
在高中数学中，我们学习了很多关于三角函数的知识，其中，余角和补角也是非常重要的一个概念。

在这篇文章中，我们将介绍同角的余角和补角的关系。

一、什么是余角和补角？
首先，我们来了解一下余角和补角的概念。

余角是指一个角的补角与它本身的差值，也就是说，如果一个角的度数为x，它的补角的度数为90-x，那么这个角的余角就是90-x。

例如，如果一个角的度数为30度，那么它的补角的度数为60度，它的余角的度数则为60度。

在三角函数中，我们经常需要求一个角的正弦、余弦、正切等值。

有时候，我们发现要求的角的值非常复杂，但是它的余角或者补角的值却非常简单，这时候就可以利用同角的余角和补角的关系来简化求解过程。

具体来说，对于一个角A，其余角B和补角C都是相对它而言的。

因此，我们可以通过求角A的余角或者补角来简化求解角A的三角函数值。

1. 正弦函数
假设角A的正弦值为sinA，那么它的余角的正弦值为cosA，而它的补角的正弦值为sin(90-A)。

因为sin(90-A)=cosA，所以sinA=sin(90-B)=cosC。

三、结论
sinA=cos(90-A)
tanA=1/tan(90-A)。

对顶角余角和补角的定义
顶角、余角和补角是在几何学和三角学中常见的概念。

顶角指的是两条直线相交时，形成的相对的两个角，这两个角的顶点是同一个点。

余角是指一个角的补角，即与该角相加为90度的角。

而补角则是两个角的和为90度的角。

从几何学的角度来看，顶角是指两条直线相交时形成的相对的两个角，它们共享一个公共顶点。

例如，在一个三角形中，顶角通常指的是三角形的顶点所对的角。

余角是指一个角的补角，也就是与该角相加为90度的角。

例如，如果一个角的度数是x度，那么它的余角就是90度减去x度。

补角是指两个角的和为90度的角。

例如，如果一个角的度数是x度，那么它的补角就是90度减去x度。

从三角学的角度来看，顶角、余角和补角也有特定的定义。

在三角函数中，余角是指角A的余角是90度减去角A的度数。

补角是指两个角的和为90度的角，例如，如果角A的度数是x度，那么角A的补角就是90度减去x度。

这些概念在解题和推导三角函数的过程中经常被用到。

总的来说，顶角、余角和补角是几何学和三角学中非常基础和
重要的概念，它们帮助我们理解角的关系，解决各种几何和三角学问题。

通过理解这些概念，我们能更好地应用它们解决实际问题，并且在数学推导和证明中起到重要的作用。

余角和补角的概念公式
余角概念
如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角. ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°。

余角的性质：
同角的余角相等。

比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。

等角的余角相等。

比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。

补角概念
如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角.其中一个角叫做另一个角的补角
∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A
补角的性质：
同角的补角相等。

比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。

等角的补角相等。

比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。

余角补角
因此我们可以通过上述概念及理论中知道：若有一角∠α，使得∠β与∠α有如下关系：
∠β+∠α=90°
且有一∠γ，使得∠β与其有如下关系：
∠β+∠γ=180°
则我们可以说+∠γ是∠α的余角补角。

知识归纳：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角;如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。

补角和余角的定义两者是什么意思补角和余角是在几何学中常用的术语，用来描述两角之间的关系。

它们有着不同的定义和含义，下面将详细介绍并比较这两个概念。

一、补角的定义在平面几何中，两个角互为补角是指它们的和等于90度。

换句话说，如果角A和角B是补角，那么A + B = 90°。

具体来说，如果角A的度数为x度，那么角B的度数为90度减去x度，即90° - x°。

同理，如果角B的度数为y度，那么角A的度数为90° - y°。

因此，两个角互为补角时，它们的度数之和等于90度。

例如，如果角A的度数为30°，那么角B的度数为90° - 30° = 60°；反之亦然，如果角B的度数为60°，那么角A的度数为90°- 60°= 30°。

因此，角A和角B互为补角。

二、余角的定义与补角不同，余角是指两个角之间的差等于90度。

换句话说，如果角A和角B是余角，那么A - B = 90°。

具体来说，如果角A的度数为x度，那么角B的度数为x度减去90度，即x° - 90°。

同理，如果角B的度数为y度，那么角A的度数为y度加上90度，即y° + 90°。

因此，两个角互为余角时，它们的度数之差等于90度。

例如，如果角A的度数为60°，那么角B的度数为60°- 90°= -30°；反之亦然，如果角B的度数为-30°，那么角A的度数为-30° + 90° = 60°。

因此，角A和角B互为余角。

补角和余角的区别：1. 补角和余角的定义不同：补角是和为90度，而余角是差为90度。

2. 补角的度数之和始终等于90度，而余角的度数之差始终等于90度。

3. 补角或余角可以是正角，也可以是负角，取决于原始角的度数。

6.8 余角和补角学习目标1. 了解补角和余角的概念。

2. 理解等角的余角相等，等角的补角相等。

知识详解1.余角和补角如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。

如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角注意：（1）互余与互补是指两个角之间的关系，说单独的一个角是余角或补角没有意义，但可以说成一个角是某一个角的余角或补角。

（2）两个角是否互余或互补只跟这两个角的大小有关，与它们的位置无关，不要误认为互余或互补的角必须相邻。

（3）强调两个角互余或互补的数量关系：互余：∠α＋∠β＝90°；互补：∠α＋∠β＝180°。

因此互余或互补的两个角中，已知一个角的度数，就可以求出另一个角的度数。

2.余角和补角的性质同角或等角的余角相等。

同角或等角的补角相等。

【典型例题】例1：已知∠a=32°，则∠a的补角为（）A. 58°B. 68°C. 148°D. 168°【答案】C【解析】∵∠a=32°，∴∠a的补角为180°﹣32°=148°例2：已知∠α=35°，则∠α的余角是（）A. 35°B. 55°C. 65°D. 145°【答案】B【解析】根据定义∠α的余角度数是90°﹣35°=55°例3：一个角的补角是它的余角的3倍，那么这个角为（）A. 60°B. 45°C. 30°D. 15°【答案】B【解析】根据题意：设这个角为x，则有180﹣x=3（90﹣x），解可得x=45°【误区警示】易错点1：余角和补角关系1. 两个角大小的比为7：3，它们的差是72°，则这两个角的数量关系是（）A. 相等B. 互补C. 互余D. 无法确定【答案】B【解析】设这两个角分别是7x，3x，根据题意，得7x﹣3x=72°，∴x=18°，∴7x+3x=126°+54°=180°，∴这两个角的数量关系是互补．易错点2：余角和补角的性质2.如图，CO⊥AB于点O，OD⊥OE，则图中相等的角有（）A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对【答案】C【解析】∵CO⊥AB于点O，OD⊥OE，∴∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°，∴∠AOC=∠BOC，∠AOC=∠DOE，∠BOC=∠DOE，共3对，∵∠BOD+∠BOE=90°，∠BOD+∠COD=90°，∴∠BOE=∠COD，又∵∠AOD=∠COD+90°，∠COE=∠BOE+90°，∴∠AOD=∠COE，综上所述，共有3+1+1=5对．【综合提升】针对训练1. 茗茗总结的下列结论中，不正确的是（）A. 等角的补角相等B. 等角的余角相等C. 过两点有且只有两条直线D. 两点之间线段最短2. 如图，点O在直线AB上，∠AOD=22°30′，∠BOC=45°，OE平分∠BOC，则∠EOC 的补角是（）A. ∠AOCB. ∠AOE或∠DOBC. ∠AOE或∠DOB或∠AOC+∠DOED. 以上都不对3. 如图，AOB是直线，OE⊥AB于O，OC⊥OD于O，则与∠EOD互为补角的是（）A. ∠AOCB. ∠BOEC. ∠AODD. 非上述答案1.【答案】C【解析】A、当∠A和∠B都是∠C的补角时，∠A=∠B=180°﹣∠C，正确，故本选项错误；B、当∠A和∠B都是∠C的余角时，∠A=∠B=90°﹣∠C，正确，故本选项错误；C、过两点有且只有一条直线，错误，故本选项正确，D、线段的性质之一是两点之间线段最短，正确，故本选项错误。

个角的余角(1)互为余角是对两个角而言的.(2)互为余角仅仅表明了两个角的数量关系，而没有限制角的位置关系：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角(supplementary angle).小结:同角或等角的余角相等.同角或等角的补角相等.. 这样的两个角叫对顶角(1)对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，两个角的两边互为反向延长线.(2)对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角；一个角的对顶角只有一个.要在图形中准确地找出对顶角，需两看：(1)看是不是两条直线相交所得的角;(2)看是不是有公共顶点而没有公共边(或不相邻)的两个角.12、如图 .如果∠1与∠ 2互余，∠1与∠3互余，那么∠2与∠3相等吗？为什么？同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等3、阅读理解：两直线交于O。

如图示。

因为∠1+∠3=180o，∠2+∠3=180o①所以∠1=∠2。

② 1 O 2（1）步骤①的理解是____平角的定义_________。

3 步骤②的理解是____等量代换(或同角的补角相等)_______。

（2）由此可以得出一个重要的结论是____对顶角相等_______。

对顶角相等．4、练一练1. 如图1，点A 、O 、B 在一条直线上，1,=∠∠=∠BOC AOC 则图中互余的角共有____4____对.2. 若1∠与2∠互为余角，且︒=∠371 ，则2∠=____530___3. 如果∠A ＝35°18′，那么∠A 的余角等于＿＿54°42′＿＿＿；4. 若1∠与2∠互为补角，︒=∠1201 ，则2∠=___600________5. 如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（ 600 ）6. 锐角的补角是__钝___角，直角的补角是___直____角，钝角的补角是_锐_角.7. 已知α∠与β∠互补，且α∠与β∠是对顶角，则α∠=__900_8. 如图2直线L 1与L 2 相交于点O ，1L OM ⊥,若︒=∠44α，则____46____0=∠β9. 如图3,直线AB 与CD 相交于点O, E 是AOD ∠内一点，已知,AB OE ⊥,45︒=∠BOD 则___135___0=∠COE8、已知,24︒=∠α且α∠与β∠互补，β∠与γ∠互补，则γ∠的余角和补角的度数分别为_____240____.9、如图4，已知直线AB 、CD 相交与点O ，OA 平分︒=∠∠70,EOC EOC ,则A BCD 45oOE图3图2MO L 1L 2α β○1角的静态定义具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角（angle）。