《余角和补角》教案教学目标课题 6.3.3 余角和补角授课人素养目标1.理解余角、补角的概念.2.探索并掌握同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等.3.通过余角和补角的学习过程，进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理.教学重点角的互余、互补关系及其性质.教学难点通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课【情境引入】意大利著名建筑比萨斜塔的塔身与地面、塔身与垂直于地面的方向会形成夹角.图中的∠1和∠2、∠3和∠4分别有怎样的数量关系呢？经测量可知：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝180°.学完本节课，你就知道啦！下面我们一起走进本节课的学习.【教学建议】教师不要限制学生的思维，鼓励学生思考解决方案，并敢于表达自我.设计意图为学生创设一种思考的情境，自然而然地导入，为本节课的探究活动做好铺垫.活动二：实践探究，获取新知探究点1余角和补角的概念问题1（1）在一副三角尺中，大家观察一下每个三角尺的度数有什么特点？每个三角尺都有一个角是90°，而其他两个角的和是90°（30°＋60°＝90°，45°＋45°＝90°）.知识引入：（2）钝角有余角吗？钝角没有余角，只有锐角有余角.问题2 类似地，如果两个角的和等于180°（平角），这两个角有什么数量关系？知识引入：【教学建议】教师提醒学生注意区分互补和互余，前者两角的和是180°，后者两角的和是90°，在对比中记忆.根据余角和补角的概念，我们能够直接得出互余（补）两角之间的数量关系.设计意图从直观的角度去感受互为余（补）角的概念.并用语言去表达这个概念，培养口头表达能力.教学步骤师生活动追问改变问题1，2中∠1与∠2（或∠3与∠4）的位置关系，它们仍然互余（互补）吗？因为∠1+∠2=90°，∠3+∠4=180°，所以∠1和∠2仍互余，∠3和∠4仍互补.例1 （教材P177例4）如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC. 图中哪些角互为余角？分析：互为余角的两个角的和是90°，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角.解：因为点A，O，B在同一条直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角. 又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以所以∠COD和∠COE互为余角.同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE , ∠COD和∠BOE也互为余角.【对应训练】教材P177练习第1，2，4题.【教学建议】提醒学生注意:互为补角和互为余角反映的是角的数量关系,而非角的位置关系.教科书在画图时(图6.3-13,图6.3-14)把互为补角或互为余角的角画成互相分离的样子,是为了避免学生误认为互为补角或互为余角的两角一定有公共顶点和公共边(例如学生容易混淆补角和邻补角).设计意图探究点2余角和补角的性质问题1已知∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为余角，那么∠2与∠3的大小有什么关系？请说明理由.因为∠1与∠2互为余角，所以∠2＝90°－∠1.因为∠1与∠3互为余角，所以∠3＝90°－∠1，所以∠2＝∠3.教师归纳：同角（等角）的余角相等.问题2已知∠1与∠2互为补角，∠1与∠3互为补角，那么∠2与∠3的大小有什么关系？请说明理由.因为∠1与∠2互为补角，所以∠2＝180°－∠1.因为∠1与∠3互为补角，所以∠3＝180°－∠1，所以∠2＝∠3.教师归纳：同角（等角）的补角相等.例2如图，如果∠AOB＝∠COD＝90°，那么∠1与∠2有什么数量关系？为什么？解：∠1=∠2. 理由：因为∠AOB＝∠COD＝90°，所以∠1＋∠BOC＝90°，∠2＋∠BOC＝90°，所以∠1＝∠2.【对应训练】如图，点C，O，E在同一条直线上，∠AOB＝∠EOD＝90°.比较∠1与∠3的大小，并说明理由.解：∠1=∠3. 理由：因为∠DOE＝90°，所以∠DOC＝180°－∠DOE＝90°.因为∠DOC＝∠AOB＝90°，所以∠DOC－∠2＝∠AOB－∠2，所以∠1＝∠3. 【教学建议】这里开始要让学生简单说理，要求学生能用数学语言表达思考过程，不要求严格的推理形式.【教学建议】例题和习题是两个补充的说理题，旨在进一步强化学生的说理能力.教师引导学生分析角重叠时的角度关系.通过对两个问题的分析得出关于余角和补角的两个性质，开始让学生简单说理，用数学语言表达自己的思考过程，逐步强化推理能力.教学步骤师生活动活动三：典例精析，巩固提升例3一个角的余角与这个角的3倍互补，求这个角的度数.解：设这个角的度数为x°.根据题意得90－x＋3x＝180.解得x＝45.所以这个角的度数是45°.【对应训练】教材P177练习第3题.【教学建议】教师引导学生厘清相等关系：设计意图综合余角、补角的概念和性质，培养学生用方程思想解题.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.余角和补角的概念是什么？2.余角和补角的性质是什么？【知识结构】【作业布置】1.教材P178习题6.3第2（3）（4），4，7，11题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.板书设计教学反思本节课在具体的教学过程中坚持“数形结合”，从学生熟悉的知识着手，例如讲解余角和补角的性质时，先以数的形式出现，然后在练习中再强化从图形上形象地理解性质，激发学生的学习兴趣，促成好的学习方法，养成良好的学习习惯.解题大招余角、补角与三角尺的结合以三角尺为背景的角的问题（30°，60°，45°，90°），寻找图形中角之间的和、差关系并结合余角、补角的性质求角的度数或角之间的关系.例如图，把一副三角尺按不同的方式摆放，其中∠α与∠β不相等的是（C）课后·知能演练一、基础巩固1.将一副三角尺分别按图中甲至丁的位置摆放,下列说法错误的是()A.甲图中α与β相等B.乙图中α与β相等C.丙图中α与β互余D.丁图中α与β互补2.填写下表(若不存在,则填“无”):∠A∠A的余角∠A的补角35°25°90°60°n°(0<n<90)3.如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角.如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角.(1)若∠A的余角是∠α,∠A的补角是∠β,则∠α和∠β之间有怎样的数量关系?(2)若一个角的补角是这个角的余角的4倍,求这个角的度数.二、能力提升4.如图,点A,O,B在同一条直线上,过点O作射线OC,OD,OE,OF,且∠AOC和∠BOD互余,∠AOE与∠BOF互余,OA平分∠COE.(1)判断∠COE和∠DOF之间满足的数量关系,并说明理由;(2)判断OB是否平分∠DOF,并说明理由.三、思维拓展5.【探索与解决】如图1,点A,O,B在同一条直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC.(1)与∠AOD互余的角是________;(2)与∠AOD互补的角是________;(3)∠DOE是多少度?请简单写出理由.【拓展与延伸】如图2,点A,O,B不在同一条直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,请你直接写出∠DOE与∠AOB之间的数量关系.【课后·知能演练】1.B2.从左往右,第1行:55°,145°;第2行:65°,115°;第3行:无,90°;第4行:120°,无;第5行:(90-n)°,(180-n)°.3.解:(1)因为∠α=90°-∠A,∠β=180°-∠A,所以∠β-∠α=180°-∠A-(90°-∠A)=90°.(2)设这个角为x度,则它的余角为(90-x)度,它的补角为(180-x)度.根据题意可得180-x=4(90-x),解得x=60.答:这个角的度数为60度.4.解:(1)∠COE+∠DOF=180°,理由如下:因为∠AOC和∠BOD互余,∠AOE和∠BOF互余,所以∠AOC+∠BOD=90°,∠AOE+∠BOF=90°,所以∠COE+∠DOF=∠AOC+∠AOE+∠BOD+∠BOF=180°.(2)OB平分∠DOF,理由如下:因为OA平分∠COE,所以∠AOC=∠AOE.因为∠AOC和∠BOD互余,∠AOE与∠BOF互余,所以∠BOD=90°-∠AOC,∠BOF=90°-∠AOE,即∠BOD=∠BOF.所以OB平分∠DOF.5.解:[探索与解决](1)∠COE,∠BOE因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,所以∠AOD=∠COD=∠AOC,∠BOE=∠COE=∠BOC.因为∠AOC+∠BOC=180°,所以∠DOE=∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=90°.即∠AOD+∠COE=90°,∠AOD+∠BOE=90°,所以与∠AOD互余的角是∠COE和∠BOE.(2)∠BOD因为∠AOD+∠BOD=180°,所以与∠AOD互补的角是∠BOD.(3)∠DOE是90°,理由如下:因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,所以∠COD=∠AOC,∠COE=∠BOC.因为∠AOC+∠BOC=180°,所以∠DOE=∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=90°. [拓展与延伸]∠DOE=∠AOB.提示:因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,所以∠AOD=∠COD=∠AOC,∠BOE=∠COE=∠BOC.因为∠AOB=∠AOC+∠BOC,所以∠DOE=∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=∠AOB.。
